大學(xué)物理課件4電勢(shì)疊加原理電勢(shì)梯度

1、P.0/389.3.3 真空中靜電場(chǎng)的高斯定理真空中靜電場(chǎng)的高斯定理真空中的靜電場(chǎng)內(nèi)真空中的靜電場(chǎng)內(nèi), 通過任意封通過任意封閉曲面閉曲面(高斯面高斯面)的電通量等于該的電通量等于該封閉曲面所包圍的電量代數(shù)和封閉曲面所包圍的電量代數(shù)和的的 倍倍:01討論討論:1. 式中各項(xiàng)的含義式中各項(xiàng)的含義S: 封閉曲面封閉曲面;E: S上任意一點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)上任意一點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng), S內(nèi)內(nèi)外所有電荷均有貢獻(xiàn)外所有電荷均有貢獻(xiàn);iq: S內(nèi)的電荷代數(shù)和內(nèi)的電荷代數(shù)和; :e只有只有S內(nèi)的電荷才有貢獻(xiàn)內(nèi)的電荷才有貢獻(xiàn).2. 揭示了靜電場(chǎng)中揭示了靜電場(chǎng)中“場(chǎng)場(chǎng)”和和“源源”的關(guān)系的關(guān)系靜電場(chǎng)的重要性質(zhì)之一靜電場(chǎng)的重要性質(zhì)

2、之一: 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)是有源場(chǎng)3. 利用高斯定理可以方便地求解利用高斯定理可以方便地求解具有某些對(duì)稱分布的靜電場(chǎng)具有某些對(duì)稱分布的靜電場(chǎng) 成立條件成立條件: 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 求解條件求解條件: 分布具有對(duì)稱性分布具有對(duì)稱性SeSEd分立iq01連續(xù)qd10選擇恰當(dāng)?shù)母咚姑孢x擇恰當(dāng)?shù)母咚姑? 使得使得sSEd中的中的以標(biāo)量形式提到積分號(hào)外以標(biāo)量形式提到積分號(hào)外,從而簡便地求出從而簡便地求出 分布分布.EEP.1/38例例9-6. 求電量為求電量為Q , 半徑為半徑為R的均的均勻帶電球面的場(chǎng)強(qiáng)分布勻帶電球面的場(chǎng)強(qiáng)分布.源球?qū)ΨQ源球?qū)ΨQ場(chǎng)球?qū)ΨQ場(chǎng)球?qū)ΨQRrSeSEd)(0Rr )(0RrQSSE

3、 d24 rE)(4)(020RrrQRrErOER選高斯面選高斯面EEEESdP.2/38求均勻帶電球體求均勻帶電球體(q, R)的的電場(chǎng)分布電場(chǎng)分布.oqP解解: 對(duì)稱性分析對(duì)稱性分析作以作以O(shè)為中心為中心, r為半徑的球形為半徑的球形面面S, S 面上各點(diǎn)面上各點(diǎn) E 彼此等價(jià)彼此等價(jià), 方方向沿徑向向沿徑向. 以以S為高斯面為高斯面:SrESSSESEdcosd24drESESniiSqrESE10214d內(nèi)204rqE內(nèi) :qqRr內(nèi)333434 :rRqqRr內(nèi)304RqrE內(nèi)令令334RqrE03內(nèi)204rqE外P.3/38例例9-8. 求無限長均勻帶電直線求無限長均勻帶電直線(

4、)的電場(chǎng)的電場(chǎng).rP對(duì)稱性分析對(duì)稱性分析:EEddqOqddddEEP點(diǎn)處合場(chǎng)強(qiáng)垂直于帶電直點(diǎn)處合場(chǎng)強(qiáng)垂直于帶電直線線, 與與P 點(diǎn)情況相同的點(diǎn)的集點(diǎn)情況相同的點(diǎn)的集合是一個(gè)以帶電直線為軸的合是一個(gè)以帶電直線為軸的圓柱面圓柱面.高斯面高斯面:取長取長 L 的圓柱面的圓柱面, 加上加上底、下底構(gòu)成高斯面底、下底構(gòu)成高斯面S .SL=0=0由高斯定理由高斯定理0012LqrLE內(nèi)rE02 rOE側(cè)下上SESESESESddddrLESE2dcos0側(cè)P.4/38例例9-9. 求無限大均勻帶電平面的電場(chǎng)求無限大均勻帶電平面的電場(chǎng)(電荷面密度電荷面密度).對(duì)稱性分析對(duì)稱性分析:PPOEdEdEdEd

5、方向垂直于帶電平面方向垂直于帶電平面, 離帶電離帶電平面距離相等的場(chǎng)點(diǎn)彼此等價(jià)平面距離相等的場(chǎng)點(diǎn)彼此等價(jià). 選選擇圓柱體表面為高斯面擇圓柱體表面為高斯面, 如圖如圖:E SSESd左SEd右SEd側(cè)SEd=0SE 2根據(jù)高斯定理根據(jù)高斯定理SE 2內(nèi)q010S02E得得均勻電場(chǎng)其方向由均勻電場(chǎng)其方向由的符號(hào)決的符號(hào)決定定P.5/38000000討討 論論無無限限大大帶帶電電平平面面的的電電場(chǎng)場(chǎng)疊疊加加問問題題P.6/389.4.1 靜電力的功靜電力的功qaarb0qLbrldErr lFAdd3004drlrqq2004drrqq)11(4d4d00200baLrrrrqqrrqqAAba靜電

6、力的功只與試驗(yàn)電荷初末位置靜電力的功只與試驗(yàn)電荷初末位置有關(guān)有關(guān), 與所通過的路徑無關(guān)與所通過的路徑無關(guān), 說明說明靜靜電力是保守力電力是保守力.EqF0此結(jié)論可通過疊加原理推廣到任意此結(jié)論可通過疊加原理推廣到任意點(diǎn)電荷系的電場(chǎng)點(diǎn)電荷系的電場(chǎng).9.4.2 環(huán)路定理環(huán)路定理0dd0lEqlFALLLlE0drEqd0P.7/38靜電場(chǎng)環(huán)路定理靜電場(chǎng)環(huán)路定理:靜電場(chǎng)強(qiáng)沿任意閉合路徑的線靜電場(chǎng)強(qiáng)沿任意閉合路徑的線積分為零積分為零.結(jié)論結(jié)論: 靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)靜電場(chǎng)是保守場(chǎng).9.5.1 電勢(shì)能電勢(shì)能試驗(yàn)電荷在靜電場(chǎng)中試驗(yàn)電荷在靜電場(chǎng)中 A , B 兩點(diǎn)兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)的電勢(shì)能分別對(duì)應(yīng)的電勢(shì)能:AWBW,保守

7、力做功等于勢(shì)能的減少保守力做功等于勢(shì)能的減少:BABAABWWlEqAd0單位單位: 焦耳焦耳(J)LlE0d WP : 靜電場(chǎng)與受力電荷靜電場(chǎng)與受力電荷 q0 共共同擁有同擁有. WP /q0 : 取決于電場(chǎng)分布取決于電場(chǎng)分布, 與場(chǎng)與場(chǎng)點(diǎn)位置有關(guān)點(diǎn)位置有關(guān), 與試驗(yàn)電荷與試驗(yàn)電荷 q0 無無關(guān)關(guān), 是靜電場(chǎng)自身的特性是靜電場(chǎng)自身的特性, 該比該比值叫做電場(chǎng)在值叫做電場(chǎng)在 P 點(diǎn)處的電勢(shì)點(diǎn)處的電勢(shì).BABAqWqWlE00d q0 在電場(chǎng)某點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的電勢(shì)在電場(chǎng)某點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的電勢(shì)能等于試驗(yàn)電荷從該點(diǎn)緩慢移能等于試驗(yàn)電荷從該點(diǎn)緩慢移動(dòng)到勢(shì)能零點(diǎn)過程中動(dòng)到勢(shì)能零點(diǎn)過程中, 靜電力靜電力做過的功做過的

8、功, 只具有相對(duì)意義只具有相對(duì)意義(相相對(duì)勢(shì)能零點(diǎn)對(duì)勢(shì)能零點(diǎn)).P.8/38 WP : 靜電場(chǎng)與受力電荷靜電場(chǎng)與受力電荷 q0 共共同擁有同擁有. WP /q0 : 取決于電場(chǎng)分布取決于電場(chǎng)分布, 與場(chǎng)與場(chǎng)點(diǎn)位置有關(guān)點(diǎn)位置有關(guān), 與試驗(yàn)電荷與試驗(yàn)電荷 q0 無無關(guān)關(guān), 是靜電場(chǎng)自身的特性是靜電場(chǎng)自身的特性, 該比該比值叫做電場(chǎng)在值叫做電場(chǎng)在 P 點(diǎn)處的電勢(shì)點(diǎn)處的電勢(shì).BABAqWqWlE00dBBAAUlEUd q0 在電場(chǎng)某點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的電勢(shì)在電場(chǎng)某點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的電勢(shì)能等于試驗(yàn)電荷從該點(diǎn)緩慢移能等于試驗(yàn)電荷從該點(diǎn)緩慢移動(dòng)到勢(shì)能零點(diǎn)過程中動(dòng)到勢(shì)能零點(diǎn)過程中, 靜電力靜電力做過的功做過的功, 只具有相對(duì)

9、意義只具有相對(duì)意義(相相對(duì)勢(shì)能零點(diǎn)對(duì)勢(shì)能零點(diǎn)).BABAUUlEd若若 UB = 0, 則有則有0d0UAAlEU0dUAlEP.9/381. 電勢(shì)電勢(shì)零勢(shì)點(diǎn)PPlEUd單位單位: 伏特伏特(V)靜電場(chǎng)中某點(diǎn)電勢(shì)等于單位正電靜電場(chǎng)中某點(diǎn)電勢(shì)等于單位正電荷在該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的電勢(shì)能荷在該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的電勢(shì)能, 或?qū)位驅(qū)挝徽姾捎稍擖c(diǎn)移至電勢(shì)零點(diǎn)位正電荷由該點(diǎn)移至電勢(shì)零點(diǎn)(零勢(shì)點(diǎn)零勢(shì)點(diǎn))過程中靜電力做的功過程中靜電力做的功.2. 電勢(shì)差電勢(shì)差BABAABlEUUUd點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷 q 在靜電場(chǎng)中從在靜電場(chǎng)中從 A 沿任意沿任意路徑到路徑到 B 過程中靜電力做的功過程中靜電力做的功:)(dBABAABUUqlE

10、qA9.5.2 電勢(shì)和電勢(shì)差電勢(shì)和電勢(shì)差討論：討論：1) U 為空間標(biāo)量函數(shù)為空間標(biāo)量函數(shù).2) U 只具有相對(duì)意義只具有相對(duì)意義, 與零勢(shì)點(diǎn)與零勢(shì)點(diǎn)選取有關(guān)選取有關(guān), 但但 UAB 與零勢(shì)點(diǎn)選取與零勢(shì)點(diǎn)選取無關(guān)無關(guān).3) 電勢(shì)遵從疊加原理電勢(shì)遵從疊加原理: 點(diǎn)電荷系點(diǎn)電荷系電場(chǎng)中任一點(diǎn)的電勢(shì)等于各點(diǎn)電場(chǎng)中任一點(diǎn)的電勢(shì)等于各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)產(chǎn)生電電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)產(chǎn)生電勢(shì)的代數(shù)和勢(shì)的代數(shù)和.3. 用電勢(shì)差表示靜電力的功用電勢(shì)差表示靜電力的功P.10/38nUUU21 20210144rqrq9.5.3 點(diǎn)電荷的電勢(shì)點(diǎn)電荷的電勢(shì) 電勢(shì)的疊加原理電勢(shì)的疊加原理 1. 點(diǎn)電荷的電勢(shì)點(diǎn)電荷的電

11、勢(shì)qrPOE304rrqE令令0U沿徑向積分沿徑向積分PdlEUrrrq204drq04UrOr12. 疊加法疊加法1 1rQ1q2 2r2q3qP1) 點(diǎn)電荷系點(diǎn)電荷系3rPPdrEUPP2P1dddrErErEniiirqU04P.11/38將帶電體劃分為若干電荷元將帶電體劃分為若干電荷元dq選零勢(shì)點(diǎn)選零勢(shì)點(diǎn), 寫出任意寫出任意dq在場(chǎng)點(diǎn)在場(chǎng)點(diǎn)的電勢(shì)的電勢(shì)dU由疊加原理得由疊加原理得iUU或或UUd2) 連續(xù)帶電體連續(xù)帶電體QrPqd常選無窮遠(yuǎn)或地球電常選無窮遠(yuǎn)或地球電勢(shì)為零勢(shì)為零.電勢(shì)差與電勢(shì)電勢(shì)差與電勢(shì)的零點(diǎn)選取無關(guān)的零點(diǎn)選取無關(guān).3) 由電勢(shì)定義計(jì)算由電勢(shì)定義計(jì)算零勢(shì)點(diǎn)零勢(shì)點(diǎn)pppd

12、cosdlElEU9.5.4 電勢(shì)的計(jì)算電勢(shì)的計(jì)算(兩種基本方法兩種基本方法)1. 場(chǎng)強(qiáng)積分法場(chǎng)強(qiáng)積分法(定義定義)1) 首先確定首先確定 分布分布E2) 選零勢(shì)點(diǎn)和便于計(jì)算的積分路選零勢(shì)點(diǎn)和便于計(jì)算的積分路徑徑2. 利用電勢(shì)疊加原理利用電勢(shì)疊加原理QrQ04diiirQ04pU點(diǎn)電荷系點(diǎn)電荷系連續(xù)帶電體連續(xù)帶電體P.12/38半徑為半徑為 R 的均勻帶電的均勻帶電球體球體, 帶電量為帶電量為 q. 求電勢(shì)分布求電勢(shì)分布.RqorPEro21rER解解:S選擇同心球面為高斯面選擇同心球面為高斯面 內(nèi)qrESES0214d34341433021rRqrERrRqrE3014RrrqE2024:R

13、r rlEUd1RrrE d1RrE d2RrRrrqrRqrd4d4203030228)3(RrRq:Rr rqrrqrEUrr020224d4dr1rRoRq04U由電荷分布可知由電荷分布可知, 電場(chǎng)電場(chǎng)沿徑向沿徑向.P.13/38求兩無限大均勻帶電平行求兩無限大均勻帶電平行平面平面( )電場(chǎng)的電勢(shì)分布電場(chǎng)的電勢(shì)分布.xaOa 解解: 電場(chǎng)分布電場(chǎng)分布) , ( 0 )( 0axaxaxaE電荷分布到無限遠(yuǎn)電荷分布到無限遠(yuǎn), 只能在有限只能在有限遠(yuǎn)處選零勢(shì)點(diǎn)遠(yuǎn)處選零勢(shì)點(diǎn), 令令O點(diǎn)電勢(shì)為零點(diǎn)電勢(shì)為零.積分路徑沿積分路徑沿 x 軸軸:ax0ddaaxxExEUa)(000a:axa000 )

14、(dxxxEUx:ax 0ddaaxxExEU00)(0aa U x 曲線如圖曲線如圖.UxaoaP.14/389.6.1 等勢(shì)面等勢(shì)面電勢(shì)的幾何描述電勢(shì)的幾何描述電場(chǎng)中電勢(shì)相等的點(diǎn)組成的面叫電場(chǎng)中電勢(shì)相等的點(diǎn)組成的面叫做做等勢(shì)面等勢(shì)面.cdbcabUUU電場(chǎng)線與等勢(shì)面的關(guān)系電場(chǎng)線與等勢(shì)面的關(guān)系1) 電場(chǎng)線處處垂直于等勢(shì)面電場(chǎng)線處處垂直于等勢(shì)面, 在在等勢(shì)面上任取兩點(diǎn)等勢(shì)面上任取兩點(diǎn)P1, P2 , 則則2121dPPPUUlEP= 02) 電場(chǎng)線指向電勢(shì)降落的方向電場(chǎng)線指向電勢(shì)降落的方向取等勢(shì)面時(shí)取等勢(shì)面時(shí), 令令相鄰等勢(shì)面的相鄰等勢(shì)面的電勢(shì)差相等電勢(shì)差相等.P.15/389.6.2 電場(chǎng)強(qiáng)

15、度與電勢(shì)的關(guān)系電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)的關(guān)系如圖如圖, 電勢(shì)分別為電勢(shì)分別為U 和和U+dU 的的兩個(gè)鄰近等勢(shì)面兩個(gè)鄰近等勢(shì)面:UU+dUne假設(shè)正試驗(yàn)電荷假設(shè)正試驗(yàn)電荷 q0 從從 a 點(diǎn)移到點(diǎn)移到 b 點(diǎn)點(diǎn), 則電場(chǎng)力做功則電場(chǎng)力做功:Ebald UUUqAabdd0lEqd0lEUdcosdlElUEddcosnddelUEnnlUEddnld若若dU0, 電場(chǎng)強(qiáng)度與法向相反電場(chǎng)強(qiáng)度與法向相反, 從高電勢(shì)指向低電勢(shì)從高電勢(shì)指向低電勢(shì);若若dU0, 電場(chǎng)強(qiáng)度與法向相同電場(chǎng)強(qiáng)度與法向相同, 從高電勢(shì)指向低電勢(shì)從高電勢(shì)指向低電勢(shì).結(jié)論結(jié)論: 電場(chǎng)強(qiáng)度的大小等于電電場(chǎng)強(qiáng)度的大小等于電勢(shì)在該點(diǎn)處空間變化率的最大勢(shì)在該點(diǎn)處空間變化率的最大值值; 指向電勢(shì)降落指向電勢(shì)降落, 并沿電勢(shì)減并沿電勢(shì)減小最快的方向小最快的方向.P.16/38UUgradornddelUn: 電勢(shì)梯度電勢(shì)梯度(矢量矢量), 記作記作UkzUjyUix