CH10第十章波動

1、 第十章第十章 波動波動 Chapter 10 Wave 振動在空間的傳播振動在空間的傳播波動波動本章重點：本章重點： 波的基本概念波的基本概念平面簡諧波平面簡諧波定義、波函數(shù)、特征定義、波函數(shù)、特征波的能量波的能量波的疊加波的疊加10-1 機械波的基本概念機械波的基本概念 一、機械波形成的條件一、機械波形成的條件 波源（激發(fā)波動的振動系統(tǒng)）波源（激發(fā)波動的振動系統(tǒng)） 連續(xù)的彈性媒質(zhì)連續(xù)的彈性媒質(zhì)注意：注意：1 1、波的傳播過程是振動狀態(tài)的傳播過程、波的傳播過程是振動狀態(tài)的傳播過程（質(zhì)點本身不隨波運動）（質(zhì)點本身不隨波運動）是位相的傳播，能量的傳播。是位相的傳播，能量的傳播。2 2、波是指媒質(zhì)

2、整體表現(xiàn)的運動狀態(tài)，其特點是：相鄰質(zhì)點的、波是指媒質(zhì)整體表現(xiàn)的運動狀態(tài)，其特點是：相鄰質(zhì)點的振動位相依次落后振動位相依次落后3 3、機械波的種類、機械波的種類橫波橫波Transverse Wave：振動方向垂直于傳播方向（固體內(nèi)）：振動方向垂直于傳播方向（固體內(nèi)）縱波縱波Longitudinal Wave：振動方向平行于傳播方向：振動方向平行于傳播方向行波行波 Travelling Wave：振動狀態(tài)單向傳播振動狀態(tài)單向傳播的波的波駐波駐波 Standing Wave：兩列相互逆向傳播的行波干涉形成的波：兩列相互逆向傳播的行波干涉形成的波二、波的幾何描述二、波的幾何描述1 1、波陣面（波面）波

3、陣面（波面）Wave Surface：振動位相相同的點組成的面振動位相相同的點組成的面 波陣面波陣面球面：球面波球面：球面波平面：平面波平面：平面波點波源產(chǎn)生球面波點波源產(chǎn)生球面波球面波在遠處可看成平面波球面波在遠處可看成平面波在同一時刻，距波源越遠的在同一時刻，距波源越遠的波面，其相位值越小波面，其相位值越小平面波平面波波波前前波線波線波波面面波波面面波線波線波前波前2 2、波前波前Wave Front： 某時刻相位值最小的波面某時刻相位值最小的波面3 3、波線波線Wave Line：發(fā)自波源，與波面垂直指向波的發(fā)自波源，與波面垂直指向波的傳播方向的射線傳播方向的射線三、描述波動的物理量三、

4、描述波動的物理量：4、頻率：頻率： 單位時間內(nèi)，波推進的距離中包含的完整的波長的數(shù)單位時間內(nèi)，波推進的距離中包含的完整的波長的數(shù)目目注意注意 ：1TTu振波振波 , TT振vu 1、波速波速Velocity of Wave：u 振動狀態(tài)（位相）傳波的速度振動狀態(tài)（位相）傳波的速度（大小由媒質(zhì)的性質(zhì)決定（大小由媒質(zhì)的性質(zhì)決定) )2、波長波長Wavelength： 同一波線上，兩相鄰的位相差為同一波線上，兩相鄰的位相差為2 2 的質(zhì)點的質(zhì)點間的距離間的距離 （一個完整的波的長度（一個完整的波的長度 ）3、周期：周期：T 波傳播一個波長所用的時間波傳播一個波長所用的時間6、位相：位相：描述波的描述

5、波的振動狀態(tài)的物理量振動狀態(tài)的物理量5、波數(shù)波數(shù)Wave Number：n 波線上波線上2 長度內(nèi)包含波長的個數(shù)長度內(nèi)包含波長的個數(shù) n=2 / 10-2 10-2 平面簡諧波平面簡諧波 Plane Simple Harmonic Wave 波源與各媒質(zhì)質(zhì)點都作簡諧振動，產(chǎn)生的波是簡諧波，波源與各媒質(zhì)質(zhì)點都作簡諧振動，產(chǎn)生的波是簡諧波，一、平面簡諧波波函數(shù)一、平面簡諧波波函數(shù) （以橫波為例以橫波為例，y 方向振動方向振動， x 方向傳播，波源在坐標原點方向傳播，波源在坐標原點） 平面簡諧波的動力學方程：平面簡諧波的動力學方程：2、波函數(shù)波函數(shù)Wave Function（波的（波的運動學方程、運

6、動學方程、波形方程）波形方程）222221tyuxyA：振幅振幅w： 角頻率角頻率j：波源初相位波源初相位)(jwuxt波的相位波的相位1 1、波動方程、波動方程Wave Equation在無限大均勻無吸收媒質(zhì)中，在無限大均勻無吸收媒質(zhì)中，)(cosjwuxtAyx 處的質(zhì)點相對處的質(zhì)點相對其平衡點的位移其平衡點的位移u：波速波速3、波函數(shù)的意義波函數(shù)的意義： )(cosjwuxtAy),(txfy （1）將波函數(shù)中將波函數(shù)中x坐標坐標鎖定在鎖定在x=x0 得該處振動方程得該處振動方程 （描述該處質(zhì)點在不同時刻的（描述該處質(zhì)點在不同時刻的態(tài)態(tài)）（2）將波將波函數(shù)中時間變量函數(shù)中時間變量t 鎖定

7、在鎖定在t = t0 ， )(cos0jwuxtAy（表示表示t0時刻，波線上各點的時刻，波線上各點的態(tài)態(tài)）（3）當當 t、x 均為變量時均為變量時, ,波函數(shù)表示任意時刻、任意質(zhì)點的波函數(shù)表示任意時刻、任意質(zhì)點的態(tài)態(tài)?？傊?，波函數(shù)是波線上各個質(zhì)點的振動方程！總之，波函數(shù)是波線上各個質(zhì)點的振動方程！)(tfy )(xfy 4、波函數(shù)的運動學推導方法波函數(shù)的運動學推導方法例例1 1：已知坐標原點的振動方程，導出：已知坐標原點的振動方程，導出波函數(shù)波函數(shù)tAywcos0 xyou解：只需寫出任意一點解：只需寫出任意一點 p(x) 的振動方程即可！的振動方程即可！* 波向右傳播波向右傳播，p點處的振

8、動比點處的振動比o點處落后點處落后落后的時間是落后的時間是)cos(ttAypww* 所以，所以，p 處（即任意處）的振動方程處（即任意處）的振動方程是是 :)(cosuxtAyw這就是波函數(shù)這就是波函數(shù)！p t=x/u落后的位相是落后的位相是w t已知某點振動方程導出波函數(shù)已知某點振動方程導出波函數(shù)* 顯而易見顯而易見，若原點的振動方程是一般式，若原點的振動方程是一般式)cos(jwtAyoupXYOx波函數(shù)是波函數(shù)是upOxY圖圖2注意：注意：波函數(shù)的表達式與坐標軸、坐標原點的選擇有關(guān)波函數(shù)的表達式與坐標軸、坐標原點的選擇有關(guān) 圖圖2 2等效于等效于 XYuO)(cosj w w uxtA

9、y Xxu)(cosj w tAy圖圖1例例2 2、已知、已知p點的振動方程點的振動方程)cos(jwtAypupXYO試寫以試寫以o為原點的為原點的波函數(shù)波函數(shù)解：選擇解：選擇 p點為參考點，任選一點點為參考點，任選一點xLuLx ) (cosjwtAyx例例3 3、若是左圖情況，波函數(shù)如、若是左圖情況，波函數(shù)如何？何？波由參考點傳到波由參考點傳到x 點，需時間點，需時間 ：波函數(shù)波函數(shù)為為：uLx) (cosjwtAyuLx注意：注意：1 1、波函數(shù)還有其它形式波函數(shù)還有其它形式根據(jù)根據(jù)Tw2uT)(cosjwuxtAy有以下形式有以下形式：)(2cosjxTtAy)(2cosjxtAy)

10、(2cosjxutAy)(2cosjutxAy2、球面波球面波：)(cosurtrAyw二、波動媒質(zhì)質(zhì)點振動的速度和加速度二、波動媒質(zhì)質(zhì)點振動的速度和加速度 )(cosuxtAy w w )(sinuxtAtyvww2)(coswwuxtA)(cos222uxtAtyaww)(cos2wwuxtA看出：看出：1、 v 是質(zhì)點的振動速度，與波速是質(zhì)點的振動速度，與波速 u 是不同的是不同的 220max av 反之亦然反之亦然 3、v 與與 a 的位相差為的位相差為 2、v 與與y 的位相差為的位相差為10-3 波的能量波的能量 Wave EnergyxXo設(shè)一平面余弦波在密度為設(shè)一平面余弦波在

11、密度為 的理想媒質(zhì)中沿的理想媒質(zhì)中沿x方向傳播方向傳播 V的速度為的速度為)(sinuxtAvww2)(21vmWk)(sin)(21222uxtAVwwpW)(sin)(21222uxtAVWkwwpkWWWV)(sin222uxtVAww注意：體積元內(nèi)的總能量是時間和位置的函數(shù)！注意：體積元內(nèi)的總能量是時間和位置的函數(shù)！V一、波動媒質(zhì)中某體積元內(nèi)的波動能量一、波動媒質(zhì)中某體積元內(nèi)的波動能量二、二、能量密度能量密度VWw)(sin222uxtAww也是時間和位置的函數(shù)也是時間和位置的函數(shù)三、三、平均能量密度平均能量密度TTw01dtuxtA)(sin222ww2221wA是常數(shù)是常數(shù)注意注意

12、：諧振子諧振子波波minmaxpkEEmaxmaxpkWW能量守恒能量守恒能量不守恒能量不守恒！四、四、能流：能流：單位時間通過垂直于波傳播方向某面積的能量單位時間通過垂直于波傳播方向某面積的能量PuswusuxtA)(sin222ww（瓦）（瓦）平均能流平均能流usAP2221w五、五、能流密度：能流密度： 單位時間通過垂直于波傳播方向單位面積的能量單位時間通過垂直于波傳播方向單位面積的能量SPI uuxtA)(sin222ww平均能流密度平均能流密度 IuA2221w波的強度波的強度uus注意注意：在無吸收的理想媒質(zhì)中在無吸收的理想媒質(zhì)中1 1、對平面波：對平面波：u21AA 2 2、對球

13、面波：一周期內(nèi)穿過波面對球面波：一周期內(nèi)穿過波面S1 1, ,S2 2的總能量相等的總能量相等1S2S1S2SusAP2221w212221211SSAAPP 222122212122212144rrAASSAAPP 1 1221rrAA 21AA 1r2r一、一、惠更斯原理惠更斯原理 Huygens Principle 波是振動狀態(tài)的傳播，振動狀態(tài)傳到的各點都可以看成新的波是振動狀態(tài)的傳播，振動狀態(tài)傳到的各點都可以看成新的子波波源，發(fā)出新的子波來，這些子波的包跡就是下個時刻新的子波波源，發(fā)出新的子波來，這些子波的包跡就是下個時刻新的波前。波前。 球面波球面波平面波平面波10-4 波的傳播規(guī)律

14、波的傳播規(guī)律二、波的衍射二、波的衍射Diffraction of Wave三、波的三、波的反射反射與與折射折射 Reflection & Refraction of Wave10-5 10-5 波的干涉波的干涉 Interference of Wave 當幾個波源產(chǎn)生的波在介質(zhì)中相遇時，可以互不相干地通過當幾個波源產(chǎn)生的波在介質(zhì)中相遇時，可以互不相干地通過介質(zhì)，保持原有的頻率、波長、振動方向等特性，就象沒有遇介質(zhì)，保持原有的頻率、波長、振動方向等特性，就象沒有遇到其它波一樣。在相遇區(qū)域內(nèi)，介質(zhì)質(zhì)點的合位移是各波在該到其它波一樣。在相遇區(qū)域內(nèi)，介質(zhì)質(zhì)點的合位移是各波在該處單獨引起的分位移

15、的矢量和。處單獨引起的分位移的矢量和。（波動方程是線性的，遵循迭加原理）（波動方程是線性的，遵循迭加原理）二、波的干涉二、波的干涉一、波的迭加原理一、波的迭加原理1 1、干涉現(xiàn)象：滿足一定條件的兩列波相遇迭加，在迭加區(qū)域內(nèi)，、干涉現(xiàn)象：滿足一定條件的兩列波相遇迭加，在迭加區(qū)域內(nèi)，有些點的振動始終加強，有些點始終減弱，呈現(xiàn)出有規(guī)則的有些點的振動始終加強，有些點始終減弱，呈現(xiàn)出有規(guī)則的穩(wěn)定穩(wěn)定分布分布的現(xiàn)象。的現(xiàn)象。聲波干涉：強的地方總強，弱的地方總?cè)酢Ｂ暡ǜ缮妫簭姷牡胤娇倧?，弱的地方總?cè)?。光波干涉：亮的地方總亮，暗的地方總暗。光波干涉：亮的地方總亮，暗的地方總暗。水波干涉：凸的地方總凸，凹的地?/p>

16、總凹。水波干涉：凸的地方總凸，凹的地方總凹?？梢援a(chǎn)生干涉現(xiàn)象的波叫相干波，產(chǎn)生相干波的波源叫相干波源?？梢援a(chǎn)生干涉現(xiàn)象的波叫相干波，產(chǎn)生相干波的波源叫相干波源。2 2、相干波源的條件：、相干波源的條件：并非任意波迭加都能產(chǎn)生干涉并非任意波迭加都能產(chǎn)生干涉波源振動方向相同波源振動方向相同頻率相同頻率相同有恒定的相位差有恒定的相位差3 3、干涉相長、相消條件：、干涉相長、相消條件：（理想媒質(zhì)、相干波源）（理想媒質(zhì)、相干波源）S1、S2的振動方程為：的振動方程為：S1S2r1r2PP點的振動方程為點的振動方程為：)( cos1111jwurtAy)( cos2222jwurtAy將將w=2 / T，

17、 u= / T代入代入：)2 cos(1111jwrtAy)2 cos(2222jwrtAy)cos()cos(222111jwjwtAytAyS1S2r1r2Pjjj)(21212rr 合振動為合振動為 y = A c o s(w t+j)jcos2212221AAAAA（若若 相干波源的初位相相干波源的初位相 相同，即相同，即 ： j 1= j 2時時）相長相消的相長相消的“波程差波程差”條件為：條件為：)(212rr) 12(2kkmax12Akrrrmin2) 12(Akrk =0，1， 2.21max 2AAAkj21min ) 12(AAAkjk =0，1， 2.相長相消的相長相消

18、的“位相差位相差”條件為：條件為：)2 cos(1111jwrtAy)2 cos(2222jwrtAy三、駐波三、駐波1. 駐波的形成：兩列駐波的形成：兩列振幅相等振幅相等的相干波的相干波相向相向而行，在相遇的而行，在相遇的區(qū)域迭加區(qū)域迭加干涉干涉，形成駐波形成駐波2.駐波的駐波的波函數(shù)波函數(shù) ：假定兩列相向而行的平面余弦波為：假定兩列相向而行的平面余弦波為)2cos(1xtAyw)2cos(2xtAyw迭加、干涉、合成：迭加、干涉、合成：txAyyywcos2cos2213. 駐波的特征駐波的特征* *振幅振幅是是x的函數(shù)的函數(shù)02minmax駐駐AAA* * A駐駐 = 0 處為波節(jié)處為波

19、節(jié), , 波節(jié)的位置波節(jié)的位置：令：令02cosx2) 12(2kx)2 , 1 , 0(k4)12(kx2 x相鄰波節(jié)間距：相鄰波節(jié)間距：* * A駐駐 =2A 處為波腹，處為波腹，波腹的位置波腹的位置：令：令12cosxkx22 kx)2 , 1 , 0(k相鄰波腹間距：相鄰波腹間距：2 x * *駐波的駐波的位相位相關(guān)系關(guān)系* *波形不動，分段振動（故而波形不動，分段振動（故而駐駐波）波）* *駐波中沒有凈能量傳遞，能流密度駐波中沒有凈能量傳遞，能流密度0 反反入入III* *半波損失：半波損失：波由波由波疏波疏媒質(zhì)傳媒質(zhì)傳到波密到波密媒質(zhì)，在分界面上發(fā)生媒質(zhì)，在分界面上發(fā)生 反射時，反射點一定是波節(jié)反射時，反射點一定是波節(jié)20minjrA24 例例3 3、同一媒質(zhì)中的兩個相干波源，分別位于、同一媒質(zhì)中的兩個相干波源，分別位于 x1 = -1.5m 和和 x2 =4.5m 處，其振幅均為處，其振幅均為 A，頻率都是頻率都是100 Hz ，波速波速 u=400m.S-1，媒質(zhì)無吸收媒質(zhì)無吸收，當當 x1 處的質(zhì)元振動位于正最大位移時處的質(zhì)元振動位于正最大位移時， x2 處質(zhì)元恰經(jīng)過自己的平衡位置朝負方向運動。處質(zhì)元恰經(jīng)過自己的平衡位置朝負方向運動。 1x2xo)(mXx1r2rP51 54 （1）求求 OX 軸上兩波源間因干涉保持靜止的