第一節(jié) 空間幾何體及其三視圖、直觀圖、表面積與體積

1、欄目索引第一節(jié)空間幾何體及其三視圖、直觀圖、表面積與體積課標(biāo)版課標(biāo)版 文數(shù)文數(shù)欄目索引1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征教材研讀教材研讀多面體(1)棱柱:側(cè)棱都 ,上、下底面平行且是 的多邊形.(2)棱錐:底面是多邊形,側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.(3)棱臺(tái):可以由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到,其上、下底面是 多邊形旋轉(zhuǎn)體(1)圓柱:可以由 繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到.(2)圓錐:可以由直角三角形繞其 所在直線旋轉(zhuǎn)得到.(3)圓臺(tái):可以由直角梯形繞其 所在直線或等腰梯形繞其上、下底邊中點(diǎn)的連線所在直線旋轉(zhuǎn)得到,也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到.(4)球:可以由半圓或圓繞其 所

2、在直線旋轉(zhuǎn)得到平行且相等平行且相等全等全等相似相似矩形矩形直角邊直角邊垂直于底邊的腰垂直于底邊的腰直徑直徑欄目索引2.三視圖與直觀圖三視圖與直觀圖3.柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積三視圖畫三視圖的規(guī)則:長(zhǎng)對(duì)正,高平齊,寬相等直觀圖空間幾何體的直觀圖常用 畫法來(lái)畫,規(guī)則如下:(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直(原點(diǎn)為O),直觀圖中相應(yīng)x軸,y軸滿足xOy= (O為原點(diǎn)),z軸與x軸和y軸所在平面垂直.(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍 ,平行于x軸和z軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中保持原長(zhǎng)度 ,平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中長(zhǎng)度為 幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱

3、)S=S側(cè)+2S底V= 錐體(棱錐和圓錐)S=S側(cè)+S底V= 臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S=S側(cè)+S上+S下V=(S上+S下+)h球S= V= 13S S下上斜二測(cè)斜二測(cè)45 (或或135 )平行于相應(yīng)坐標(biāo)軸平行于相應(yīng)坐標(biāo)軸不變不變?cè)瓉?lái)的一半原來(lái)的一半S底底h4R2欄目索引1.下列說(shuō)法正確的是( )A.有兩個(gè)面平行,其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B.有兩個(gè)面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C.有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐D.棱臺(tái)各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)答案 D由棱柱和棱錐的概念可知,A、B、C均錯(cuò)誤.由于棱臺(tái)是由平行于棱錐底面的平面截棱錐所得到的截面與底面之間的部分,故

4、棱臺(tái)各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn).c欄目索引 2.如圖,下列幾何體各自的三視圖中,有且僅有兩個(gè)視圖相同的是( )A. B. C. D.答案 C由幾何體的結(jié)構(gòu)可知,圓錐、正四棱錐兩個(gè)幾何體各自的正視圖和側(cè)視圖相同,且其不與俯視圖相同;正方體的三個(gè)視圖都相同,正三棱臺(tái)的三個(gè)視圖都不相同.c欄目索引3.用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個(gè)正方形,則原來(lái)的圖形是( )欄目索引答案 A由直觀圖的畫法可知,落在y軸上的對(duì)角線的長(zhǎng)度為2.4.直角三角形兩直角邊AB=3,AC=4,以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為( )A.12B.16C.9D.24答案 B以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)

5、一周所得到的幾何體為圓錐,且底面圓的半徑為4,圓錐的高為3.故體積V=423=16.213c欄目索引5.側(cè)面都是直角三角形的正三棱錐,底面邊長(zhǎng)為a時(shí),該三棱錐的全面積是 .答案 a2解析側(cè)面都是直角三角形,故底面邊長(zhǎng)為a時(shí),側(cè)棱長(zhǎng)等于a,所以S全=a2+3=a2.334223412222a334c欄目索引 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征典例典例1 (1)下列結(jié)論正確的是( )A.各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐C.若棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)都相等,則此棱錐可能是六棱錐D.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意

6、一點(diǎn)的連線都是母線(2)有以下四個(gè)命題:底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體;底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體;四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形;考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破欄目索引由直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐.其中真命題的序號(hào)是 .答案 (1)D (2)解析 (1)A錯(cuò)誤,如圖,由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體,各面都是三角形,但它不是三棱錐. 圖欄目索引 圖圖B錯(cuò)誤,如圖,若ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊所在直線,所得的幾何體都不是圓錐.C錯(cuò)誤,假設(shè)存在六棱錐滿足所有棱長(zhǎng)都相等,則底面多邊形是正六邊形.由幾何圖形知,若以正六邊形為棱錐

7、底面,則側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng),矛盾.欄目索引D正確.(2)命題符合平行六面體的定義,故命題是正確的;底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱可能與底面不垂直,故命題是錯(cuò)誤的;正確,如圖a,四棱錐P-ABCD中,PD平面ABCD,底面ABCD為矩形,可證明PDC,PDA,PAB,PCB為直角,這樣四個(gè)側(cè)面都是直角三角形;錯(cuò)誤,當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí),其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體不是圓錐,如圖b所示,它是由兩個(gè)同底圓錐構(gòu)成的.欄目索引解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問(wèn)題的技巧(1)要想真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征,必須多角度、全方面地去分析,多觀察實(shí)物,提高空間想象能力;(2)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵

8、,熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型,在條件不變的情況下,變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素,然后依據(jù)題意判定;(3)通過(guò)反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析,即要說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的,只要舉出一個(gè)反例即可.欄目索引1-1用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體,各個(gè)截面都是圓面,則這個(gè)幾何體一定是( )A.圓柱 B.圓錐C.球體 D.圓柱、圓錐、球體的組合體答案 C截面都是圓面,則原幾何體為球體,選C.1-2如果四棱錐的四條側(cè)棱都相等,就稱它為“等腰四棱錐”,四條側(cè)棱稱為它的腰,以下四個(gè)命題中,假命題是( )A.“等腰四棱錐”的腰與底面所成的角都相等B.“等腰四棱錐”的側(cè)面與底面所成的二面角都相等或

9、互補(bǔ)C.“等腰四棱錐”的底面四邊形必存在外接圓D.“等腰四棱錐”的各頂點(diǎn)必在同一球面上c欄目索引答案 B B不正確,反例見下圖:“等腰四棱錐”S-ABCD中,底面ABCD為矩形,AB=4,BC=2,O為S在平面ABCD上的射影,OEAB于E,OFBC于F.OEOF,12,又易知1與2不互補(bǔ),“等腰四棱錐”S-ABCD的側(cè)面SAB與底面所成的二面角和側(cè)面SBC與底面所成的二面角既不相等,也不互補(bǔ).欄目索引空間幾何體的三視圖、直觀圖空間幾何體的三視圖、直觀圖典例典例2 (1)(2014課標(biāo),8,5分)如圖,網(wǎng)格紙的各小格都是正方形,粗實(shí)線畫出的是一個(gè)幾何體的三視圖,則這個(gè)幾何體是( )A.三棱錐

10、B.三棱柱 C.四棱錐 D.四棱柱欄目索引(2)(2014湖北,7,5分)在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).給出編號(hào)為、的四個(gè)圖,則該四面體的正視圖和俯視圖分別為( )欄目索引A.和 B.和 C.和 D.和(3)有一塊多邊形的菜地,它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形(如圖所示),ABC=45,AB=AD=1,DCBC,則這塊菜地的面積為 .欄目索引答案 (1)B (2)D (3)2+解析 (1)由題中三視圖可知該幾何體的直觀圖如圖所示,則這個(gè)幾何體是三棱柱,故選B.22欄目索引(2)設(shè)A

11、(0,0,2),B(2,2,0),C(1,2,1),D(2,2,2).B,C,D在平面yOz上的投影的坐標(biāo)分別為(0,2,0),(0,2,1),(0,2,2),點(diǎn)A(0,0,2)在平面yOz上,又點(diǎn)C的橫坐標(biāo)小于點(diǎn)B和D的橫坐標(biāo),該幾何體的正視圖為題圖.點(diǎn)A,C,D在平面xOy上的投影的坐標(biāo)分別為(0,0,0),(1,2,0),(2,2,0),點(diǎn)B(2,2,0)在平面xOy上,該幾何體的俯視圖為題圖.故選D.(3)如圖,在直觀圖中,過(guò)點(diǎn)A作AEBC,垂足為E,圖欄目索引在RtABE中,AB=1,ABE=45,BE=.四邊形AECD為矩形,AD=1,EC=AD=1.BC=BE+EC=+1.由此可

12、還原原圖形如圖.圖在原圖形中,AD=1,AB=2,BC=+1,且ADBC,ABBC,222222欄目索引這塊菜地的面積S=(AD+BC)AB=2=2+.121221 12 22欄目索引1.三視圖中,正視圖和側(cè)視圖一樣高,正視圖和俯視圖一樣長(zhǎng),側(cè)視圖和俯視圖一樣寬,即“長(zhǎng)對(duì)正,寬相等,高平齊”.2.解決有關(guān)“斜二測(cè)畫法”問(wèn)題時(shí),一般在原圖形中建立直角坐標(biāo)系,盡量取原圖形中互相垂直的線段(所在直線)或圖形的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,圖形的對(duì)稱中心為原點(diǎn),注意兩個(gè)圖形中關(guān)鍵線段長(zhǎng)度的關(guān)系.欄目索引2-1一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體側(cè)視圖的面積為( )A.2+ B.1+ C.2+2 D.4+3333答

13、案 D依題意可得,該幾何體的側(cè)視圖的面積等于22+2=4+.1233c欄目索引2-2將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐,得到的幾何體如圖所示,則該幾何體的側(cè)視圖為( )答案 C從圖形的左邊向右邊看,看到一個(gè)矩形的面,且在面上有一條從左下到右上的對(duì)角線,故選C.c欄目索引212222-3如圖,矩形OABC是水平放置的平面圖形OABC的直觀圖,其中OA=6,OC=2,則原圖形OABC的面積為 .答案 24解析由題可知原圖形OABC是平行四邊形,且OA=BC=6,設(shè)平行四邊形OABC的高為OE,則OE=OC=2,OE=4,S OABC=64=24.222c欄目索引典例典例3 (1) (2015課標(biāo),6,5分)一

14、個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如圖所示,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為( )A. B. C. D.18171615空間幾何體的表面積與體積空間幾何體的表面積與體積欄目索引(3)圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20,則r=( )A.1 B.2 C.4 D.8答案 (1)D (2)C (3)B(2)(2015山東,9,5分)已知等腰直角三角形的直角邊的長(zhǎng)為2,將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為( )A. B. C.2D.42 234 2322c

15、欄目索引解析 (1)如圖,由已知條件可知,截去部分是以ABC為底面且三條側(cè)棱兩兩垂直的正三棱錐D-ABC.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則截去部分的體積為a3,剩余部分的體積為a3-a3=a3,它們的體積之比為.故選D.16165615欄目索引(2)依題意知,該幾何體是以為底面半徑,為高的兩個(gè)同底圓錐組成的組合體,則其體積為()22=,故選B.(3)由已知可知,該幾何體的直觀圖如圖所示,其表面積為2r2+r2+4r2+2r2=5r2+4r2.由5r2+4r2=16+20,得r=2.故選B.2213224 23欄目索引1.解決組合體問(wèn)題的關(guān)鍵是分清該組合體是由哪些簡(jiǎn)單的幾何體組成的以及這些簡(jiǎn)單的幾何體的組合方式;2.由三視圖求幾何體的表面積、體積時(shí),關(guān)鍵是由三視圖還原幾何體,同時(shí)還需掌握求體積的常用技巧,如:割補(bǔ)法和等價(jià)轉(zhuǎn)化法.欄目索引3-1 (2015浙江,2,5分)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積是( )A.8 cm3 B.12 cm3 C. cm3 D. cm3答案 C由三視