山大理論力學(xué)第二章-剛體的基本運動

1、2022-7-41運 動 學(xué)2022-7-42第二章第二章 剛體的基本運動剛體的基本運動平動平動第二章第二章 剛體的基本運動剛體的基本運動，剛體的剛體的平動平動和和定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動稱為基本運動。稱為基本運動。2-1剛體的平行移動剛體的平行移動1.定義定義在剛體運動過程中在剛體運動過程中,其上其上任一直線始終與其初始位任一直線始終與其初始位置保持平行，這種運動稱置保持平行，這種運動稱為為平行移動平行移動，簡稱，簡稱平移平移或或平動平動2022-7-432. 剛體平動的特點：剛體平動的特點： 剛體平動時，剛體內(nèi)各點的剛體平動時，剛體內(nèi)各點的軌跡、速度和加速度的關(guān)系軌跡、速度和加速度的關(guān)系第二章第二

2、章 剛體的基本運動剛體的基本運動平動平動BABA rrBBAAttvddrddrv0tBAddBBAAttaddvddva可見：可見：剛體平動時，剛體剛體平動時，剛體內(nèi)各點的軌跡形狀都相同，內(nèi)各點的軌跡形狀都相同，且在同一瞬時，各點的速且在同一瞬時，各點的速度和加速度相等。度和加速度相等。2022-7-44由此可知由此可知: 剛體平動時，如剛體上任一點的運動已知，則其剛體平動時，如剛體上任一點的運動已知，則其它各點的運動規(guī)律就完全確定了。故剛體平動的運動學(xué)問題它各點的運動規(guī)律就完全確定了。故剛體平動的運動學(xué)問題可以歸結(jié)為點的運動學(xué)問題。可以歸結(jié)為點的運動學(xué)問題。 剛體平動剛體平動點的運動點的運

3、動 剛體的平動可以分為剛體的平動可以分為直線平動直線平動和和曲線平動曲線平動。 直線平動剛體上各點的軌跡是平行的直線直線平動剛體上各點的軌跡是平行的直線 曲線平動剛體上各點軌跡是形狀相同的曲線。曲線平動剛體上各點軌跡是形狀相同的曲線。第二章第二章 剛體的基本運動剛體的基本運動平動平動2022-7-45第二章第二章 剛體的基本運動剛體的基本運動平動平動2022-7-46第二章第二章 剛體的基本運動剛體的基本運動例例2-1t4sin02022-7-47第二章第二章 剛體的基本運動剛體的基本運動例例2-1tls4sin0 tltsv4 cos4dd0tltva4 sin16dd02ttllva4co

4、s16 22022nt4sin0 2022-7-48第二章第二章 剛體的基本運動剛體的基本運動例例2-12 04l016l202162022-7-49第二章第二章 剛體的基本運動剛體的基本運動定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動2-2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動1. 定義定義 剛體在運動過程中，剛體內(nèi)或其延拓部分上有且只有一條剛體在運動過程中，剛體內(nèi)或其延拓部分上有且只有一條直線始終固定不動，這種運動稱剛體繞直線始終固定不動，這種運動稱剛體繞定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動，該固定直，該固定直線稱為線稱為轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸或或軸線軸線。2022-7-410轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 是代數(shù)量，其正負號由是代數(shù)量，其正負號由右手法則右手法則確定確定2 2

5、運動方程運動方程3轉(zhuǎn)動剛體的角位移，角速度和角加速度。轉(zhuǎn)動剛體的角位移，角速度和角加速度。第二章第二章 剛體的基本運動剛體的基本運動定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動為正為正方向：方向：大小大小的正方向轉(zhuǎn)動的正方向轉(zhuǎn)動剛體向剛體向表征剛體轉(zhuǎn)動的快慢表征剛體轉(zhuǎn)動的快慢： ttdddd單位：單位：rad/s（弧度（弧度/秒）秒）n轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/分（分（rpm）22dtddtd單位：單位：rad/s2（弧度（弧度/秒秒2）2022-7-411第二章第二章 剛體的基本運動剛體的基本運動定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動0 t dd常量，常量，勻速轉(zhuǎn)動勻速轉(zhuǎn)動20000210 ttttt時時，當當常常量量dd勻勻變變速速轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動t022dtddt

6、d單位：單位：rad/s2（弧度（弧度/秒秒2） 是代數(shù)量，大小表征剛體角速度變化的快慢；是代數(shù)量，大小表征剛體角速度變化的快慢；與與 同號，剛體加速轉(zhuǎn)動；同號，剛體加速轉(zhuǎn)動； 與與 異號，剛體減速轉(zhuǎn)動異號，剛體減速轉(zhuǎn)動兩種剛體定軸轉(zhuǎn)動特例兩種剛體定軸轉(zhuǎn)動特例2022-7-412定軸轉(zhuǎn)動的特點定軸轉(zhuǎn)動的特點 剛體內(nèi)，剛體內(nèi)，不在不在軸線上的各點均作軸線上的各點均作圓周運動；圓周所圓周運動；圓周所在平面垂直轉(zhuǎn)軸；在平面垂直轉(zhuǎn)軸；圓心均在軸線上；圓心均在軸線上；半徑為點到轉(zhuǎn)軸的半徑為點到轉(zhuǎn)軸的距離距離。第二章第二章 剛體的基本運動剛體的基本運動定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動2-3 2-3 轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點的速度和

7、加速度轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點的速度和加速度2022-7-4131 1 點的運動方程點的運動方程)()(tRtss2 2 速度速度RRsv速度速度v v的方向沿圓周的切線，指向由的方向沿圓周的切線，指向由 的轉(zhuǎn)向確定的轉(zhuǎn)向確定。 第二章第二章 剛體的基本運動剛體的基本運動定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動v按按 的正方向規(guī)定弧坐標的正方向規(guī)定弧坐標s的的正向正向結(jié)論結(jié)論： 轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點的速度大小，等于剛體的角速度轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點的速度大小，等于剛體的角速度與該點到軸線垂直距離的乘積，與該點到軸線垂直距離的乘積， 它的方向沿圓周的切線而它的方向沿圓周的切線而指向轉(zhuǎn)動的方向。指向轉(zhuǎn)動的方向。 2022-7-414第二章第

8、二章 剛體的基本運動剛體的基本運動定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動剛體在垂直于轉(zhuǎn)軸的截面內(nèi)，各點的速度分布圖剛體在垂直于轉(zhuǎn)軸的截面內(nèi)，各點的速度分布圖2022-7-415第二章第二章 剛體的基本運動剛體的基本運動定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動3 3 加速度加速度 切向加速度切向加速度 ，RRstvat dd的正向圓周切線指向轉(zhuǎn)動為正值時當角角沿沿ta，轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點的切向加速度的大小轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點的切向加速度的大小at t，等于剛體的角加，等于剛體的角加速度速度與該點到軸線垂直距離與該點到軸線垂直距離R R的乘積，的乘積， 它的方向角加速度它的方向角加速度 決定決定。 如果如果與與同號，同號，at與與 同向同向, 剛體

9、做加速轉(zhuǎn)動剛體做加速轉(zhuǎn)動; ;如果如果與與異號，異號，at與與 反向反向，剛體做減速轉(zhuǎn)動。剛體做減速轉(zhuǎn)動。2022-7-416an的方向與速度垂直并指向軸線的方向與速度垂直并指向軸線2221RRRvan法向加速度法向加速度第二章第二章 剛體的基本運動剛體的基本運動定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動2tanntaa4222Raaant全加速度全加速度a結(jié)論：結(jié)論： 在每一瞬時，轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)所有各點的加速度大小，分在每一瞬時，轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)所有各點的加速度大小，分別與這些點到軸線的垂直距離成正比；剛體內(nèi)所有各點的加別與這些點到軸線的垂直距離成正比；剛體內(nèi)所有各點的加速度速度與半徑間的夾角與半徑間的夾角 都有相同的值。都有

10、相同的值。 2022-7-417第二章第二章 剛體的基本運動剛體的基本運動定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動剛體在垂直于轉(zhuǎn)軸的截面內(nèi)，同一瞬時各點的加速度分布圖剛體在垂直于轉(zhuǎn)軸的截面內(nèi)，同一瞬時各點的加速度分布圖2022-7-418第二章第二章 剛體的基本運動剛體的基本運動定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動2022-7-419例題例題：物體：物體A和和B以不可伸長的繩子分以不可伸長的繩子分別繞在半徑別繞在半徑RA=50 cm和和RB=30 cm的滑的滑輪上。已知重物輪上。已知重物A具有勻加速度具有勻加速度aA=100 cms2，且初速度，且初速度vA0=150 cms1，兩，兩者都向上。試求：者都向上。試求：1）滑輪在）滑輪在t

11、=3s內(nèi)轉(zhuǎn)內(nèi)轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)，過的轉(zhuǎn)數(shù)，2）當）當t=3s時重物時重物B的速度和的速度和走過的路程，走過的路程，3）當）當t=0時滑輪邊緣上時滑輪邊緣上C點的加速度。點的加速度。第二章第二章 剛體的基本運動剛體的基本運動補充例題補充例題20000210 ttttt時時，當當常常量量dd勻勻變變速速轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動2022-7-420100scm 150ACvv2tscm 100ACaa srad 3100ACRv srad 2501002tACRarad 1832213321020200tt）（轉(zhuǎn)86. 220N第二章第二章 剛體的基本運動剛體的基本運動補充例題補充例題2022-7-4212）當）當t=3s

12、時重物時重物B的速度和走過的路程的速度和走過的路程第二章第二章 剛體的基本運動剛體的基本運動補充例題補充例題 srad 193230trad 322133 滑輪輪轉(zhuǎn)過的角度21821200ttcm 路程： 重物B走過物5400BBRscm540360213900212200tatvssBBBB scm 1270BBRv scm 方法二190330：00BBRv scm 260230BBRa2022-7-422第二章第二章 剛體的基本運動剛體的基本運動補充例題補充例題2tscm 100ACaa scm 450220nACRa2ntscm 46022CCCaaa5 .12arctan22022-7

13、-4232-4 2-4 輪系傳動比輪系傳動比 工程實際中，常用工程實際中，常用輪系改變機械的轉(zhuǎn)速輪系改變機械的轉(zhuǎn)速，如變速箱中的如變速箱中的齒齒輪組，皮帶組。輪組，皮帶組。一、齒輪傳動一、齒輪傳動第二章第二章 剛體的基本運動剛體的基本運動定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動2022-7-424第二章第二章 剛體的基本運動剛體的基本運動輪系傳動比輪系傳動比嚙合條件嚙合條件 22112211RRRR , 傳動比傳動比 主動輪與從動輪的角主動輪與從動輪的角速度（或轉(zhuǎn)速）之比速度（或轉(zhuǎn)速）之比輪轉(zhuǎn)向相反外嚙嚙合，取負，表示輪轉(zhuǎn)向相反內(nèi)嚙嚙合，取正，表示1212212112zzRRnni 122121 RR或BtAtBAa

14、avv ,說明：說明：相嚙合的兩個齒輪，其角速度相嚙合的兩個齒輪，其角速度和角加速度與其節(jié)圓半徑成反比和角加速度與其節(jié)圓半徑成反比 2022-7-425第二章第二章 剛體的基本運動剛體的基本運動輪系傳動比輪系傳動比二、皮帶傳動二、皮帶傳動 12212112rrnni2211rvvvvrBBAA不計傳動帶的厚度，且假定皮帶與帶輪之間無滑動不計傳動帶的厚度，且假定皮帶與帶輪之間無滑動 2022-7-426第二章第二章 剛體的基本運動剛體的基本運動例例2-2n1 例例2-2 減速箱由四個齒輪構(gòu)減速箱由四個齒輪構(gòu)成，如圖所示。齒輪成，如圖所示。齒輪和和安裝在同一軸上，與軸一起安裝在同一軸上，與軸一起轉(zhuǎn)

15、動。各齒輪的齒數(shù)分別為轉(zhuǎn)動。各齒輪的齒數(shù)分別為z1=36，z2=112 ，z3=32和和z4=128 ，如主動軸，如主動軸的轉(zhuǎn)速的轉(zhuǎn)速n1=1 450 rmin1，試求從，試求從動輪動輪的轉(zhuǎn)速的轉(zhuǎn)速n4。2022-7-427第二章第二章 剛體的基本運動剛體的基本運動例例2-2n1解：解：用用n1， n2 ， n3和和n4分別表示各齒分別表示各齒輪的轉(zhuǎn)速，且有輪的轉(zhuǎn)速，且有32nn 應(yīng)用齒輪的傳動比公式，得應(yīng)用齒輪的傳動比公式，得,122112 zznni344334zznni將兩式相乘，得將兩式相乘，得31424231zzzznnnn因為因為n2= n3，于是從動輪于是從動輪到齒輪到齒輪的傳動

16、比為的傳動比為4 .1231424114zzzznni由圖可見，從動輪由圖可見，從動輪和主動輪和主動輪的轉(zhuǎn)向相同。的轉(zhuǎn)向相同。最后，求得從動輪最后，求得從動輪的轉(zhuǎn)速為的轉(zhuǎn)速為 minr 11711414inn2022-7-428第二章第二章 剛體的基本運動剛體的基本運動矢量法矢量法2-5 2-5 以矢量表示角速度和角加速度以矢量表示角速度和角加速度以矢積表示點的速度和加速度以矢積表示點的速度和加速度一、角速度矢量和角加速度矢量一、角速度矢量和角加速度矢量角速度矢量角速度矢量右右手手螺螺旋旋規(guī)規(guī)則則指指向向沿沿軸軸線線滑滑動動矢矢量量作作用用線線大大小小dtdk角加速度矢量角加速度矢量kkddddtt2022-7-429二二 繞定軸轉(zhuǎn)動剛體上繞定軸轉(zhuǎn)動剛體上M點的速度和加速度點的速度和加速度矢積方向矢積方向方向方向大小大小速度速度vrrrvRsin第二章第二章 剛體的基本運動剛體的基本運動矢量法矢量法2022-7-430tRarrsin 點的切向加速度點的切向加速度M rat點點的的法法向向加加速速度度M van第二章第二章 剛體的基本運動剛體的基本運動矢量法矢量法nRRavv22sinsin rvadtddtd加速度dtddtdrrvrntaa 2022-7-431三三 泊松公式泊松公式oAoAd