第三章 時域分析法

1、3.2 一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)3.3 二二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)階系統(tǒng)的時間響應(yīng)3.4 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性End End 3.1 時間響應(yīng)及時間響應(yīng)及典型輸入信號典型輸入信號3.5 控制系統(tǒng)的誤差分析控制系統(tǒng)的誤差分析 系統(tǒng)分析是指對系統(tǒng)的系統(tǒng)分析是指對系統(tǒng)的穩(wěn)定性、誤差和動態(tài)特性穩(wěn)定性、誤差和動態(tài)特性等三方面的等三方面的 性能指標(biāo)進行分析，簡稱分析系統(tǒng)的性能指標(biāo)進行分析，簡稱分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性和快速性穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性和快速性。 時域分析時域分析是指在時間域內(nèi)研究系統(tǒng)在一定輸入信號的作用是指在時間域內(nèi)研究系統(tǒng)在一定輸入信號的作用下，其輸出信號隨時間的變化情況。下，其輸

2、出信號隨時間的變化情況。線性定常系統(tǒng)的微分方程：線性定常系統(tǒng)的微分方程：通解通解強迫響應(yīng)強迫響應(yīng)特解特解自由響應(yīng)自由響應(yīng) txtxtxooo21瞬態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)穩(wěn)定的系統(tǒng)穩(wěn)定的系統(tǒng) txadttdxadttxdadttxdaononnonnon11110 txbdttdxbdttxdbdttxdbimimmimmim11110穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)控制系統(tǒng)在典型輸入信號的作用下，輸出量隨時控制系統(tǒng)在典型輸入信號的作用下，輸出量隨時間變化的函數(shù)關(guān)系。間變化的函數(shù)關(guān)系。3.1.1 3.1.1 時間響應(yīng)的概念時間響應(yīng)的概念1.1.時間響應(yīng)：時間響應(yīng)：2.2.時間響應(yīng)時間響應(yīng)= =自由響應(yīng)自由響應(yīng)+ +強迫

3、響應(yīng)強迫響應(yīng)自由響應(yīng)：自由響應(yīng)： 控制系統(tǒng)在典型輸入信號的作用下，輸出量從初控制系統(tǒng)在典型輸入信號的作用下，輸出量從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過程。始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過程?？刂葡到y(tǒng)在典型輸入信號的作用下，時間趨于無控制系統(tǒng)在典型輸入信號的作用下，時間趨于無窮大時系統(tǒng)的輸出狀態(tài)。窮大時系統(tǒng)的輸出狀態(tài)。強迫響應(yīng)：強迫響應(yīng)：自由響應(yīng)直接反應(yīng)了系統(tǒng)的動態(tài)特性，強迫響應(yīng)偏離希望輸出自由響應(yīng)直接反應(yīng)了系統(tǒng)的動態(tài)特性，強迫響應(yīng)偏離希望輸出值的程度可用以衡量系統(tǒng)的精確程度。值的程度可用以衡量系統(tǒng)的精確程度。系統(tǒng)的響應(yīng)取決于哪些因素？系統(tǒng)的響應(yīng)取決于哪些因素？ 控制系統(tǒng)的動態(tài)性能可以通過系統(tǒng)對輸入信號的響應(yīng)過

4、程來控制系統(tǒng)的動態(tài)性能可以通過系統(tǒng)對輸入信號的響應(yīng)過程來評價，而系統(tǒng)的響應(yīng)過程不僅取決于系統(tǒng)本身的特性，而且還與評價，而系統(tǒng)的響應(yīng)過程不僅取決于系統(tǒng)本身的特性，而且還與輸入信號的形式有關(guān)。輸入信號的形式有關(guān)。 只有在一些特殊的情況下，控制系統(tǒng)的輸入信號才是確定的。只有在一些特殊的情況下，控制系統(tǒng)的輸入信號才是確定的。在一般情況下，控制系統(tǒng)的實際輸入信號可能預(yù)先是不知道的，而在一般情況下，控制系統(tǒng)的實際輸入信號可能預(yù)先是不知道的，而且在大多數(shù)情況下是隨機的。因此，且在大多數(shù)情況下是隨機的。因此，控制系統(tǒng)的實際輸入信號通?？刂葡到y(tǒng)的實際輸入信號通常難以用簡單的數(shù)學(xué)表達式表示出來。難以用簡單的數(shù)學(xué)表

5、達式表示出來。 因此，在分析和設(shè)計控制系統(tǒng)時，需要有一個對各種控制系因此，在分析和設(shè)計控制系統(tǒng)時，需要有一個對各種控制系統(tǒng)的性能進行比較的基礎(chǔ)，這個基礎(chǔ)就是統(tǒng)的性能進行比較的基礎(chǔ)，這個基礎(chǔ)就是預(yù)先規(guī)定一些具有典型預(yù)先規(guī)定一些具有典型意義的試驗信號作為系統(tǒng)的輸入信號意義的試驗信號作為系統(tǒng)的輸入信號，然后比較各種控制系統(tǒng)對，然后比較各種控制系統(tǒng)對這些典型輸入信號的響應(yīng)。這些典型輸入信號的響應(yīng)。3.1.2 3.1.2 典型輸入信號典型輸入信號輸入信號輸入信號確定性信號確定性信號非確定性信號非確定性信號選取典型輸入信號時，選取典型輸入信號時，必須考慮下列原則：必須考慮下列原則：1.1.所選輸入信號應(yīng)當(dāng)

6、反映系統(tǒng)在工作過程中的大部分實際情況；所選輸入信號應(yīng)當(dāng)反映系統(tǒng)在工作過程中的大部分實際情況；2.2.所選輸入信號應(yīng)當(dāng)在形式上盡可能簡單，以便于對系統(tǒng)響應(yīng)所選輸入信號應(yīng)當(dāng)在形式上盡可能簡單，以便于對系統(tǒng)響應(yīng) 的分析；的分析；3.3.所選輸入信號應(yīng)當(dāng)能夠使系統(tǒng)工作在最不利的情況下；所選輸入信號應(yīng)當(dāng)能夠使系統(tǒng)工作在最不利的情況下；4.4.所選輸入信號應(yīng)當(dāng)在實際中可以得到或近似地得到。所選輸入信號應(yīng)當(dāng)在實際中可以得到或近似地得到。在控制工程中，人們在控制工程中，人們通常使用的典型信號有：通常使用的典型信號有：單位階躍信號單位階躍信號單位脈沖信號單位脈沖信號單位斜坡（速度）信號單位斜坡（速度）信號單位加

7、速度信號單位加速度信號正弦信號正弦信號 隨機信號隨機信號一階系統(tǒng)：一階系統(tǒng)：可用一階微分方程描述的系統(tǒng)。其典型形式是可用一階微分方程描述的系統(tǒng)。其典型形式是慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)。微分方程：微分方程：傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：結(jié)構(gòu)框圖：結(jié)構(gòu)框圖：一、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)一、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)：單位脈沖響應(yīng)：系統(tǒng)在單位脈沖信號作用下的輸出。系統(tǒng)在單位脈沖信號作用下的輸出。 txtxdttdxTioo 11TssXsXsGio將上式進行將上式進行拉氏反變換拉氏反變換，得出一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為：，得出一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為： tTTsXLtx1o1oe10t根據(jù)上式，可以求得其時間響應(yīng)曲

8、線，根據(jù)上式，可以求得其時間響應(yīng)曲線，如圖所示，它是一條如圖所示，它是一條單調(diào)下降的指數(shù)單調(diào)下降的指數(shù)曲線。曲線。 TsTTssXsGsXio11111 sXsGLtxio二、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)二、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)：單位階躍響應(yīng)：系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的輸出。系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的輸出。 tTsXLtx1o1oe10t將上式進行將上式進行拉氏反變換拉氏反變換，得出一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：，得出一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：根據(jù)上式，可以求得其時間根據(jù)上式，可以求得其時間響應(yīng)曲線，如圖所示，它是響應(yīng)曲線，如圖所示，它是一條一條單調(diào)上升的指數(shù)曲線。單調(diào)上升的指數(shù)曲線。 s

9、TssXsGsXio111Tss111 sXsGLtxio從圖中可以得出：從圖中可以得出：3.3.一階系統(tǒng)是一階系統(tǒng)是穩(wěn)定的，穩(wěn)定的， 無振蕩無振蕩。1.1.經(jīng)過時間經(jīng)過時間T，曲線上升到，曲線上升到 0.632的高度，則該時間就是一階系統(tǒng)的高度，則該時間就是一階系統(tǒng) 的時間常數(shù)的時間常數(shù)T。2.2.經(jīng)過時間經(jīng)過時間3T4T，響應(yīng)曲線已達穩(wěn)態(tài)值的，響應(yīng)曲線已達穩(wěn)態(tài)值的95%98%，在工程上，在工程上 可以認(rèn)為其可以認(rèn)為其 瞬態(tài)響應(yīng)過程基本結(jié)束，系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)過程。由瞬態(tài)響應(yīng)過程基本結(jié)束，系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)過程。由 此可見，此可見，時間常數(shù)時間常數(shù)T 反映了一階系統(tǒng)的固有特性，其值越小，反映了一階系統(tǒng)的

10、固有特性，其值越小， 系統(tǒng)慣性越小，響應(yīng)系統(tǒng)慣性越小，響應(yīng) 越快。越快。三、一階系統(tǒng)的單位速度響應(yīng)三、一階系統(tǒng)的單位速度響應(yīng)單位速度響應(yīng)：單位速度響應(yīng)：系統(tǒng)在單位速度信號作用下的輸出。系統(tǒng)在單位速度信號作用下的輸出。將上式進行將上式進行拉氏反變換拉氏反變換，得出一階系統(tǒng)的單位速度響應(yīng)為：，得出一階系統(tǒng)的單位速度響應(yīng)為：0t 2111sTssXsGsXio sXsGLtxioTsTsTs112tTTeTt1根據(jù)上式，可以求得其時間響應(yīng)根據(jù)上式，可以求得其時間響應(yīng)曲線，如圖所示，它是一條曲線，如圖所示，它是一條單調(diào)單調(diào)上升的指數(shù)曲線。上升的指數(shù)曲線。這就是說，一階系統(tǒng)在單位速度這就是說，一階系統(tǒng)在

11、單位速度信號作用下的信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為穩(wěn)態(tài)誤差為T 。顯。顯然，然，時間常數(shù)時間常數(shù)T 越小，其穩(wěn)態(tài)誤越小，其穩(wěn)態(tài)誤差就越小差就越小。 txtxteoitTtTTeTTeTtt11一階系統(tǒng)在單位速度信號作用下的輸入一階系統(tǒng)在單位速度信號作用下的輸入 與輸出與輸出 之間的誤之間的誤差為：差為： txi txo Tteetsslim四、線性定常系統(tǒng)時間響應(yīng)的性質(zhì)四、線性定常系統(tǒng)時間響應(yīng)的性質(zhì)已知單位脈沖信號已知單位脈沖信號 、單位階躍信號、單位階躍信號 以及單位速度信號以及單位速度信號 之間的關(guān)系之間的關(guān)系: : t t1t ttttttdd11dd已知一階系統(tǒng)在這三種典型輸入信號作用下的時間

12、響應(yīng)分別為：已知一階系統(tǒng)在這三種典型輸入信號作用下的時間響應(yīng)分別為： tToetx111 tToeTtx11 tTotTeTttx1顯然可以得出：顯然可以得出： txttxtxttxoto1o1odddd 可見，單位脈沖、單位階躍和單位速度三個典型可見，單位脈沖、單位階躍和單位速度三個典型輸入信號之間輸入信號之間存在著微分和積分的關(guān)系存在著微分和積分的關(guān)系，而且一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)、單位階，而且一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)、單位階躍響應(yīng)和單位速度躍響應(yīng)和單位速度響應(yīng)之間也存在著同樣的微分和積分的關(guān)系響應(yīng)之間也存在著同樣的微分和積分的關(guān)系。 因此，因此，系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，可以通過系統(tǒng)對該輸入

13、信系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，可以通過系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)來求得；而系統(tǒng)對輸入信號積分的響應(yīng)，可以通過系號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)來求得；而系統(tǒng)對輸入信號積分的響應(yīng)，可以通過系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的積分來求得，統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的積分來求得，其積分常數(shù)由初始條件來確定。其積分常數(shù)由初始條件來確定。這是線性定常系統(tǒng)時間響應(yīng)的一個重要性質(zhì)。這是線性定常系統(tǒng)時間響應(yīng)的一個重要性質(zhì)。 txdtdtxoo1 txdtdtxoto1二階系統(tǒng)：二階系統(tǒng)：可用二階微分方程描述的系統(tǒng)?？捎枚A微分方程描述的系統(tǒng)。微分方程：微分方程：傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：結(jié)構(gòu)框圖：結(jié)構(gòu)框圖： 2222nnniosssXsXsG txtxdtt

14、dxdttxdinonono22222n阻尼比阻尼比無阻尼振蕩頻率無阻尼振蕩頻率二階系統(tǒng)的二階系統(tǒng)的特征方程特征方程為：為：0222nnss系統(tǒng)極點：系統(tǒng)極點：122, 1nns顯然，二階系統(tǒng)的顯然，二階系統(tǒng)的極點極點與二階系統(tǒng)的阻尼比與二階系統(tǒng)的阻尼比 和固有頻率和固有頻率 有關(guān)，有關(guān)，尤其是阻尼比更為重要。隨著阻尼比尤其是阻尼比更為重要。隨著阻尼比 取值的不同，二階取值的不同，二階系統(tǒng)的極點也各不相同。系統(tǒng)的極點也各不相同。 n1.1.當(dāng)當(dāng)0 1時，稱二階系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)時，稱二階系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)此時系統(tǒng)穩(wěn)定否？此時系統(tǒng)穩(wěn)定否？4.4.當(dāng)當(dāng) =0時，稱二階系統(tǒng)為零阻尼系統(tǒng)時，稱二階系統(tǒng)為零

15、阻尼系統(tǒng)n1,2js 一、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)一、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)：單位階躍響應(yīng)：系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的輸出。系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的輸出。 )2(222nnniossssXsGsX )2(2221nnnoosssLsXLtx此時系統(tǒng)穩(wěn)定否？1.1.欠阻尼狀態(tài)（欠阻尼狀態(tài)（0 10 1） )2(222nnnossssX)1)(1(222nnnnnsss1123221nnnnsAsAsAn1,2n21s 二階系統(tǒng)在過阻尼狀態(tài)下的單位二階系統(tǒng)在過阻尼狀態(tài)下的單位階躍響應(yīng)曲線階躍響應(yīng)曲線仍是一條無振蕩、仍是一條無振蕩、無超調(diào)的單調(diào)上升曲線，而且過無超調(diào)的單調(diào)上升曲線，而且過

16、渡過程時間較長。渡過程時間較長。tonetx)1(222) 11(211)(0ttne)1(222) 11(214.4.無阻尼狀態(tài)（無阻尼狀態(tài)（ = =0） )()2(222222nnnnnossssssX221nnss二階系統(tǒng)在零阻尼狀態(tài)下的單位二階系統(tǒng)在零阻尼狀態(tài)下的單位階躍響應(yīng)曲線階躍響應(yīng)曲線是一條無阻尼等幅是一條無阻尼等幅振蕩曲線。振蕩曲線。ttxnocos1)(0t二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的通用曲線二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的通用曲線 二、二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)二、二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)（主要研究欠阻尼系統(tǒng)的性能）（主要研究欠阻尼系統(tǒng)的性能）1.1.上升時間上升時間rtn rd rd r21ecoss

17、in11ttt rdt d rd r2cossin01tt 由上式可見，當(dāng)由上式可見，當(dāng) 一定時，一定時， 增大，增大， 就減?。划?dāng)就減??；當(dāng) 一一定時，定時， 增大，增大， 就增大。就增大。rtnrtn2.2.峰值時間峰值時間pt0)(pttodttdxd psin0t p2dn1t 峰值時間等于阻尼振蕩周期的一半。峰值時間等于阻尼振蕩周期的一半。 由上式可見，當(dāng)由上式可見，當(dāng) 一定時，一定時， 增大，增大， 就減??；當(dāng)就減小；當(dāng) 一一定時，定時， 增大，增大， 就增大。就增大。ptptnn3.3.最大超調(diào)量最大超調(diào)量p% %100)()()(%oopopxxtx%10021te超調(diào)量只是阻

18、尼比的函數(shù)。超調(diào)量只是阻尼比的函數(shù)。 阻尼比阻尼比 越大，則最大超調(diào)量越大，則最大超調(diào)量 就越小，系統(tǒng)的平穩(wěn)性就越好。就越小，系統(tǒng)的平穩(wěn)性就越好。4.4.調(diào)整時間調(diào)整時間 stn22ds1sin(arctan)()e1tttt n2e1t s2n11ln1t 1)(txostt 若取若取 =5%=5%得得: :2sn13ln1t 若取若取 =2%=2%得得: :2sn14ln1t 當(dāng)阻尼比當(dāng)阻尼比 0.8 1Lv2Lv 例例: :已知兩個系統(tǒng)如圖所示，當(dāng)系統(tǒng)輸入的控制信號為已知兩個系統(tǒng)如圖所示，當(dāng)系統(tǒng)輸入的控制信號為 2364)(tttr，試分別求出兩個系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，試分別求出兩個系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 。解解:由開環(huán)傳遞函數(shù)可知系統(tǒng)為由開環(huán)傳遞函數(shù)可知系統(tǒng)為型系統(tǒng)型系統(tǒng)，根據(jù)輸入信號形式有：，根據(jù)輸入信號形式有：)4(10)()()(sssHsGsGk) 125. 0(5 . 2ssssassvsspsseeee