大學(xué)物理 12-4 自感和互感

1、自感自感磁場(chǎng)能量磁場(chǎng)能量互感互感 如果回路中電流為如果回路中電流為 ，且回路幾何，且回路幾何形狀、尺寸不變，周圍無鐵磁性物質(zhì)，形狀、尺寸不變，周圍無鐵磁性物質(zhì)，則回路磁通量為：則回路磁通量為：L自感系數(shù)自感系數(shù) 自感現(xiàn)象自感現(xiàn)象由于回路自身電流的變化，在回由于回路自身電流的變化，在回路中路中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的現(xiàn)象。的現(xiàn)象。 I單位：?jiǎn)挝唬汉嗬嗬℉）一、自感一、自感對(duì)于對(duì)于N 匝線圈：匝線圈：磁通鏈數(shù)磁通鏈數(shù)LI 寫成等式：寫成等式：LIN12-4 自感和互感自感和互感I2 2、自感電動(dòng)勢(shì)：、自感電動(dòng)勢(shì)： 若回路幾何形狀、尺寸不變，周圍無鐵磁性物質(zhì)，則：若回路幾何形狀、尺寸不變，

2、周圍無鐵磁性物質(zhì)，則：dtdNLdtNd)(dtddtLId)(dtdLIdtdIL0dtdLdtdILL自自 感感 自感系數(shù)在數(shù)值上等于回路中通過單位電流自感系數(shù)在數(shù)值上等于回路中通過單位電流時(shí)，通過自身回路所包圍面積的磁通鏈數(shù)。時(shí)，通過自身回路所包圍面積的磁通鏈數(shù)。L 的意義：的意義：若若I = 1A，則，則 L = 自感系數(shù)是一個(gè)與線圈大小、形狀及匝數(shù)有自感系數(shù)是一個(gè)與線圈大小、形狀及匝數(shù)有關(guān)的量，與線圈內(nèi)通有的電流關(guān)的量，與線圈內(nèi)通有的電流 I無關(guān)，一般由實(shí)無關(guān)，一般由實(shí)驗(yàn)確定。驗(yàn)確定?！居懻摗浚骸居懻摗浚篖I (1) tILdd(2) 1 1、 L L 的定義：可用下兩式之一定義的定

3、義：可用下兩式之一定義IL dtdIL 自自 感感 3、 L 的大小反映的大小反映阻礙阻礙電流變化的能力，電流變化的能力，L 是電磁是電磁慣性的一種表現(xiàn)。慣性的一種表現(xiàn)。 2 2、 L的計(jì)算：可用上兩式之一計(jì)算的計(jì)算：可用上兩式之一計(jì)算, ,一般由一般由 計(jì)算。計(jì)算。4、利弊、利弊應(yīng)用：鎮(zhèn)流器，扼（抑）流圈，諧振電路，應(yīng)用：鎮(zhèn)流器，扼（抑）流圈，諧振電路， 害處：上電遲延，斷電影響，分布參數(shù)，害處：上電遲延，斷電影響，分布參數(shù)， IL自感自感求自感的計(jì)算步驟求自感的計(jì)算步驟：mSdBmmN LI LlIldHB 求自感電動(dòng)勢(shì)的關(guān)鍵，在于知道線圈的自感系數(shù)大小，求自感電動(dòng)勢(shì)的關(guān)鍵，在于知道線圈的

4、自感系數(shù)大小，一般通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得一般通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得;規(guī)則線圈也可以計(jì)算得出。規(guī)則線圈也可以計(jì)算得出。設(shè)電路電流為設(shè)電路電流為I自感自感Sl例例1:試計(jì)算直長(zhǎng)螺線管的自感試計(jì)算直長(zhǎng)螺線管的自感,已知：匝已知：匝數(shù)數(shù)N，橫截面積橫截面積S,長(zhǎng)度長(zhǎng)度l ，磁導(dǎo)率，磁導(dǎo)率。自感系數(shù)計(jì)算舉例自感系數(shù)計(jì)算舉例mSdBmmN LI LlIldHB設(shè)電路電流為設(shè)電路電流為IBLSSdBSlNIBSnIBlNISlINN2SllSlNIL22Vn2自感系數(shù)計(jì)算舉例自感系數(shù)計(jì)算舉例解：解： lNIldHNIrH2rNIH 2rNIB 2hdrrNISdBdm2hN2R1RIh2R1RrdrhdrrNISdBdm2 2

5、12RRmmrdrNIhd)ln(212RRNIh )ln(2122RRIhNNm )ln(2122RRhNIL 212RrRrIBdrrIlSdBdm2 例例2. 同軸電纜由半徑為同軸電纜由半徑為R1 和和R2的兩無限長(zhǎng)同軸的兩無限長(zhǎng)同軸圓筒圓筒狀導(dǎo)狀導(dǎo)體組成，其間的磁導(dǎo)率為體組成，其間的磁導(dǎo)率為的磁介質(zhì)，電纜上流有大小相等，方的磁介質(zhì)，電纜上流有大小相等，方向相反的電流向相反的電流 I，求，求單位長(zhǎng)度單位長(zhǎng)度電纜的自感系數(shù)。電纜的自感系數(shù)。21 , 0RrRrBII2R1Rdrlrl自感系數(shù)計(jì)算舉例自感系數(shù)計(jì)算舉例單位長(zhǎng)度的自感為：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的自感為：)ln(212RRlLLo)ln(212

6、RRlIL212RRmrdrIlSdB)ln(212RRIlII2R1Rdrlr自感系數(shù)計(jì)算舉例自感系數(shù)計(jì)算舉例二、互感二、互感 若兩回路幾何形狀、尺寸及相對(duì)若兩回路幾何形狀、尺寸及相對(duì)位置不變，周圍無鐵磁性物質(zhì)，則第位置不變，周圍無鐵磁性物質(zhì)，則第二個(gè)線圈的磁通量為：二個(gè)線圈的磁通量為： 互感現(xiàn)象互感現(xiàn)象兩個(gè)獨(dú)立回路，由于一回路電流發(fā)生變化，兩個(gè)獨(dú)立回路，由于一回路電流發(fā)生變化，在另一回路中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的現(xiàn)象。在另一回路中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的現(xiàn)象。12-4 自感和互感自感和互感12121121IMII2I11221設(shè)線圈設(shè)線圈1中通有電流中通有電流1I互互 感感21212212IMI同理，若線

7、圈同理，若線圈2中通有電流中通有電流2I 若兩回路幾何形狀、尺寸若兩回路幾何形狀、尺寸及相對(duì)位置不變，周圍無鐵磁及相對(duì)位置不變，周圍無鐵磁性物質(zhì)，則第一個(gè)線圈的磁通性物質(zhì)，則第一個(gè)線圈的磁通量為：量為：I2I112=M12M21實(shí)驗(yàn)和理論都可以證明：實(shí)驗(yàn)和理論都可以證明：若兩線圈的匝數(shù)分別為若兩線圈的匝數(shù)分別為N1 ,N2則有：則有：I2I11221122121MIN211212MIN2、互感電動(dòng)勢(shì)：、互感電動(dòng)勢(shì)：dtdIMdtd21212或dtdIMdtd12121互互 感感1、 M 的定義：可用下兩式之一定義的定義：可用下兩式之一定義21M I(1) dtdIM21(2) 【討論】【討論】

8、 互感系數(shù)：互感系數(shù)：在數(shù)值上等于當(dāng)?shù)诙€(gè)回路電流變?cè)跀?shù)值上等于當(dāng)?shù)诙€(gè)回路電流變化率為每秒一安培時(shí)，在第一個(gè)回路所產(chǎn)生的互感電化率為每秒一安培時(shí)，在第一個(gè)回路所產(chǎn)生的互感電動(dòng)勢(shì)的大小。動(dòng)勢(shì)的大小。2、 M 的計(jì)算：可用上兩式之一計(jì)算的計(jì)算：可用上兩式之一計(jì)算,一般用（一般用（1）式。）式。12IMdtdIM21互感互感I2I112213、 互感系數(shù)和兩回路的幾何形狀、尺寸，它們的互感系數(shù)和兩回路的幾何形狀、尺寸，它們的相對(duì)位置，以及周圍介質(zhì)的磁導(dǎo)率有關(guān)。相對(duì)位置，以及周圍介質(zhì)的磁導(dǎo)率有關(guān)。4、 互感系數(shù)的大小反映了兩個(gè)線圈磁場(chǎng)的相互影互感系數(shù)的大小反映了兩個(gè)線圈磁場(chǎng)的相互影響程度。響程度。5

9、、 M 存在的利與弊存在的利與弊在電子線路中：在電子線路中：M 越大，相互干擾越大。越大，相互干擾越大。在變壓器中：在變壓器中：M 越大，能量損失越小。越大，能量損失越小?；セ?感感計(jì)算互感系數(shù)的一般步驟計(jì)算互感系數(shù)的一般步驟（1）.設(shè)其中一個(gè)電路的電流為設(shè)其中一個(gè)電路的電流為1I（2）.寫出該電流的磁場(chǎng)分布寫出該電流的磁場(chǎng)分布B（3 3）. .計(jì)算出另一個(gè)電路的全磁通計(jì)算出另一個(gè)電路的全磁通2（4 4）. .12IM22B1I1M例例3. 如圖所示如圖所示,在磁導(dǎo)率為在磁導(dǎo)率為 的均勻無限大磁介質(zhì)中的均勻無限大磁介質(zhì)中,一一無限長(zhǎng)直載流導(dǎo)線與矩形線無限長(zhǎng)直載流導(dǎo)線與矩形線圈一邊相距為圈一邊相

10、距為a，線圈共，線圈共N匝匝,其尺寸見圖示。其尺寸見圖示。ablIdr求求它們的互感系數(shù)。它們的互感系數(shù)?；ジ邢禂?shù)計(jì)算舉例互感系數(shù)計(jì)算舉例設(shè)直導(dǎo)線中通有自下而上的電流設(shè)直導(dǎo)線中通有自下而上的電流I,它通過矩形它通過矩形線圈的磁通鏈數(shù)為線圈的磁通鏈數(shù)為解解: smSdBNN abaNIlldrrINbaaln22abaNlIM ln2 由互感系數(shù)定義可得互感為由互感系數(shù)定義可得互感為: 互感系數(shù)僅取決于兩回路的形狀互感系數(shù)僅取決于兩回路的形狀,相對(duì)位置相對(duì)位置,磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率ablIdrlN2NS0 例例4. 兩共軸密繞長(zhǎng)直螺線管，兩共軸密繞長(zhǎng)直螺線管，C1 和和 C2 ， C1

11、為原線圈，為原線圈，匝數(shù)為匝數(shù)為N1 ，C2 為副線圈，匝數(shù)為為副線圈，匝數(shù)為N2 ，兩者長(zhǎng)均為，兩者長(zhǎng)均為l , 線圈面線圈面積均為積均為S。管內(nèi)介質(zhì)的磁導(dǎo)率為。管內(nèi)介質(zhì)的磁導(dǎo)率為，求求兩螺線管的自感兩螺線管的自感L1 和和 L2 ； 互感互感 M；互感互感 M與自感與自感L1 ，L2 的關(guān)系。的關(guān)系。1212B2I222222IlNInBSIlNSBSdB22212lSINNN22112112解：解：計(jì)算互感系數(shù)計(jì)算互感系數(shù) 互感系數(shù)計(jì)算舉例互感系數(shù)計(jì)算舉例K10 稱稱K 為耦合系數(shù)為耦合系數(shù) 在此例中，線圈在此例中，線圈1的磁通全部通過線圈的磁通全部通過線圈2，稱為無，稱為無磁漏磁漏。V

12、nLVnL22221121LLM21LLKM lSlNNIM221212Vnn21互感互感 M與自感與自感L1 ，L2 的關(guān)系。的關(guān)系?；ジ邢禂?shù)計(jì)算舉例互感系數(shù)計(jì)算舉例在一般情況下：在一般情況下：aabb例題例題12-5 .兩線圈的自感分別為兩線圈的自感分別為L(zhǎng)1 和和 L2 ,互感為互感為M。求求（1）兩線圈串聯(lián)時(shí)，等效自感；）兩線圈串聯(lián)時(shí)，等效自感； （2）兩線圈反串聯(lián)時(shí)的等效自感。）兩線圈反串聯(lián)時(shí)的等效自感。互感系數(shù)計(jì)算舉例互感系數(shù)計(jì)算舉例aabb解：解：（1）a 與與 b 相聯(lián)相聯(lián)dtdIL 兩線圈的磁場(chǎng)方向相兩線圈的磁場(chǎng)方向相同，彼此加強(qiáng)，自感和互同，彼此加強(qiáng)，自感和互感電動(dòng)勢(shì)的方向

13、也相同，感電動(dòng)勢(shì)的方向也相同，所以總感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：所以總感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：兩式比較得，等效自感：兩式比較得，等效自感： L = L1 + L2 + 2MdtdIMdtdILdtdIL221dtdIMLL)2(21互感系數(shù)計(jì)算舉例互感系數(shù)計(jì)算舉例等效自感電動(dòng)勢(shì)為：等效自感電動(dòng)勢(shì)為：(2) a 與與 b相聯(lián)相聯(lián)aabb 兩線圈的磁場(chǎng)方向兩線圈的磁場(chǎng)方向相反，彼此減弱，兩線相反，彼此減弱，兩線圈的自感電動(dòng)勢(shì)方向相圈的自感電動(dòng)勢(shì)方向相同，互感電動(dòng)勢(shì)與自感同，互感電動(dòng)勢(shì)與自感電動(dòng)勢(shì)方向相反，所以電動(dòng)勢(shì)方向相反，所以總感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：總感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：互感系數(shù)計(jì)算舉例互感系數(shù)計(jì)算舉例dtdIL兩式比較得，等效自感

14、：兩式比較得，等效自感： L = L1 + L2 - 2MdtdIMdtdILdtdIL221dtdIMLL)2(21等效自感電動(dòng)勢(shì)為：等效自感電動(dòng)勢(shì)為： 當(dāng)接通電路時(shí)，線圈中產(chǎn)生了磁場(chǎng)，也就有當(dāng)接通電路時(shí)，線圈中產(chǎn)生了磁場(chǎng)，也就有了磁場(chǎng)能。線圈由無電到有電的過程，就是電能了磁場(chǎng)能。線圈由無電到有電的過程，就是電能轉(zhuǎn)換為磁場(chǎng)能的過程。轉(zhuǎn)換為磁場(chǎng)能的過程。電池BATTERYRL一、磁能的產(chǎn)生和存儲(chǔ)過程一、磁能的產(chǎn)生和存儲(chǔ)過程12-5 12-5 磁場(chǎng)的能量磁場(chǎng)的能量電池BATTERYRL 分析開關(guān)合上后的一分析開關(guān)合上后的一段時(shí)間內(nèi)，電路中的電流段時(shí)間內(nèi)，電路中的電流增長(zhǎng)過程。增長(zhǎng)過程。由歐姆定律

15、得：由歐姆定律得：IRdtdIL解該微分方程得：解該微分方程得：)1(tLReRI)1(0tLReI磁場(chǎng)的能量磁場(chǎng)的能量I0It0IRdtdIL左右兩邊乘以左右兩邊乘以 I dt 再積分得：再積分得：電池BATTERYRL分析線圈中電流變化過程中能量轉(zhuǎn)換狀況分析線圈中電流變化過程中能量轉(zhuǎn)換狀況RdtIdtIIdtdtdILI200002020021LIRdtIdtI電源所作的功電源所作的功電阻上的熱損耗電阻上的熱損耗磁場(chǎng)的能量磁場(chǎng)的能量磁場(chǎng)的能量磁場(chǎng)的能量221LIWm以螺線管為例分析：以螺線管為例分析：磁場(chǎng)能量密度：?jiǎn)挝惑w積中儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量。磁場(chǎng)能量密度：?jiǎn)挝惑w積中儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量。VnL2n

16、HInIH221LIWmVHnHVn22221)(21221HwmHBBHB2121212計(jì)算空間磁場(chǎng)能量：計(jì)算空間磁場(chǎng)能量：VmmdVwWlS二、磁場(chǎng)的能量密度二、磁場(chǎng)的能量密度 例例12-6 有一根無限長(zhǎng)同軸電纜，由有一根無限長(zhǎng)同軸電纜，由半徑為半徑為R1 和和R2 兩同軸圓筒兩同軸圓筒狀導(dǎo)體組成，狀導(dǎo)體組成，內(nèi)外圓筒上分別流有大小相等，方向相反內(nèi)外圓筒上分別流有大小相等，方向相反的電流的電流I。 drrlR2R1IIVVmmdVHdVwW221rIH2解：解：rldrdV2rldrrIRR2)2(21221)/ln(4122RRlI磁場(chǎng)的能量計(jì)算舉例磁場(chǎng)的能量計(jì)算舉例 求：求：長(zhǎng)為長(zhǎng)為 l 的一段電纜內(nèi)儲(chǔ)存的磁能。的一段電纜內(nèi)儲(chǔ)存的磁能。 磁場(chǎng)能量公式給出了計(jì)算自感的另一種方法：磁場(chǎng)能量公式給出了計(jì)算自感的另一種方法：因?yàn)橐驗(yàn)樗运匀?、電磁?chǎng)的能量三、電磁場(chǎng)的能量)(21HBDEwwwmeVmewdVWWW221LIWm)/ln(4122RRlI22IWLm)/ln(212RRl磁場(chǎng)的能量磁場(chǎng)的能量+ + + + + +