第章市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaRPPT課件

1、Chapter 05 市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)：風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR2/64引言金融機(jī)構(gòu)的投資組合價(jià)值往往取決于成百上千個(gè)市場(chǎng)變量。某些用于考察某些特殊市場(chǎng)變量對(duì)于投資組合價(jià)值影響的度量指標(biāo)，如Delta、Gamma、Vega等，盡管這些風(fēng)險(xiǎn)度量很重要，但并不能為金融機(jī)構(gòu)高管和監(jiān)管人員提供一個(gè)關(guān)于整體風(fēng)險(xiǎn)的完整圖像。3/64引言風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR （Value at Risk）是試圖對(duì)金融機(jī)構(gòu)的資產(chǎn)組合提供一個(gè)單一風(fēng)險(xiǎn)度量，這一度量能夠體現(xiàn)金融機(jī)構(gòu)所面臨的整體風(fēng)險(xiǎn)。VaR最早由J. P. Morgan投資銀行提出，隨即被各大銀行、基金等金融機(jī)構(gòu)采用。4/64引言目前，VaR已經(jīng)被巴塞爾委員會(huì)用來計(jì)算世界上不同地區(qū)銀行的

2、風(fēng)險(xiǎn)資本金，包括針對(duì)市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)、信用風(fēng)險(xiǎn)和操作風(fēng)險(xiǎn)的資本金。本章內(nèi)容： VaR的概念 VaR的計(jì)算例子 VaR與ES VaR與資本金 VaR中的參數(shù)選擇 后驗(yàn)分析（Backtesting analysis）5/645.1 VaR的定義VaR：我們有X的把握，在未來T 時(shí)期內(nèi)，資產(chǎn)組合價(jià)值的損失不會(huì)大于V。V ：資產(chǎn)組合的VaRVaR是兩個(gè)變量的函數(shù)：持有期T 和置信度X%VaR可以由投資組合收益（Profit）的概率分布得出，也可以由投資組合損失（Loss）的概率分布得出。6/645.1 VaR的定義當(dāng)采用收益分布時(shí)，VaR等于收益分布第(100-X) %分位數(shù)的負(fù)值7/645.1 VaR的定義

3、當(dāng)采用損失分布時(shí)，VaR等于損失分布第X% 分位數(shù)。例：當(dāng)T =5，X =97%時(shí)，VaR對(duì)應(yīng)于投資組合在5天后收益分布的3分位數(shù)的負(fù)值，也對(duì)應(yīng)于投資組合在5天后損失分布的97分位數(shù)。8/645.2 VaR的計(jì)算例子Example 1假定一個(gè)交易組合在6個(gè)月時(shí)的收益服從正態(tài)分布，分布的均值為2（單位：百萬(wàn)美元），標(biāo)準(zhǔn)差為10。由正態(tài)分布的性質(zhì)可知，收益分布的1分位數(shù)為 2-2.3310，即-21.3。因此，對(duì)于6個(gè)月的時(shí)間期限，在99置信度下的VaR為21.3（百萬(wàn)美元）。9/645.2 VaR的計(jì)算例子Example 2假定一個(gè)1年期項(xiàng)目的最終結(jié)果介于5000萬(wàn)美元損失和5000萬(wàn)美元收益之

4、間，中間的任意結(jié)果具有均等的可能性。項(xiàng)目的最終結(jié)果服從由-5000萬(wàn)美元到+5000萬(wàn)美元的均勻分布，損失大于4900萬(wàn)美元的可能性為1。因此，在1年后，基于99置信度的VaR為4900萬(wàn)美元。10/645.2 VaR的計(jì)算例子Example 3一個(gè)1年期項(xiàng)目，有98的概率收益200萬(wàn)美元，1.5的概率損失400萬(wàn)美元，0.5的概率損失1000萬(wàn)美元。11/645.2 VaR的計(jì)算例子在這樣的累積分布下，對(duì)應(yīng)于99累積概率的損失為400萬(wàn)美元。VaR400萬(wàn)美元可以這樣描述：我們有99的把握認(rèn)為在未來1年后該項(xiàng)目損失不會(huì)超過400萬(wàn)美元。12/645.2 VaR的計(jì)算例子Example 4續(xù)上

5、例，試求99.5置信度下的VaR上圖顯示，介于400萬(wàn)美元和1000萬(wàn)美元中的任何損失值出現(xiàn)的可能性都不超過99.5。VaR在這一情形下不具備唯一性一個(gè)合理選擇：將VaR設(shè)定為這一區(qū)間的中間值，即99.5%置信度下的VaR為700萬(wàn)美元。13/645.3 VaR與ES在應(yīng)用VaR時(shí)，實(shí)際上是在問“最壞的情況將會(huì)是怎樣”，這一問題是所有金融機(jī)構(gòu)高級(jí)管理任意都應(yīng)關(guān)心的問題。VaR將資產(chǎn)組合價(jià)值對(duì)各種不同類型市場(chǎng)變量的敏感度壓縮成一個(gè)數(shù)字，這使管理人員的工作大為簡(jiǎn)化。另外，VaR也比較容易進(jìn)行后驗(yàn)分析（Backtesting analysis）。14/645.3 VaR與ES然而，VaR卻有會(huì)使交易

6、員有冒更大風(fēng)險(xiǎn)的缺陷。例如，一家銀行限定某個(gè)交易員的投資組合在未來一天內(nèi)99的VaR額度為1000萬(wàn)美元，該交易員可以構(gòu)造某一資產(chǎn)組合，該組合有99.1的可能每天的損失小于1000萬(wàn)美元，但有0.9的可能損失5000萬(wàn)美元。這一組合滿足了銀行的監(jiān)管規(guī)定，但很明顯，交易員使銀行承擔(dān)了不可接受的風(fēng)險(xiǎn)。15/645.3 VaR與ES交易員所追求的概率分布：16/645.3 VaR與ES許多交易員喜歡承擔(dān)更大的風(fēng)險(xiǎn)，以期得到更大的收益。某交易員：“我還從來沒有碰到過一種風(fēng)險(xiǎn)控制系統(tǒng)會(huì)使我的交易無(wú)法進(jìn)行”。17/645.3 VaR與預(yù)期損失預(yù)期損失ES一種比VaR更能使交易員產(chǎn)生合理交易動(dòng)機(jī)的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度為

7、預(yù)期損失ES（Excepted shortfall），有時(shí)又被稱為“條件VaR”（conditional VaR）、“條件尾部期望（conditional tail expectation）”、“尾部損失”（tail loss）。ES：超過VaR的損失期望值18/645.3 VaR與預(yù)期損失ES也是兩個(gè)變量的函數(shù)：持有期T 和置信度X。例如，當(dāng)X 99，T 10天時(shí)，VaR6400萬(wàn)美元的ES是指在10天后損失超過6400萬(wàn)美元時(shí)的期望值。ES比VaR更符合風(fēng)險(xiǎn)分散原理。19/645.3 VaR與預(yù)期損失ES的缺陷：形式較為復(fù)雜且不如VaR更為直觀；較難進(jìn)行后驗(yàn)分析。ES也已在監(jiān)管機(jī)構(gòu)和風(fēng)險(xiǎn)管

8、理人員中得到了廣泛應(yīng)用。20/645.4 VaR和資本金VaR被監(jiān)管機(jī)構(gòu)用來確定資本金的持有量。對(duì)于市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，監(jiān)管機(jī)構(gòu)往往要求資本金等于在未來10天99VaR的若干倍數(shù)；對(duì)于信用風(fēng)險(xiǎn)和操作風(fēng)險(xiǎn)，監(jiān)管機(jī)構(gòu)往往要求在資本金計(jì)算中，要采用1年的持有期和99.9的置信度。21/645.4 VaR和資本金對(duì)于99.9的置信度和1年時(shí)間，某個(gè)組合的VaR為5000萬(wàn)美元，這意味著在極端條件下（理論上，每1000年出現(xiàn)一次），該組合在1年時(shí)間內(nèi)的損失會(huì)超過5000萬(wàn)美元。也就是說，我們有99.9的把握認(rèn)為，持有該組合的金融機(jī)構(gòu)不會(huì)在1年內(nèi)完全損失所持有的資本金。如果要確定資本金數(shù)量，VaR是最好的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度選

9、擇嗎？22/645.4 VaR和資本金Artzner等（1999）認(rèn)為，一個(gè)好的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度應(yīng)該滿足：（1）單調(diào)性（Monotonicity）：如果在任何條件下，A組合的收益均低于B組合，那么A組合的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度值一定要大于B組合的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度值； 含義：如果一個(gè)組合的回報(bào)總是比另一個(gè)組合差，那么第一個(gè)組合的風(fēng)險(xiǎn)一定要高，其所需要的資本金數(shù)量更大。23/645.4 VaR和資本金（2）轉(zhuǎn)換不變性（Translation invariance）：如果在交易組合中加入K 數(shù)量的現(xiàn)金，則風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度值必須減少K； 含義：如果在組合中加入K 數(shù)量的現(xiàn)金，則該現(xiàn)金可以為損失提供對(duì)沖，相應(yīng)的準(zhǔn)備金要求也應(yīng)該可以減少K。2

10、4/645.4 VaR和資本金（3）同質(zhì)性（Homogeneity）：如果一個(gè)資產(chǎn)組合所包含的資產(chǎn)品種和相對(duì)比例不變，但資產(chǎn)數(shù)量增至原來數(shù)量的n （n 0）倍，則新組合的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度值應(yīng)該原組合風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度值的n倍； 含義：如果將某交易組合放大兩倍，相應(yīng)的資本金要求也應(yīng)該放大兩倍。25/645.4 VaR和資本金（4）次可加性（Sub-additivity）：由兩種資產(chǎn)構(gòu)成的投資組合的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度值應(yīng)小于等于兩種資產(chǎn)各自風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度值之和。 含義：該條件與“不要把雞蛋放在同一個(gè)籃子里”的經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)管理思想一致，即分散化投資的風(fēng)險(xiǎn)一定要小于等于集中化投資的風(fēng)險(xiǎn)。VaR滿足條件（1）、（2）、（3），但并不永遠(yuǎn)滿足

11、條件（4）。26/645.4 VaR和資本金Example 5假定兩個(gè)獨(dú)立的貸款項(xiàng)目在1年內(nèi)均有2的概率損失1000萬(wàn)美元，同時(shí)均有98的概率損失100萬(wàn)美元，因此，任意一個(gè)單筆貸款在期限為1年、置信度為97.5下的VaR均為100萬(wàn)美元。將兩個(gè)貸款疊加產(chǎn)生一個(gè)資產(chǎn)組合，組合有0.020.020.0004的概率損失2000萬(wàn)美元，有20.020.980.0392的概率損失1100萬(wàn)美元，有0.980.980.9604的概率損失200萬(wàn)美元。27/645.4 VaR和資本金在時(shí)間期限為1年，97.5的置信度下，貸款組合的VaR為1100萬(wàn)美元，單筆貸款對(duì)應(yīng)的VaR之和為200萬(wàn)美元。貸款組合的V

12、aR比貸款VaR的總和高900萬(wàn)美元違反次可加性28/645.4 VaR和資本金Example 6考慮兩筆期限均一年，面值均為1000萬(wàn)美元的貸款，每筆貸款的違約率均為1.25。當(dāng)其中任何一筆貸款違約時(shí)，收回本金的數(shù)量不定，但回收率介于0100的可能性均等。當(dāng)貸款沒有違約時(shí)，每筆貸款盈利均為20萬(wàn)美元。29/645.4 VaR和資本金假定如果任意一筆貸款違約，那么另一筆貸款一定不會(huì)違約。首先考慮單筆貸款，違約可能為1.25。如果發(fā)生違約，損失均勻地介于01000萬(wàn)美元，這意味著損失大于零的概率為1.25；損失大于500萬(wàn)的概率為0.625；損失大于1000萬(wàn)的概率為零。01000概率：1.25

13、30/645.4 VaR和資本金1年期99的VaR是多少？要求99的VaR，需要找出概率為1的損失值。設(shè)該損失值為X，有：解得：X200。 對(duì)單筆貸款， VaR200 （萬(wàn)美元）31/645.4 VaR和資本金綜合考慮兩筆貸款。由于每筆貸款的違約概率均為1.25，且兩筆貸款不可能同時(shí)違約，所以兩筆貸款中有一筆貸款違約出現(xiàn)的概率為2.5。違約觸發(fā)的損失介于01000萬(wàn)美元的概率為均等。32/645.4 VaR和資本金貸款組合99的VaR是多少？要求99的VaR，需要找出概率為1的損失值。設(shè)該損失值為X，有：解得：X600（萬(wàn)美元）33/645.4 VaR和資本金由于一筆貸款違約時(shí)，另外一筆貸款會(huì)

14、盈利20萬(wàn)美元，因此將這一盈利考慮在內(nèi)，可得貸款組合1年期99的VaR580萬(wàn)美元。單筆貸款的VaR之和200200400（萬(wàn)美元）這一結(jié)果再次與“貸款組合會(huì)帶來風(fēng)險(xiǎn)分散效應(yīng)”的論斷相悖。34/645.5 滿足一致性條件的風(fēng)險(xiǎn)度量滿足單調(diào)性、轉(zhuǎn)換不變性、同質(zhì)性、次可加性等四個(gè)條件的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度被稱為“一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度”VaR不是一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度，而ES是一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度Example 7繼續(xù)考慮例5。每筆貸款的VaR均為100萬(wàn)美元，現(xiàn)在要計(jì)算置信度為97.5的尾部期望損失。35/645.5 滿足一致性條件的風(fēng)險(xiǎn)度量在2.5的尾部概率中，有2的概率損失1000萬(wàn)美元，有0.5的概率損失100萬(wàn)美元。因此

15、，在2.5的尾部分布范圍內(nèi)，有80的可能損失1000萬(wàn)美元，有20的可能損失100萬(wàn)美元。預(yù)期損失ES為0.8100.218.2（百萬(wàn)美元）36/645.5 滿足一致性條件的風(fēng)險(xiǎn)度量將兩個(gè)貸款項(xiàng)目結(jié)合到一起時(shí)，在2.5的尾部概率中，有0.04的概率損失2000萬(wàn)美元，有2.46的概率損失1100萬(wàn)美元。因此，在2.5的尾部分布內(nèi)，預(yù)期損失ES為(0.04/2.5) 20(2.46/2.5)11=11.144（百萬(wàn)美元）28.2 11.144，故該例中，ES滿足次可加性。37/645.5 滿足一致性條件的風(fēng)險(xiǎn)度量一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度可被理解為分位數(shù)的某種加權(quán)平均就損失分布而言，VaR對(duì)第X 個(gè)分位數(shù)設(shè)定

16、了100的權(quán)重，而對(duì)其它分位數(shù)設(shè)定了0權(quán)重；ES對(duì)高于X 分位數(shù)的所有分位數(shù)設(shè)定了相同的權(quán)重，但對(duì)低于X 分位數(shù)的所有分位數(shù)設(shè)定了0權(quán)重。基于這一思想，我們可以對(duì)損失（收益）分布中的所有分位數(shù)賦予不同權(quán)重，并由此定義“光譜型風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度”（Spectral risk measure）。38/645.5 滿足一致性條件的風(fēng)險(xiǎn)度量當(dāng)光譜型風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度對(duì)第q 個(gè)分位數(shù)的權(quán)重為q 的非遞減函數(shù)時(shí)，這一光譜型風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度一定滿足次可加性，進(jìn)而滿足一致性條件。ES滿足以上要求，但VaR不滿足，因?yàn)閂aR對(duì)高于X %分位數(shù)的所有分位數(shù)設(shè)定的權(quán)重小于對(duì)X 分位數(shù)所設(shè)定的權(quán)重。39/645.5 滿足一致性條件的風(fēng)險(xiǎn)度量研究

17、人員提出其它風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度，這些風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度中，第q 個(gè)分位數(shù)的權(quán)重隨著q 的改變而有較大的變化。例如，使第q 個(gè)分位數(shù)所對(duì)應(yīng)的權(quán)重wq與e-(1-q)/成比例，這里的為常數(shù)，這種風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度被稱為指數(shù)光譜型風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度（exponential spectral risk measure）。例如：40/645.5 滿足一致性條件的風(fēng)險(xiǎn)度量0.9 1.0圖5-1 權(quán)重作為分位數(shù)函數(shù)的3種情形ES 0.05 0.15權(quán)重累積概率61241/645.6 VaR中的參數(shù)選擇計(jì)算VaR時(shí)，需要預(yù)先設(shè)定兩個(gè)參數(shù)：持有期和置信度通常假設(shè)：（1）資產(chǎn)價(jià)格變化（收益率）服從正態(tài)分布；（2）收益率的期望值為零基于以上兩個(gè)假定：其中

18、，X 為置信度，為對(duì)應(yīng)于持有期內(nèi)資產(chǎn)組合的波動(dòng)率（連續(xù)復(fù)利收益率的標(biāo)準(zhǔn)差），N-1( ) 為累積標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的反函數(shù)（Excel命令：NORMSINV）。(5-1)42/645.6 VaR中的參數(shù)選擇對(duì)任何持有期和置信度，VaR都與成正比。假設(shè)某資產(chǎn)組合在10天持有期上的價(jià)值變化服從均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為2000萬(wàn)美元的正態(tài)分布10天持有期、99置信度下的VaR為：2000N-1(0.99)4653（萬(wàn)美元）43/645.6 VaR中的參數(shù)選擇持有期的選擇持有期的選擇要視具體情況而定銀行交易賬戶當(dāng)中的頭寸往往流通性較好，管理人員的交易行為也往往比較活躍，因此銀行計(jì)算每天的VaR就非常有意義。當(dāng)

19、VaR超出一定界限時(shí)，管理人員就需對(duì)組合進(jìn)行調(diào)整。銀行計(jì)算較長(zhǎng)時(shí)間的VaR沒有太大意義，因?yàn)樵谝粋€(gè)較長(zhǎng)的時(shí)期內(nèi)，組合內(nèi)的資產(chǎn)往往會(huì)有較大變化。44/645.6 VaR中的參數(shù)選擇對(duì)于養(yǎng)老基金投資組合，管理人員往往會(huì)選擇一個(gè)較長(zhǎng)的持有期計(jì)算VaR。因?yàn)檫@類資產(chǎn)組合的交易往往不是太活躍，而且資產(chǎn)的流動(dòng)性不太好。這類資產(chǎn)組合的VaR往往每個(gè)月計(jì)算一次。對(duì)于任何投資組合，往往首先需要計(jì)算未來1天的VaR，然后采用以下公式計(jì)算未來T 天的VaR：(5-2)45/645.6 VaR中的參數(shù)選擇上式的正確性建立在 （1）資產(chǎn)價(jià)格的每天變化均獨(dú)立 （2）價(jià)格變化服從正態(tài)分布 （3）期望值為零 的基礎(chǔ)上。如果以

20、上條件不符合，(5-2)式就只是一個(gè)近似式。46/645.6 VaR中的參數(shù)選擇自相關(guān)性的影響實(shí)際上，資產(chǎn)價(jià)格每天的變化之間并非完全相互獨(dú)立將資產(chǎn)組合第i天的價(jià)格變化定義為Pi，假設(shè)Pi與Pi-1的相關(guān)系數(shù)為，對(duì)于任意i ， Pi的方差均為2，則Pi+Pi-1的標(biāo)準(zhǔn)差為：47/645.6 VaR中的參數(shù)選擇同理，可以計(jì)算T 天內(nèi)的價(jià)格變化的標(biāo)準(zhǔn)差：由上式可以看出，當(dāng)價(jià)格變化存在自相關(guān)性時(shí)，式(5-2)將會(huì)低估VaR。48/645.6 VaR中的參數(shù)選擇T=1T=2T=5T=10T=50T=25001.01.412.243.167.0715.810.051.01.452.333.317.4316

21、.620.11.01.482.423.467.8017.470.21.01.552.623.798.6219.35表5-1 當(dāng)存在一階自相關(guān)性時(shí)T天VaR與1天VaR的比率49/645.7 后驗(yàn)分析將VaR與實(shí)際損失進(jìn)行對(duì)照的過程，稱為后驗(yàn)分析（backtesting analysis）。如果我們計(jì)算了持有期為1天、置信度為99的VaR，則首先要找出組合每天的損失中有多少次超過了這一VaR值，并將超過的情形稱為exception。如果exception出現(xiàn)的天數(shù)占整體天數(shù)的1左右，則說明VaR計(jì)算模型表現(xiàn)良好。50/645.7 后驗(yàn)分析如果exception的比例較大，說明VaR值偏低，而這將

22、導(dǎo)致資本金數(shù)量偏低。如果exception的比例較小，說明VaR值偏高，而這將導(dǎo)致資本金數(shù)量偏高。一般的，如果VaR的持有期為1天，置信度為X%，如果VaR模型準(zhǔn)確無(wú)誤，則損失超出VaR的概率應(yīng)為p=1-X%假定共有n個(gè)觀察日，其中有m天的損失超出VaR51/645.7 后驗(yàn)分析假定m/n p，說明VaR估計(jì)偏低，但我們是否應(yīng)該拒絕這一VaR計(jì)算模型？正式的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)：H0：對(duì)于任意一天，exception發(fā)生的概率為pH1：對(duì)于任意一天，exception發(fā)生的概率大于p損失超過VaR的天數(shù)大于等于m的概率為：(5-3)52/645.7 后驗(yàn)分析假設(shè)該檢驗(yàn)所選定的檢驗(yàn)水平為5如果由式(5-3)所計(jì)算的概率小于5，則可以拒絕H0，即可以認(rèn)為exception發(fā)生的概率大于p，從而拒絕該VaR計(jì)算模型。反之不能拒絕。53/