直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

1、個(gè)性化教案直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題適用學(xué)科高中數(shù)學(xué)適用年級(jí)高二適用區(qū)域陜西西安課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）60分鐘知識(shí)點(diǎn)范圍問(wèn)題對(duì)稱問(wèn)題定點(diǎn)、定值、最值等問(wèn)題教學(xué)目標(biāo)進(jìn)一步理解圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，體會(huì)“解析法”思想，會(huì)從代數(shù)與幾何兩個(gè)角度分析和解決曲線的最值問(wèn)題，并會(huì)進(jìn)行合理的選擇.教學(xué)重點(diǎn)能利用解析法研究圓錐曲線中的范圍問(wèn)題、對(duì)稱問(wèn)題和最值問(wèn)題教學(xué)難點(diǎn)定點(diǎn)、定值、最值等問(wèn)題的探究過(guò)程教學(xué)過(guò)程一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)圓錐曲線的綜合問(wèn)題包括：解析法的應(yīng)用，與圓錐曲線有關(guān)的定值問(wèn)題、最值問(wèn)題、參數(shù)問(wèn)題、應(yīng)用題和探索性問(wèn)題，圓錐曲線知識(shí)的縱向聯(lián)系，圓錐曲線知識(shí)和三角、復(fù)數(shù)等代數(shù)知識(shí)的橫向聯(lián)系，解答這部分試題

2、，需要較強(qiáng)的代數(shù)運(yùn)算能力和圖形認(rèn)識(shí)能力，要能準(zhǔn)確地進(jìn)行數(shù)與形的語(yǔ)言轉(zhuǎn)換和運(yùn)算，推理轉(zhuǎn)換，并在運(yùn)算過(guò)程中注意思維的嚴(yán)密性，以保證結(jié)果的完整.二、知識(shí)講解考點(diǎn)1范圍問(wèn)題求范圍和最值的方法：幾何方法：充分利用圖形的幾何特征及意義，考慮幾何性質(zhì)解決問(wèn)題代數(shù)方法：建立目標(biāo)函數(shù)，再求目標(biāo)函數(shù)的最值考點(diǎn)2對(duì)稱問(wèn)題要抓住對(duì)稱包含的三個(gè)條件：(1)中點(diǎn)在對(duì)稱軸上(2)兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的連線與軸垂直(3)兩點(diǎn)連線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)(),通過(guò)該不等式求范圍考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)3定點(diǎn)、定值、最值等問(wèn)題 定點(diǎn)與定值問(wèn)題的處理一般有兩種方法：（1）從特殊入手，求出定點(diǎn)和定值，再證明這個(gè)點(diǎn)（值）與變量無(wú)關(guān);（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算過(guò)

3、程中消去變量，從而得到定點(diǎn)（定值）三、例題精析【例題1】【題干】已知橢圓（）與直線相交于兩點(diǎn)、當(dāng)橢圓的離心率滿足，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）時(shí)，求橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍【答案】【解析】由，得由，得此時(shí)，由，得，即，故由，得由得，所以橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍為【例題2】【題干】已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對(duì)于直線，橢圓上有不同兩點(diǎn)關(guān)于這條直線對(duì)稱.【答案】【解析】解法一：設(shè)存在兩點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱，中點(diǎn)為，則所在直線為.與橢圓聯(lián)立得：， 在上,， .又 ，故，即，解得：.由上可知:當(dāng) 時(shí),橢圓上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱.解法二：設(shè)存在兩點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱，中點(diǎn)為，則， 得 ， 聯(lián)立，解的，,在橢圓內(nèi)部， 即由上可知:當(dāng)時(shí)

4、,橢圓上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱.【例題3】【題干】已知、是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是橢圓上一定點(diǎn)，是其左焦點(diǎn)，且、成等差數(shù)列 求證：線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；【解析】證明：設(shè)、，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為知同理，當(dāng)時(shí)，由，得，從而有設(shè)線段的中點(diǎn)為，由，得線段的中垂線方程為，該直線恒過(guò)一定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，或，線段的中垂線是軸，也過(guò)點(diǎn)，線段的中垂線恒過(guò)定點(diǎn)四、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1.已知、三點(diǎn)在曲線上，其橫坐標(biāo)依次為，,()，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，等于( )A.B.C.D.【答案】B【解析】由題意知，,.直線所在方程為,點(diǎn)到該直線的距離為.,當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí).2.設(shè)，且,則的最小值為( )A.B.C.D.2【答案】C【解

5、析】考慮式子的幾何意義，轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)與雙曲線上的點(diǎn)的距離的最小值.3.是橢圓長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，是橢圓的中心，若橢圓上存在一點(diǎn)，使,則橢圓離心率的范圍是_.【答案】【解析】設(shè)橢圓方程為(),以為直徑的圓：,兩式聯(lián)立消得.即,該方程有一解,一解為,由韋達(dá)定理x2=,，即.4.一輛卡車高米，寬米，欲通過(guò)拋物線形隧道，拱口寬恰好是拋物線的通徑長(zhǎng)，若拱口寬為米，則能使卡車通過(guò)的的最小整數(shù)值是_.【答案】【解析】由題意可設(shè)拋物線方程為,當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.由題意知,即.解得的最小整數(shù)為.【鞏固】1.已知拋物線上一定點(diǎn)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)、，當(dāng)在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是_.【答案】【解析】設(shè)，,即,必須

6、有.即,解得或.2.已知直線與雙曲線的左支交于、兩點(diǎn)，若另一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)及線段的中點(diǎn)，求直線在軸上的截距的取值范圍.【答案】或【解析】設(shè),.由,得,又直線與雙曲線左支交于、兩點(diǎn)，故有解得，設(shè)，則，的斜率為的方程為令，則，又，即或3.已知拋物線.(1)若橢圓左焦點(diǎn)及相應(yīng)的準(zhǔn)線與拋物線的焦點(diǎn)及準(zhǔn)線分別重合，試求橢圓短軸端點(diǎn)與焦點(diǎn)連線中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若是軸上的一定點(diǎn)，是(1)所求軌跡上任一點(diǎn)，試問(wèn)有無(wú)最小值？若有，求出其值；若沒(méi)有，說(shuō)明理由.【答案】（）;【解析】由拋物線,得焦點(diǎn),準(zhǔn)線.(1) 設(shè)，則,橢圓中心,則,又設(shè)點(diǎn)到的距離為,則,即,化簡(jiǎn)得點(diǎn)軌跡方程為（）.(2)設(shè),則（）()當(dāng),即時(shí)

7、，函數(shù)在上遞增，故無(wú)最小值，亦即無(wú)最小值.()當(dāng),即時(shí)，函數(shù)在處有最小值,.【拔高】1.如圖，為半圓，為半圓直徑，為半圓圓心，且，為線段的中點(diǎn)，已知，曲線過(guò)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)且保持的值不變.(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn)、，且在、之間，設(shè)，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)【解析】(1)以、所在直線分別為軸、軸，為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系， .曲線為以原點(diǎn)為中心，、為焦點(diǎn)的橢圓.設(shè)其長(zhǎng)半軸為,短半軸為,半焦距為,則,.曲線的方程為.(2)設(shè)直線的方程為,代入,得.,得.由圖可知由韋達(dá)定理得將代入得兩式相除得，即，,解得 ，在、中間，又當(dāng)

8、不存在時(shí)，顯然 (此時(shí)直線與軸重合).綜上課程小結(jié)解決圓錐曲線綜合題，關(guān)鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形與幾何性質(zhì)，注意挖掘知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律，通過(guò)對(duì)知識(shí)的重新組合，以達(dá)到鞏固知識(shí)、提高能力的目的.(1)對(duì)于求曲線方程中參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，需構(gòu)造參數(shù)滿足的不等式，通過(guò)求不等式(組)求得參數(shù)的取值范圍；或建立關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域.(2)對(duì)于圓錐曲線的最值問(wèn)題，解法常有兩種：當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，可考慮利用數(shù)形結(jié)合法解；當(dāng)題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值.課后作業(yè)【基礎(chǔ)】1.已知拋物線上有一內(nèi)

9、接正，為坐標(biāo)原點(diǎn).求證：點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱； 【解析】設(shè)，即，故點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱2.若直線過(guò)圓的圓心交橢圓于、兩點(diǎn)，若、關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求直線的方程【答案】【解析】 ，設(shè)，則，又，兩式相減得：，化簡(jiǎn)得，把，代入得故所求的直線方程為，即所以直線的方程為 ：.3.在拋物線上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求的取值范圍.【答案】【解析】 （1）當(dāng)時(shí)，曲線上不存在關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)拋物線上關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，則直線的斜率為 ，可設(shè)直線 代入得 （*） ，在直線上，代入（*）得即 又恒成立，所以綜合（1）（2），的取值范圍是【鞏固】1.已知是橢圓的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是，若的最小值為，求點(diǎn)的橫坐

10、標(biāo)的取值范圍【答案】或【解析】由，得，設(shè)，解得或又或2. 定長(zhǎng)為的線段的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線上移動(dòng)，記線段的中點(diǎn)為，求點(diǎn)到軸的最短距離，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo) 【答案】或【解析】 設(shè)，因與軸不平行，故可設(shè)的方程為，將它代入得，由得即， （*），將（*）代入得當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，所以，點(diǎn) 為或時(shí)，到軸的最短距離最小，最小值為3已知橢圓（）的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)1、為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)(1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線、的斜率分別為、，證明：.【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析【解析】(1)設(shè)橢圓的半焦距為，由題意知：，所以a2，c2，又，因此.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由題意設(shè)等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），因?yàn)榈容S雙曲線的頂點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，所以，因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)證明：，則，.因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以.因此，即.【拔高