群論課件chap4.

1、第4章 晶體點群及其應(yīng)用第1節(jié) 轉(zhuǎn)動群和正交群1.三維轉(zhuǎn)動矩陣 1) 矢量轉(zhuǎn)動 三維空間中的算符A，作用于任一矢量r r上，給出同一空間中確定的矢量r r，并保持任意兩個矢量在變換前后的內(nèi)積不變，那么算符A就稱作矢量的轉(zhuǎn)動算符。 數(shù)學(xué)表達(dá)式為 Ar r=r r, As s=s s 且滿足 (r rs s)=(r rs s) 用一列矩陣表示矢量r r及r r，從而得到Ar r=r r的矩陣表 達(dá)式：333231232221131211zyxzyxAAAAAAAAA其中矩陣333231232221131211AAAAAAAAAA稱為三維轉(zhuǎn)動矩陣，Aij均為實數(shù)（1）2)基矢的轉(zhuǎn)動 當(dāng)三維空間中的算

2、符B作用于該空間的基矢i i,j j,k k,并保持正交歸一化關(guān)系不變時，就得到該空間的一組新基矢i i,j j,k k,新舊基矢之間的關(guān)系為 空間中任一矢量在新舊坐標(biāo)中可以寫成 寫成矩陣形式則為zkyjxizky jxirBk j ikji)() ( 333231232221131211BBBBBBBBBk j ikji zyxk j izyxkji （2）（3）將(1)式和(2)式代入(3)式，得zyxBAk j izyxAAAAAAAAABBBBBBBBBk j izyxk j i 333231232221131211333231232221131211由上式得到0IBA (單位矩陣)結(jié)

3、論：坐標(biāo)不動而轉(zhuǎn)動矢量的操作與矢量不動而往反方向轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系的操作是一樣的ABAB112 轉(zhuǎn)動矩陣A的性質(zhì)(1)A是幺正矩陣 由轉(zhuǎn)動算符定義得 (r rs s)=(Ar rAs s)=(r rA+As s) 因此A+A=I0，A為幺正算符，其矩陣為幺正矩陣(2)矩陣元之間正交歸一 ikjkjijAA由于A算符為幺正算符，則有由于Aij為實矩陣jiijijijAAAA_)(ikjkjjiAA則有結(jié)論：轉(zhuǎn)動矩陣中不同的兩列（行）矩陣元兩兩相乘后取和等于零（正交關(guān)系）。因此，實得幺正矩陣也稱正交矩陣(3)正當(dāng)轉(zhuǎn)動和非正當(dāng)轉(zhuǎn)動 由于A+A=I0,所以 det(A+A)=1 det(A+A)=detA+d

4、etA=(detA)2 所以 detA=1 detA=1, 稱為正當(dāng)轉(zhuǎn)動R detA=-1,稱為非正當(dāng)轉(zhuǎn)動S3 正當(dāng)轉(zhuǎn)動群SO(3)群 所有滿足detR=1的轉(zhuǎn)動R的集合構(gòu)成群，這個群就稱為正當(dāng)轉(zhuǎn)動群。(1)封閉性 (2)結(jié)合律(3)逆元(4)單位元性質(zhì)（1）正當(dāng)轉(zhuǎn)動的乘積仍是正當(dāng)轉(zhuǎn)動 （2）正當(dāng)轉(zhuǎn)動的逆仍是正當(dāng)轉(zhuǎn)動課堂證明！4.非正當(dāng)轉(zhuǎn)動 detS=-1 即非正當(dāng)轉(zhuǎn)動的行列式為-1注意：非正當(dāng)轉(zhuǎn)動不能構(gòu)成群（為什么？）非正當(dāng)轉(zhuǎn)動的兩個基本轉(zhuǎn)動1）中心反演I rr IzyxzyxI寫成矩陣形式因此反演的轉(zhuǎn)動矩陣為100010001I2）鏡像操作(旋轉(zhuǎn)+反演) v豎直鏡像 h水平鏡像 5 正交群

5、 當(dāng)全部正當(dāng)轉(zhuǎn)動與非正當(dāng)轉(zhuǎn)動一起構(gòu)成一個群，這個群就稱為三維空間中的正交群，也稱三維轉(zhuǎn)動反演群。記為O(3)群注：SO(3)群是O(3)群的子群，而且是不變子 群 反演I與E可組成群Ci，由于I可與任何正 當(dāng)轉(zhuǎn)動對易，則有 O(3)=SO(3) Ci O(3)與G=1，-1同態(tài) 第2節(jié) 點 群1.對稱操作 物體具有對稱性，就是指能對物體進(jìn)行某種操作，這種操作使物體各點在空間的位置變動了，但任何一點都占有操作以前物體某點的位置，而且任意兩點間的距離保持不變（物體完全復(fù)原） 三種基本的對稱操作 旋轉(zhuǎn)、反映、平移1）點對稱操作：旋轉(zhuǎn)、反演、鏡像等 操作特點：在操作的過程中，空間的某一點或某一條直線，

6、或某一張平面，總之至少有一個空間中的點保持不動。重復(fù)若干次這樣的某一個操作后，客體就回到起始位置。2）非點對稱操作：含平移的操作 兩類：螺旋旋轉(zhuǎn)和滑移反映 操作特點：對某一點連續(xù)施以包含平移的對稱操作不能回到起始點，而是在進(jìn)行了適當(dāng)次數(shù)的這種操作后，得到一個距起始點的距離為點陣平移周期的整數(shù)倍的點2.點對稱操作(1)操作方式： 主動操作：使空間中所有的點或位矢相對于固定的坐標(biāo)軸移動。 被動操作：操作時讓坐標(biāo)軸移動，但空間中所有的點或位矢保持不動(2)點對稱操作：保持物體表現(xiàn)不變的正交變換 特點：物體中至少有一點操作不變 物體中任意兩點之間的距離不變3.點群定義：一定物體的全部點對稱操作的集合（

7、系統(tǒng)的對稱性群）4.點群分類：第一類點群：僅僅有正當(dāng)轉(zhuǎn)動組成的點群第二類點群：包含非正當(dāng)轉(zhuǎn)動的點群5.正當(dāng)轉(zhuǎn)動點群 繞某軸轉(zhuǎn)動=2/n角的操作，記為cn Ecnnn度軸：相應(yīng)于cn的轉(zhuǎn)動軸主軸：n最大的cn 第3節(jié) 對稱操作1.轉(zhuǎn)動 最小轉(zhuǎn)角 min=2/n 對于晶體點群，n=1,2,3,4,6； 對于分子點群，n可以取任意的正整數(shù)，甚至轉(zhuǎn)軸的度數(shù)：n (HM:n,熊夫利斯符號記為Cn)轉(zhuǎn)軸的符號： C2- C3- C4- C6-轉(zhuǎn)動操作符號：Cnm（m=1,2,n）含義： Cnm=(Cn)m2.鏡像對稱元素：v豎直鏡面 h水平鏡面 d包含某一個對稱軸并且平分另外兩個二度軸夾角的鏡面特點：k

8、kCk k()=Ck k()k k3.反演 使任意位矢r r變?yōu)?r r的中心反演I，且I2=E，I=hC2特點：反演操作與其它任何點對稱操作對易4.旋轉(zhuǎn)鏡像 k kCk k()像轉(zhuǎn)軸的度數(shù)：n 記作Sn符號：S2- 二度的像轉(zhuǎn)軸 S3- 三度的像轉(zhuǎn)軸 S4- 一個四度像轉(zhuǎn)軸一定包含一個二度軸 S6- 一個六度像轉(zhuǎn)軸一定包含一個三度軸5.關(guān)于對稱操作的兩個定理(1)兩個相交平面的鏡像操作的乘積是一個轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)軸是兩個平面的交線，轉(zhuǎn)角是兩平面夾角的兩倍。(2)繞軸u,v轉(zhuǎn)動角的兩個轉(zhuǎn)動操作的乘積是另一個轉(zhuǎn)動操作，其轉(zhuǎn)軸垂直于u,v，轉(zhuǎn)角是u,v的兩倍。 (3)對稱操作元素間的依賴關(guān)系如果一個物體有

9、兩個鏡面，則兩鏡面的交線是該物體的一個轉(zhuǎn)軸，若鏡面夾角是/n，則該軸為n度轉(zhuǎn)軸如果一個物體有一個n度轉(zhuǎn)軸和包含該軸的一個鏡面，則該物體必有n個包含該軸的鏡面，相鄰鏡面夾角為/n如果一個物體有兩個二度轉(zhuǎn)軸，則必有與之垂直的轉(zhuǎn)軸，若兩個二度轉(zhuǎn)軸的夾角為/n，則與之垂直的轉(zhuǎn)軸為n度轉(zhuǎn)軸如果一個物體有一個n度轉(zhuǎn)軸，和一個與之垂直的二度軸，則該物體必有與該n度軸垂直的n個二度軸，相鄰兩個二度軸的交角為/n一個偶數(shù)度軸、一個垂直于該軸的鏡面以及一個反演中心，若存在其中的兩個，則必然存在第三個。第4節(jié) 晶體點群1.點群 正當(dāng)轉(zhuǎn)動+非正當(dāng)轉(zhuǎn)動2. 第一類點群（正當(dāng)轉(zhuǎn)動組成）(1)約束條件 極點轉(zhuǎn)軸與球面的交點

10、 特點：其他點位置動，極點不動 n重極點n度轉(zhuǎn)軸與球面的交點 n重極點星由群中的操作聯(lián)系起來的極點的 集合。用(n,)表示。n表示轉(zhuǎn) 軸的度數(shù)，是極點的個數(shù)。 =g/n設(shè)點群共有組極點星，點群G的階g，則有)1(2)1(1gniiigngngniiiii11211)1(2)1(11（4.1）（4.2）（4.3）約束條件除去恒等元操作外，g與ni都應(yīng)是大于等于2的整數(shù)，（4.3）式的左右兩邊應(yīng)滿足2111211211iing14, =2,3為極點星的個數(shù)（2）第一點群的類型=2時，式(4.3)可以寫成gnii112112122112121gnnngnnngng21211121極點星: (n,1)

11、 (n,1);所以有一個n度軸，即為Cn群即=3時，式(4.3)可以寫成gnnn21111321設(shè)321nnn13213111nnnn1111321nnn131ngnn22111322122n因此，n13, 即n1=2代入約束條件得因此, n24, 即n2=2,3) n1=2,n2=222133gn設(shè)n3=n, 則g=2n，則有v1=v2=n極點星(2,n)(2,n)(n,2)有n個二度軸，和1個n度軸-Dn群（二面體群）)n1=2,n2=3gn26113 得到n36，n3=3，4，5 a)n1=2,n2=3,n3=3 得到g=12,所以極點星(2,6)(3,4)(3,4) 3個二度軸，4個三

12、度軸-T群（四面體群）b)n1=2,n2=3,n3=4 得到g=24極點星(2,12)(3,8)(4,6)6個二度軸，4個三度軸，3個四度軸-O群(八面體群)c)n1=2,n2=3,n3=5得到g=60極點星(2,30)(3,20)(5,12)15個二度軸，10個三度軸，6個五度軸-I群（P群）（二十面體群）綜上可知，第一類點群包含：Cn，Dn，T，O，I第二類點群(1)Cnh群 Cn群中添加h生成(2)Cnv群 Cn群中添加v生成(3)Dnh群 Dn群中添加n生成(4)Dnd群 Dn群中添加d生成(5)Th群 T群中添加i生成(6)Td群 T群中添加d生成(7)Oh群 O群中添加i生成(8)

13、Ih群 I群中添加i生成(9)Sn群3.極射赤平投影圖 單位元-虛 不存在水平鏡面 -實 垂直于主軸的水平鏡面（h） 直徑-實 包含主軸的垂直鏡面 （v） -虛 垂直于主軸的轉(zhuǎn)動軸，并在直徑的 兩端標(biāo)明其度數(shù) + 高于紙面的記號的投影 低于紙面的記號的投影4.32個晶體點群Cn群 軸轉(zhuǎn)動群，存在一個n度軸 Cn是一個循環(huán)群 ,.,2EcccCnnnnnCn群是一個Abel群，由于n的取值，軸轉(zhuǎn)動群包含五個群(1)C1 僅有一個群元E，是對稱性最低的群(2)C2 C2=E，c2 c2是生成元(3)C3 C3=c3,c32,c33=Ec3（繞z軸轉(zhuǎn)2/3）是生成元(4)C4 C4=c4,c42=c

14、2,c43,c44=E c4（繞z軸轉(zhuǎn)/2） 是生成元(5)C6 C6=c6,c62=c3,c63=c2,c64=c32,c65,c66=E 群元c6(繞z軸轉(zhuǎn)過/3的角）是C6群的生成元五個軸轉(zhuǎn)動群的極射投影圖Cnh Cn與h組合，包含n個轉(zhuǎn)動以及n個旋轉(zhuǎn) 反演，故Cnh共有2n個群元(6)C1h C1h=h,E h是生成元 C1h與C1v是同一群(7)C2h C2h=c2,h, c2h, c22=h2=E c2,h是生成元(8)C3h C3h=c3,c32,h, c3h, c32h,E c3,h是生成元ihCCC22hhCCC133ihCCC44ihCCC66(9) C4h C4h=c4,

15、c2,c43,h, c4h,c2h, c43h,E c4, h是生成元(10)C6h C6h=c6,c3,c2,c32,c65,E,h, c6h,c3h, c2h,c32 h,c65 h c6, h是生成元Cnh群的極射投影圖Cnv群 n度轉(zhuǎn)軸以及過主軸的垂直鏡面 其群元為2n，其中n個繞主軸的轉(zhuǎn)動，n 個在垂直鏡面上的反射(11) C2v C2v=E,c2, v, v c2, v是生成元(12) C3v C3v=E,c3, c32,v,v, v c3, v是生成元(13) C4v c4, v是生成元(14) C6v c6, v是生成元Cnv群的極射投影圖S2m 包含n度旋轉(zhuǎn)反演軸，且n=2m

16、,當(dāng)n為 奇數(shù)時，與Cnh是一樣的(15) S2 S2=s2,E=Ci 生成元：s2=I(16) S4 S4=s4,c2,s43,E 生成元：s4(17) S6iCCS36S2m群的極射投影圖Dn群 包含一個n度軸，以及n個與之垂直的二 度軸。群階2n(18) D2 其生成元是c2z以及c2x(19) D3 其生成元是c3z以及c2x(20) D4 其生成元是c4z以及c2x(21) D6 其生成元是c6z以及c2xDn群的極射投影圖Dnh群 Dn群與水平鏡像h組成。群階為4n， 其中2n個Dn群的正當(dāng)轉(zhuǎn)動，n個垂直鏡 像，n個旋轉(zhuǎn)反演(22) D2h 生成元c2z ,c2x及 xy(23)

17、D3h 生成元c3z, c2x及xy(24) D4h 生成元c4z ,c2x及xy(25) D6h 生成元c6z ,c2x及xy虛線變實線+，變?yōu)镈n變?yōu)镈nhDnd群 Dn群與垂直鏡像d組成。群階為4n(26) D2d 生成元c2z,c2x以及d(27) D3d 生成元c3z,c2x以及dD2dD3d立方體群(28) T群 包含三個二度軸：坐標(biāo)軸x,y,z 以及四個三度軸:立方體的空間對角線 (正四面體群)(29) Td群 在T群中添加對角鏡面，包含T群的12 個群元，并包含6個垂直于立方體面 并包含正四面體一個邊的對角鏡面d(30) Th群 ihCTT(31) O群 包含24個群元，含有六

18、個二度軸，四個三 度軸，三個四度軸(32) Oh群 晶體學(xué)中最大的群，含有48個群元ihCOO小結(jié)：第一類點群五種：Cn ，Dn， T， O， I 第二類點群九種： (1)Cnh群 Cn群中添加h生成 (2)Cnv群 Cn群中添加v生成 (3)Dnh群 Dn群中添加n生成 (4)Dnd群 Dn群中添加d生成 (5)Th群 T群中添加i生成 (6)Td群 T群中添加d生成 (7)Oh群 O群中添加i生成 (8)Ih群 I群中添加i生成 (9)Sn群小結(jié)：32種晶體點群（14種點群+晶體周期性限制）Cn C1 C2 C3 C4 C6 C1h C2h C3h C4h C6h C1v C2v C3v

19、C4v C6vDn D1 D2 D3 D4 D6 D1h D2h D3h D4h D6h D1d D2d D3d D4d D6d S2 S4 S6 T Th Td O Oh32種晶體點群=11個第一類點群+21個第二類點群 =27個簡單點群+5個高級點群v補充：對稱操作關(guān)系 繞O軸轉(zhuǎn)過角的轉(zhuǎn)動與含該軸的平面A的鏡像之乘積是在包含O軸的平面B上的鏡像,其中平面B與平面A之間的夾角為 /232個點群之間的關(guān)系可以對易的對稱操作v兩個繞相同軸的轉(zhuǎn)動v兩個繞相互垂直的軸轉(zhuǎn)過角的操作v兩個互相垂直的平面上的鏡像v一個轉(zhuǎn)動與在垂直與該軸的平面上的鏡像v中心反演與任意的轉(zhuǎn)動及鏡像作 業(yè) 找出32個點群中的Abel群。討論：32個晶體點群中的Abel群CnCnhSnC2vD2D2hC1, C2, C3, C4, C6C1h, C2h,C3h,C4h,C6hS2, S4, S6構(gòu)造D3，以及D4群的群表D3=E，c3z,c2x, c2=c3zc