【高中數(shù)學(xué)】三垂線定理及其逆定理ppt課件

1、 一、直 線 和 平 面三垂線定理第第 九九 章章：t./ ；:；2 知 PA、PO分別是平面的垂線、斜線，AO是PO在平面上的射影。a ，aAO。求證： aPO在平面內(nèi)的一條直線，假設(shè)和這個(gè)平面的一條在平面內(nèi)的一條直線，假設(shè)和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。三垂線定理A aOP證明：證明：aPOPA a AOaa平面平面PAOPO 平面平面PAOPA aA aOPcde三垂線定理是平面三垂線定理是平面的一條斜線與平面的一條斜線與平面內(nèi)的直線垂直的斷內(nèi)的直線垂直的斷定定理，定定理， 相交直線 異面直線異面直線留意：留意：bAoa

2、P這兩條直線可以是：這兩條直線可以是：PCBA例例1 知知P 是平面是平面ABC 外一點(diǎn)，外一點(diǎn)， PA平面平面ABC ，AC BC， 求證：求證： PC BC證明：證明： PA平面平面ABC PC是平面是平面ABC的斜線的斜線 AC是是PC在平面在平面ABC上的射影上的射影 BC平面平面ABC 且且AC BC 由三垂線定理得由三垂線定理得 PC BC例例2 直接利用三垂線定理證明以下各題：直接利用三垂線定理證明以下各題：(1) PA正方形正方形ABCD所在平面，所在平面，O為對角線為對角線BD的中點(diǎn)的中點(diǎn)求證：求證：POBD，PCBD(3) 在正方體在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證

3、：中，求證：A1CB1D1，A1CBC1(2) 知：知：PA平面平面PBC，PB=PC，M是是BC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，求證：求證：BCAM(1)B(2)PMCAC A D B A1D1B1C1(3)POABCDPMCABPAOa 我們要學(xué)會(huì)從紛繁的知條件中找出或者發(fā)明出符合三垂線定理的條件，怎樣找？解題回想解題回想ACBDOPCAoDBP三垂線定了解題的關(guān)鍵：找三垂！怎樣找？怎樣找？一找直線和平面垂直一找直線和平面垂直二找平面的斜線在平面二找平面的斜線在平面 內(nèi)的射影和平面內(nèi)的內(nèi)的射影和平面內(nèi)的 一條直線垂直一條直線垂直留意：由一垂、二垂直接得出第三垂留意：由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作

4、為知條件并不是三垂都作為知條件解題回想解題回想PAOa直線直線a a 一定要在平面內(nèi)，假設(shè)一定要在平面內(nèi)，假設(shè)a a不在不在平面內(nèi)，定理就不一定成立。平面內(nèi)，定理就不一定成立。例如：當(dāng)例如：當(dāng) a 時(shí)，時(shí)，aOA， 但但a不垂不垂直于直于OP 留意：假設(shè)將定理中“在平面內(nèi)的條 件去掉，結(jié)論依然成立嗎？PAOaa解題回想解題回想假設(shè)假設(shè)a a是平面是平面的斜線，直線的斜線，直線b b垂直于垂直于 a a在平面在平面內(nèi)的射影，那么內(nèi)的射影，那么 ab ab 假設(shè)假設(shè)a a是平面是平面的斜線的斜線,b,b,直線直線 b b垂直于垂直于a a在平面在平面內(nèi)的射影，那么內(nèi)的射影，那么 ab ab 假設(shè)假

5、設(shè)a a是平面是平面的斜線，直線的斜線，直線b b 且且b b垂直于垂直于a a在另一平面在另一平面內(nèi)的射影內(nèi)的射影那么那么ab ab 假設(shè)假設(shè) a a是平面是平面的斜線，平面的斜線，平面內(nèi)內(nèi) 的直線的直線b b垂直于垂直于a a在平面在平面內(nèi)的射內(nèi)的射 影，那么影，那么 ab ab 練習(xí)：練習(xí)：判別以下命題的真假：判別以下命題的真假：ADCBA1D1C1B1面面ABCD ABCD 面面面面B1BCC1B1BCC1面面直線直線A1C A1C 斜線斜線 a a直線直線AB AB 垂線垂線 b b 一、直 線 和 平 面三垂線定理的逆定理第第 九九 章章三垂線定理包含幾種垂直關(guān)系？三垂線定理包含幾

6、種垂直關(guān)系？線射垂直線射垂直線面垂直線面垂直 線斜垂直線斜垂直PAOa直直 線線 和和平面垂直平面垂直平面內(nèi)的直線平面內(nèi)的直線和平面一條斜和平面一條斜線的射影垂直線的射影垂直平面內(nèi)的直線平面內(nèi)的直線和平面的一條和平面的一條斜線垂直斜線垂直PAOaPAOa線射垂直線射垂直線斜垂直線斜垂直PAOaPAOa平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線在平平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直面內(nèi)的射影垂直平面內(nèi)的一條直平面內(nèi)的一條直線和平面的一條線和平面的一條斜線垂直斜線垂直三垂線定理的逆定理在平面內(nèi)的一條直線，假設(shè)和這個(gè)平面的一條斜線在平面內(nèi)的一條直線，假設(shè)和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條

7、斜線的射影垂直。垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。PAOa 知：PA，PO分別是平面的垂線和斜線，AO是PO在平面的射影,a ,a PO求證：a AO三垂線定理的逆定理三垂線定理的逆定理例例3 假設(shè)一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊假設(shè)一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊間隔相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這間隔相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上。個(gè)角的平分線上。C B A P O F E 知：知：BACBAC在平面在平面內(nèi)，點(diǎn)內(nèi)，點(diǎn)P P，PEABPEAB，PFACPFAC，POPO ，垂足分別是，垂足分別是E E、F F、O O，PE=PFPE=PF求證：求證：BAO=CAOBAO=

8、CAO例例4 4 在四面體在四面體ABCDABCD中，知中，知ABCDABCD，ACBDACBD求證：求證：ADBCADBCDOBCDOBC，于是，于是ADBC.ADBC.證明：作證明：作AOAO平面平面BCDBCD于點(diǎn)于點(diǎn)O O，銜接銜接BOBO，COCO，DODO，那么，那么BOBO，COCO，DODO分別為分別為ABAB，ACAC，ADAD在平面在平面BCDBCD上的射影。上的射影。OADCBABCDABCD，CD CD 平面平面BCDBCDBOCDBOCD，同理同理COBDCOBD，于是于是O O是是BCDBCD的垂心，的垂心， 在正方體在正方體AC1AC1中，中，E E、G G分別是

9、分別是AA1AA1和和CC1CC1的中的中點(diǎn)，點(diǎn)，F(xiàn) F在在ABAB上，且上，且C1EEFC1EEF，那么，那么EFEF與與GDGD所所成的角的大小為成的角的大小為 A 30A 30B 45B 45 C 60C 60D 90D 90DF A D C B A1D1B1C1G E M EB1是是EC1在平面在平面AB1內(nèi)的射影內(nèi)的射影EB1 EFEB1 EFDGAMEB1DGAMEB1EF DGEF DG練練 習(xí)習(xí)2.2.知知 PA PA、PBPB、PCPC兩兩垂直，兩兩垂直，求證：求證：P P在平面在平面ABCABC內(nèi)的射影是內(nèi)的射影是ABCABC的垂心。的垂心。CBPAH3.3.經(jīng)過一個(gè)角的頂點(diǎn)引這個(gè)角經(jīng)過一個(gè)角的頂點(diǎn)引這個(gè)角所在平面的斜線，假設(shè)斜線和所在平面的斜線，假設(shè)斜線和這個(gè)角兩邊的夾角相等，那么這個(gè)角兩邊的夾角相等，那么斜線在平面上的射影是這個(gè)角斜線在平面上的射影是這個(gè)角的平分線所在的直線。的平分線所在的直線。4.4.在在ABCDA1B1C1D1ABCDA1B1C1D1中，中，求證：求證：AC1AC1平面平面A1BDA1BDD1DCBAC1B1A1三垂線定理的逆定理三垂線定理的逆定理 ： 在平面內(nèi)的一條直線，在平面內(nèi)的一條直線，假設(shè)和這個(gè)平面的一條假設(shè)和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么，它也斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。和這