大數(shù)據(jù)包絡(luò)分析報告方法

1、二、數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）方法數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（data envelopment analysis, DEA）是由著名運(yùn)籌學(xué)家 Charnes, Cooper 和 Rhodes 于 1978 年提出的，它以相對效率概念為基礎(chǔ)，以凸分析和線性規(guī)劃為工具，計算比較具有相同類型的決策單元（Decision making unit ， DMU）之間的相對效率，依此對評價對象做出評價。DEA方法一出現(xiàn)，就以其獨(dú)特的優(yōu)勢而受到眾多學(xué)者的青睞，現(xiàn)已被應(yīng)用于各個領(lǐng)域的績效評價中 2,技術(shù)有效與規(guī)模收益。在介紹DEA方法的原理之前， 先介紹幾個基本概念：1. 決策單元一個經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)或一個生產(chǎn)過程都可以看成是一個單位（

2、或一個部門）在一定可能圍，通過投入一定數(shù)量的生產(chǎn)要素并產(chǎn)出一定數(shù)量的產(chǎn)品”的活動。雖然這種活動的具體容各不相同，但其目的都是盡可能地使這一活動取得最大的 效益”由于從 投入”到 產(chǎn)出”需要經(jīng)過一系列決策才能實(shí)現(xiàn)，或者說，由于 產(chǎn)出” 是決策的結(jié)果，所以這樣的單位（或部門）被稱為決策單元（DMU）。因此，可以認(rèn)為，每個DMU（第i個DMU 常記作DMU i）都表現(xiàn)出一定的經(jīng)濟(jì)意義，它的基本特點(diǎn)是具有一定的投入和產(chǎn)出，并且將投入轉(zhuǎn)化成產(chǎn)出 的過程中，努力實(shí)現(xiàn)自身的決策目標(biāo)。在許多情況下，我們對多個同類型的DMU更感興趣。所謂同類型的 DMU，是指具有以下三個特征的DMU集合：具有相同的目標(biāo)和任務(wù)；

3、具有相同的外部環(huán)境；具有相同的投入和產(chǎn)出指標(biāo)。2. 生產(chǎn)可能集設(shè)某個DMU在一項(xiàng)經(jīng)濟(jì)（生產(chǎn)）活動中有m項(xiàng)投入，寫成向量形式為x %丄，Xm）T ;產(chǎn)出有s項(xiàng)，寫成向量形式為y （y-L , ys）T。于是我們可以用（x, y）來表示這個DMU的整個生產(chǎn)活動。定義1.稱集合T （x,y）|產(chǎn)出y能用投入x生產(chǎn)出來為所有可能的生產(chǎn)活動構(gòu)成的生產(chǎn)可能集。在使用DEA方法時，一般假設(shè)生產(chǎn)可能集T滿足下面四條公理：公理1（平凡公理）:（Xj,yj） T, j 1, 2丄，n。公理2（凸性公理）:集合T為凸集。 如果（為）T, j 1, 2,L , n,且存在 j 0滿足1nn則（j 1 jXj,j !

4、jyj） T。公理3（無效性公理）：若x, y T , ? x , ? y,則（？，？）T。，公理4 （錐性公理）：集合T為錐。如果 x,y T那么（kx,ky） T對任意的k 0。若生產(chǎn)可能集T是所有滿足公理1 , 2,3和4的最小者，則T有如下的唯一表示形式nnT x, y | Xj j x,yj j y, j 0 , j 1 ,2,L , n 。j 1j 1(1) 技術(shù)有效：對于任意的(X, y) T ,若不存在y y，且(x,y) T ,則稱(x,y) T為技術(shù)有效的生產(chǎn)活動。(2) 規(guī)模收益：將產(chǎn)出和投入的同期相對變化比值k Vy/Vx稱為規(guī)模效益。若k 1，說明規(guī)模收益y x遞增，

5、這時可以考慮增大投入；若 k 1，說明規(guī)模收益遞減，這時可以考慮減小投入；若 k 1，說明規(guī)模收益不變，且稱為規(guī)模有效。(一) DEA方法原理與CCR模型DEA方法的基本原理是：設(shè)有n個決策單元DMUj(j 1,2丄，n)，它們的投入，產(chǎn)出向量分別為:Xj (X!j,X2j, L ,xmj)T0,，Yj (y!j,y2j丄，yj 0, j 1,L,n。由于在生產(chǎn)過程中各種投入和產(chǎn)出的地位與作用各不相同，因此，要對 DMU進(jìn)行評價，必須對它的投入和產(chǎn)出進(jìn)行綜合”即把它們看作只有 個投入總體和一個產(chǎn)出總體的生產(chǎn)過程，這樣就需要賦予每個投入和產(chǎn)出恰當(dāng)?shù)臋?quán)重。假設(shè)投入、產(chǎn)出的 權(quán)向量分別為v (V1,

6、V2 L ,Vm)T和u (U1,U2L ,Us)T，從而就可以獲得如下的定義。s定義2.稱uTYvTXjUryrj弓 ,(j 1,2,L n)為第j個決策單元DMU j的效率評價指數(shù)。Vi xji 1根據(jù)定義可知，我們總可以選取適當(dāng)?shù)臋?quán)向量使得1。如果想了解某個決策單元，假設(shè)為DMUo (o 1,2,K ,n)在這n個決策單元中相對是不是最優(yōu)”的，可以考察當(dāng)u和v盡可能地變化時，。的Charnes等人于1978年提出了如下的CCR(三位作者名字首字母縮寫)模型：Maximizesuyor 1moViXioi 1subject tosuryrjr 11,j1,2,L ,nmViXiji 1ur

7、0,Vi0,r,i.最大值究竟為多少？為了測得o的值,(1)Charnes 和 Cooper (1962)4提出 的分式規(guī)劃的 Charnes-Cooper 變換：t1/mi JXi。r tUr,(r 1,K ,s) , i tVi,(i 1,K ,m)變換后我們可以得到如下的線性規(guī)劃模型:Maximizer yror 1msubject toiXi。1,i 1ryrji Xiji 10, j 1,K ,n,0, r 1,K ,s; i 1,K , m.根據(jù)線性規(guī)劃的相關(guān)基本理論，可知模型的對偶問題表達(dá)形式:Mini mizesubject tomo ( si 1nxjjj 1nyrj jj

8、1ssr )r 1oxio , i1,K ,mSryro, r1,K ,sj ,si , sr0,i, j,r.Mini mize 。nsubject toXj j o Xo, i 1,2,K ,m,j 1nyrj j yro, r 1,2,K,S,j 1j 0, j 1,2,K , n.上述的模型是基于所有決策單元中最優(yōu)”的決策單元作為參照對象，從而求得的相對效率都是小于等于1的。模型(2)或者(3)將被求解n次，每次即得一個決策單元的相對效率。模型(3)的經(jīng)濟(jì)含義是：為了評價DMUo(o 1,2,K ,n)的績效，可以用一組假想的組合決策單元與其進(jìn)行比較。模型(3)的第一和第二個約束條件的

9、右端項(xiàng)分別是這個組合決策單元的投入和產(chǎn)出。從而，模型(3)意味著，如果所求出的效率最優(yōu)值小于1,則表明可以找到這樣一個假想的決策單元，它可以用少于被評價決策單元的投入來獲取不少于 該單元的產(chǎn)出，即表明被評價的決策單元為非DEA有效。而當(dāng)效率值為 1時，決策單元為 DEA有效。有關(guān)DEA有效根據(jù)松弛變量是否都為零還可以進(jìn)一步分為弱DEA有效與DEA有效兩類。即通過考察如下模型中的s (i1K m)與sr (r 1,K ,s)的值來判別。其中 為非阿基米德無窮小量。根據(jù)上述模型給出被評價決策單元DMUo (o1,2,K ,n)有效性的定義:定義3.若模型(4)的最優(yōu)解滿足則稱DMU o為弱DEA有

10、效。定義4.若模型(4)的最優(yōu)解滿足且有s 0， sr0成立，則稱DMUo為DEA有效。定義5.若模型(4)的最優(yōu)解滿足則稱DMUo為非DEA有效。對于非DEA有效的決策單元，有三種方式可以將決策單元改進(jìn)為有效決策單元：保持產(chǎn)出不變，減CCR模型容許DMU在減小投入的同時也少投入；保持投入不變增大產(chǎn)出；減小投入的同時也增大產(chǎn)出。增加產(chǎn)出。對于 CCR模型，可以通過如下投影的方式將其投向效率前沿面，從而投影所得的點(diǎn)投入產(chǎn)出 組合即為DEA有效。?ooXosiXo(1o)xiosiXj,i 1,K ,m?yro Sryro，r1,K ,s.上述投影所得值與原始投入產(chǎn)出值之間的差異即為被評價決策單元

11、欲達(dá)到有效應(yīng)改善的數(shù)值，設(shè)投入 的變化量為VXio，產(chǎn)出的變化量為Vyro :Vxioxo宛0 xio ( o xios ), i 1,K , mVyroProyro (yrosr ) yro， r1,K ，S.（二）BCC模型CCR模型是假設(shè)生產(chǎn)過程屬于屬于固定規(guī)模收益，即當(dāng)投入量以等比例增加時，產(chǎn)出量應(yīng)以等比增加。然而實(shí)際的生產(chǎn)過程亦可能屬于規(guī)模報酬遞增或者規(guī)模報酬遞減的狀態(tài)。為了分析決策單元的規(guī)模報酬變化情況，Banker, Charnes與Cooper以生產(chǎn)可能集的四個公理以及Shepard距離函數(shù)為基礎(chǔ)在 1984年提出了一個可變規(guī)模收益的模型，后來被稱為BCC的模型5。線性形式的B

12、CC模型可表示為：sMaximizesubject tor yror 1mi xioi 1Uo,1,sryrjmi勺Uo0,j 1K , n,r 1r , ii 10,r1K ,s;i1,K ,m.含松弛變量形式的 BCC對偶模型Maximize o ( Sj)i 1r 1nsubject to 州 j sox,o, i 1,K ,mj 1nyrj jSryro，r 1,K ,Sj 1nj 1j 1j,Si ,Sr0, i, j ,r其中 為非阿基米德無窮小量。根據(jù)BCC模型中的uo的取值大小，Banker和Thrall（1992）提出如下判別 方法來判斷模型（5）的規(guī)模收益。定理16.假設(shè)含

13、有投入產(chǎn)出組合 （冷，yo）的DMUo是有效的，那么下面的條件可以判別模型（1）之下DMU 的規(guī)模收益:(i) 對于投入產(chǎn)出組合(Xo,y。)規(guī)模收益不變當(dāng)且僅當(dāng)在某個最優(yōu)解情況下有u； 0 ；(ii) 對于投入產(chǎn)出組合(x；, y；)規(guī)模收益遞增當(dāng)且僅當(dāng)在所有最優(yōu)解情況下都有u； 0 ；(iii) 對于投入產(chǎn)出組合(x；,y；)規(guī)模收益遞減當(dāng)且僅當(dāng)在所有最優(yōu)解情況下都有u； 0。其中u；代表模型(5)中的最優(yōu)解。該定理的證明參見文獻(xiàn)6。CCR模型或者BCC模型計算出來的效率可能存在多個效率值為1的情形，為了進(jìn)一步區(qū)分這些有效決策單元，常用的方法有超效率模型，交叉效率模型以及雙前沿數(shù)據(jù)包絡(luò)分析

14、模型。下面依次做個簡單介 紹。(三) 超效率模型CCR模型在計算效率值時，經(jīng)常會出現(xiàn)多個有效的決策單元(效率值為1)的情形，從而使得有效決策單元之間無法進(jìn)行比較分析。Andersen和Petersen (1993)7為了實(shí)現(xiàn)決策單元的完全排序，將被評價的決策單元從效率邊界中剔除，以剩余的決策單元為基礎(chǔ)，形成新的效率邊界，計算剔除的決策單元到新的效 率邊界的距離。由于剔除的決策單元不被效率邊界所包圍，對于有效的決策單元而言，其計算出來的新效 率值就會大于1，而對于無效的決策單元而言，其所得的效率值不變，仍小于1,從而使得全體決策單元可以實(shí)現(xiàn)完全排序。由于有效的決策單元效率大于1，從而就有了超效率

15、(Super-efficie ncy)的概念?；贑CR模型的超效率DEA模型為：Mi ni mizensubject toXj jx；,i 1,2,K , m,j 1j ；n(7)yrj j yro , r 1,2,K ,s,j 1 j ；j 0, j o.Banker和Chang(2006)8證實(shí)了超效率極易受離群值的影響，因此該方法可以用來檢測數(shù)據(jù)集中是否存在 離群值。(四) 交叉效率模型為了解決DEA有效決策單元的排序和比較問題，Sexton等人(1986)9提出了交叉效率評價的概念。所謂交叉效率評價就是每個DMU分別確定一組輸入輸出權(quán)重，供所有的DMUs評價使用，其中：用 DMU自身

16、確定的權(quán)重評價自己的效率，稱為自我評價效率；用其它DMU確定的權(quán)重評價自己的效率，稱為交叉效率或同行評價效率。以 表5 1為例，交叉效率評價的實(shí)質(zhì)是對每個DMU同時進(jìn)行自評和同行評價，這樣不僅考慮 DMU自評的最好相對效率，而且還考慮了DMU同行評價給出的交叉效率，利用自我評價和交叉效率的平均值作為衡量DMU績效的綜合指標(biāo)，該指標(biāo)不僅較好地解決了DMUs間排序和比較問題，而且解決了 CCR模型由于輸入輸出權(quán)重不一致性導(dǎo)致的不可比較問題。Sexton等人(1986)通過引入二級目標(biāo)來確定輸入輸出權(quán)重、消除權(quán)重的不唯一性。隨后Doyle和Green(1994,1995)10 ,11從同行評價的角度

17、解釋了交叉效率的含義，并給出了后來的到廣泛引用的二級目標(biāo)函數(shù)-攻擊型計算方式和仁慈型計算方式，下面兩個模型依次為攻擊型交叉效率模型和仁慈型交叉效率模型交叉效率示意表交叉效率Mini mizesnUrkr 1j 1,jyrkmSubject toVki 1 j1,jsUrk yrk r 1sUrk yrjr 1Urk0,Vik0,mkkVXik0,i 1mVik Xij0, j 1,K , n; j k,i 11K ,s,1K , m.(8)仁慈型交叉效率模型sMaximizeukr 1j 1,jyrjkmSubject toVki 1 j surk yrkr 1surk yrjr 1urk0,

18、Vik 0,為 1,kmkkVXik0,i 1mVik Xij0, j 1,K , n;j k,i 1r 1,K,s,i 1K , m.1,j(9)1n111121 nj 11 jn1n221222nj 1 2jnMMMMMM1nnn1n2nnj 1 njn決策單元算術(shù)平均值12n攻擊型交叉效率模型:然而，至今仍無一個準(zhǔn)則來判別什么情況下使用攻擊型或者是仁慈型。為了避免目標(biāo)函數(shù)選擇上的兩 難， Wang和Chin (2010a)12提出了一種中性交叉效率模型。其模型形式如下所示:Maximizesubject to00josr i U ro yromi i Vo Xosr i Uro y rj

19、mi 1 Vo Xj1, j 1,K , n; jo,(10)Ur。Yr。mi i Vio XioUro0, r 1,K,s,Vo0, i 1,K ,m.利用Charnes-Cooper的變換公式，可得中性交叉效率模型的線性模型Maximizemsubject tovoXo1,i 1sUro Yror 1sUroYrjr 1iUo Yrooo mVoXj0, j 1,K ,n; ji 10, r 1,K , s,o,(11)Vo0, i 1K , m.0.交叉效率模型還有其他一些改進(jìn)方式，例如：Liang等人(2008a) 13年提出了 3個可供選擇的二級目標(biāo)計算方式；Liang等人(2008

20、b)14將非合作博弈理論與交叉效率評價方法結(jié)合起來，提出了博弈交叉效率的 概念，并設(shè)計了算法求解博弈交叉效率值，同時證明了該博弈交叉效率值即為納什均衡點(diǎn)；Wang和Chin(2010b)15提出了一些可選擇性交叉效率評價模型；Wang和Chin(2011)16在交叉效率的研究中率先引入有序加權(quán)平均算子(Ordered weighted averaging operator , OWA)，很好的體現(xiàn)了決策者的各種偏好，尤其是對 不合理的交叉效率評價值賦予較小的權(quán)重，從而使得最終的評價結(jié)果更為科學(xué)合理。有興趣的讀者可以進(jìn) 一步參閱其他有關(guān)交叉效率的相關(guān)論文。(五) 幾何平均效率模型為了區(qū)分有效決策

21、單元的排序難問題，Wang等人(2007)17于2007提出了悲觀效率模型，并將其與樂觀效率模型相結(jié)合，提出了基于幾何平均值的雙前面數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法?；诒^前沿面的數(shù)據(jù)包絡(luò)分析 模型為:sMinimizer yro,r 1m0, j 1,2,K ,n,(12)subject to ixio 1,i 1smr yrji Xijr 1i 10, r 1,2,K ,s;i 1,2,K,m,其中r和V是非負(fù)權(quán)重。模型(12)與模型(2)的區(qū)別在于：模型(12)計算所得效率均大于等于1,而模型(2)(12)所得的效率與模所得的效率值均小于等于 1?；趲缀纹骄档碾p前沿數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法就是將模型型所得

22、的效率通過幾何平均的方式加以綜合，即：其中；為綜合后的DMUo (o 1,2,K,n)的效率值，而 :和0分別對應(yīng)該決策單元在模型(2)與模型(12)下的最優(yōu)效率值。下圖為有效前沿面和無效前沿面的一個演示圖。圖5-1決策單元的有效和無效前沿面(六) 最優(yōu)決策單元的選擇在實(shí)際應(yīng)用中，決策者有時候關(guān)心的是哪個方案或者哪個決策單元是最優(yōu)的，而對于其他單元的排序并不在意。因此，如何利用 DEA模型直接尋求最優(yōu)決策單元成為學(xué)者們所感興趣的問題。Amin和Toloo(2007)18提出了一個混合整數(shù)線性規(guī)劃模型，采用兩步法以期實(shí)現(xiàn)尋求最優(yōu)決策單元。然而隨后Amin(2009)19發(fā)現(xiàn)這種兩步法有時會產(chǎn)生兩

23、個或者兩個以上的最優(yōu)決策單元，因此他提出一個非線性混合整數(shù)模型。Foroughi (2011)20發(fā)現(xiàn)Amin的非線性規(guī)劃模型在有些情況下是不可行的。不過Foroughi (2011)的模型存在著一些冗余的約束且對輸入輸出權(quán)重給定了保證域，并且該模型易受離群值(outliers)的影響，從而導(dǎo)致所選擇的最優(yōu)決策單元不正確。因此，Wang和Jia ng (2012)21提出了三種混合整數(shù)線性規(guī)劃模型來改進(jìn)Foroughi (2011)的模型中所存在的問題。這三種最優(yōu)決策單元選擇的模型分別為：1. 基于不變規(guī)模收益的混合整數(shù)線性規(guī)劃模型的最優(yōu)決策單元選擇方法mnsnMi ni mizevixiju

24、ryrjSubject to Ur yrjVi XijI j , j 1, ,n,r 1i 1(13)nIj 1j 1Ij 0,1，j 1, ,n,1Ur, r 1, s,(m s)maxyrj1Vi, i 1, ,m,(m s) max xij其中打(j 1,K , n)是二元變量,且只有一個變量可以取非零值1。如果Io 1 ,那么約束條件smsmUr YrjVNj I j對應(yīng)的 DMUo的約束為 r 1UrYroVX。1,即允許DMU o的效率值大于1，而r 1i 1smsm其余的DMU的約束 Ur YrjvXj I j與原始的CCR模型的約束相同，也就是Ur ydViXij 0對于r 1

25、i 1r 1i 1任意的j 1,K , n除了 j o。因此，只有最有效的決策單元的效率值會大于1，而其余決策單元的效率均小于等于1。權(quán)重約束沿用(SUeyoshi, 199922)提出的松弛變量模型中的形式，該約束形式在實(shí)際應(yīng)用中被 廣泛采用，即 ur (1/(m s)maxyrj) ( r 1,K ,s); v, (1/(m s)maxxij)對于任意的(i 1,K ,m).2. 基于投入導(dǎo)向的BCC模型的混合整數(shù)線性規(guī)劃最優(yōu)決策單元選擇方法模型(13)是基于不變規(guī)模收益下的最優(yōu)決策單元的選擇方法。該方法可以拓展到可變規(guī)模收益的情形如下所示，該模型的形式是基于投入導(dǎo)向的BCC模型下的形式m

26、nMinimizev,Xji 1 j 1nV。snUr Yrj1sSUbjeCt toUr Yrjr 1Vi xj1Vo1, n ,(14)Ij0,1,1,n ,Ur(m s) maxyrj1,s,Vi(m s) maxxij1,m,Vo無符號限制.Ij 1,3. 基于產(chǎn)出導(dǎo)向的BCC模型的混合整數(shù)線性規(guī)劃最優(yōu)決策單元選擇方法同理可得，基于產(chǎn)出導(dǎo)向的可變規(guī)模收益的BCC形式下的混合整數(shù)線性規(guī)劃模型如下:其中約束條件Mini mizeSubject tosUr Yrjr 1mVii 1nXijj 1sUrr 1yrjnuosUr Yrjr 1sUr Yrjr 1Ij 1,U0UoIjUrViU0

27、U00,1, jmVi Xiji 11, ,n,0, j 1,1, ,n ,r(m s) max yrj,i(m s)maxXjjis free in sig n.(15)1,1,m,0 (j 1, ,n)是為了保證全體產(chǎn)出是非負(fù)的，因?yàn)樨?fù)的產(chǎn)出沒有意義。(七) 舉例說明下面用3個例子來說明DEA方法的應(yīng)用。例1:假設(shè)現(xiàn)有七個被評價的決策單元，投入、產(chǎn)出項(xiàng)各有一項(xiàng)，投入項(xiàng)為X，產(chǎn)出項(xiàng)為 Y，輸入如下表所示。此時七個決策單元的相對位置如圖 52所示。在CCR模型下，連接原點(diǎn)與點(diǎn)B的射線構(gòu)成前沿面， 如圖中所示，其余的點(diǎn)均位于該前沿面的下方。表5 2七個決策單元的投入、產(chǎn)出數(shù)據(jù)DMUXYEffic

28、ie ncyA210.5000B331.0000C860.7500D620.3333E540.8000F1060.6000G74.50.6429圖52七個決策單元的分布及其在生產(chǎn)前沿面上的投影從圖2中可以看出，只有決策單元B位于生產(chǎn)前沿面上，而其他所有決策單元均位于該生產(chǎn)前沿面的下方，即A, C, D, E, F, G均為非DEA有效，從表5 2最后一列的效率值大小也很容易得到確認(rèn)。 為了使非DEA 有效決策單元為 DEA有效，可依圖中箭頭所示的方向?qū)⒎?DEA有效的決策單元往前沿面上投影。 A, C, D,F, G均為減小投入而保持產(chǎn)出不變；而E給出了三種投影方式（減小投入產(chǎn)出不變；保持投入

29、不變增大產(chǎn)出；或者同時減小投入和增大產(chǎn)出）。例2:五個先進(jìn)制造技術(shù)的甄別，數(shù)據(jù)來源于 Wang和Chin（2009） 23。表53五個先進(jìn)制造技術(shù)的數(shù)據(jù)及其樂觀、悲觀以及幾何平均值決策單元投入產(chǎn)出X1X2Y樂觀效率值悲觀效率值幾何平均值A(chǔ)4072101.00001.60001.2469B32121050.56391.00000.7509C52203041.00001.73711.3180D35132000.98381.74151.3089E3281500.85801.42861.1071對于每一個決策單元而言，可通過求解模型（2）和（12）獲得全體DMUs的樂觀和悲觀效率，結(jié)果如上表所示。下面

30、簡單介紹一下求解過程和技術(shù)實(shí)現(xiàn)。以第一個決策單元的CCR效率（即樂觀效率）為例，將數(shù)據(jù)代入模型（2）即得模型（16），顯然這是個較為復(fù)雜的線性規(guī)劃模型，需要借助軟件計算才會更為簡便。因此 本書分別給出了 Lingo以及Matlab下的CCR模型的編程。Lin go的編程一次也只能計算一個（見下面程序 后的計算說明)，而Maltab程序相對而言更為簡便，其可以很快地計算出所有決策單元的效率。此例過軟件計算所得，在樂觀效率下，所得效率為表53的第五列所示，全體單元的優(yōu)序關(guān)系為： C=ADEB。, 決策單元A與C均為DEA有效，而B, D, E為非DEA有效。在悲觀模型下，所得的效率值為 表5 3的

31、 第六列所示，決策單元 B為DEA無效，而其他單元均為非 DEA無效，其優(yōu)序順序?yàn)椋?DCAEB。由此可見，在樂觀前沿面和在悲觀前沿面下的排序存在著一定的差異。表53的最后一列的值為樂觀和悲觀效率的幾何平均值，顯然Wang等人(2007)提出的該幾何平均值較好的綜合了樂觀和悲觀前面的兩部分信息，從而五個單元合理的排序?yàn)椋篊DAEB 。Maximize 1210 140 1+72 = 1,2101(40 1+72)0,1051(32 1+122)0,(16)subject to3041(52 1+202)0,2001(35 1 + 132)0,1501(32 1 +8 2)0,10,1 0, 2

32、0.下面給出 LINGO與Matlab的程序：例2的LINGO程序?qū)崿F(xiàn)：(以計算第一個決策單元的樂觀效率為例)MODEL :setsDMU/1.5/:S,T,P; Decision making units;ll/1.2/:w;!in put in dex;OI/1/:u;!output in dex;IV(II,DMU):X; !in put variable;OV(OI,DMU):Y; !output variable;en dsetsdata:P=1 0 0 0 0;X=403252353271220138;Y=210105304200150;en ddatamax=sum(DMU: P

33、*T);for(DMU(j):S(j)=sum(II(i): w(i)*X(i,j);T(j)= sum(OI(i): u(i)*Y(i,j);S(j)=T(j);sum(DMU:P*S)=1;END在上述程序中，P的值(1 0 0 0 0)分別替換為 (0 1 0 0 0), (0 0 1 0 0), (0 0 0 1 0), (0 0 0 0 1),可得5個決策單元的最優(yōu)效率值依次為1.0000，0.5639,1.0000，0.9838,0.8580。例2的Matlab程序?qū)崿F(xiàn)：clear all;X= 403252353271220138;Y= 210105304200150;n=siz

34、e(X,1);m=size(X,1);s=size(Y,1);A=-X Y;b=zeros (n ,1); LB=zeros(m+s,1);UB=;for i=1: n;F=zeros(1,m) -Y(:,i);Aeq=X(:,i) zeros(1,s);beq=1;w(:,i)=li nprog(F,A,b,Aeq,beq, LB,UB);E(i,i)=Y(:,i)*w(m+1:m+s,i);endwEomega=w(1:m,:)mu=w(m+1:m+s,:)EE=diag(E)運(yùn)行上述 Matlab程序，即可得全體 DMUs的CCR效率值。例3.現(xiàn)有14家國際航空公司，數(shù)據(jù)來源于Tofal

35、lis(1997) 24。已知投入有三項(xiàng)，產(chǎn)出有兩項(xiàng)，分別為:為：飛機(jī)容量噸公里怡：營業(yè)費(fèi)用X3：其他資產(chǎn)(預(yù)定系統(tǒng)，便利性以及流動資產(chǎn))y1:每公里乘客數(shù)y2：非客運(yùn)收益表5 414家航空公司的數(shù)據(jù)投入產(chǎn)出DMUX1X2X3y1y2157233239200326677697258954225455730815393240999560626712405512664135657499321364734156355183188078323604513619080803232729501157274603345723602211296981209767796474523632001965873341

36、35812650412971056541878191619277972111255980983310419253398125728248122542775498213471517922485313325431422793987441451225281404表5 5CCR效率及其非有效決策單兀的改進(jìn)DMU jCCR效率投入產(chǎn)出X1jX2jX3jy1jy2j10.8684-753-916-2640020.3379-3903-2940-40323569030.9475-1265-502-329073140.9581-569-1235-00510000060.9766-447-402-77081071

37、0000080.8588-1709-957-20080090.9477-344-175-1392001010000011100000121000001310000014100000利用CCR模型以及將非有效DMU改進(jìn)為有效DMU的投影公式，可得表5 5的結(jié)果。從表中可知，決策單元5, 7, 10, 11,12, 13, 14為DEA有效，而其它單元為非 DEA有效。對于非有效決策單元，例如對 第一家航空公司而言，它的第一項(xiàng)投入應(yīng)減少753，第二項(xiàng)投入應(yīng)減少 916，第三項(xiàng)投入應(yīng)減少 264，同時保持產(chǎn)出不變，這時該航空公司可達(dá)DEA有效。DMU 4，DMU 8和DMU 9與DMU 1類似也均需

38、減少該三項(xiàng)投入。而對DMU2而言，其前三項(xiàng)投入應(yīng)分別減少3903，2940和4032,第一項(xiàng)產(chǎn)出需增加 3569，第二項(xiàng)產(chǎn)出保持不變可達(dá)有效。而DMU3和DMU 6在減少三項(xiàng)投入的同時，還需要增加第二項(xiàng)產(chǎn)出才會有效。利用攻擊型交叉效率模型，我們可得如下表(表5 6)所示的14家航空公司的交叉效率表以及其排序。從表中可以看出第 5家航空公司的相對效率為0.7983,為所有航空公司中最優(yōu)，其次是第11家航空公司，其交叉效率值為 0.7742。而第2家航空公司的交叉效率值為0.1652，為14家航空公司中最差。利用仁慈型交叉效率模型，我們可得如下表(表5 7)所示的14家航空公司的交叉效率表以及其排

39、序。從表中可以看出第11家航空公司的相對效率為0.9193，為所有航空公司中最優(yōu)，其次是第13家航空公司，其交叉效率值為 0.9190。而第2家航空公司的交叉效率值為0.1894，為14家航空公司中最差。此結(jié)果與攻擊型交叉效率模型所得的結(jié)果又較大的差異，然而至今仍無一個準(zhǔn)則可以清晰的告訴決策者何時該選擇 攻擊型模型或者是仁慈型模型。因此均對不同的決策問題，選擇的模型的不同，所得結(jié)果可能出入較大。為此，學(xué)者們提出了一些改進(jìn)模型，例如Wang和Chin(2010a)的中性交叉效率模型，以及Liang等人(2008a)的博弈交叉效率模型都可以較好的避免這個問題。攻擊型交叉效率值表DMU目標(biāo)DMU平均

40、交叉效率排序123456789101112131410.86840.45010.62250.86840.44180.47260.76790.78810.70310.41580.33900.70430.47110.47260.59901220.17190.33790.04720.17190.02240.02470.27700.27240.28080.24650.11520.27890.04170.02470.16521430.88260.19420.94750.88260.65660.68980.64680.68330.62250.25590.19680.62610.74220.68980.62

41、261140.95810.42590.70340.95810.66830.69730.76290.78500.69910.40270.47390.70160.49370.69730.6734750.96530.36581.00000.96531.00001.00000.70110.73590.77780.52720.63820.78190.71811.00000.7983160.88180.11080.95630.88180.96320.97660.57450.60840.50990.13760.17030.51410.67660.97660.6385970.92110.77810.47730

42、.92110.31080.33821.00001.00000.83950.54160.40000.83830.36580.33820.6478880.78130.61140.51620.78130.26830.29240.84150.85880.82080.57030.30110.81940.44180.29240.58551390.78550.72780.50750.78550.24550.26770.88810.90720.94770.75010.35280.94520.45370.26770.630910100.78210.63540.65200.78210.33370.35640.76

43、500.79441.00001.00000.49421.00000.58710.35640.68136111.00001.00000.42871.00000.42020.44181.00001.00001.00000.81071.00001.00000.29610.44180.77422120.94620.63360.75000.94620.40850.43950.90820.93950.99980.76470.42441.00000.63980.43950.73145131.00000.42561.00001.00000.41830.45550.95111.00001.00000.58550

44、.21291.00001.00000.45550.75033141.00000.22771.00001.00000.98061.00000.69190.72750.64780.27470.32990.65210.70971.00000.73164表5 7仁慈型交叉效率值表目示DMU平均排DMU交叉效率序123456789101112131410.86840.45010.62250.86840.84920.47260.81080.78810.70310.75120.86840.77130.86840.86840.75431220.17190.33790.04720.17190.17350.024

45、70.24790.27240.28080.20580.17190.20250.17190.17190.18941430.88260.19420.94750.88260.88440.68980.72320.68330.62250.78460.88260.80720.88260.88260.7678940.95810.42590.70340.95810.94130.69730.82280.78500.69910.81120.95810.83410.95810.95810.8222650.96530.36581.00000.96531.00001.00000.77040.73590.77781.00

46、000.96531.00000.96530.96530.8912360.88180.11080.95630.88180.87800.97660.66150.60840.50990.71760.88180.74780.88180.88180.75541170.92110.77810.47730.92110.87950.33821.00001.00000.83950.78080.92110.80120.92110.92110.8214780.78130.61140.51620.78130.77020.29240.84580.85880.82080.75320.78130.76310.78130.7

47、8130.72421390.78550.72780.50750.78550.78890.26770.87820.90720.94770.83750.78550.83690.78550.78550.759010100.78210.63540.65200.78210.82500.35640.77800.79441.00001.00000.78210.97190.78210.78210.78038111.00001.00000.42871.00001.00000.44181.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00000.91931120.94620.

48、63360.75000.94620.96020.43950.93620.93950.99981.00000.94621.00000.94620.94620.88504131.00000.42561.00001.00001.00000.45551.00001.00001.00000.98431.00001.00001.00001.00000.91902141.00000.22771.00001.00001.00001.00000.77950.72750.64780.85691.00000.88381.00001.00000.86595應(yīng)用數(shù)據(jù)包絡(luò)分析需注意的事項(xiàng)：1. DEA作為一種非參數(shù)方法，將數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)和管理的概念與方法相結(jié)合，是處理多目標(biāo)決策問題，解決在經(jīng)濟(jì)和管理中評價具有多個投入、多個產(chǎn)出問題的有力工具。主要適合于同種類型部門或單位間的相對有效性排序和評價，可以通過在生產(chǎn)前沿面上的投影分析，發(fā)現(xiàn)非DEA有效的產(chǎn)生原因以及改進(jìn)方向，調(diào)整資源投入量和效益產(chǎn)出量使決策單元達(dá)到DEA有效。2. 應(yīng)用DEA模型進(jìn)行評價，不必事先確定指標(biāo)權(quán)重，只需假定由決策單元的投入產(chǎn)出指標(biāo)組成的狀態(tài)可能集滿足凸性、無效性、錐性以及最小性等條件即可。DEA方法本身包含指標(biāo)的權(quán)重分配過程，在計算不同決策單元的最