數(shù)學分析傅立葉級數(shù)習題

1、第十五章 傅里葉級數(shù)一填空題1. 設(shè)是周期為的函數(shù)，在上的表達式為，則的傅里葉系數(shù) .2.若在上按段光滑，則在上的傅里葉級數(shù) . 3. 設(shè)則此函數(shù)的傅里葉級數(shù)在處收斂于 . 4. 設(shè)，則此函數(shù)的傅里葉級數(shù)在處收斂于 .5. 設(shè)，則此函數(shù)的傅里葉級數(shù)在處收斂于 . 6. 是以為周期的連續(xù)函數(shù)，且在上按段光滑，則 . 二選擇題1.下列說法正確的是（ ）若是以為周期的函數(shù)，且在上可積，則的傅里葉系數(shù)中的，若是以為周期的函數(shù)，且在上可積，則的傅里葉系數(shù)中的，若是以為周期的偶函數(shù)，且在上按段光滑，則在上可展開成余弦級數(shù).若是以為周期的奇函數(shù)，且在上按段光滑，則在上可展開成正弦級數(shù).2.設(shè)是周期為的函數(shù)，

2、在上的表達式為，則下列說法錯誤的是（ ）在上可以展開成傅里葉級數(shù). 的傅里葉展式在處收斂于.的傅里葉展式在處收斂于.的傅里葉系數(shù).3.設(shè)函數(shù)滿足，則該函數(shù)的傅里葉級數(shù)具有性質(zhì)（ ） 4.設(shè)是周期為的函數(shù)，在上的表達式為，則下列說法正確的是（ ）的傅里葉展式在處收斂于.的傅里葉展式在處收斂于-. 的傅里葉展式在處收斂于. 的傅里葉展式在處均收斂于.5.將在上展開成余弦級數(shù)，則下面關(guān)說法錯誤的是（ ）的傅里葉展式在處收斂于-.的傅里葉展式在處收斂于.的傅里葉展式在處收斂于.的傅里葉展式在處收斂于.6. 若將函數(shù)在內(nèi)展成正弦級數(shù)，則下列說法正確的是（ ） 的正弦級數(shù)展式在處收斂于.當時，展成的正弦級

3、數(shù)收斂于本身.在內(nèi)不能展成余弦級數(shù)三判斷題1.是上的正交函數(shù)系. ( ) 2.若是以為周期的函數(shù)，且在上按段光滑，則在上的傅里葉級數(shù)收斂于本身. （ ）3.若在上按段光滑，則在上可以展成傅里葉級數(shù). （ ）4.函數(shù)是在上的周期函數(shù)，且在上按段光滑，則在上可以展成正弦級數(shù). （ ）5.函數(shù)的傅里葉級數(shù)在連續(xù)點處收斂于該點的函數(shù)值. ( )6.設(shè)函數(shù)則此函數(shù)的傅里葉級數(shù)在處收斂于. ( )7.是上的正交函數(shù)系. ( )8.在上不能展成余弦級數(shù). ( )9.在上不能展成正弦級數(shù). ( )10.若級數(shù)收斂，則級數(shù)在整個數(shù)軸上一致收斂. ( ) 四計算題1.（1）將在上展開成傅里葉級數(shù)；（2）利用展開式

4、證明：2.將在上展開成傅里葉級數(shù).3.（1）將在上展開成余弦級數(shù)；（2）根據(jù)展開式求4.將在上展開成正弦級數(shù).5.求（是常數(shù)）在上的傅里葉展開式.五證明題1.設(shè)在上可積或絕對可積，若對，成立，證明：.2.設(shè)周期為的可積函數(shù)在的傅里葉系數(shù)為，函數(shù)的傅里葉系數(shù)為，且，證明：.3.根據(jù)在的余弦級數(shù)展開式證明.4.已知帕薩瓦爾等式為，（為的傅里葉系數(shù)），利用證明.5.已知，利用逐項積分法證明在的傅里葉級數(shù)為第十六章第十七章一、判斷題1、設(shè)平面點集，則為其內(nèi)點。 ( )2、若累次極限與存在且相等，則重極限必存在。( ) 3、若累次極限存在，則累次極限也存在。 ( )4、若重極限存在，則累次極限與必存在。

5、( )5、若函數(shù)在有界集上連續(xù)，則在上有界。( )6、若函數(shù)在閉域上連續(xù)，則在上有界。( )7、若函數(shù)在點處沿任何方向的方向?qū)?shù)都存在，則在點處可微。( )8、若函數(shù)在點處的偏導(dǎo)數(shù)，都存在，則在點處連續(xù)。( )9、若函數(shù)在點處的偏導(dǎo)數(shù)，都存在，則在點處可微。( )10、若函數(shù)在點處可微，則函數(shù)在點處的偏導(dǎo)數(shù)，都存在。( )11、若函數(shù)在點處可微，則在該點處連續(xù)。( )12、若在其定義域的內(nèi)點處連續(xù)在和在都連續(xù)( )13、若在其定義域的內(nèi)點處連續(xù)在和在都連續(xù)( )14. 若函數(shù)在點處沿任何方向的方向?qū)?shù)都存在，則在點處偏導(dǎo)數(shù)存在。15. 若在點處偏導(dǎo)數(shù)存在，則函數(shù)在點處沿x軸正向和負向的方向?qū)?shù)

6、都存在，且互為相反數(shù).二、選擇題1、若對任何k都成立，則必有( )(A) 在處連續(xù) (B) 在處有偏導(dǎo)數(shù)(C) (D) 不一定存在2、連續(xù)是可微的( )(A) 充分非必要條件 (B) 必要非充分條件(C) 充分必要條件 (D) 無關(guān)條件3、二元函數(shù)在處可微的充分條件是（ ）（A）在處連續(xù)；（B），在的某鄰域內(nèi)存在；（C） 當時，是無窮??；（D）。4、設(shè)函數(shù) ,則在點處（ ） （A）連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在； （B）連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在； （C）不連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)存在； （D）不連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在。5、設(shè)存在，則=（ ） （A） （B）0 （C）2 （D） 6、函數(shù)的定義域是（ ）（A）； （B）； （C）；

7、 （D） 。7、設(shè)，在點處，下列結(jié)論（ ）成立。（A）有極限，且極限不為0 （B）不連續(xù)（C） （D）可微8、設(shè)函數(shù)有，且，則=（ ）（A）（B）（C）（D）9、設(shè)函數(shù)滿足方程及條件，則 (A) (B) (C) (D) 10、二元函數(shù)在點處的兩個偏導(dǎo)數(shù)，存在是在該點連續(xù)的（ ） (A) 充分條件非必要條件 (B) 必要條件非充分條件 (C) 充分必要條件 (D) 既非充分條件又非必要條件11、設(shè)函數(shù)在點附近有定義，且，則（ ）成立。 (A) (B)曲面在點處的法向量為(C)曲線在點處的切向量為 (D)曲線在點處的切向量為12、已知為某個函數(shù)的全微分，則（ ） (A) (B) 0 (C) 1 (

8、D) 2 13、下列命題正確的是（ ） (A) 若在處可微，則在該點處連續(xù)； (B) 若在處可微，則存在； (C) 若在處都存在，則在處連續(xù)；(D) 若在處的二階偏導(dǎo)數(shù)都存在，則在處連續(xù)。14、下列論述正確的是（ ） (A) 的極值點必是的駐點； (B) 的駐點必是的極值點； (C) 可微函數(shù)的極值點必是的駐點；(D) 可微函數(shù)的駐點必是的極值點。15、函數(shù)在點沿方向的方向?qū)?shù)等于（ ）(A) (B) (C) (D) 16、極限之值為（ ）(A) (B)不存在 (C) (D) 17、設(shè)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則=（ ）(A) (B) (C) (D) 18、若，存在，則在點處( )(A) 一定不可微

9、( B)一定可微 (C) 有意義 (D)無意義19、設(shè)二元函數(shù)在點處的兩個偏導(dǎo)數(shù)，則點一定是函數(shù)的（ ） (A) 極大值點 (B) 極小值點 (C) 極值點 (D) 駐點20、函數(shù)的定義域為（ ）(A) (B) (C) (D)21、設(shè)，則=（ ）(A) (B) (C) (D) ;22、函數(shù)在原點沿方向的方向?qū)?shù)=（ ）(A) ( B) (C) (D) 23、設(shè)在處的偏導(dǎo)數(shù)存在，則=（ ）(A) (B) (C) (D) 24、函數(shù)的定義域是（ ）(A); (B) ;(C) ; (D) ;25、已知函數(shù)在點的某個領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，且則下列四個選項中正確的是（ ）(A) 點不是的極值點 (B) 點是的極大

10、值點;(C) 點是的極小值點 (D) 根據(jù)所給條件無法判斷點是否為的極值點26、設(shè)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，可導(dǎo)，則必有（ ）(A); (B) ;(C) ; (D) 27、設(shè)，則（ ）(A) (B) (C) (D) 28.曲線在點處的切線與y軸的夾角為（ ） A. B. C. D. 29. 設(shè)在點處取得極小值，則函數(shù)在處( )A. 取得極小值 B. 取得極大值 C.取得最小值 D. 取得最大值30. 函數(shù)在點處沿曲線在此點的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù)為（ ）A. B C. D.31. 設(shè)可微函數(shù)在點處取得極小值，則下列結(jié)論正確的是（ ）A. 在處的導(dǎo)數(shù)等于0 B. 在處的導(dǎo)數(shù)大于0C. 在處的導(dǎo)數(shù)小于0 D.

11、在處的導(dǎo)數(shù)不存在32. 設(shè)函數(shù)在點(0,0)附近有定義，且 ，則（ ）A. B. 曲面在點的法向量為C. 曲線在點的切向量為D. 曲線在點的切向量為三、填空題1、設(shè)平面點集，則( )( )。2、設(shè)平面點集，則_,_。3、設(shè)，則_。4、 。5、設(shè)， 則 。 6、函數(shù)在點（0，0）處沿的方向?qū)?shù)= 。7、設(shè)，則= 。8、設(shè)，則 。9、在處的梯度為 。10、設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則 。11、若在點處存在一階、二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且=0，則當 時，必是的極值點。12、設(shè)，且當時，則 13、設(shè)，則= 14、函數(shù)的連續(xù)點的集合為 15、函數(shù)的定義域是 16、設(shè)函數(shù)，則 17、設(shè)，則= 18、橢球面在點（1，1，

12、1 ）處的切平面方程是 19、曲線在點（，）處的切線方程是 。20、空間曲線在任意點處的切線的切向量 21、設(shè)是可微函數(shù)，且 ，曲面通過點，則曲面在這點的法線方程是 22、設(shè)，其中可微，則23、設(shè)都是由方程確定的具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則 24、設(shè)，其中是二元連續(xù)函數(shù)，則四、計算題1、設(shè)均為連續(xù)可微函數(shù)，求。2、設(shè)，求3、求函數(shù)在點沿A指向點的方向的方向?qū)?shù)。4、求函數(shù)在由直線所圍成的閉區(qū)域D上的最大值和最小值。5、在橢圓上求一點，使其到直線的距離最短。6、設(shè)求。7、設(shè)，具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。8、已知函數(shù)，其中具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求 的值9、求在區(qū)域上的最大值和最小值。10、計算。11、設(shè)具有連續(xù)導(dǎo)

13、數(shù)，求。12、在橢圓的第一象限部分上求一點，使得該點處的切線與坐標軸所圍成的三角形面積最小，并求面積的最小值13、設(shè)，且所有函數(shù)均具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求。14、設(shè)，其中具有連續(xù)偏導(dǎo)，求,15、設(shè)，求（7分）16、設(shè)是由方程組所確定的隱函數(shù)，求, 17、設(shè)，而，其中二階可導(dǎo)，求18、設(shè)，其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求 、五、證明題1、證明：不存在2、證明：不存在3、設(shè)，證明：在點處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微。4、證明：函數(shù)在點處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，可微5、設(shè)可微，與是上的一組線性無關(guān)向量，試證明：若，則常數(shù)6、函數(shù)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，對任意，有，證明曲面上任一點處的法線與直線垂直 第18

14、-19章一、判斷題 1.平面曲線上任一點處的切線被坐標軸所截取的線段為定長. （ ） 2. 方程在原點的鄰域內(nèi)不一定能確定隱函數(shù) （ ）3. 在上不一致收斂. （ ） 4. 設(shè)函數(shù)組與互為反函數(shù)組，且它們的雅可比行列式存在，則互為倒數(shù). （ ）5若含參量的反常積分在上絕對收斂，且在上連續(xù)，則在上連續(xù). （ ）二、 填空題1.已知，則 ， .2. 若，則 .3. 在(1,1,1)的切平面方程 .4. 已知函數(shù)，求= .5.求含參量積分的導(dǎo)數(shù) .6.設(shè)，求 .7.由方程所確定隱函數(shù)，在點P(1,2,-2)處的全微分 .8. 含參量反常積分在 上一致收斂.9. 對任何正數(shù)函數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系= .1

15、0. 利用函數(shù)定義，= .三、選擇題1. 隱函數(shù)定理中的四個條件是隱函數(shù)存在的（ ）條件. A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 不必要不充分2. 反函數(shù)組的偏導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)組的偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系為（ ）. A. B. C. D.3. （ ） . A. B. C. 3 D. 4.在點(2，1)的切線方程為 ( ).A. B. C. D. 5. 關(guān)于含參量非正常積分的一致收斂，不正確的是 ( ).A. 在上一致收斂 B. 在上一致收斂C. 在上一致收斂D. 在上一致收斂6. 方程所確定的曲線在(0,0)點的切線斜率為（ ）A-1 B. 1 C. 0.5 D. -0.57. 函數(shù)，則的

16、值是（ ）A. B. C. D. 8. 方程在原點（0,0）的某鄰域內(nèi)必可確定隱函數(shù)的形式為（ ）A. B. C. 兩種形式都能 D. 兩種形式都不能9. 橢圓上橫坐標與縱坐標相等的點的切線斜率為( ) A. -2 B-0.5 C. 0.5 D. 2四、解答題1. 求方程組所確定的隱函數(shù)組的偏導(dǎo)數(shù)2. 求下面的方程組所確定的隱函數(shù)組的導(dǎo)數(shù)：3. 方程在點(0,1, 1)的某鄰域內(nèi)能否確定出某一個變量為另外兩個變量的函數(shù)？4. 設(shè)，其中為由方程所確定的隱函數(shù)，求.5. 已知，求.6. 證明對任意常數(shù)，球面與錐面是正交的7. 已知，計算積分.8. 已知，求9. 求10. 對于有，利用該公式計算（其

17、中）11. 應(yīng)用證明12. 已知試證 13. 討論下列含參變量的廣義積分在指定區(qū)間的一致收斂性(1)在上一致收斂；（2）在上關(guān)于的一致收斂性（3）在上一致收斂（4）在中的一致收斂性14. 討論下列含參變量的廣義積分在指定區(qū)間的一致收斂性1）在上一致收斂嗎？2）在上一致收斂嗎？3）在上一致收斂嗎？4）在上一致收斂嗎？5）在上一致收斂嗎？15. 求下列極限(1)； (2)；（3） （4）16. 1）設(shè)，求 2）設(shè)，其中可導(dǎo)，求 3）設(shè)，求17. 應(yīng)用含參變量積分性質(zhì)計算1）2） 第二十章 曲線積分一 選擇題1設(shè)是連接，的折線，則 （ ） （A）0 （B） （C） （D）2 2設(shè)為橢圓，并且其周長為

18、S，則= （ ） （A）S （B）6S （C）12S （D）24S3設(shè)以，為頂點的正方形周邊，為逆時針方向，則 （ ） （A）1 （B）2 （C）4 （D）04設(shè)是拋物線,增加的方向為正向，則和（ ） （A） （B） （C） （D）5設(shè)L為，則曲線積分（ ） A； ； ； 6. 設(shè)L為從A（0，0）到B（4，3）的直線，則曲線積分（ ）A.； B.；C.； D.7 設(shè)為取正向的圓周，則（ ） A. ； B. ； C. ； D. 以上答案都不對。8曲線弧上的曲線積分和上的曲線積分有關(guān)系( )A B C D 9 設(shè)是平面可求面積的有界閉區(qū)域的邊界，則的面積可表示為（ ）A. B. C. D.二 填

19、空題1設(shè)平面曲線為下半圓周，則曲線積分 。2設(shè)是由點O(0,0)經(jīng)過點A(1,0) 到點B(0,1)的折線，則曲線積分 3設(shè)設(shè)是由原點O沿到點A，則曲線積分 。 4設(shè)是由點到的線段，則= ，則曲線積分，。5. 設(shè)為取正向的圓周，則曲線積分 6. 設(shè)是拋物線上從點（1，1）到點（4，2）的一段弧則 .7.設(shè)為三頂點分別為（0，0）、（3，0）、（3，2）的三角形的邊界正方向，則曲線積分= 8設(shè)為橢圓其周長為,則 9已知曲線，則10為圓周，計算對弧長的曲線積分= 三 計算題1,計算，其中曲線C分別為1）直線，2）拋物線，3）立方拋物線，都是有原點（）到點。2. 計算, 其中L是拋物線y=

20、x2上從點(0, 0)到點(2, 4)的一段弧; 3已知曲線弧，計算。4設(shè)是曲線上從點（1, 1）到點（2, 2）的一段弧，計算 5 求，其中為圓周.6計算，其中L為球面被平面所截得的圓周。7計算第一類曲線積分，其中L為雙紐線。8 ，其中為按逆時針方向繞橢圓周。 9計算,其中為圓周，直線在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的邊界。10計算,其中是,順時針方向11 計算，其中為任意一條不通過原點的簡單光滑正向的封閉曲線.12利用曲線積分求下列星形線 ()）這個平面曲線所圍成圖形的面積:。 第二十一章 重積分一、判斷題1、若函數(shù)在有界閉區(qū)域D上有界，則在D上必然可積。 （ ）2、在區(qū)域上有。（ ）3、二元函數(shù)

21、在某點的兩個累次極限存在，則在該點的重極限必存在。（ ）4、 積分在球面坐標下其體積微元將變成。 （ ）5、在區(qū)域上有。 （ ）二、填空題1、交換二重積分次序= 2、 3、由橢圓，所圍區(qū)域的面積為 4、設(shè)密度均勻的平面薄板方程為半橢圓，則其重心為 三、選擇題1、設(shè)，若，則 （ ）A 1 B C D 2、設(shè)，為D在第一象限部分，則下列各式中不成立的是（ ）A B C D 3、設(shè)，則（ ）A B C D 4、將交換積分次序后為（ ）A. B. C. D. 5、設(shè)，則更換積分次序后 ( ) A. B. C. D. 6、設(shè) ，則改變積分次序后( )A B C D 7、設(shè)是平面可求面積的有界閉區(qū)域的邊界

22、，則的面積可表示為（ ）A. B. C. D.8、設(shè)有空間有界閉區(qū)域，則有（ ）A、 B、 C、 D、9、設(shè)D為平面上一個閉區(qū)域, L是包圍了區(qū)域D的邊界正向曲線，則D的面積為( )A. B. C. D. 四、計算題1、計算二重積分，其中D是由圓周所圍區(qū)域.2、計算二重積分，其中。3、求，其中。4、計算如下積分.5、計算：, 其中L為任一閉區(qū)域的邊界線.6、應(yīng)用Green公式計算（的方向取逆時針方向）,其中（1）原點不在所圍成的閉區(qū)域的內(nèi)部和邊界上；（2）原點在所圍成的閉區(qū)域的內(nèi)部. 7、計算，其中是由曲面與為界面的閉區(qū)域。8、計算，其中V由橢球圍成的區(qū)域.9、設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域由拋物線及直線所圍成，它在點處的面密度，求該薄片的質(zhì)心。五、證明題1、證明：由橢圓所圍