高考數(shù)學(xué)中解排列組合問題

1、2、合理分類和準(zhǔn)確分步、合理分類和準(zhǔn)確分步5、定序問題、定序問題6、分房問題、分房問題7、環(huán)排、環(huán)排、10、先選后排問題、先選后排問題9 9、平均分組問題、平均分組問題11、構(gòu)造模型策略、構(gòu)造模型策略8、實(shí)驗(yàn)法（枚舉法）、實(shí)驗(yàn)法（枚舉法）13、其它特殊方法、其它特殊方法排列組合應(yīng)用題解法綜述排列組合應(yīng)用題解法綜述（目錄）（目錄） 名稱名稱內(nèi)容內(nèi)容分類原理分類原理分步原理分步原理定定 義義相同相同點(diǎn)點(diǎn)不同不同點(diǎn)點(diǎn)兩個原理的區(qū)別與聯(lián)系：兩個原理的區(qū)別與聯(lián)系：做一件事或完成一項(xiàng)工作的方法數(shù)做一件事或完成一項(xiàng)工作的方法數(shù)直接（直接（分類分類）完成）完成間接（間接（分步驟分步驟）完成）完成做一件事，完成

2、它可以有做一件事，完成它可以有n類辦法，類辦法，第一類辦法中有第一類辦法中有m1種不同的方法，種不同的方法，第二類辦法中有第二類辦法中有m2種不同的方法種不同的方法，第第n類辦法中有類辦法中有mn種不同的方法，種不同的方法， 那么完成這件事共有那么完成這件事共有 N=m1+m2+m3+mn 種不同的方法種不同的方法做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n個步驟，個步驟，做第一步中有做第一步中有m1種不同的方法，種不同的方法，做第二步中有做第二步中有m2種不同的方法種不同的方法，做第做第n步中有步中有mn種不同的方法，種不同的方法， 那么完成這件事共有那么完成這件事共有 N=m1m2m3m

3、n 種不同的方法種不同的方法.回目錄回目錄1. 1.排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系：排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系：名名 稱稱排排 列列組組 合合定義定義種數(shù)種數(shù)符號符號計算計算公式公式關(guān)系關(guān)系性質(zhì)性質(zhì) ，mnAmnC(1)(1)mnAn nnm!()!mnnAnm!0!1nnAn!)1()1(mmnnnCmn )!( !mnmnCmn 10 nCmmmnnmACAmnnmnCC 11 mnmnmnCCC從從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元個元素，素，按一定的順序按一定的順序排成一列排成一列從從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元個元素，素，把它并成把它并成一組一組所有排列的的個數(shù)所有排列的的個數(shù)

4、所有組合的個數(shù)所有組合的個數(shù)11mmnnAnA回目錄回目錄判斷下列問題是組合問題還是排列問題判斷下列問題是組合問題還是排列問題? (1)設(shè)集合設(shè)集合A=a,b,c,d,e，則集合，則集合A的含有的含有3個元素的子集有多少個個元素的子集有多少個?(2)某鐵路線上有某鐵路線上有5個車站，則這條鐵路線上個車站，則這條鐵路線上共需準(zhǔn)備多少種車票共需準(zhǔn)備多少種車票? 有多少種不同的火車票價？有多少種不同的火車票價？組合問題組合問題排列問題排列問題(3)10名同學(xué)分成人數(shù)相同的數(shù)學(xué)和名同學(xué)分成人數(shù)相同的數(shù)學(xué)和英語兩個學(xué)習(xí)小組，共有多少種分法英語兩個學(xué)習(xí)小組，共有多少種分法?組合問題組合問題(4)10人聚會

5、，見面后每兩人之間要人聚會，見面后每兩人之間要握手相互問候，共需握手多少次握手相互問候，共需握手多少次?組合問題組合問題(5)從從4個風(fēng)景點(diǎn)中選出個風(fēng)景點(diǎn)中選出2個安排游覽個安排游覽,有有多少種不同的方法多少種不同的方法?組合問題組合問題(6)從從4個風(fēng)景點(diǎn)中選出個風(fēng)景點(diǎn)中選出2個個,并確定這并確定這2個風(fēng)景點(diǎn)個風(fēng)景點(diǎn)的游覽順序的游覽順序,有多少種不同的方法有多少種不同的方法?排列問題排列問題組合問題組合問題回目錄回目錄合理分類和準(zhǔn)確分步合理分類和準(zhǔn)確分步 解排列（或）組合問題，應(yīng)按元素的性質(zhì)解排列（或）組合問題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，分類標(biāo)準(zhǔn)明確，不重不漏；進(jìn)行分類，分類標(biāo)準(zhǔn)明確，不重不漏

6、；按按事事情的發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分步層次清情的發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分步層次清楚楚.回目錄回目錄合理分類與分步策略例例. .在一次演唱會上共在一次演唱會上共1010名演員名演員, ,其中其中8 8人能唱人能唱歌歌,5,5人會跳舞人會跳舞, ,現(xiàn)要演出一個現(xiàn)要演出一個2 2人唱歌人唱歌2 2人伴舞的人伴舞的節(jié)目節(jié)目, ,有多少選派方法有多少選派方法? ?解： 1010演員中有演員中有5 5人只會唱歌，人只會唱歌，2 2人只會跳舞人只會跳舞 3 3人為全能演員。人為全能演員。 以只會唱歌的以只會唱歌的5 5人是否人是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究 只會唱只會唱的的5

7、 5人中沒有人選上唱歌人員共有人中沒有人選上唱歌人員共有_種種, ,只會唱的只會唱的5 5人中只有人中只有1 1人選上唱歌人人選上唱歌人員員_種種, ,只會唱的只會唱的5 5人中只有人中只有2 2人人選上唱歌人員有選上唱歌人員有_種，由分類計數(shù)種，由分類計數(shù)原理共有原理共有_種。種。2233CC112534CCC2255CC2233C C112534C C C2255C C+ + +回目錄回目錄元素相同問題隔板策略元素相同問題隔板策略應(yīng)用背景：相同元素的名額分配問題應(yīng)用背景：相同元素的名額分配問題 不定方程的正整數(shù)解問題不定方程的正整數(shù)解問題隔板法的使用特征：隔板法的使用特征：相同的元素分成若

8、干部分，每部分至少一個相同的元素分成若干部分，每部分至少一個元素相同問題隔板策略例例.有有1010個運(yùn)動員名額，在分給個運(yùn)動員名額，在分給7 7個班，每個班，每班至少一個班至少一個, ,有多少種分配方案？有多少種分配方案？ 解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?0個名額沒有差別，把它們排成個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成個空隙。一排。相鄰名額之間形成個空隙。在個空檔中選個位置插個隔板，在個空檔中選個位置插個隔板，可把名額分成份，對應(yīng)地分給個可把名額分成份，對應(yīng)地分給個班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法共有共有_種分法。種分法。一班二班三班四班五班六班七班69C11mn

9、C回目錄回目錄例例 高二年級高二年級8 8個班個班, ,組織一個組織一個1212個人的年級學(xué)生分會個人的年級學(xué)生分會, ,每班要求至少每班要求至少1 1人人, ,名額分配方案有多少種名額分配方案有多少種? ?解解 此題可以轉(zhuǎn)化為此題可以轉(zhuǎn)化為: :將將1212個相同的白球分成個相同的白球分成8 8份份, ,有有多少種不同的分法問題多少種不同的分法問題, ,因此須把這因此須把這1212個白球排成一個白球排成一排排, ,在在1111個空檔中放上個空檔中放上7 7個相同的隔板個相同的隔板, ,每個空檔最多每個空檔最多放一個放一個, ,即可將白球分成即可將白球分成8 8份份, ,顯然有顯然有 種不同的

10、放法種不同的放法, ,所以名額分配方案有所以名額分配方案有 種種. .711C711C結(jié)論結(jié)論 轉(zhuǎn)化法轉(zhuǎn)化法: :對于某些較復(fù)雜的、或較抽象的排列組對于某些較復(fù)雜的、或較抽象的排列組合問題，可以利用轉(zhuǎn)化思想合問題，可以利用轉(zhuǎn)化思想, ,將其化歸為簡單的、具體將其化歸為簡單的、具體的問題來求解的問題來求解. .分析分析 此題若直接去考慮的話此題若直接去考慮的話, ,就會比較復(fù)雜就會比較復(fù)雜. .但如果但如果我們將其轉(zhuǎn)換為等價的其他問題我們將其轉(zhuǎn)換為等價的其他問題, ,就會顯得比較清楚就會顯得比較清楚, ,方法簡單方法簡單, ,結(jié)果容易理解結(jié)果容易理解. .回目錄回目錄練練 習(xí)習(xí)（1 1）將）將1

11、010個學(xué)生干部的培訓(xùn)指標(biāo)分配給個學(xué)生干部的培訓(xùn)指標(biāo)分配給7 7個不同個不同的班級，每班至少分到一個名額，不同的分配方的班級，每班至少分到一個名額，不同的分配方案共有案共有 （ ）種。）種。6984C （2）不定方程）不定方程 的正整數(shù)解的正整數(shù)解共有（共有（ ）組）組123710 xxxx6984C 回目錄回目錄練習(xí)題 1010個相同的球裝個相同的球裝5 5個盒中個盒中, ,每盒至少一每盒至少一 有多少裝法？有多少裝法？2 .x+y+z+w=1002 .x+y+z+w=100求這個方程組的自然數(shù)解求這個方程組的自然數(shù)解 的組數(shù)的組數(shù)3103C49C回目錄回目錄小結(jié)：小結(jié)：把把n n個相同元素

12、分成個相同元素分成m m份每份份每份, ,至至少少1 1個元素個元素, ,問有多少種不同分法的問題問有多少種不同分法的問題可以采用可以采用“隔板法隔板法”得出共有得出共有 種種. .11mnC回目錄回目錄“分書問題分書問題”平均分組問題除法策略平均分組問題除法策略例12. 6本不同的書平均分成本不同的書平均分成3堆堆,每堆每堆2本共有本共有 多少分法？多少分法？解解: 分三步取書得分三步取書得 種方法種方法,但這里出現(xiàn)但這里出現(xiàn) 重復(fù)計數(shù)的現(xiàn)象重復(fù)計數(shù)的現(xiàn)象,不妨記不妨記6本書為本書為ABCDEF 若第一步取若第一步取AB,第二步取第二步取CD,第三步取第三步取EF 該分法記為該分法記為(AB

13、,CD,EF),則則 中還有中還有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB) (EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有共有 種取法種取法 ,而而 這些分法僅是這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法一種分法,故共故共 有有 種分法。種分法。222642CCC222642CCC33A222642CCC33A平均分成的組平均分成的組,不管它們的順序如何不管它們的順序如何,都是一都是一種情況種情況,所以分組后要一定要除以所以分組后要一定要除以 (n為均為均分的組數(shù)分的組數(shù))避免重復(fù)計數(shù)。避免重復(fù)計數(shù)。nnA回目錄回目錄1 將將13個球隊(duì)分成個球隊(duì)分成3組組,一組一組5個

14、隊(duì)個隊(duì),其它兩組其它兩組4 個隊(duì)個隊(duì), 有多少分法？有多少分法？2.10名學(xué)生分成名學(xué)生分成3組組,其中一組其中一組4人人, 另兩組另兩組3人人 但正副班長不能分在同一組但正副班長不能分在同一組,有多少種不同有多少種不同 的分組方法的分組方法 （1540）544138422C C CA3.3.某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn) 入入4 4名學(xué)生，要安排到該年級的兩個班級且每名學(xué)生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排班安排2 2名，則不同的安排方案種數(shù)為名，則不同的安排方案種數(shù)為_ 2226422290ACC A回目錄回目錄分清排列、組合、等分的算法區(qū)別分清

15、排列、組合、等分的算法區(qū)別例例 (1) (1)今有今有1010件不同獎品件不同獎品, ,從中選從中選6 6件分給甲一件分給甲一件件, ,乙二件和丙三件乙二件和丙三件, ,有多少種分法有多少種分法? ? (2) (2) 今有今有1010件不同獎品件不同獎品, , 從中選從中選6 6件分給三人件分給三人, ,其中其中1 1人一件人一件1 1人二件人二件1 1人三件人三件, , 有多少種分法有多少種分法? ?(3) (3) 今有今有1010件不同獎品件不同獎品, , 從中選從中選6 6件分成三份件分成三份, ,每份每份2 2件件, , 有多少種分法有多少種分法? ? 解：（1）12310971260

16、0CCC （2）12331097375600CCCA(3)336222110642()3150ACCCC)/(332628210ACCC回目錄回目錄練習(xí)練習(xí) (1) (1)今有今有1010件不同獎品件不同獎品, ,從中選從中選6 6件分成三份件分成三份, , 二二份各份各1 1件件, ,另一份另一份4 4件件, , 有多少種分法有多少種分法? ?(2) (2) 今有今有1010件不同獎品件不同獎品, ,從中選從中選6 6件分給甲乙丙三件分給甲乙丙三人人, ,每人二件有多少種分法每人二件有多少種分法? ?解: (1)(2)641111062123150CCCC62221064218900CCCC

17、)(2628210CCC回目錄回目錄小結(jié)：小結(jié)：排列與組合的區(qū)別在于元素是排列與組合的區(qū)別在于元素是否有序否有序; m; m等分的組合問題是非等分情等分的組合問題是非等分情況的況的; ;而元素相同時又要另行考慮而元素相同時又要另行考慮. .回目錄回目錄構(gòu)造模型策略構(gòu)造模型策略例例. . 馬路上有編號為馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5,6,7,8,9的的 九只路燈九只路燈, ,現(xiàn)要關(guān)掉其中的現(xiàn)要關(guān)掉其中的3 3盞盞, ,但不能關(guān)但不能關(guān) 掉相鄰的掉相鄰的2 2盞或盞或3 3盞盞, ,也不能關(guān)掉兩端的也不能關(guān)掉兩端的2 2 盞盞, ,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？

18、求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？解：把此問題當(dāng)作一個排隊(duì)模型在解：把此問題當(dāng)作一個排隊(duì)模型在6 6盞盞 亮燈的亮燈的5 5個空隙中插入個空隙中插入3 3個不亮的燈個不亮的燈 有有_ _ 種種35C一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決回目錄回目錄練習(xí)題某排共有某排共有1010個座位，若個座位，若4 4人就坐，每人左右人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？120回目錄回目錄例例. .有有5 5個不同的小球個不同的小球, ,裝入裝入4 4個不同的盒內(nèi)個不同的盒內(nèi), , 每盒至少裝

19、一個球每盒至少裝一個球, ,共有多少不同的裝共有多少不同的裝 法法. .解解: :第一步從第一步從5 5個球中選出個球中選出2 2個組成復(fù)合元共個組成復(fù)合元共 有有_種方法種方法. .再把再把5 5個元素個元素( (包含一個復(fù)合包含一個復(fù)合 元素元素) )裝入裝入4 4個不同的盒內(nèi)有個不同的盒內(nèi)有_種方法種方法. .25C44A根據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方法共有根據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方法共有_25C44A回目錄回目錄練習(xí)題一個班有一個班有6 6名戰(zhàn)士名戰(zhàn)士, ,其中正副班長各其中正副班長各1 1人人現(xiàn)從中選現(xiàn)從中選4 4人完成四種不同的任務(wù)人完成四種不同的任務(wù), ,每人每人完成一種任務(wù)完成一種任務(wù)

20、, ,且正副班長有且只有且正副班長有且只有1 1人人參加參加, ,則不同的選法有則不同的選法有_ _ 種種192192回目錄回目錄3 名醫(yī)生和名醫(yī)生和 6 名護(hù)士被分配到名護(hù)士被分配到 3 所所學(xué)校為學(xué)生體檢學(xué)校為學(xué)生體檢,每校分配每校分配 1 名醫(yī)生名醫(yī)生和和 2 名護(hù)士名護(hù)士,不同的分配方法共有多不同的分配方法共有多少種少種?先選后排問題的處理方法先選后排問題的處理方法 解法一：先組隊(duì)后分校解法一：先組隊(duì)后分校（先分堆后分配）（先分堆后分配）540332426PCC回目錄回目錄 解法二：依次確定到第一、解法二：依次確定到第一、第二、第三所學(xué)校去的醫(yī)生和第二、第三所學(xué)校去的醫(yī)生和護(hù)士護(hù)士.5

21、401)()(24122613CCCC回目錄回目錄 為支援西部開發(fā)為支援西部開發(fā),有有3名教師去銀川市名教師去銀川市三所學(xué)校任教三所學(xué)校任教,每校分配每校分配1人人,不同的分不同的分配方法共有配方法共有_種種(用數(shù)字作答用數(shù)字作答).練習(xí)練習(xí)改為改為4名教師？名教師？改為改為5名教師？名教師？回目錄回目錄有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù),甲需甲需2人承人承擔(dān)擔(dān),乙、丙各需乙、丙各需1人承擔(dān)人承擔(dān).從從10人中選人中選派派4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù),不同的選法不同的選法共有多少種共有多少種?回目錄回目錄四名同學(xué)分配到三個辦公室去搞衛(wèi)四名同學(xué)分配到三個辦公室去搞衛(wèi)生生,每個辦公室至

22、少去一名學(xué)生每個辦公室至少去一名學(xué)生,不同不同的分配方法有多少種的分配方法有多少種? 回目錄回目錄1 1、有甲、乙、丙三項(xiàng)工程，甲需要、有甲、乙、丙三項(xiàng)工程，甲需要 2 2 人承擔(dān)，人承擔(dān)，乙、丙各需乙、丙各需 1 1 人承擔(dān)，從人承擔(dān)，從 10 10 人中選派人中選派 4 4 人承擔(dān)這人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的承擔(dān)方法共有三項(xiàng)任務(wù)，不同的承擔(dān)方法共有_種；種；2 2、某辦公室有、某辦公室有 5 5 人辦公，現(xiàn)要排一個周輪值表，人辦公，現(xiàn)要排一個周輪值表，每人至少一天，其中甲不能在周六和周日，且甲肯定每人至少一天，其中甲不能在周六和周日，且甲肯定值兩天，則不同的排表方式有值兩天，則不同的排表方式

23、有_種；種；3 3、 學(xué)校決定下周對高一年級進(jìn)學(xué)校決定下周對高一年級進(jìn)行教學(xué)情況抽測。決定基礎(chǔ)科抽兩門，行教學(xué)情況抽測。決定基礎(chǔ)科抽兩門，文科、理科各抽一門，技能科（音、文科、理科各抽一門，技能科（音、體、美、信）抽一門。則可能有體、美、信）抽一門。則可能有種抽取方法。種抽取方法。基礎(chǔ)訓(xùn)練基礎(chǔ)訓(xùn)練回目錄回目錄練習(xí)練習(xí) 某學(xué)習(xí)小組有某學(xué)習(xí)小組有5 5個男生個男生3 3個女生，從中個女生，從中選選3 3名男生和名男生和1 1名女生參加三項(xiàng)競賽活動，每名女生參加三項(xiàng)競賽活動，每項(xiàng)活動至少有項(xiàng)活動至少有1 1人參加，則有不同參賽方法人參加，則有不同參賽方法_種種. .解：采用先組后排方法解：采用先組后

24、排方法: :312353431080CCCA回目錄回目錄小結(jié)：小結(jié)：本題涉及一類重要問題：問本題涉及一類重要問題：問題中既有元素的限制，又有排列的題中既有元素的限制，又有排列的問題，一般是先元素（即組合）后問題，一般是先元素（即組合）后排列。排列?；啬夸浕啬夸泴?shí)驗(yàn)法（窮舉法）實(shí)驗(yàn)法（窮舉法） 題中附加條件增多，直接解決困難時，用實(shí)驗(yàn)逐題中附加條件增多，直接解決困難時，用實(shí)驗(yàn)逐步尋求規(guī)律有時也是行之有效的方法。步尋求規(guī)律有時也是行之有效的方法。 例例 將數(shù)字將數(shù)字1 1，2 2，3 3，4 4填入標(biāo)號為填入標(biāo)號為1 1，2 2，3 3，4 4的四個方格內(nèi)，每個方格填的四個方格內(nèi)，每個方格填1 1

25、個，則每個方格的標(biāo)個，則每個方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有（號與所填的數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有（ ）A.6 B.9 C.11 D.23分析：此題考查排列的定義，由于附加條件較多，解法較為困難，分析：此題考查排列的定義，由于附加條件較多，解法較為困難，可用實(shí)驗(yàn)法逐步解決?？捎脤?shí)驗(yàn)法逐步解決。第一方格內(nèi)可填第一方格內(nèi)可填2或或3或或4。如填。如填2，則第二方格中內(nèi)可填，則第二方格中內(nèi)可填1或或3或或4。若第二方格內(nèi)填若第二方格內(nèi)填1，則第三方格只能填，則第三方格只能填4，第四方格應(yīng)填，第四方格應(yīng)填3。若第二方格內(nèi)填若第二方格內(nèi)填3，則第三方格只能填，則第三方格只能填4，第四方格應(yīng)填，第

26、四方格應(yīng)填1。同理，若第二方格內(nèi)填同理，若第二方格內(nèi)填4，則第三方格只能填，則第三方格只能填1，第四方格應(yīng)，第四方格應(yīng)填填3。因而，第一格填。因而，第一格填2有有3種方法。種方法。不難得到，當(dāng)?shù)谝桓裉畈浑y得到，當(dāng)?shù)谝桓裉?或或4時也各有時也各有3種，所以共有種，所以共有9種。種?；啬夸浕啬夸泴?shí)際操作窮舉策略實(shí)際操作窮舉策略例例. .設(shè)有編號設(shè)有編號1,2,3,4,51,2,3,4,5的五個球和編號的五個球和編號1,21,2 3,4,5 3,4,5的五個盒子的五個盒子, ,現(xiàn)將現(xiàn)將5 5個球投入這五個球投入這五 個盒子內(nèi)個盒子內(nèi), ,要求每個盒子放一個球，并且要求每個盒子放一個球，并且 恰好有兩

27、個球的編號與盒子的編號相同恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,.,. 有多少投法？有多少投法？解：從從5個球中取出個球中取出2個與盒子對號有個與盒子對號有_種種 還剩下還剩下3球球3盒序號不能對應(yīng)，盒序號不能對應(yīng)， 利用實(shí)際操作法，如果剩下操作法，如果剩下3,4,5號球號球, 3,4,5號盒號盒3號球裝號球裝4號盒時，則號盒時，則4,5號球有只有號球有只有1種種裝法裝法3 3號盒號盒4 4號盒號盒5 5號盒號盒34525C回目錄回目錄實(shí)際操作窮舉策略實(shí)際操作窮舉策略例例. .設(shè)有編號設(shè)有編號1,2,3,4,51,2,3,4,5的五個球和編號的五個球和編號1,21,2 3,4,5 3,4,5的五

28、個盒子的五個盒子, ,現(xiàn)將現(xiàn)將5 5個球投入這五個球投入這五 個盒子內(nèi)個盒子內(nèi), ,要求每個盒子放一個球，并且要求每個盒子放一個球，并且 恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,.,. 有多少投法？有多少投法？解：從從5個球中取出個球中取出2個與盒子對號有個與盒子對號有_種種 還剩下還剩下3球球3盒序號不能對應(yīng)，盒序號不能對應(yīng)，25C利用實(shí)際操作法，如果剩下操作法，如果剩下3,4,5號球號球, 3,4,5號盒號盒3號球裝號球裝4號盒時，則號盒時，則4,5號球有只有號球有只有1種種裝法裝法,25C 同理同理3號球裝號球裝5號盒時號盒時,4,5號球有也號球有也只有只有

29、1種裝法種裝法,由分步計數(shù)原理有由分步計數(shù)原理有2 種種 回目錄回目錄練練 習(xí)習(xí) ：（不對號入座問題）：（不對號入座問題）（1 1）（）（20042004湖北）將標(biāo)號為湖北）將標(biāo)號為1 1，2 2，3 3，1010的的1010個球放入標(biāo)號為個球放入標(biāo)號為1 1，2 2，3 3，1010的的1010個盒子中，個盒子中，每個盒內(nèi)放一個球，恰好有每個盒內(nèi)放一個球，恰好有3 3個球的標(biāo)號與其所在盒子個球的標(biāo)號與其所在盒子的標(biāo)號不一致的放入方法有的標(biāo)號不一致的放入方法有_種種3102C（2 2）編號為）編號為1 1、2 2、3 3、4 4、5 5的五個球放入編號為的五個球放入編號為1 1、2 2、3 3

30、、4 4、5 5的五個盒子里，至多有的五個盒子里，至多有2 2個對號入個對號入座的情形有座的情形有_種種109直接法：直接法：3455552944109CCC 間接法：間接法：53551 1109AC 回目錄回目錄注意區(qū)別注意區(qū)別“恰好恰好”與與“至少至少”從從6 6雙不同顏色的手套中任取雙不同顏色的手套中任取4 4只，其中恰好有一雙只，其中恰好有一雙同色的手套的不同取法共有（同色的手套的不同取法共有（ ） (A) 480 (A) 480種（種（B B）240240種種 （C C）180180種種 （D D）120120種種小結(jié)：小結(jié)：“恰好有一個恰好有一個”是是“只有一個只有一個”的意思。的

31、意思?！爸辽儆幸粋€至少有一個”則是則是“有一個或一個以上有一個或一個以上”，可，可用分類討論法求解，它也是用分類討論法求解，它也是“沒有一個沒有一個”的反面，的反面，故可用故可用“排除法排除法”。解：12116522240CCCC回目錄回目錄練習(xí)練習(xí) 從從6雙不同顏色的手套中任取雙不同顏色的手套中任取4只，其中至只，其中至少有一雙同色手套的不同取法共有少有一雙同色手套的不同取法共有_種種解：解：441 41262()255CCC回目錄回目錄練習(xí)題 同一寢室同一寢室4 4人人, ,每人寫一張賀年卡集中起來每人寫一張賀年卡集中起來, , 然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張然后每人各拿一張別人的賀

32、年卡，則四張 賀年卡不同的分配方式有多少種？賀年卡不同的分配方式有多少種？ (9)2.2.給圖中區(qū)域涂色給圖中區(qū)域涂色, ,要求相鄰區(qū)要求相鄰區(qū) 域不同色域不同色, ,現(xiàn)有現(xiàn)有4 4種可選顏色種可選顏色, ,則則 不同的著色方法有不同的著色方法有_種種213457272回目錄回目錄分解與合成策略分解與合成策略例例. 30030. 30030能被多少個不同的偶數(shù)整除能被多少個不同的偶數(shù)整除分析：先把分析：先把3003030030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式 30030=2 30030=23 35 5 7 7 11111313依題依題 意可知偶因數(shù)必先取意可知偶因數(shù)必先取2,2,再

33、從其余再從其余5 5個個 因數(shù)中任取若干個組成乘積，所有因數(shù)中任取若干個組成乘積，所有 的偶因數(shù)為：的偶因數(shù)為：012345555555C C C C C C例17.正方體的8個頂點(diǎn)可連成多少對異面 直線回目錄回目錄解：我們先從8個頂點(diǎn)中任取4個頂點(diǎn)構(gòu)成四 體共有體共_每個四面體有_對異面直線,正方體中的8個頂點(diǎn)可連成_對異面直線481258C3 3358=174分解與合成策略是排列組合問題的一種最分解與合成策略是排列組合問題的一種最基本的解題策略基本的解題策略, ,把一個復(fù)雜問題分解成幾把一個復(fù)雜問題分解成幾個小問題逐一解決個小問題逐一解決, ,然后依據(jù)問題分解后的然后依據(jù)問題分解后的結(jié)構(gòu)結(jié)

34、構(gòu), ,用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理將問用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理將問題合成題合成, ,從而得到問題的答案從而得到問題的答案 , ,每個比較復(fù)每個比較復(fù)雜的問題都要用到這種解題策略雜的問題都要用到這種解題策略回目錄回目錄例例. 25. 25人排成人排成5 55 5方隊(duì)方隊(duì), ,現(xiàn)從中選現(xiàn)從中選3 3人人, ,要要 求求3 3人不在同一行也不在同一列人不在同一行也不在同一列, ,不同的不同的 選法有多少種？選法有多少種？解： 將這個問題退化成將這個問題退化成9 9人排成人排成3 33 3方隊(duì)方隊(duì), ,現(xiàn)現(xiàn)從中選從中選3 3人人, ,要求要求3 3人不在同一行也不在人不在同一行也不在同一列同一列

35、, ,有多少選法有多少選法. .這樣每行必有這樣每行必有1 1人人從其中的一行中選取從其中的一行中選取1 1人后人后, ,把這人所在把這人所在的行列都劃掉，的行列都劃掉，回目錄回目錄從從5 55 5方隊(duì)中選取方隊(duì)中選取3 3行行3 3列有列有_選法選法所以從所以從5 55 5方隊(duì)選不在同一行也不在同方隊(duì)選不在同一行也不在同一列的一列的3 3人有人有_選法。選法。3355C C3311155321600C C C C C處理復(fù)雜的排列組合問題時可以把一個問題處理復(fù)雜的排列組合問題時可以把一個問題退化成一個簡要的問題，通過解決這個簡要退化成一個簡要的問題，通過解決這個簡要的問題的解決找到解題方法，

36、從而進(jìn)下一步的問題的解決找到解題方法，從而進(jìn)下一步解決原來的問題解決原來的問題如此繼續(xù)下去如此繼續(xù)下去. .從從3 33 3方隊(duì)中選方隊(duì)中選3 3人的方法人的方法有有_種。再從種。再從5 55 5方隊(duì)選出方隊(duì)選出3 33 3方隊(duì)便可解決問題方隊(duì)便可解決問題111321C C C回目錄回目錄對應(yīng)法對應(yīng)法例例1111、在、在100100名選手之間進(jìn)行單循環(huán)淘汰賽（即一名選手之間進(jìn)行單循環(huán)淘汰賽（即一場比賽失敗要退出比賽），最后產(chǎn)生一名冠軍，問場比賽失敗要退出比賽），最后產(chǎn)生一名冠軍，問要舉行幾場？要舉行幾場？ 分析：要產(chǎn)生一名冠軍，需要淘汰掉冠軍以外分析：要產(chǎn)生一名冠軍，需要淘汰掉冠軍以外的所有選

37、手，即要淘汰的所有選手，即要淘汰9999名選手，淘汰一名選手需要名選手，淘汰一名選手需要進(jìn)行一場比賽，所以淘汰進(jìn)行一場比賽，所以淘汰9999名選手就需要名選手就需要9999場比賽。場比賽?；啬夸浕啬夸浘毩?xí)題B BA A3735C回目錄回目錄特征分析特征分析研究有約束條件的排數(shù)問題，須要緊扣題目所提供研究有約束條件的排數(shù)問題，須要緊扣題目所提供的數(shù)字特征，結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行推理，分析求解。的數(shù)字特征，結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行推理，分析求解。 例例 由由1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6六個數(shù)字可以組成多少六個數(shù)字可以組成多少個無重復(fù)且是個無重復(fù)且是6 6的倍數(shù)的五位數(shù)？的倍數(shù)的五位數(shù)？分析數(shù)字特征：分析數(shù)字特征：6 6的倍數(shù)既是的倍數(shù)既是2 2的倍數(shù)又是的倍數(shù)又是3 3的倍數(shù)。其中的倍數(shù)。其中3 3的倍數(shù)又滿足的倍數(shù)又滿足“各個數(shù)位上的數(shù)字之和是各個數(shù)位上的數(shù)字之和是3 3的倍數(shù)的倍數(shù)”的特征。的特征。把把6 6分成分成4 4組，（組，（3 3，3 3），（），（6 6），（），（1 1，5 5），（），（2 2，4