第3章利用DFT做連續(xù)信號(hào)的頻譜分析

1、3.2 利用利用DFT做連續(xù)信號(hào)的頻譜分析做連續(xù)信號(hào)的頻譜分析 采樣截短DFT)(ajX)(atx( )x n)e(Xj ( )( )( )NNxnx n Rn)(jNeX)(kXNNkjNeX/2)(信號(hào)的頻譜分析：利用信號(hào)的頻譜分析：利用DFT計(jì)算連續(xù)信號(hào)的頻譜計(jì)算連續(xù)信號(hào)的頻譜3.2 利用利用DFT做連續(xù)信號(hào)的頻譜分析做連續(xù)信號(hào)的頻譜分析 信號(hào)的頻譜分析：利用信號(hào)的頻譜分析：利用DFT計(jì)算連續(xù)信號(hào)的頻譜計(jì)算連續(xù)信號(hào)的頻譜3.2 利用利用DFT做連續(xù)信號(hào)的頻譜分析做連續(xù)信號(hào)的頻譜分析 n 理論上，信號(hào)的時(shí)域長(zhǎng)度和頻域帶寬不可能同理論上，信號(hào)的時(shí)域長(zhǎng)度和頻域帶寬不可能同時(shí)為有限長(zhǎng)，時(shí)域有限長(zhǎng)

2、則帶寬無(wú)限長(zhǎng)，時(shí)域無(wú)時(shí)為有限長(zhǎng)，時(shí)域有限長(zhǎng)則帶寬無(wú)限長(zhǎng)，時(shí)域無(wú)限長(zhǎng)則帶寬有限長(zhǎng)。限長(zhǎng)則帶寬有限長(zhǎng)。n DFT對(duì)應(yīng)的時(shí)域和頻域信號(hào)都是有限長(zhǎng)離散序?qū)?yīng)的時(shí)域和頻域信號(hào)都是有限長(zhǎng)離散序列，并隱含周期性。列，并隱含周期性。3.2 利用利用DFT做連續(xù)信號(hào)的頻譜分析做連續(xù)信號(hào)的頻譜分析 信號(hào)的頻譜分析：利用信號(hào)的頻譜分析：利用DFT計(jì)算連續(xù)信號(hào)的頻譜計(jì)算連續(xù)信號(hào)的頻譜所以利用所以利用DFT計(jì)算連續(xù)信號(hào)的頻譜，需要進(jìn)行以下計(jì)算連續(xù)信號(hào)的頻譜，需要進(jìn)行以下幾步操作：幾步操作：（1）頻域限帶：為滿足抽樣定理而進(jìn)行的抗混疊）頻域限帶：為滿足抽樣定理而進(jìn)行的抗混疊 濾波濾波 ，造成時(shí)域無(wú)限長(zhǎng)，造成時(shí)域無(wú)限長(zhǎng)（2

3、）時(shí)域抽樣：造成頻譜的周期延拓，可能產(chǎn)生）時(shí)域抽樣：造成頻譜的周期延拓，可能產(chǎn)生 頻譜混疊頻譜混疊 （ ）（3）時(shí)域截短：造成頻譜泄露（頻譜的擴(kuò)散、拖）時(shí)域截短：造成頻譜泄露（頻譜的擴(kuò)散、拖 尾、變寬）一個(gè)周期尾、變寬）一個(gè)周期N點(diǎn)點(diǎn)（4）頻域抽樣：造成時(shí)域周期延拓，可能產(chǎn)生時(shí)）頻域抽樣：造成時(shí)域周期延拓，可能產(chǎn)生時(shí) 域混疊（域混疊（F0fs/N，MN）2shff采樣周期延拓頻譜混疊時(shí)域截短頻譜泄漏、混疊擴(kuò)散/拖尾/變寬頻域采樣取主值序列取主值序列周期延拓00shTfTFNf時(shí)域采樣間隔時(shí)域采樣頻率信號(hào)記錄長(zhǎng)度（頻率分辨率）頻域采樣間隔采樣點(diǎn)數(shù)信號(hào)最高頻率00sTfNTF1/sfT2shff0

4、01/TF0TNT0TNT0sfNFu 頻率響應(yīng)的混疊失真及參數(shù)的選擇頻率響應(yīng)的混疊失真及參數(shù)的選擇00sTfNTF2shff時(shí)域抽樣：001/FT頻域抽樣：同時(shí)提高信號(hào)最高頻率和頻率分辨率，同時(shí)提高信號(hào)最高頻率和頻率分辨率，需增加采樣點(diǎn)數(shù)需增加采樣點(diǎn)數(shù)N。00sTfNTFhsff要增加信號(hào)最高頻率則0NF當(dāng) 給定必，即分辨率0001FTF要提高頻率分辨率，即則shNTff當(dāng) 給定 則要不產(chǎn)生混疊， 必u信號(hào)最高頻率與頻率分辨率之間的矛盾信號(hào)最高頻率與頻率分辨率之間的矛盾u參數(shù)選擇的一般原則：參數(shù)選擇的一般原則： NTf/Ns sf（3） 和和N確定以后，即可確定相應(yīng)模擬信確定以后，即可確定相

5、應(yīng)模擬信號(hào)的時(shí)間長(zhǎng)度號(hào)的時(shí)間長(zhǎng)度這里這里T是采樣周期。是采樣周期。0Ff 0F/fNs （2）根據(jù)頻率分辯率）根據(jù)頻率分辯率 ，確定所需，確定所需DFT的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度maxfmaxsff 2（1）若已知信號(hào)的最高頻率）若已知信號(hào)的最高頻率 ，為防，為防止混止混 疊，選定采樣頻率疊，選定采樣頻率 ；0/2htT0112hhfTt如果不知道信號(hào)的最高頻率 fh 怎么辦？時(shí)域變化越快則高頻分量越豐富取變化最快的兩相鄰峰點(diǎn)谷點(diǎn)之間的時(shí)間為半個(gè)周期。例如：人們只觀察記錄了一段時(shí)間的波形或數(shù)據(jù)，如圖所示，應(yīng)如何確定 fh 呢？u信號(hào)最高頻率信號(hào)最高頻率 fh 的確定的確定FFT例：有一頻譜分析用的處理器，其

6、抽樣點(diǎn)數(shù)必須是2的整數(shù)冪，假設(shè)沒(méi)有采用任何的數(shù)據(jù)處理措施，已給條件為：11024HzkHz）頻率分辨率）信號(hào)最高頻率0 1 2T NT試確定以下參量：）最小記錄長(zhǎng)度）抽樣點(diǎn)間的最大時(shí)間間隔 （即最小抽樣頻率）3）在一個(gè)記錄中最少點(diǎn)數(shù)1解： ）最小記錄長(zhǎng)度：00110.110TsF221/shsfffT）最大抽樣間隔 （ ）3110125224 10hTmsf .3）最小記錄點(diǎn)數(shù)30224 1080010hfNF 10221024800mN 取（1）混迭）混迭對(duì)連續(xù)信號(hào)對(duì)連續(xù)信號(hào) x(t) 進(jìn)行數(shù)字處理前，要進(jìn)行采樣進(jìn)行數(shù)字處理前，要進(jìn)行采樣 na)nTt ()t (x)nT(x 采樣序列的頻譜

7、是連續(xù)信號(hào)頻譜的周期延拓，采樣序列的頻譜是連續(xù)信號(hào)頻譜的周期延拓，周期為周期為fs，如采樣率過(guò)低，不滿足采樣定理，即，如采樣率過(guò)低，不滿足采樣定理，即若若fs2fh，則導(dǎo)致頻譜混迭，使一個(gè)周期內(nèi)的譜對(duì)，則導(dǎo)致頻譜混迭，使一個(gè)周期內(nèi)的譜對(duì)原信號(hào)譜產(chǎn)生失真，無(wú)法恢復(fù)原信號(hào)，進(jìn)一步的數(shù)原信號(hào)譜產(chǎn)生失真，無(wú)法恢復(fù)原信號(hào)，進(jìn)一步的數(shù)字處理失去依據(jù)。字處理失去依據(jù)。u利用利用DFT做連續(xù)信號(hào)的頻譜分析時(shí)出現(xiàn)的問(wèn)題：做連續(xù)信號(hào)的頻譜分析時(shí)出現(xiàn)的問(wèn)題： 不滿足抽樣定理時(shí)產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象不滿足抽樣定理時(shí)產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象sT0)(tftm)(jFs0sT1m0t)(tfsT()sFj0sT1()sFj0sT1 （

8、2） 泄漏泄漏 處理實(shí)際信號(hào)序列處理實(shí)際信號(hào)序列 x（n）時(shí)，一般總要將它截）時(shí)，一般總要將它截?cái)酁橐挥邢揲L(zhǎng)序列，長(zhǎng)為斷為一有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)為N點(diǎn)，相當(dāng)于乘以一個(gè)矩形點(diǎn)，相當(dāng)于乘以一個(gè)矩形窗窗 w(n)=RN(n)。 矩形窗函數(shù)，其頻譜有主瓣，也有矩形窗函數(shù)，其頻譜有主瓣，也有許多副瓣，窗口越大，主瓣越窄，當(dāng)窗口趨于無(wú)窮大許多副瓣，窗口越大，主瓣越窄，當(dāng)窗口趨于無(wú)窮大時(shí)，就是一個(gè)沖擊函數(shù)。時(shí)，就是一個(gè)沖擊函數(shù)。 我們知道，時(shí)域的乘積對(duì)應(yīng)頻域的卷積，所以，我們知道，時(shí)域的乘積對(duì)應(yīng)頻域的卷積，所以，加窗后的頻譜實(shí)際是原信號(hào)頻譜與矩形窗函數(shù)頻譜的加窗后的頻譜實(shí)際是原信號(hào)頻譜與矩形窗函數(shù)頻譜的卷積，卷積

9、的結(jié)果使頻譜延伸到了主瓣以外，且一直卷積，卷積的結(jié)果使頻譜延伸到了主瓣以外，且一直延伸到無(wú)窮。當(dāng)窗口無(wú)窮大時(shí)，與沖擊函數(shù)的卷積才延伸到無(wú)窮。當(dāng)窗口無(wú)窮大時(shí)，與沖擊函數(shù)的卷積才是其本身，這時(shí)無(wú)畸變，否則就有畸變。是其本身，這時(shí)無(wú)畸變，否則就有畸變。改善方法：改善方法：對(duì)時(shí)域截短，使頻譜變寬拖尾，稱為對(duì)時(shí)域截短，使頻譜變寬拖尾，稱為泄漏泄漏1）增加）增加x(n)長(zhǎng)度長(zhǎng)度2）緩慢截短）緩慢截短 （3）柵欄效應(yīng)）柵欄效應(yīng) N點(diǎn)點(diǎn)DFT是在頻率區(qū)間是在頻率區(qū)間 0，2 上對(duì)信號(hào)頻譜上對(duì)信號(hào)頻譜進(jìn)行進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣，得到的是若干個(gè)離散的頻譜點(diǎn)等間隔采樣，得到的是若干個(gè)離散的頻譜點(diǎn)點(diǎn) X（k），且它們限制

10、在基頻的整數(shù)倍上，這就），且它們限制在基頻的整數(shù)倍上，這就好像在柵欄的一邊通過(guò)縫隙看另一邊的景象一樣，好像在柵欄的一邊通過(guò)縫隙看另一邊的景象一樣，只能在離散點(diǎn)處看到真實(shí)的景象，其余部分頻譜成只能在離散點(diǎn)處看到真實(shí)的景象，其余部分頻譜成分被遮擋，分被遮擋， 所以稱之為所以稱之為柵欄效應(yīng)柵欄效應(yīng)。 減小柵欄效應(yīng)方法：減小柵欄效應(yīng)方法：時(shí)域序列尾部補(bǔ)零，使譜時(shí)域序列尾部補(bǔ)零，使譜線變密，增加頻域采樣點(diǎn)數(shù)，原來(lái)漏掉的某些頻譜線變密，增加頻域采樣點(diǎn)數(shù)，原來(lái)漏掉的某些頻譜分量就可能被檢測(cè)出來(lái)。分量就可能被檢測(cè)出來(lái)。改善方法：改善方法：增加頻域抽樣點(diǎn)數(shù)增加頻域抽樣點(diǎn)數(shù)N（時(shí)域補(bǔ)零），使譜線更密（時(shí)域補(bǔ)零），

11、使譜線更密DFT只計(jì)算離散點(diǎn)（基頻只計(jì)算離散點(diǎn)（基頻F0的整數(shù)倍處）的頻譜，的整數(shù)倍處）的頻譜，而不是連續(xù)函數(shù)而不是連續(xù)函數(shù)(4) DFT的分辨率的分辨率 F0n填補(bǔ)零值可以改變對(duì)填補(bǔ)零值可以改變對(duì)DTFT的采樣密度，人們常常的采樣密度，人們常常有一種誤解，認(rèn)為補(bǔ)零可以提高有一種誤解，認(rèn)為補(bǔ)零可以提高DFT的頻率分辨率。的頻率分辨率。n事實(shí)上我們通常規(guī)定事實(shí)上我們通常規(guī)定DFT的頻率分辨率的頻率分辨率 ，這里的這里的 N 是指信號(hào)是指信號(hào)x(n)的有效長(zhǎng)度，而不是補(bǔ)零的的有效長(zhǎng)度，而不是補(bǔ)零的長(zhǎng)度。長(zhǎng)度。n不同長(zhǎng)度的不同長(zhǎng)度的x(n)其其DTFT的結(jié)果是不同的；的結(jié)果是不同的；n相同長(zhǎng)度的相同

12、長(zhǎng)度的x(n)盡管補(bǔ)零的長(zhǎng)度不同但其盡管補(bǔ)零的長(zhǎng)度不同但其DTFT的結(jié)的結(jié)果相同，他們的果相同，他們的DFT只是反映了對(duì)相同的只是反映了對(duì)相同的DTFT采用采用了不同的采樣密度。了不同的采樣密度。 N/fs(4) DFT的分辨率的分辨率 F0n填補(bǔ)零值可以改變對(duì)填補(bǔ)零值可以改變對(duì)DTFT的采樣密度，人們常常的采樣密度，人們常常有一種誤解，認(rèn)為補(bǔ)零可以提高有一種誤解，認(rèn)為補(bǔ)零可以提高DFT的頻率分辨率。的頻率分辨率。n事實(shí)上我們通常規(guī)定事實(shí)上我們通常規(guī)定DFT的頻率分辨率的頻率分辨率 ，這里的這里的 N 是指信號(hào)是指信號(hào)x(n)的有效長(zhǎng)度，而不是補(bǔ)零的的有效長(zhǎng)度，而不是補(bǔ)零的長(zhǎng)度。長(zhǎng)度。n不同長(zhǎng)

13、度的不同長(zhǎng)度的x(n)其其DTFT的結(jié)果是不同的；的結(jié)果是不同的；n相同長(zhǎng)度的相同長(zhǎng)度的x(n)盡管補(bǔ)零的長(zhǎng)度不同但其盡管補(bǔ)零的長(zhǎng)度不同但其DTFT的結(jié)的結(jié)果相同，他們的果相同，他們的DFT只是反映了對(duì)相同的只是反映了對(duì)相同的DTFT采用采用了不同的采樣密度。了不同的采樣密度。 N/fs(4) DFT的分辨率的分辨率 F0 njnjenxeX)()(deeXnxjnj )(21)(DTFT：IDTFT：n相同長(zhǎng)度的相同長(zhǎng)度的x(n)盡管補(bǔ)零的長(zhǎng)度不同但其盡管補(bǔ)零的長(zhǎng)度不同但其DTFT的結(jié)的結(jié)果相同，他們的果相同，他們的DFT只是反映了對(duì)相同的只是反映了對(duì)相同的DTFT采采用了不同的采樣密度。用了不同的采樣密度。(5) 周期信號(hào)的譜分析周期信號(hào)的譜分析 )k(XN)j(Xa 可以得到單一譜線的可以得到單一譜線的DFT結(jié)果，但這是和作結(jié)果，但這是和作DFT時(shí)數(shù)據(jù)的截取長(zhǎng)度選得是否恰當(dāng)有關(guān)，截取長(zhǎng)度時(shí)數(shù)據(jù)的截取長(zhǎng)度選得是否恰當(dāng)有關(guān)，截取長(zhǎng)度N選得合理，選得合理， 可完全等于可完全等于 的采樣。的采樣。)tf2sin()t (xaa af對(duì)于連續(xù)的單一頻率周期信號(hào)對(duì)于連續(xù)的單一頻率周期信號(hào) ， 為信號(hào)的頻率。為信號(hào)的頻率。)8n2sin(