第七章 彎曲強(qiáng)度

1、工程實(shí)例剪力和彎矩剪力圖彎矩圖疊加法M,Q,q關(guān)系小結(jié)返回上頁(yè)結(jié)束PPPPPPPP工程實(shí)例剪力和彎矩剪力圖彎矩圖疊加法M,Q,q關(guān)系小結(jié)返回上頁(yè)結(jié)束 根據(jù)梁的支承情況，在工程實(shí)際中常將梁分為根據(jù)梁的支承情況，在工程實(shí)際中常將梁分為工程實(shí)例剪力和彎矩剪力圖彎矩圖疊加法M,Q,q關(guān)系小結(jié)返回上頁(yè)結(jié)束工程實(shí)例剪力和彎矩剪力圖彎矩圖疊加法M,Q,q關(guān)系小結(jié)返回上頁(yè)結(jié)束 aPRMMaPRMPRQQPRYAAAA 110110000:工程實(shí)例剪力和彎矩剪力圖彎矩圖疊加法M,Q,q關(guān)系小結(jié)返回上頁(yè)結(jié)束解解：（：（1）首先取整個(gè)梁為首先取整個(gè)梁為研究對(duì)象研究對(duì)象，畫受力分析圖，畫受力分析圖，由由平衡方程平衡方

2、程求求出梁的出梁的支座反力支座反力為為：kN75. 3kN25. 6 BARR（2）用截面法求內(nèi)力用截面法求內(nèi)力 在用截面在用截面n-n截取左段梁為研究對(duì)截取左段梁為研究對(duì)象，并設(shè)截面上剪力象，并設(shè)截面上剪力Q的方向和的方向和彎矩彎矩M的轉(zhuǎn)向均為正，如圖的轉(zhuǎn)向均為正，如圖4-10b所示。由平衡方程：所示。由平衡方程：mkN58 . 025. 68 . 008 . 0, 0MkN25. 60, 00 AAAARMMRRQQRY工程實(shí)例剪力和彎矩剪力圖彎矩圖疊加法M,Q,q關(guān)系小結(jié)返回上頁(yè)結(jié)束例如，運(yùn)用這一方法再來(lái)求解例例如，運(yùn)用這一方法再來(lái)求解例1時(shí)，時(shí)，如欲取截面右側(cè)的一段梁為研究對(duì)象，如欲取

3、截面右側(cè)的一段梁為研究對(duì)象，只須假想一張紙將左段梁蓋住，將只須假想一張紙將左段梁蓋住，將右右段段梁的外力按內(nèi)力符號(hào)規(guī)定向截面形心簡(jiǎn)梁的外力按內(nèi)力符號(hào)規(guī)定向截面形心簡(jiǎn)化就可寫出化就可寫出mkN57 . 0102 . 3kN25. 675. 310 BBRMRPQ工程實(shí)例剪力和彎矩剪力圖彎矩圖疊加法M,Q,q關(guān)系小結(jié)返回上頁(yè)結(jié)束 xMMxFFQQ工程實(shí)例剪力和彎矩剪力圖彎矩圖疊加法M,Q,q關(guān)系小結(jié)返回上頁(yè)結(jié)束解：解：（1）列剪力方程）列剪力方程和和彎矩方程彎矩方程 由平衡方程由平衡方程PxMMPxMPQPQY 得由得00000,（2）畫剪力圖和彎矩圖畫剪力圖和彎矩圖 從上知道，剪從上知道，剪力力

4、FQ不隨截面位置而變。在不隨截面位置而變。在OxM坐標(biāo)中可坐標(biāo)中可由兩點(diǎn)確定：在由兩點(diǎn)確定：在x=0處，處，M=0；在；在處處,M=-pl.由此可作出梁的彎矩圖如圖由此可作出梁的彎矩圖如圖4-12所示所示.由于各截面上的彎矩皆為負(fù)值由于各截面上的彎矩皆為負(fù)值,故畫故畫在橫坐標(biāo)下面在橫坐標(biāo)下面.由圖可見由圖可見,絕對(duì)值最大的彎絕對(duì)值最大的彎矩位于矩位于B端端,其絕對(duì)值為其絕對(duì)值為 PlM max工程實(shí)例剪力和彎矩剪力圖彎矩圖疊加法M,Q,q關(guān)系小結(jié)返回上頁(yè)結(jié)束解解:(1)求支座反力求支座反力 在求此在求此梁橫截面上的剪力或彎矩時(shí)梁橫截面上的剪力或彎矩時(shí),無(wú)無(wú)論截取哪一邊的梁為研究對(duì)象論截取哪一邊

5、的梁為研究對(duì)象,其上的外力都不可避免地包括其上的外力都不可避免地包括一個(gè)支座反力一個(gè)支座反力,因此須先求出梁因此須先求出梁的支座反力的支座反力. qlRRBA21 (2)列剪力方程和彎矩方程列剪力方程和彎矩方程 列平衡方程：列平衡方程： 由于由于q是單位長(zhǎng)度上的載荷是單位長(zhǎng)度上的載荷,所以梁上的總載荷為所以梁上的總載荷為ql,又因梁左右對(duì)稱又因梁左右對(duì)稱,可知兩個(gè)支座反力相等可知兩個(gè)支座反力相等,由此得由此得:工程實(shí)例剪力和彎矩剪力圖彎矩圖疊加法M,Q,q關(guān)系小結(jié)返回上頁(yè)結(jié)束2022202, 020, 0 xqxqlxqxxRMMxqxxRMqxqlqxRQQqxRYAAAA 得得 (3) 畫

6、剪力圖和彎矩圖畫剪力圖和彎矩圖 由剪力方程可知由剪力方程可知,且在且在x=0處處,Q=ql/2,x=l處處,Q=-ql/2.由此可畫由此可畫出梁的剪力圖如圖出梁的剪力圖如圖4-13c所示所示.由彎矩由彎矩方程可知方程可知,在在x=0和和x=l處處,M=0;在在x=l/2處處,M=ql2/8.再適當(dāng)再適當(dāng)確定幾點(diǎn)后可作彎矩圖如圖確定幾點(diǎn)后可作彎矩圖如圖4-13d所示所示.2maxqlQ 在梁的中點(diǎn)截面上在梁的中點(diǎn)截面上,剪力剪力Q=0,彎矩最大彎矩最大,其值為其值為:82maxqlM 由剪力圖及彎矩圖可見由剪力圖及彎矩圖可見,在靠近在靠近兩支座的橫截面上剪力的絕對(duì)值最大兩支座的橫截面上剪力的絕對(duì)

7、值最大,為為工程實(shí)例剪力和彎矩剪力圖彎矩圖疊加法M,Q,q關(guān)系小結(jié)返回上頁(yè)結(jié)束解解:(1) 求支座反力求支座反力以整個(gè)梁為研究對(duì)象以整個(gè)梁為研究對(duì)象,由平衡方程由平衡方程0,0 AMY可求得可求得:lPaRlPbRBA , (2) 列剪力方程和彎矩方程列剪力方程和彎矩方程在此題中在此題中,由于由于C處有集中力處有集中力P作用作用,故故AC和和CB兩段梁的剪力方程和彎矩方程不同兩段梁的剪力方程和彎矩方程不同,必必須分別列出須分別列出.AC段段: 在距在距A端端x處取一橫截面處取一橫截面,其左側(cè)梁上的外力只有其左側(cè)梁上的外力只有RA,方向向上方向向上,按按左上右下左上右下的規(guī)則知的規(guī)則知,由它引起

8、的剪力為正值由它引起的剪力為正值,故可列出方程為故可列出方程為lPbRQA 1(0 xa)(a)RA對(duì)截面形心之矩為對(duì)截面形心之矩為RA x,順時(shí)針?lè)较蝽槙r(shí)針?lè)较?按按左順右逆左順右逆的規(guī)則知，由它引起的規(guī)則知，由它引起的彎矩為正值，故可列出彎矩方程為：的彎矩為正值，故可列出彎矩方程為：工程實(shí)例剪力和彎矩剪力圖彎矩圖疊加法M,Q,q關(guān)系小結(jié)返回上頁(yè)結(jié)束CB段段：在：在CB段內(nèi)距段內(nèi)距A端端x處取一橫截面，處取一橫截面，其上的剪力為截面左側(cè)梁上的外力其上的剪力為截面左側(cè)梁上的外力RA 和和P的代數(shù)和，按的代數(shù)和，按左上右下左上右下的規(guī)則，的規(guī)則， RA取正值，取正值，P取負(fù)值，故得剪力方程為：取

9、負(fù)值，故得剪力方程為：xlPbxRMA 1)(ax 0lPaPlPbPRQA 2)(lxa 橫截面上的彎矩為截面左側(cè)梁上外力橫截面上的彎矩為截面左側(cè)梁上外力RA 和和P對(duì)截面形心之矩的代數(shù)和，并對(duì)截面形心之矩的代數(shù)和，并按按左順右逆左順右逆的規(guī)則可列出彎矩方程的規(guī)則可列出彎矩方程)()()(xllPbaxPxlPbaxPxRMA 2)(lxa (3) 畫剪力圖和彎矩圖畫剪力圖和彎矩圖工程實(shí)例剪力和彎矩剪力圖彎矩圖疊加法M,Q,q關(guān)系小結(jié)返回上頁(yè)結(jié)束作用在斜齒輪和錐齒輪上的嚙合作用在斜齒輪和錐齒輪上的嚙合力，可分解為徑向力力，可分解為徑向力Pr 、切向力、切向力Pt和軸向力和軸向力Pa（圖（圖4

10、-15a）?，F(xiàn)在）?，F(xiàn)在分析其中的軸向力分析其中的軸向力Pa對(duì)軸的作用對(duì)軸的作用（圖（圖4-15b）。將力）。將力Pa平移到軸平移到軸線上?？珊?jiǎn)化為一個(gè)矩為線上?？珊?jiǎn)化為一個(gè)矩為M0= Pa r的力偶和一個(gè)軸向推力的力偶和一個(gè)軸向推力Pa （圖（圖4-15c），式中），式中r為軸向力為軸向力Pa與軸與軸線之間的距離。軸向推力使軸產(chǎn)線之間的距離。軸向推力使軸產(chǎn)生壓縮，力偶則使軸產(chǎn)生彎曲。生壓縮，力偶則使軸產(chǎn)生彎曲。工程實(shí)例剪力和彎矩剪力圖彎矩圖疊加法M,Q,q關(guān)系小結(jié)返回上頁(yè)結(jié)束解：（解：（1）求支座反力）求支座反力 設(shè)支座反設(shè)支座反力力RA和和RB皆向上，由平衡方程皆向上，由平衡方程lMRMl

11、RMlMRlRMMAABBBA00000, 00, 0 得由得（2）列剪力方程和彎矩方程）列剪力方程和彎矩方程 在集中力偶作用處將梁分為在集中力偶作用處將梁分為AC和和CB兩段，分別在兩段內(nèi)取截面，列兩段，分別在兩段內(nèi)取截面，列梁的剪力方程和彎矩方程。梁的剪力方程和彎矩方程。xlMxRMlMRQACAA0101: 段)0(ax )0(ax 工程實(shí)例剪力和彎矩剪力圖彎矩圖疊加法M,Q,q關(guān)系小結(jié)返回上頁(yè)結(jié)束000202:MxlMMxRMlMRQCBAA 段)(lxa )(lxa （3）畫剪力圖和彎矩圖）畫剪力圖和彎矩圖 由兩段的剪力方程可知，由兩段的剪力方程可知，AC段和段和CB段各段各橫截面上

12、的剪力相同，兩段的剪力圖為同一水橫截面上的剪力相同，兩段的剪力圖為同一水平線；由兩段的彎矩方程可知，兩段梁的彎矩平線；由兩段的彎矩方程可知，兩段梁的彎矩圖為傾斜直線。可作出梁的剪力圖和彎矩圖如圖為傾斜直線?？勺鞒隽旱募袅D和彎矩圖如圖（圖（b）、（）、（c）所示。由圖可見，全梁各橫截）所示。由圖可見，全梁各橫截面上的剪力均為面上的剪力均為M0/l；在；在ab的情況下，絕對(duì)值的情況下，絕對(duì)值最大彎矩在最大彎矩在C點(diǎn)稍右的截面上，其值為點(diǎn)稍右的截面上，其值為lbMM0 max工程實(shí)例剪力和彎矩剪力圖彎矩圖疊加法M,Q,q關(guān)系小結(jié)返回上頁(yè)結(jié)束解解：（1）求支座反力）求支座反力 設(shè)設(shè)RA、RB 方向向

13、上，由平衡方程方向向上，由平衡方程2,20000PlMRPlMRMMBAAB 可得和由 （2）求彎矩方程）求彎矩方程 分別在分別在AC，CB兩段內(nèi)取截面，由截面左兩段內(nèi)取截面，由截面左側(cè)梁上的外力，可得：側(cè)梁上的外力，可得：xPxlMxRMACA2:01 段工程實(shí)例剪力和彎矩剪力圖彎矩圖疊加法M,Q,q關(guān)系小結(jié)返回上頁(yè)結(jié)束)(222)2(:002xlPxlMPlPxxPxlMlxPxRMCBA 段 （3）畫彎矩圖）畫彎矩圖 由上式可知，兩段梁由上式可知，兩段梁的彎矩圖為傾斜直線。確定直線端點(diǎn)的坐的彎矩圖為傾斜直線。確定直線端點(diǎn)的坐標(biāo)后，作出梁的彎矩圖如圖標(biāo)后，作出梁的彎矩圖如圖b所示。絕對(duì)所示

14、。絕對(duì)值最大的彎矩可能在梁的中點(diǎn)或值最大的彎矩可能在梁的中點(diǎn)或B端的截端的截面上，視面上，視P，M0的具體數(shù)值而定。的具體數(shù)值而定。工程實(shí)例剪力和彎矩剪力圖彎矩圖疊加法M,Q,q關(guān)系小結(jié)返回上頁(yè)結(jié)束工程實(shí)例剪力和彎矩剪力圖彎矩圖疊加法M,Q,q關(guān)系小結(jié)返回上頁(yè)結(jié)束工程實(shí)例剪力和彎矩剪力圖彎矩圖疊加法M,Q,q關(guān)系小結(jié)返回上頁(yè)結(jié)束 1、不是簡(jiǎn)單形狀疊加，是縱坐、不是簡(jiǎn)單形狀疊加，是縱坐標(biāo)值的疊加標(biāo)值的疊加 2、要考慮正負(fù)不同符號(hào)縱坐標(biāo)、要考慮正負(fù)不同符號(hào)縱坐標(biāo)的重疊和相同符號(hào)縱坐標(biāo)的累加的重疊和相同符號(hào)縱坐標(biāo)的累加 3、按縱坐標(biāo)方向劃出有效區(qū)標(biāo)、按縱坐標(biāo)方向劃出有效區(qū)標(biāo)志線，正負(fù)抵消的部分不可劃

15、標(biāo)志線志線，正負(fù)抵消的部分不可劃標(biāo)志線 4、標(biāo)明有效區(qū)的正負(fù)符號(hào)、標(biāo)明有效區(qū)的正負(fù)符號(hào) 5、標(biāo)注極值大小、標(biāo)注極值大小工程實(shí)例剪力和彎矩剪力圖彎矩圖疊加法M,Q,q關(guān)系小結(jié)返回上頁(yè)結(jié)束 先作梁在載荷作用下的彎矩圖；先作梁在載荷作用下的彎矩圖；再作梁在分布載荷作用下的彎矩圖。再作梁在分布載荷作用下的彎矩圖。這兩個(gè)彎矩圖的縱坐標(biāo)均為正值，但這兩個(gè)彎矩圖的縱坐標(biāo)均為正值，但為便于疊加，故將其分別畫在橫坐標(biāo)為便于疊加，故將其分別畫在橫坐標(biāo)軸的上下兩側(cè)。此即在集中載荷軸的上下兩側(cè)。此即在集中載荷P和和分布載荷共同作用下梁的彎矩圖。橫分布載荷共同作用下梁的彎矩圖。橫坐標(biāo)軸上下兩彎矩圖縱坐標(biāo)之和即代坐標(biāo)軸上

16、下兩彎矩圖縱坐標(biāo)之和即代表疊加后的彎矩值。由圖可見，最大表疊加后的彎矩值。由圖可見，最大彎矩在梁中點(diǎn)的截面上，其值為：彎矩在梁中點(diǎn)的截面上，其值為：482maxplqlM 工程實(shí)例剪力和彎矩剪力圖彎矩圖疊加法M,Q,q關(guān)系小結(jié)返回上頁(yè)結(jié)束 020000 dMMdxqdxQdxMMdQQqdxQY:qxdMdQdxdMqdxdQ 22工程實(shí)例剪力和彎矩剪力圖彎矩圖疊加法M,Q,q關(guān)系小結(jié)返回上頁(yè)結(jié)束qxdMdQdxdMqdxdQ22工程實(shí)例剪力和彎矩剪力圖彎矩圖疊加法M,Q,q關(guān)系小結(jié)返回上頁(yè)結(jié)束：（1）kN351512000,-YkN151220412024022, 0002 BABABBARqaRRRqaaMqaRaRMqaM工程實(shí)例剪力和彎