振動(dòng)波動(dòng)習(xí)題二(1)

1、振動(dòng)與波動(dòng) 討論與輔導(dǎo) 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)定義與判據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)定義與判據(jù) 定義：物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開平衡位置的位移按定義：物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開平衡位置的位移按余弦（或正弦）函數(shù)的規(guī)律隨時(shí)間變化的運(yùn)余弦（或正弦）函數(shù)的規(guī)律隨時(shí)間變化的運(yùn)動(dòng)。動(dòng)。 判據(jù)判據(jù) 動(dòng)力學(xué)判據(jù)動(dòng)力學(xué)判據(jù): 受到與對(duì)平衡位置的位移成正比受到與對(duì)平衡位置的位移成正比而反向的合外力作用。而反向的合外力作用。 能量判據(jù)：動(dòng)能與勢(shì)能不斷相互轉(zhuǎn)化，總能量能量判據(jù)：動(dòng)能與勢(shì)能不斷相互轉(zhuǎn)化，總能量不變。不變。 運(yùn)動(dòng)學(xué)判據(jù)：位置隨時(shí)間變化符合正弦或余弦運(yùn)動(dòng)學(xué)判據(jù)：位置隨時(shí)間變化符合正弦或余弦形式。形式。2 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的判斷（滿足其中一條即可）2）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)

2、描述1）物體受線性回復(fù)力作用3）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述kxF-=0dd222=xtx)cos(j=tAx（或物體受線性回復(fù)力矩作用 ）kM-=簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述 數(shù)學(xué)形式數(shù)學(xué)形式x= A cos ( t+j j) 基本特征量基本特征量 角頻率角頻率 振幅振幅A 初相初相j j 能量能量 動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程2222121)(21kAkxdtdxmEEEpk=02022=xdtxdkmTmk2,=-=0022020arctan,xvvxAj4簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成 同方向的兩個(gè)同頻率振動(dòng)同方向的兩個(gè)同頻率振動(dòng) 合振動(dòng)振幅決定于兩個(gè)振動(dòng)振幅和相差合振動(dòng)振幅決定于兩個(gè)振動(dòng)振幅和相差 同

3、方向不同頻率振動(dòng)同方向不同頻率振動(dòng) 頻率差很小時(shí)存在拍現(xiàn)象，拍頻為分振動(dòng)頻率差頻率差很小時(shí)存在拍現(xiàn)象，拍頻為分振動(dòng)頻率差 相互垂直的兩個(gè)同頻率振動(dòng)相互垂直的兩個(gè)同頻率振動(dòng) 圓、橢圓或線段圓、橢圓或線段 相互垂直的兩個(gè)不同頻率的振動(dòng)相互垂直的兩個(gè)不同頻率的振動(dòng) 利薩如圖利薩如圖55、阻尼運(yùn)動(dòng)與受迫振動(dòng)220220d xdxxdtdt=22022cosd xdxxhtdtdt=2202arctanj-=-阻尼系數(shù)；0 -振動(dòng)系統(tǒng)的固有角頻率阻尼運(yùn)動(dòng)：過阻尼、欠阻尼以及臨界阻尼運(yùn)動(dòng)受迫振動(dòng)共振現(xiàn)象幅頻特性和相頻特性12222220()4hA =-)cos(212212221j jj j- - = =

4、AAAAA)cos()cos(221121j j j j = = = =tAtAxxx仍為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),其中:同相:k=0,1, 2, 3.22112211coscossinsintanj jj jj jj jj jAAAA = = j jj jk212= =- -21AAA = =反相: j jj j)12(12 = =- -k21AAA- -= =k=0,1, 2, 3.8機(jī) 械 波一、平面簡(jiǎn)諧波波函數(shù)：)(2cos)(cos)cos(),(00 xTtAuxtAkxtAtxy=(1).當(dāng)x=x0時(shí)：)2(cos)(00 xtAty-=(2).當(dāng)t=t0時(shí)：2)cos()(00 xtAxy-=

5、波動(dòng)方程222221tyuxy=9波速：橫波波速縱波波速G為剪切模量Yu =1Gu =2Y為楊氏模量Tu =弦線中的波速T為弦中的張力波的能量平均能流密度（波的強(qiáng)度）uAI2221=kxtAdVdEw-=222sin=TAwdtTw022211能量密度平均能量密度10駐波特點(diǎn)：txAcos2cos2=(1).相鄰的波節(jié)（腹）之間的距離是/2。任意兩節(jié)點(diǎn)間的距離為n/2。(2).相鄰節(jié)點(diǎn)間各點(diǎn)振動(dòng)同相，一節(jié)點(diǎn)兩側(cè)各點(diǎn)振動(dòng)反相。(3).沒有能量的定向傳播，兩波節(jié)之間能量守恒。半波損失形成條件：,.3 , 2 , 1)2(=nnl二、波的干涉j=tAyyycos21j=cos2212221AAAAA

6、式中j=cos22121IIIIIjjj1210202rr -=jn2=j12 =n21AAA=21AAA-=加強(qiáng)減弱 ( n = 0 1 2) 相位差113、波源觀測(cè)者同時(shí)相對(duì)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)0, 0RsvvSsRSsRRvuuTuuvvvvv-=-=01. 波源靜止，觀察者相對(duì)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)0, 0=Rsvv2、觀測(cè)者靜止, 波源相對(duì)于介質(zhì)運(yùn)動(dòng) )0, 0(=RsSsSsRvuuTuuuvvv-=-=SRSRRRRvuvuuuTuuv=vvvv1電磁波的多普勒效應(yīng)：SRccvvv-=SRccvvv-=接近：遠(yuǎn)離：三、多普勒效應(yīng)例例 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m = 10 g的物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為的物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)

7、，振幅為A = 10 cm ,周期周期T = 2.0 s。若。若t = 0時(shí)，位移時(shí)，位移xo= - 5.0 cm，且，且物體向負(fù)物體向負(fù)x方向運(yùn)動(dòng)，方向運(yùn)動(dòng)，試求：試求：（1）t = 0.5 s時(shí)物體的位移；時(shí)物體的位移；（2）t = 0.5 s時(shí)物體的受力情況；時(shí)物體的受力情況；（3）從計(jì)時(shí)開始，第一次到達(dá)）從計(jì)時(shí)開始，第一次到達(dá)x = 5.0 cm所需時(shí)間；所需時(shí)間；（4）連續(xù)兩次到達(dá)）連續(xù)兩次到達(dá)x = 5.0 cm處的時(shí)間間隔。處的時(shí)間間隔?！窘饨狻?.10mA=12Ts-= = （1 1）由已知可得簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅）由已知可得簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅角頻率角頻率振動(dòng)表達(dá)式為振動(dòng)表達(dá)式為 0.1

8、0cosoxtj= 0t = 時(shí)0.10cos0.05moxj= -0.05 sin0oj= -vx0.1O-0.050t =23oj= 由旋轉(zhuǎn)矢量法可得由旋轉(zhuǎn)矢量法可得 振動(dòng)方程振動(dòng)方程 0.1cos23xt= 0.5st =時(shí)物體的位移時(shí)物體的位移 0.1cos230.1cos 0.5230.0866mxt= = = -（2）由（）由（1）得）得 220.010.099km= =故故t t = 0.5 s = 0.5 s時(shí)物體受到的恢復(fù)力為時(shí)物體受到的恢復(fù)力為 0.0086NFkx= -=（3）從計(jì)時(shí)開始，第一次到達(dá)）從計(jì)時(shí)開始，第一次到達(dá)x = 5.0 cm所需時(shí)間；所需時(shí)間；（4）連續(xù)

9、兩次到達(dá)）連續(xù)兩次到達(dá)x = 5.0 cm處的時(shí)間間隔。處的時(shí)間間隔。x0.1O-0.050t =0.05153231stj- =第一次到達(dá)第一次到達(dá)x=5.0cm=5.0cm時(shí)的相位為時(shí)的相位為 53j= 故故 第一次達(dá)到此處所需時(shí)間為第一次達(dá)到此處所需時(shí)間為 2230.67stj=連續(xù)兩次到達(dá)連續(xù)兩次到達(dá)x = 5.0 cm處的相位差為處的相位差為 23j= 例例2 2 兩輪的軸相互平行相距為兩輪的軸相互平行相距為2 2d d，兩輪的轉(zhuǎn)速相同而，兩輪的轉(zhuǎn)速相同而轉(zhuǎn)向相反?，F(xiàn)將質(zhì)量為轉(zhuǎn)向相反?，F(xiàn)將質(zhì)量為m m的一勻質(zhì)木板放在兩輪上，木的一勻質(zhì)木板放在兩輪上，木板與兩輪之間的摩擦系數(shù)均為板與兩

10、輪之間的摩擦系數(shù)均為 。若木板的質(zhì)心偏離。若木板的質(zhì)心偏離對(duì)稱位置后，試證木板將作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求其振動(dòng)周對(duì)稱位置后，試證木板將作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求其振動(dòng)周期期. .2dNA0 xxCABNBmgfAfB【解解】如圖以兩輪位置的中點(diǎn)（對(duì)稱位如圖以兩輪位置的中點(diǎn)（對(duì)稱位置）為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)軸，設(shè)置）為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)軸，設(shè)木板的質(zhì)心位置坐標(biāo)為木板的質(zhì)心位置坐標(biāo)為x以以A A處為軸有處為軸有 2()BdNmg dx=()2Bmg dxNd=以以 B處為軸有處為軸有 2()AdNmg dx=-()2Amg dxNd-=ABABmgFffNNxd=-=-= -合()2Bmg dxNd=()2Amg dxN

11、d-=22d xmgmxdtd= -即即 故木板作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。故木板作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 gd=22dTg=例例3 3 一勻質(zhì)細(xì)桿質(zhì)量為一勻質(zhì)細(xì)桿質(zhì)量為m m，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為l l，上端可繞懸掛軸無，上端可繞懸掛軸無摩擦的在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，下端與一勁度系數(shù)為摩擦的在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，下端與一勁度系數(shù)為k k的輕的輕彈簧相聯(lián)，當(dāng)細(xì)桿處于鉛直位置時(shí)，彈簧不發(fā)生形變。彈簧相聯(lián)，當(dāng)細(xì)桿處于鉛直位置時(shí)，彈簧不發(fā)生形變。求細(xì)桿作微小振動(dòng)是否是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。求細(xì)桿作微小振動(dòng)是否是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。O【解解】mgf222d(sin )(sincos )23dgFmglmlMMMkllt=- - -很小時(shí)很小時(shí) 2222d30d2mglk

12、ltml=細(xì)桿微小振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)細(xì)桿微小振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)取細(xì)桿鉛直位置為坐標(biāo)零點(diǎn)，垂直紙面向外為正方向取細(xì)桿鉛直位置為坐標(biāo)零點(diǎn)，垂直紙面向外為正方向例例4 已知：已知：x = 0點(diǎn)振動(dòng)曲線如圖，畫出旋轉(zhuǎn)矢量。點(diǎn)振動(dòng)曲線如圖，畫出旋轉(zhuǎn)矢量?！窘饨狻縴t-TTA0設(shè)平面波簡(jiǎn)諧波向設(shè)平面波簡(jiǎn)諧波向+x方向傳播，方向傳播，0yA0點(diǎn)初相位為點(diǎn)初相位為- /2畫出：畫出： t = 0 時(shí)波形曲線。時(shí)波形曲線。 O點(diǎn)振動(dòng)的點(diǎn)振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示為旋轉(zhuǎn)矢量表示為yx0t = 0 t 00點(diǎn)初相位為點(diǎn)初相位為- /2A-A - - 波向波向+x方向傳方向傳播時(shí)，原點(diǎn)向播時(shí)，原點(diǎn)向+y方向運(yùn)動(dòng)方向運(yùn)動(dòng)t = 0 時(shí)

13、波形曲線為時(shí)波形曲線為yx0t = 0 t 0討論：討論：yt-TTA0設(shè)平面波簡(jiǎn)諧波向設(shè)平面波簡(jiǎn)諧波向-x方向傳播，方向傳播，已知：已知：x = 0點(diǎn)振動(dòng)曲線仍如圖所示，點(diǎn)振動(dòng)曲線仍如圖所示，0yA0點(diǎn)初相位點(diǎn)初相位仍為仍為- /2試畫出：試畫出： t = 0 時(shí)波形曲線。時(shí)波形曲線。A-A - - 向向+y方向運(yùn)動(dòng)方向運(yùn)動(dòng)0點(diǎn)初相位也是點(diǎn)初相位也是- /2例例5 5 一平面簡(jiǎn)諧波沿著一平面簡(jiǎn)諧波沿著x x軸正向傳播，速度為軸正向傳播，速度為u u，已知，已知t t時(shí)刻的波形曲線如圖所示，時(shí)刻的波形曲線如圖所示，x x1 1處質(zhì)元位移為處質(zhì)元位移為0 0。試求：。試求：（1 1）原點(diǎn)）原點(diǎn)O

14、 O處質(zhì)元的振動(dòng)方程；處質(zhì)元的振動(dòng)方程；（2 2）該簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)。）該簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)。xyOx1-Aut t時(shí)刻原點(diǎn)處質(zhì)元振動(dòng)的相位為時(shí)刻原點(diǎn)處質(zhì)元振動(dòng)的相位為- -/2/22otj= -2otj= -11cos()cos()2oouuyAtAttxxj=-則振動(dòng)的初相為：則振動(dòng)的初相為：所以振動(dòng)方程可以寫出：所以振動(dòng)方程可以寫出：【解解】12utx= -由圖可知由圖可知12uux=（2 2）在）在x x軸上任意選取一點(diǎn)軸上任意選取一點(diǎn)P P，坐標(biāo)為，坐標(biāo)為x x，如圖所示。，如圖所示。P P點(diǎn)振動(dòng)相點(diǎn)振動(dòng)相位落后于原點(diǎn)位落后于原點(diǎn)O O11222xOPxxxj=1cos()2puxyAtt

15、xu=- -OPxx11cos()cos()22uuxyAttAttxxuj=-=- -時(shí)間修正時(shí)間修正相位修正相位修正1cos()2ouyAttx=-例例6.一列波長(zhǎng)為一列波長(zhǎng)為 的平面簡(jiǎn)諧波沿的平面簡(jiǎn)諧波沿x 軸正方向傳播。軸正方向傳播。 已知在已知在 x = /2 處處 振動(dòng)表達(dá)式為振動(dòng)表達(dá)式為 y =A cos t ,（1）求該平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)）求該平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù);（2）若在波線上）若在波線上 處放一反射面處放一反射面,)2( = =LLx,2211uu 求反射波的波函數(shù)。求反射波的波函數(shù)?！窘饨狻浚?）入射波的波函數(shù)）入射波的波函數(shù)/2cos ()xyAtu-=-cos(2)x

16、At=-,2211uu 0Lx2 x畫出示意圖畫出示意圖找任意一點(diǎn)找任意一點(diǎn) x)2/2cos( - - -= =xtAy反射有半波損失，反射有半波損失，到達(dá)到達(dá)L處的振動(dòng)方程為處的振動(dòng)方程為cos(2)LyAt=-,2211uu 0Lx2 x)2cos( xtAy- - = =已求得入射波的波函數(shù)已求得入射波的波函數(shù)L處反射的振動(dòng)方程處反射的振動(dòng)方程cos(2)LyAt=-反射波的波函數(shù)反射波的波函數(shù)cos ()2LLyAtxu-=)(24cosLxxLtAy - -= = 得得(2)合成波即駐波的表達(dá)式合成波即駐波的表達(dá)式;(3)波腹、波節(jié)的位置。波腹、波節(jié)的位置。例例7.設(shè)入射波的表達(dá)式

17、為設(shè)入射波的表達(dá)式為 . 在在 x =0 處發(fā)生反射處發(fā)生反射,反射點(diǎn)反射點(diǎn) 為一固定端為一固定端,設(shè)反射波與入射波振幅近似相等，設(shè)反射波與入射波振幅近似相等， = = xTtAy2cos1【解解】 （1 ）入射波在）入射波在 x =0 處引起的振動(dòng)為處引起的振動(dòng)為反射點(diǎn)為固定端，這點(diǎn)必是波節(jié)，有半波損失，反射點(diǎn)為固定端，這點(diǎn)必是波節(jié)，有半波損失， - -= = xTtAy2cos1有人，反射波的表達(dá)式為有人，反射波的表達(dá)式為 = =TtAy2cos1對(duì)不對(duì)？對(duì)不對(duì)？x0入射波入射波反射波反射波(1)反射波的表達(dá)式反射波的表達(dá)式;求求:(2)合成波即駐波的表達(dá)式合成波即駐波的表達(dá)式反射波反射波

18、)cos()(2cos1 - -= = - -= = kxtAxTtAy 入射波入射波)cos(2cos1kxtAxTtAy = = = = 合成波合成波11yyy = =)cos()cos( - - = =kxtAkxtA 絕對(duì)值為振幅絕對(duì)值為振幅初相為初相為 /2)2cos()2cos(2 - -= =tkxAy 得得若用旋轉(zhuǎn)矢量分析：若用旋轉(zhuǎn)矢量分析：反射波反射波)cos(1 - -= = kxtAy 入射波入射波)cos(1kxtAy = = t =0 時(shí)的旋轉(zhuǎn)矢量時(shí)的旋轉(zhuǎn)矢量y0kx-kxy1y1AA )2cos(2kxA- -振幅振幅 初相初相 /2)2cos()2cos(2 - -= =tkxAy 所以有所以有（與前相同）（與前相同）(3)波腹、波節(jié)的位置。波腹、波節(jié)的位置。)2cos()2cos(2 - -= =tkxAy 駐波的表達(dá)式駐波的表達(dá)式波腹的位置波腹的位置;2nkx= =- -AkxA2)2cos(2= =- -, 2 , 1 , 0=