粘性流體力學(xué)第四章

1、 第四章第四章 不可壓縮層流邊界層不可壓縮層流邊界層 第一節(jié)第一節(jié) 邊界層流動(dòng)的基本概念邊界層流動(dòng)的基本概念 第二節(jié)第二節(jié) 邊界層微分方程邊界層微分方程 第三節(jié)第三節(jié) 不可壓縮層流邊界層的相似性解不可壓縮層流邊界層的相似性解 第四節(jié)第四節(jié) 邊界層的分離現(xiàn)象和定常邊界層邊界層的分離現(xiàn)象和定常邊界層 的分離條件的分離條件 第五節(jié)第五節(jié) 邊界層方程的積分關(guān)系式解法邊界層方程的積分關(guān)系式解法 第六節(jié)第六節(jié) 軸對(duì)稱邊界層軸對(duì)稱邊界層 第七節(jié)第七節(jié) 三維邊界層三維邊界層 邊界層理論有重要的理論和實(shí)用意義，由普朗特（Prandtl）1904提出后，得到了很大發(fā)展。邊界層理論基于大雷諾數(shù)流動(dòng)的近似，在近似中保

2、留部分粘性項(xiàng)而建立了Prandtl邊界層方程。 普朗特的邊界層理論，把流體分成兩個(gè)區(qū)域，離物面很近的區(qū)域，速度梯度很大，粘性力起很大作用，但這層流體很薄，稱作邊界層，而外層按無粘性流動(dòng)處理。 1905年普朗特和1908年布拉休斯（Blasius）對(duì)平板邊界層引入了相似性解。 1921年卡門（Von Karman）和波爾豪森(Pohlhauses)入了動(dòng)量積分方程。從而提出了邊界層的動(dòng)量積分關(guān)系式解法。湍流邊界層的積分 以后，有多種改進(jìn)和推廣此法的方法，其中格林法(Green 1973年)考慮了雷諾應(yīng)力的變化以及上游的歷史影響，總的精度有明顯的提高。以后依斯特(East 1977年)把Green

3、法發(fā)展成解湍流邊界層的逆方法，以便預(yù)估分離流動(dòng)，得到了較好的結(jié)果。 關(guān)系式解法有多種，其中用的比較廣泛的是希德法（Head 1958年），此法的主要缺點(diǎn)忽略了邊界層上游的歷史影響。第一節(jié) 邊界層流動(dòng)的基本概念 1、大雷諾數(shù)下物體繞流的特征 圖為翼型繞流的流動(dòng)圖景,可以看出，緊靠平板表面的一個(gè)薄層中，水流速度很??；而在這薄層以外，水流的速度幾乎與來流一樣。在雷諾數(shù)Re足夠大時(shí)，物體繞流的流動(dòng)可分為三個(gè)區(qū)域： 邊界層 尾跡流外部勢流 圖41 翼型繞流（1）邊界層。在邊界層中流動(dòng)有明顯的速度梯度，因此流場中的切應(yīng)力是不可忽略的，也就是說粘性的影響是很重要的；同時(shí)也不難理解，這里的流動(dòng)是有旋的。（2）

4、尾跡。尾跡流動(dòng)是邊界層內(nèi)的流動(dòng)在脫離了物面以后的繼續(xù)，其初始階段也是速度梯度顯著的有旋流動(dòng)。但是在尾跡中，不再有固體壁面的滯阻作用，不能再產(chǎn)生渦旋，隨著離被繞流物體距離的增大，尾跡中的渦旋逐漸擴(kuò)散，渦旋的動(dòng)能逐漸耗散成熱，渦旋強(qiáng)度和速度梯度亦逐漸減弱，直至遠(yuǎn)下游消失。（3）外部勢流。即邊界層和尾跡以外的流動(dòng)。這里，流動(dòng)的速度梯度很小，因而流體中的切應(yīng)力可以忽略。這里流動(dòng)基本上是無旋的，所以稱為外部勢流。 實(shí)驗(yàn)證明：雷諾數(shù)愈大，邊界層愈薄。當(dāng)雷諾數(shù)較小時(shí)，邊界層的流動(dòng)全部處于層流狀態(tài)，稱為層流邊界層。當(dāng)雷諾數(shù)大于某一個(gè)臨界值時(shí)，例如平板邊界層 ， 邊界層內(nèi)的流動(dòng)部分或全部轉(zhuǎn)變成湍流流動(dòng)。這時(shí)邊界

5、層的性質(zhì)與層流邊界層有明顯的不同。65103103exR2、邊界層的形成 從渦旋傳輸?shù)挠^點(diǎn)解釋形成邊界層的原因。流動(dòng)中的任何固體邊界層都相當(dāng)于連續(xù)分布的渦源，它不斷的在流動(dòng)中產(chǎn)生渦旋；這些渦旋通過擴(kuò)散和對(duì)流散布到流動(dòng)中去，而整個(gè)流場的發(fā)展又反過來決定了渦旋的產(chǎn)生。e=U00邊界層外邊緣邊界層外緣控制體流線wyyyyuyuxv000|圖42 平板表面產(chǎn)生的旋渦因此緊靠平板表面附近的渦量與平板表面的渦量至少是接近相等的。緊靠表面附近的渦旋，一方面向外擴(kuò)散，另一方面隨著流體向下游流動(dòng)。渦旋擴(kuò)散的速度取決于流體的運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)，運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)越大，擴(kuò)散得越快，而渦旋向下游流動(dòng)的速度取決于來流速度。2000

6、0|1|yyyyvuuyyxypx 0|0ypx0|0yy 當(dāng)雷諾數(shù) 足夠大時(shí)，即對(duì)于一定尺寸的平板，U與 的比之足夠大時(shí)，平板表面附近的渦旋向下游流動(dòng)的速度比向垂直于流動(dòng)方向的速度大得多，以致包含這些渦旋的流動(dòng)僅僅限于貼近表面的一個(gè)向下游伸展的薄層，這個(gè)薄層就是邊界層。在邊界層內(nèi)，流動(dòng)是有旋的，而邊界層以外的流動(dòng)則是無旋的。3、邊界層的各種厚度 嚴(yán)格的說，無法絕對(duì)準(zhǔn)確的定義邊界層厚度。因?yàn)樗俣忍荻葟倪吔鐚觾?nèi)的顯著到邊界層外的不顯著，是一個(gè)漸進(jìn)變化的過程。通常把整個(gè)橫截面上速度恢復(fù)到 值的所有點(diǎn)的連線定義為邊界層的外邊界，這里 為邊界層外部勢流的速度。 /ULeUu99. 0eU 對(duì)平板邊界層

7、的厚度做一粗略的估計(jì) 圖42中，鄰近平板表面的渦旋，經(jīng)過時(shí)間t后，向垂直于流動(dòng)方向擴(kuò)散的距離僅與 和t有關(guān)。由量綱分析可知，這一距離與 成正比且同量級(jí)。另一方面，鄰近平板表面的渦旋經(jīng)過時(shí)間t后，向下游流動(dòng)的距離與Ut同量級(jí)，如果流體質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)板長L的時(shí)間為 L/ U ，則在平板前緣產(chǎn)生的渦旋流到平板后緣時(shí)，向外擴(kuò)散的距離就與 同量級(jí)。換言之，平板上距前緣為L的邊界層厚度 與 同量級(jí)。ReLULRe1LULtUL (41) 顯然當(dāng)雷諾數(shù)Re比1大得多時(shí)，邊界層厚度比流動(dòng)方向上的特征長度L小的多。對(duì)于湍流邊界層，渦旋的擴(kuò)散速度除了依賴于 以外，還依賴于湍流動(dòng)量的傳輸。因此，在其他條件相同的情況下，湍

8、流邊界層的厚度比層流邊界層的厚度大。 邊界層的厚度通常很薄。例如，20水沿平板流動(dòng)，平板長L=1m， /s，來流速度 ，求得 ，如果邊界層保持層流，則可以算出 ，即 。如果考慮是標(biāo)準(zhǔn)條件下的空氣沿平板流動(dòng)，板長仍為1m， /s，U10m/s，那么 ， 則可以算出 ， 。，6101smU/1610ReUL1ReL10001L5105 . 15107Re2 . 18001L。 根據(jù)邊界層的定義，必須準(zhǔn)確知道邊界層內(nèi)的速度分布才能定出 的值，一般來說很難做到，因此要引進(jìn)另外一些更確切并且有一定物理意義的邊界層積分厚度的概念: (1)邊界層的位移厚度 (2)邊界層的動(dòng)量損失厚度 (3)邊界層的能量損失

9、厚度 (4)邊界層外邊界的厚度也稱為名義厚度 。1;2;3;e=U00邊 界 層 外 邊 緣邊 界 層 外 緣控 制 體流 線(1)邊界層的位移厚度 在圖42中，取曲線包圍的部分作為分析的控制體，其中左右兩條垂線分別為x=0和x=x1的y軸線，上面的線為外部勢流中某一條流線，下面的線為物面(零流線)。應(yīng)用質(zhì)量守恒定律：圖4-2000bYHAV dAudyudyYeeYbedyUuYUudyHU00dyuUUYee01考慮不可壓縮流體對(duì)于平板1()eebUU UYH為邊界層外勢流流速）,令 (42) (43) dyUuYe011 （44)無粘性流流線粘性流流線邊界層外緣Ue(x)(x)物面y邊界

10、層外緣假想物面圖43 與邊界層外部流場一致的無粘性流動(dòng)11：在固體壁面附近的邊界層中，由于流速受到壁面的阻滯而降低，使得在這個(gè)區(qū)域內(nèi)所通過的流量較理想流體流動(dòng)時(shí)所通過的流量減少，相當(dāng)于邊界層的壁面向流體內(nèi)移動(dòng)了一個(gè)距離后理想流體邊界層的位所通過移厚度的流量。（2）邊界層的動(dòng)量損失厚度2 將動(dòng)量方程式應(yīng)用于圖42的控制體中，因流動(dòng)定常，且壓力保持不變則得到：00bYHxfeeAFDuV dAuudyUU dy fD其中是摩擦阻力,對(duì)不可壓縮流體： (45)220YfebDU Hu dy0YbeuHdyU考慮到： 壁面摩擦阻力與邊界層內(nèi)流體的動(dòng)量損失相平衡。定義動(dòng)量損失厚度，其物理意義為：由于邊界

11、層的存在損失了厚度為 的非粘性流體的動(dòng)量。2YeeeefdyUuUuUUD02221 YeedyUuUu021 (46) (47)（3）動(dòng)能損失厚度 與動(dòng)量損失類似，邊界層由于粘性阻滯而造成的動(dòng)能流通量損失為： YedyuUu02222 YeedyuUuU02233222 YeedyUuUu02231如果用物理表面的一層無粘性流體流動(dòng)的動(dòng)能通量表示動(dòng)能流通量損失，設(shè)這一流層的厚度為 ，則3 動(dòng)能損失厚度的意義：邊界層所引起的動(dòng)能通量損失，相當(dāng)于物理表面上厚度為 的一層無粘性流體的動(dòng)能通量。3 (48)（4）壁面摩阻系數(shù)和邊界層的耗散積分 相對(duì)于直角坐標(biāo)系（x，y），粘性流體二維流動(dòng)中的切應(yīng)力為

12、不可滲透的固體壁面上，邊界層內(nèi)的切應(yīng)力為：壁面摩阻系數(shù) 邊界層的耗散率 ()xyuvyxyuxy221ewfUC (410) (411) (412)2uy (413) 4、邊界層的類型 固體壁面附近的邊界層，稱為壁面邊界層或壁面剪切層。另一類邊界層不受固體壁面的影響，稱之為自由邊界層或自由剪切層,這樣邊界層的實(shí)例一是尾跡流，另一種是自由射流。如圖4-4所示，從噴管向充滿同種或不同種流體的空間噴出的射流，假設(shè)射流周圍空間中的流體與噴管噴出的流體作方向相同、但速度不同的平行運(yùn)動(dòng)（伴隨流動(dòng)）。在射流的中間部分為位勢核心區(qū)，在核心區(qū)之外的射流部分與伴隨流動(dòng)之間形成一層速度梯度顯著的混合區(qū)，即自由邊界層

13、區(qū)。隨著射流向下游的發(fā)展，自由邊界層的厚度增加，最后，外部伴隨流動(dòng)對(duì)射流的影響擴(kuò)展至整個(gè)射流橫截面，使整個(gè)射流都具有自由邊界層的特點(diǎn)。 YdyyuD02邊界層的耗散積分 (414)外部流動(dòng)自由邊界層位勢核心區(qū) 圖4-4 自由射流的發(fā)展第二節(jié) 邊界層微分方程 1、沿平壁面的二維邊界層方程 首先推導(dǎo)平壁面的二維邊界層的微分方程。 在流動(dòng)平面內(nèi)取（x，y）直角坐標(biāo)系（圖4-5），以平壁面的前緣為原點(diǎn)O，取x軸與壁面重合，而y軸與壁面垂直，邊界層內(nèi)的NS方程為：0 xy(x)u(y)UU 圖4-5 沿平壁面二維邊界層0uvxy22221uuupuuuvtxyxxy 22221vvvpvvuvtxyyx

14、y 1L(415a)(415b)(415c) 當(dāng)雷諾數(shù)Re1時(shí)，在邊界層內(nèi)x方向和y方向的量具有不同的量級(jí)。取L，U分別為x方向上的特征長度和特征速度；和v分別為y方向的特征長度和特征速度。0*yvVxuLU1Re1LUV*, , , , , xyuvptUxyuvptLUVpL引入量綱為1量(416)連續(xù)方程(417)對(duì)動(dòng)量方程進(jìn)行量綱為1化2*2222*2*2*Re1yuLxuxpUpyuvLUVxuutu2*22*22*2*ReRe1Re1yvxvypUpyvvxvutv221yuxpyuvxuutu(418a)(418b)0yp忽略低量級(jí)量，保留量級(jí)為1量，寫成有量綱形式：(419a)

15、(419b)在整個(gè)邊界層厚度上，壓力是常數(shù)，即 根據(jù)無粘性流體運(yùn)動(dòng)方程 沿平壁面的二維不可壓縮層流邊界層的基本方程組 txppe,xpxUUtUeeee1221yuxUUtUyuvxuutuyvxueee(420）(421）(422) (1）對(duì)于邊界層內(nèi)的流動(dòng)，未知數(shù)由三個(gè)減少為兩個(gè)；方程組中的方程數(shù)目亦由三個(gè)變成兩個(gè)。（2）動(dòng)量方程中只有對(duì)y的二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，這就使問題的求解域由一個(gè)二維無窮域變成一個(gè)半無限的長條域。對(duì)于前者，必須在封閉邊界上給出邊值條件；對(duì)于后者，下游邊界條件無需給出。如果引入流函數(shù) uyvx 222323eeeUUUt yyx yxytxy (423)2、沿曲壁面的平面邊界層

16、及軸對(duì)稱邊界 層方程 11103213321hhxRyhxzxyxxx，）（，R（x）oxdppyQ固體壁面邊界層外緣QN 圖4-6 平面流動(dòng)的邊界層坐標(biāo) xRxK1R（x）：曲率半徑K（x）：曲率(424) 1233123011xxxyxxyhhhrR x ，（），圖4-7 軸對(duì)稱流動(dòng)的邊界層坐標(biāo)系 1233123 ()00 () 11,1 kzxxxyxxzyhhhrkR x 平面， （）（軸對(duì)稱）平面，（軸對(duì)稱）3yRuyuxvyRR3綜合平面流動(dòng)與軸對(duì)稱流動(dòng)情況，邊界層的坐標(biāo)系為：(425)令u和v分別表示x和y方向的速度，x3方向的渦量為(426)忽略質(zhì)量力，動(dòng)量方程和連續(xù)方程為:2

17、2222111kkuRuuuuvRpvtRyxyRyRyxRvuuRvuruuRvRyx yRyyxyyRyRyxyrRyRy 222222221kkvRuvvupRuvtRy xyRyyRy x yRruuRvRuRvRdRuRvvxyRyRy xxdxRyRy xxrRyxRyRyRy （軸對(duì)稱）（平面）10k01vRyryurxkk(427b)(427c)式中(427a) 對(duì)方程進(jìn)行邊界層簡化。如果采用邊界層坐標(biāo)，則除原點(diǎn)附近之外，x，y兩個(gè)坐標(biāo)的數(shù)量級(jí)為： 其中，L為方向的特征長度， 為邊界層的厚度。在邊界層內(nèi)： 此外，再假設(shè)： （1）對(duì)于平面和軸對(duì)稱兩種情況，R(x)與L同數(shù)量級(jí)，即

18、： R(x)L Lx yRe1LxyeRULe(R )(1)OO(428)(429) （2）對(duì)于軸對(duì)稱情況，r(x,y)與L同數(shù)量級(jí)，或 （ 為子午面壁面的傾角）。所以： 式中， 表示相應(yīng)壁面點(diǎn)至對(duì)稱軸的距離。 上述兩條假設(shè)不適用于壁面曲率過大的壁面，也不適用于細(xì)長旋轉(zhuǎn)體及前駐點(diǎn)附近且不太小的邊界層問題。，2 1cos1Re111oRyRh xryxryxrcos, xr(430a)(430b) 利用上述兩條假設(shè)，方程式（427）變?yōu)椋?0kkr ur vxy2222111 uuuuvpuvtxyRxvuuvux yRyR xyR 2222111 kkvvvupuvtxyRyuuvdruvux

19、 yRxdxyxRxr (431a)(431b)(431c) 進(jìn)一步利用Prandtl方法簡化，引入量綱為1參數(shù)，使方程量綱為1化，忽略上式中數(shù)量級(jí)等于或小于 的各項(xiàng)，方程簡化為： Re1O*2*2*2*01Rekkr ur vxyuuupuuvtxyxypuyR 變成有量綱的形式： 222201kkr ur vxyuuupuuvtxyxypuK xuyR (432) 根據(jù)式（432），對(duì)于曲壁邊界層，壓力在邊界層厚度方向的變化率是有限量，需要有一個(gè)法向壓力梯度與流體的離心力平衡。 考慮邊界層的厚度 很薄，整個(gè)邊界層上任一點(diǎn)的壓力 仍可用邊界層外緣的壓力 代替：( , )epx t( , ,

20、)p x y t0vryurxkk22yuxUUtUyuvxuutueee 由（433）式可見，曲壁平面邊界層方程與平板邊界層方程（422）式有相同的形式，也可以用流函數(shù)方程（423）式表示。對(duì)于軸對(duì)稱邊界層方程（433）與（422）式區(qū)別，僅在連續(xù)方程中。2( , , )( , )()( , )eepp x y tpx tyOypx tx邊界層方程（432）變?yōu)椋?433a)(433b)3、定常邊界層流動(dòng)的邊界條件 在定常邊界層流動(dòng)的情況下，如果固體壁面是固定不動(dòng)和不可滲透的，在壁面上，速度滿足：如果固體壁面是可滲透的，且壁上有流體由法向吸入或吸出 在邊界層的外緣，可以給出流速漸進(jìn)的邊界條件

21、：為了求解邊界層方程，還必須給定初始截面和x0處的速度分布 。0y0u0v0|00 xxxvxu0y0u xvvs y xUue yu0(434a)(434b)(434c) 4、曼格勒(Mangler)變換 曼格勒變換可以把一個(gè)定常軸對(duì)稱邊界層流動(dòng)問題變換為一個(gè)相應(yīng)的平面邊界層問題。對(duì)軸對(duì)稱邊界層： xUuyvuyyuxUUyuvxuuvryurxeee：00022 (435) 引入流函數(shù) ， 可以得到流函數(shù)方程：2232311,1eerruvryyrxrdUUyx yrxydxy 2201xr xLr xyyLxrx dxL引入曼格勒變換： (436) (437a)考慮到流函數(shù) 的定義 uy

22、vx 22021 xxrx dxLr xyyLuuLrxLvvyur xrx (437b) ( )rxr xx式中，為對(duì) 的導(dǎo)數(shù)。 2232300eeeuvyxdUUyx yxydxyyuvyuUx ，： 曼格勒變換后的定常軸對(duì)稱邊界層與平面邊界層方程相同，為： (438)舉例：對(duì)于繞旋轉(zhuǎn)體的軸對(duì)稱流動(dòng)，在前駐點(diǎn)附近 er xxUCx xLxdxxLx02322313123xLx 3113123xCxLCxUxUee 根據(jù)勢流理論， 是一個(gè)繞楔角的平面流動(dòng)，楔頂半角 ，求解平面邊界層流動(dòng)，然后即可把結(jié)果變換到原問題去。311xCUe4ueue0 x(a)(b)/2圖4-8 （a）軸對(duì)稱前駐點(diǎn)附

23、近的流動(dòng)（b）變換后平面上的流動(dòng)第三節(jié)不可壓縮層流邊界層的相似性解 邊界層方程式的解法一般分為精確解法、積分關(guān)系式的近似解法，以及數(shù)值解法。精確解法一般包括相似性解和級(jí)數(shù)解。這一節(jié)我們討論相似解法。1、相似性解的概念 不可滲透壁面的二維定常不可壓流體層流邊界層的方程和邊界條件為： xUuyvuyyuxUUyuvxuuyvxueee：00022 (439) 在一般條件下給定 ，方程可以解出，解的一般形式為： 但是在某些特殊情況下，上述解可以寫成 其中 ，即 只是 的函數(shù)，與X無關(guān)，此解叫做相似性解， 是相似變量。 yxfUue,eU和 euUx ( )yg x( )euUx2、平板邊界層的相似性

24、解 圖410為零攻角半無限長平板邊界層流動(dòng)，其邊界層方程可用流函數(shù)表示：xyU,uyvx 223230000yx yxyyyxyyUy ，：，： (440)圖4-9 沿零攻角平板的邊界層1234xA xyA yAUA U 式中A為變換參數(shù)， 皆為常數(shù)。變換后的方程和邊界為1234、31232324223223230000AAyx yxyyyxyyAA Uy ，：，： 方程中共有四個(gè)變量，引入變換 (441） (442) 變換后的置換變量 應(yīng)滿足原來的方程和邊界條件，即假設(shè)方程和邊界條件（440）對(duì)變換前后的變量不變，因此： xyU、 、 、42323213322214213223141111x

25、yUAxyU (443)為了滿足變換前后方程和邊界條件的不變性，待定系數(shù)必須滿足（443）時(shí)。由（441）式可知111 21 2 yyUUxxxxxx，11 2, , yUfhxxx21令，則有( , ,)x yU(, , )yUxxx (444) 式（444）表明變換前的變量 形成 的一組組合變量 和變換后的變量形成的組合變量 是恒等的。( )xyU、 、 、 (, , )yUxxx（444）式表達(dá)的式線性變化群的不變量，稱為絕對(duì)變量。 (445) 相似性解是否存在，此時(shí)只決定于h式中的邊界條件表達(dá)式了，如果h與x無關(guān)，只是 的函數(shù)，那么相似性解就存在，否則相似性解是不會(huì)存在的。這就是Mor

26、gan定理: 如果邊界條件在相應(yīng)的變換之后與x無關(guān)，絕對(duì)變量就是相似變量。 常數(shù)21xUh21fxxy 在平板的情況下，h與x無關(guān)，則：相似變量為：, UyfxUx將相似變量量綱為1化：1020001ffffff ：，： (446)代入方程（440）得到平板邊界層的Blasius方程 (447) 方程（447）為非線性方程，沒有解析解，表4-1為其數(shù)值解。（1）邊界層內(nèi)速度分布 12uUfyUvffxx 0.930.930.85Rex*100.201324561.00.40.60.8u/U001.2符號(hào)0.821.24781.081.110.86表4-1 平板層流邊界層的數(shù)值解圖4-10 平板

27、邊界層的u速度分布 (448)Uyx 圖4-11 層流邊界層中v的分布（2）邊界層厚度25.05.0RexxxU100111 1( ) ()0 1.7211.721ReyxudyUxfdUxfUxxU (450)200001 1 1 (1)0 20 0.6640.664ReyxuudyUUxffdUxfdUxffff dUxfUxxU2183（3）壁面摩擦阻力 xwfUCRe1664. 022 lflfDflCdxClCRe1328. 1210 22e0100.3320.332RwxyuUfUUyUxxU (451) (452) (453) 附圖：切應(yīng)力系數(shù)與雷諾數(shù)的關(guān)系3、邊界層方程的相似性

28、解 xUuyvuyyuxUUyuvxuuyvxueee：00022eeUAUvAvuAuyAyxAx54321， (439) 考慮一般的二維定常不可壓縮流體層流邊界層 對(duì)其5個(gè)變量引入線性變化群 (455)2222223152431324130yuAxUUAyuvAxuuAyvAxuAee12345、( , , , ,)( , , , ,)eex y u v Ux y u v U和式中 均為常數(shù)，由方程（439）可得： (456) 為了使變量系 滿足相同的方程（439），則需要滿足：2315243132413222241 21 21 21 2, eeyyxxuuvvxxxxUUxx21532可

29、得：消去變換參數(shù)A，可得兩個(gè)變量組之間的關(guān)系： (457) 式（457）表示的是線性不變量，即絕對(duì)不變量 2121xUhxvgxufxye1 200efgUfx ：CxUe21 根據(jù)Morgan定理，如果邊界條件與x無關(guān)，那么（458）式表示的絕對(duì)變量即是相似變量，為此meCxU 邊界條件： (458) (459) (460) fmCf gf fmmfgfmmf2221021eUx（ ）2CxUe 邊界條件 為（460）形式的冪函數(shù)，邊界層則存在相似解。 將（458）和（460）代入方程（439）中，得到同時(shí)（460）可以寫成： (461) (462)0Uyyz=reiaz=reiax (1)

30、 流動(dòng)是半頂角為 的二維半無限楔形體的對(duì)稱繞流；如圖（414）所示。根據(jù)勢流理論，利用復(fù)勢和保角變換，可以得到楔形表面的勢流流速： 式中U-1是圖413中Z=-1點(diǎn)的流速。這類邊界層流動(dòng)的相似解叫做FalknerSkan解。0 02m 當(dāng)， 即時(shí)，2 mexUxU1 (463) 圖4-12 半無限楔形繞流（2） 即 為Blasius繞半無限長平板邊界層解。 (3） 為繞流鈍頭柱前駐點(diǎn)附近的二維流動(dòng)（相當(dāng)于頂角為180o的楔形體繞流），例如圖414繞圓柱的對(duì)稱流動(dòng)，對(duì)于前駐點(diǎn)附近當(dāng) 足夠小時(shí)，外部勢流的流速為：00m11m（）Rx 2eUUxxRU00X (464) 圖4-13 繞圓柱的對(duì)稱勢流

31、 (4) 為繞捌角為 的外鈍角的勢流，此時(shí) 。（圖4-14）120 02m （）21mmxyUU10mC ，（5） 為收縮平壁面中的流動(dòng)（圖4-15)。 xCxUe (465)圖4-14圖4-154、Falkner-Skan變換(法沃克納-斯坎變化） 設(shè) 為二維平面或軸對(duì)稱流動(dòng)經(jīng)過Mangler變換后的平面， 為FS變換后的平面。F-S變換的基本思想是以變化的長度尺度 向尺度量綱為1化，以抵消邊界層增長引起的尺度變化，即設(shè)。( , )x, yCxx( , )x y1Rexx( )xy對(duì)其中，C為常數(shù)， 為邊界層厚度。根據(jù)層流平板邊界層有 (466) (467)eeU xUyyxxxx 2yxx

32、xxxxxxx12exxxUxxyyyx上式即為FS變換。由此可得： 定義一量綱為1流函數(shù) 有如下關(guān)系：,f xx y,它與()平面的流函數(shù), x y (468) (469) 121122, 2eeeex yUxf xuvyxuU fUvUxffxx 其中，“”為對(duì) 的導(dǎo)數(shù)。 將上述關(guān)系式代入邊界層方程（4-70)： (470)211uudpuuvtxydxyy xffxffxfmf fmftk221211（軸對(duì)稱）（二維）10k (471)得到：其中k為流動(dòng)類型指標(biāo)，t為橫曲率，m為量綱為1的壓力梯度參數(shù)。 (472)21212cos211eUxLrLtdxdUUxmee 邊界條件為：00f

33、：1f：0 xf其中對(duì)應(yīng)于變換后的邊界層外緣坐標(biāo)。令 ，對(duì) 積分可得壁面吹氣條件下 的邊界條件:xwewdvxUfxf02110 , (473) F-S變換優(yōu)點(diǎn)：對(duì)于大多數(shù)層流邊界層，其厚度 近似為常數(shù)，因此數(shù)值計(jì)算中可沿流向取較大的步長。 原邊界層的特征量： xwkffLrCRe20 xkrLRe101xkxrLRe202xUexRe10201,0,1fdf xf xffd 量綱為1邊界層厚度： (474) (475)第四節(jié) 邊界層的分離現(xiàn)象和定常邊 界層的分離條件 邊界層外的壓力梯度為 GP-POOUOOPOOMsMSRxUUtUxpeee (476)圖4-16 橢圓柱繞流的物面壓力分布

34、px在一般情況下，可能為正，也可能為負(fù)。 1、分離發(fā)生的必要條件 邊界層發(fā)生分離的必要條件是：粘性和逆壓梯度。粘性的存在將在物體壁面附近形成邊界層，承受逆壓梯度的邊界層是流體發(fā)生分離的必要條件。圖4-17 平板引起的滯止流動(dòng)圖4-18 收縮-擴(kuò)張 通道中的流動(dòng) 2、邊界層分離機(jī)理在不可滲透的固體壁面上:由邊界層方程，可得： y， 00yuv，xpyuy1022 當(dāng) 時(shí) ；故在接近邊界層的外緣處，切應(yīng)力 ，因而 即 。 一般我們稱在邊界層坐標(biāo)的某一固定點(diǎn)處的速度u隨y的變化曲線（即速度分布），稱為邊界層的速度剖面。故在接近邊界層的外緣處，速度剖面是凸向下游的曲線，而在物面上速度剖面的曲率決定于

35、。 eUu 00y022yuxp 圖419 曲面邊界層分 離示意圖 對(duì)于柱形體的二維定常繞流，在物面附近的順壓梯度區(qū)中 即 在物面上的速度剖面也是凸向下游的曲線，因此整個(gè)速度剖面沒有捌點(diǎn)，如圖4-19（a）所示，在圖419中M點(diǎn)為 的點(diǎn)。在從M點(diǎn)向下游，為物面的逆壓梯度區(qū)， 即物面上速度剖面是凹向下游的曲線，故在速度剖面上必然出現(xiàn)捌點(diǎn)I，如圖419（b）所示。 根據(jù)圖419，在逆壓梯度區(qū)，通常 隨x的增加而減小的，如果在某點(diǎn)，X=Xs壁面的切應(yīng)力為0。 0,px2200,yuy0px22000,ypuxy即0ywyu 而當(dāng) 時(shí) ， 時(shí)， 。這就是說，當(dāng) 時(shí)，物體表面附近發(fā)生了反向回流，如圖41

36、9所示。從壁上這一點(diǎn)起，流體不再貼著物面流動(dòng)，而是從物面“分離”出去。S稱為分離點(diǎn)。sxx 00yyusxx 00yyusxx R=Rssu=0圖4-20 分離點(diǎn)附近的流動(dòng) 分離點(diǎn)附近的流動(dòng)。在分離區(qū)，由于回流造成了真空使下游流體倒流回來，碰到主流沖擊又將順流而去，形成了明顯的渦旋區(qū)。當(dāng)邊界層與物面分離后，就像自由射流一樣注入外部勢流中在主流和回流之間形成一條分界線，這條分界線就是圖420中從物面離開的零流線T（ ）。脫體的邊界層在外部勢流攜帶下，將漂向下游和物體后面的流體混和形成尾渦區(qū)，由于渦旋損耗動(dòng)能，因此產(chǎn)生了尾渦阻力。 歸納以上所述，可以得出：（1）邊界層分離只可能在逆壓梯度作用下發(fā)生

37、，對(duì)于定常流動(dòng)，邊界層分離區(qū)可能發(fā)生在物面的減速區(qū)內(nèi)。（2）對(duì)于二維定常流動(dòng)，分離點(diǎn)由以下條件決定，即：0u 由上式可知，要計(jì)算分離點(diǎn)位置，必須先求解邊界層的速度分布。但是，在發(fā)生分離的情況下，不能用無粘性流體繞流解來得到邊界層外的勢流速度分布，因?yàn)榉蛛x后較大的尾跡區(qū)對(duì)邊界層外的勢流流場有不可忽略的影響。如果用實(shí)驗(yàn)測得的物面壓力分布為基礎(chǔ)，來計(jì)算分離點(diǎn)的位置，會(huì)得到滿意的結(jié)果。 對(duì)于給定 的邊界層方程在分離點(diǎn) 是奇性，而且在分離區(qū)，由于邊界層厚度大幅度的增加，u與v比較不再是小量， 的條件也得不到滿足，因此推導(dǎo)邊界層方程的基本前提不再適用了。所以嚴(yán)格0: 0, 0sswx xyuxxy在 (4

38、78)pxsx xL 如果壁面是多孔的，且通過壁面有垂直方向的流體吹入或吸出，這時(shí)定常邊界層的分離條件遠(yuǎn)較不可滲透壁面的情況復(fù)雜。在這種情況下，式（467）應(yīng)變動(dòng)為 00221ywyyuvxpyu地說，用邊界層方程來計(jì)算分離點(diǎn)的位置，不可能得到很準(zhǔn)確的結(jié)果。此外邊界層分離后形成較大的尾跡區(qū)，尾跡區(qū)中的流動(dòng)通常是非定常的，在分離點(diǎn)，渦旋周期地從物面脫落，由于渦旋脫落對(duì)分離點(diǎn)附近壓力分布的影響，分離點(diǎn)的位置也往往會(huì)有周期性微小的擺動(dòng)。 (479)圖4-21 壁面吸出情況下分離 點(diǎn)附近的流線pSu=0000S0pyyuyuy 當(dāng)時(shí)，吸出流體有抵消逆壓梯度的作用，使邊界層不容易分離。 邊界層的分離點(diǎn)

39、位于流體中間，且在 的 點(diǎn)下游。圖 421 壁面吹入情況下分離點(diǎn)附近的流線 pu=000pyuy 吹入流體有與逆壓梯度一致的作用，使邊界層更容易分離。 有壁面吹入的情況下，分離點(diǎn)的位置不確定，但大致在 的 點(diǎn)附近。3、分離判據(jù) （1）二維定常分離判據(jù)是Prandtl在1904年提出來的。用Prandtl的觀點(diǎn)，分離點(diǎn)是完全由外部條件決定的，邊界層分離總是伴隨著一個(gè)厚的旋轉(zhuǎn)流動(dòng)區(qū)域和渦發(fā)生區(qū)。三維分離形成的機(jī)理與二維分離一樣，也是由于流動(dòng)中存在的逆壓梯度并作用于有粘性阻滯的邊界層流動(dòng)的緣故。但三維邊界層是否分離，即判斷三維分離的準(zhǔn)則卻要比二維分離的準(zhǔn)則復(fù)雜得多。因?yàn)樵谌S邊界層中，即使沿某個(gè)方向

40、上存在壓力梯度，但由于邊界層內(nèi)的流體還可以沿其它方向流出，此時(shí)邊界層的流動(dòng)仍可以是附著的，所以并不能將摩擦應(yīng)力為零的二維判別準(zhǔn)則簡單地推廣應(yīng)用到三維邊界層流動(dòng)中。 （2）、三維分離流動(dòng)的壁面流動(dòng)特性。摩擦應(yīng)力是直接反映鄰近壁面流體運(yùn)動(dòng)的物理量。三維分離正是鄰近壁面的流體微團(tuán)要“離開”壁面的流動(dòng)現(xiàn)象。壁面上的三維分離對(duì)其鄰近區(qū)域的摩擦應(yīng)力線的分布和特性將產(chǎn)生相應(yīng)的影響。起始分離的壁面流動(dòng)特性可表示為 為三維分離點(diǎn)流動(dòng)在壁面所應(yīng)滿足的條件。P00eUP (480) 已有的分離流動(dòng)判別準(zhǔn)則往往需根據(jù)流動(dòng)的壁面特性來進(jìn)行分離識(shí)別研究， 二維: 三維: 00yuy00,uz200ux y 00,P 00

41、0uvyy0eUP (481) (482) 4、分離的控制和利用 自從人們意識(shí)到分離流動(dòng)對(duì)繞流部件上流動(dòng)特性的巨大影響，人們就開始研究如何控制和利用分離流動(dòng)，并且取得了長足的發(fā)展。如：航空領(lǐng)域幾代流型的演變就充分體現(xiàn)了人們對(duì)于分離控制和利用方面研究的進(jìn)步。第一代航空流型為定常附體流型，最大的特點(diǎn)是力求避免鈍體繞流的那種有害的大尺度分離流。隨著對(duì)分離及旋渦流動(dòng)認(rèn)識(shí)的不斷發(fā)展和深入，人們逐漸地?cái)[脫了附著流型的束縛，進(jìn)入了定常脫體渦流型設(shè)計(jì)思想的時(shí)代。對(duì)于定常脫體渦流型來說，不再認(rèn)為一切分離流都是有害的。只要控制得當(dāng)，由定常分離渦層所卷起的集中渦就能使機(jī)翼產(chǎn)生高升力。只有非定常分離和在機(jī)翼表面上無法

42、控制的分離才是有害的分離。這就是第二代定常脫體渦流型。 生物界很多昆蟲都天賦具有在極大迎角條件下利用與控制非定常脫體渦升力的能力，這就給人們以啟示，利用和控制非定常分離并不是不可能的。第三代流型突破了非定常分離流的禁區(qū)，其核心問題是如何利用各種主動(dòng)和被動(dòng)的方法，對(duì)流場中的渦量進(jìn)行組織和重組，其研究涉及到流場中各種不同時(shí)間空間尺度的旋渦結(jié)構(gòu)、它們之間的相互作用、以及它們對(duì)于外部擾動(dòng)的響應(yīng)特性。非定常分離和旋渦的控制與利用，是當(dāng)前非?；钴S的研究領(lǐng)域。近年來，已有大量的實(shí)驗(yàn)觀測和理論分析結(jié)果表明，在基本流動(dòng)為定常的情況下，對(duì)流動(dòng)施加弱非定常激勵(lì)，可以使已經(jīng)分離的流動(dòng)形成動(dòng)態(tài)再附，使處于大迎角失速狀態(tài)

43、下的機(jī)翼，產(chǎn)生持續(xù)的“超升力”，出現(xiàn)很大的動(dòng)態(tài)效應(yīng)。這種現(xiàn)象被認(rèn)為與物面邊界層狀態(tài)、流動(dòng)分離、旋渦的生成、脫落和破裂、以及旋渦之間和旋渦與物體及外部流場的相互作用有關(guān)?？梢灶A(yù)見，隨著人們對(duì)分離流動(dòng)越來越深入的認(rèn)識(shí)，利用定?；蚍嵌ǔＰ郎u流動(dòng)對(duì)物體的繞流特性進(jìn)行控制，不僅對(duì)航空領(lǐng)域，而且對(duì)一切與流動(dòng)相關(guān)的領(lǐng)域的發(fā)展產(chǎn)生巨大的推動(dòng)作用。第五節(jié) 邊界層方程的積分關(guān)系式解法 第三節(jié)介紹的邊界層流動(dòng)的相似性解屬于精確解法，但是大多數(shù)工程中的邊界層流動(dòng)不存在相似性解，必須用近似解法，而邊界層積分關(guān)系式解法是工程上廣泛應(yīng)用的邊界層近似解法。 1、動(dòng)量積分關(guān)系式 首先推導(dǎo)動(dòng)量積分關(guān)系式，從二維層流邊界層的微分方

44、程出發(fā)，即： 0yvxuyxUUtUyuvxuutueee1 (483) (484)以Ue乘以連續(xù)方程式兩邊，得到：以u(píng)乘以連續(xù)方程式兩邊+動(dòng)量方程式，得到:()()eeeU uU vUuxyxyxUUtUyuvxuutueee1 yuvvUyxUuUuuuUxuUteeeee1 (485) (486) (487)wwvvuy，：000，：eUuywweeeeevUdyuUxUdyuUuxdyuUt000212121212feweeeeCUvxUUxUtU 如果壁面是可滲透的，邊界條件為：(488)利用邊界條件（488），對(duì)方程（487）積分：根據(jù)邊界層厚度的定義： (490) (489)邊界

45、層的形狀因子， 對(duì)于層流邊界層其變化范圍大約為不可滲透定常不可壓層流邊界層的積分關(guān)系式 21H5 . 30 . 2H2222feeCdxdUUHdxd (491) 如何用動(dòng)量積分關(guān)系式求解邊界層呢？動(dòng)量積分關(guān)系式包含有三個(gè)未知數(shù)， 為了求解必須補(bǔ)充兩個(gè)方程。最簡單的方法就是近似給定邊界層的速度分布函數(shù) ，代入式（44）和式（47）等中得到 的表達(dá)式，再代入方程式（490）中。 這種近似解法的精確度決定于邊界層內(nèi)速度分布近似函數(shù)的給定形式。在一般層流邊界層中， 是 和x 的函數(shù)。 2fwCH12、 、 （或 、 、），euU12fC、( )euUxy xfxUue, (492) 式中關(guān)于 的函數(shù)

46、可以寫成級(jí)數(shù)的形式，但關(guān)于x的函數(shù)形式很難確定。首先點(diǎn) 的 由 點(diǎn) 各點(diǎn)的 值所決定的，在此區(qū)間，會(huì)有 、 、 、 ， 等P個(gè)點(diǎn)，那么 也就是上述各點(diǎn)的 函數(shù)：pxx xUuepxx 0 xUe0 x1xx 2xx 1pxxpxx xUueeU( )eeeeufU xU xU xUx12p，( )，(),() (493) 如果在（ ）區(qū)間 解析的話，那么 即是 在點(diǎn) 各階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)：pxpxx 0 xUe xUue xUe)(2222ppxxeexxeeeUxdxUdUxdxdUfUu，)(21，yfUue eeUxdxdUx 1 22222eeUxdxUdx (494) 那么 是無窮多個(gè)型參

47、數(shù)的函數(shù)。不過在實(shí)際運(yùn)用中只使用一個(gè)型參數(shù)或兩個(gè)型參數(shù)。其中只采用一個(gè)型參數(shù) 為單參數(shù)法 用上式代替邊界層內(nèi)的真實(shí)速度分布得出 的表達(dá)式代入邊界層積分方程式中，就可以解邊界層。 顯然上述解法除了決定于型參數(shù)的選擇之外，還決定速度u剖面（即 函數(shù)形式的選擇），這種速度剖面必須滿足速度分布的主要邊界條件。eUu eeUxdxdUx xfxyfUue，2fHC、 、 (495) 邊界層外邊界，粘性流與勢流銜接，它們的速度函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都相等，即 在不可滲透的壁面上，首先應(yīng)滿足無滑移條件和附加邊界條件: 0nend uyuUdy ，(n=1,2,3.)23230:0,0,0,.eeUdUuuyuvd

48、xyy 2、速度剖面在邊界上應(yīng)滿足的條件 (496) (497) 如果選用速度剖面滿足（497）中邊界條件，就表明它在壁面和外邊界都和真實(shí)的速度分布接近。在邊界層的中間部分 有一定的誤差。但是在應(yīng)用了動(dòng)量積分關(guān)系式，它并不要求每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)均滿足邊界層方程，而只是平均地、總體地在上述邊界為積分限的范圍內(nèi)沿邊界層厚度滿足了動(dòng)量積分式。 一般來說，在邊界條件中，愈靠前面的條件愈重要。 是很重要的，它控制了物面形狀的影響，因此在曲面邊界層中，必須滿足這個(gè)條件。 dxdUUyueey022(0)y (498)3、平板邊界層動(dòng)量積分關(guān)系式解法 根據(jù)相似性解，選用速度剖面： eUuy 0000 11 011

49、1 由此得到的 速度剖面的近似函數(shù)中只含有邊界層厚度 一個(gè)參數(shù)，因此只要確定 ，邊界層即可以解出.為此利用動(dòng)量積分關(guān)系式來求解 .對(duì)于平板邊界層 (Ue=const 可以簡化)： x x x (499) (4100)把 代入 、 公式中 2w1220011uudydUU 00Uyuyw1201d22fCdxd(4101) 其中 (4102)(4103) 20ddxU 220 xxU 220fCUx 12012 20DffCC dxlUl 可以認(rèn)為平板邊界層是從前緣開始 ， ：代入(4-101) (4104)0,0 x（4105）(4106）(4107) 選定 的具體函數(shù)形式問題即可解決。通常取

50、做多項(xiàng)式、三角函數(shù)或雙曲函數(shù)等。例如：選用三次多項(xiàng)式：1101d 11220 xU 2220 xU (4108)(4109)式中：( ) 332210aaaa(4110)32123 根據(jù)四個(gè)邊界條件：決定四個(gè)待定系數(shù) ,速度分布剖面的近似函數(shù)為 00, 00, 11, 10Ux646. 02Ux740. 11UxCf646. 0ULCDf292. 1(4111)(4112)表42平板邊界層近似解 4、有壓力梯度邊界層的動(dòng)量積分關(guān)系式解法 （1）波爾豪森(Pohlhausen)法 K. Pohlhausen（1921）利用動(dòng)量積分關(guān)系式首先求 出了有壓力梯度二維定常層流邊界層的近似解。利用四次多

51、項(xiàng)式為邊界層速度剖面的近似函數(shù)： 23401234,eux yaaaaaU0:y 0udxdUUyuee22:y eUu 0yu022yu(4113)(4114)Pohlhausen引入的量綱為1型參數(shù)： 確定五個(gè)系數(shù)UdxdpdxdUe200a621a22a322a 614a4324333622eUu因而得到速度剖面 (4115)(4116) 圖422 Pohlhausen速度剖面0.400.20.80.40.20.6BACD1.21.0u/Ue1.00.60.8A:A=-17.8B:A=-12C:A=0D:A=12E:A=30Ey 422 1212euU 是流體壓力與粘性力之比。 取不同的

52、典型值時(shí)速度剖面如圖 所示。000122067.052,12,1ewyedpdxUdudyuU ，的曲線；，；前駐點(diǎn)的速度分布曲線；邊界層內(nèi)出現(xiàn)的區(qū)域。 (4117) (4-118)代入積分關(guān)系式(4-91)中，可以得型參數(shù) 的微分方程式：12010319072945315372262ewU hdxdUdxUdgUdxdUdxdeeee221( )x (4118a) (4118b) (4118c) (4119) 23276. 512.2132 . 092. 112.213h 23276. 512.2138 . 092.3732.13366 .7257g x 式（4119）是 的一階非線性常微分

53、方程。在邊界層外部勢流速已知情況下，如果給出具體的初始條件，即可解出 ，并由此確定速度分布，以及邊界層各截面的特征量的數(shù)值。為此，需要討論 的初始值。 a對(duì)于鈍前緣物體的平面繞流問題，在前駐點(diǎn)處 x 其中： x 0,0,0eedUxUxdx： 00g 08 . 092.3732.13366 .72573020007.052 17.75 50 ， 方程（4117）成立，則必須0 為前駐點(diǎn)處形參數(shù)之值，因此00 7.052x ： 前駐點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)x0時(shí)的初始條件為： b對(duì)于尖前緣物體的平面繞流，如果坐標(biāo)原點(diǎn)取在前緣，該處的邊界層厚度為零，故初始條件為： (4120a) Pohlhausen法是積分

54、關(guān)系式求解中的單參數(shù)的基礎(chǔ)。不過有如下缺點(diǎn)：方程（4119）包含 的二階導(dǎo)數(shù)，帶來計(jì)算誤差；方程（4119）的計(jì)算不適合于逆壓梯度邊界層的計(jì)算，由Pohlhausen法，分離發(fā)生在處 。而實(shí)驗(yàn)資料和典型的精確解表面，分離發(fā)生在 左右。 ： 200edUxdx ：( )eUx： 12 5s (4120b)（2）HolsteinBohlen改進(jìn)算法 HHolstein and TBohlen（1940）對(duì)Pohlhausen法進(jìn)行了改進(jìn)，他們確定了一個(gè)新的型參數(shù)：dxdUzdxdUee222222zeweeUdxdUHdxdU22222222907294531537其中變換方程式（484），得到： (4121) (4122)根據(jù)速度剖面(4116)、動(dòng)量厚度(4118b)可得： (4123) HSF222 SUew90729453153761222 SHdxdzUe222 HH2907219451315371201103由式(4118a)、(4118b)和式(4123)可得：將式(4123)、(4124)代入（4122）得到：令： (4124a) (4124b) (4125) (4126) 表43 Polhausen法中函數(shù)的數(shù)值a對(duì)于尖前緣物體的二維繞流， 處