華理大學物理第6章氣體動理論3

1、1、理想氣體壓強的統(tǒng)計解釋knvnnkTP32213222、溫度的統(tǒng)計解釋kTk233、能量均分定律kT21kTi2RTiMmkTiNE22理想氣體的內(nèi)能理想氣體壓強決定于單位體積內(nèi)的分子數(shù)和分子的平均平動動能理想氣體的溫度是分子平均平動動能的量度，反映了物質(zhì)內(nèi)部分子無規(guī)則熱運動的劇烈程度【思考題 P239 6-4】能量均分定理：處于平衡態(tài)的氣體分子每一自由度(平動，轉(zhuǎn)動)所占有的能量都為kT/2(1)kT/2：(2)3kT/2：(3)iRT/2：(4)3mRT/2M：分子一個自由度的平均動能分子的平均平動動能自由度為i的1mol氣體的內(nèi)能質(zhì)量為m，摩爾質(zhì)量為M的單原子氣體的內(nèi)能v)(vfo)

2、dS(vvvNNlim)(0fvvv dSd物理意義： 2）表示氣體分子的速率處于v附近單位速率區(qū)間的概率。1d)(d00vvfNNN歸一化條件)S(vvvddNN1NlimN101）表示在溫度為T 的平衡狀態(tài)下，速率在v 附近單位速率區(qū)間 的分子數(shù)占總數(shù)的比例 。 dvvNNfd速率位于vv+dv 內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的比例 4、分子速率分布函數(shù)最概然速率vp其物理意義是在vp附近單位速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的比率最大；或?qū)σ粋€分子而言，其速率剛好處于vp附近單位速率區(qū)間內(nèi)的概率最大。最概然速率vp是速率分布函數(shù)曲線峰值所對應的速率。0)(vfdvd求最概然速率的方法求極值法【思考題P240

3、 6-7】速率位于vv+dv內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的比例 (1) f v dv (2)Nf v dv 21(3)vvNf v dv 0(4)pvf v dv 201(5)2v f v dv 2211(6)vvvvvf v dvf v dvdN N速率位于vv+dv內(nèi)的分子數(shù)具有速率v1v2之間的分子數(shù)速率小于vp的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例分子的平均平動動能具有速率v1v2之間分子的平均速度dNN N N 5、麥克斯韋速率分布函數(shù) 1859年 平衡態(tài)分子速率分布規(guī)律 dvvekT24NdN2kT2v232 2kT2v23vekT24v2f麥克斯韋速率分布函數(shù)麥克斯韋速率分布函數(shù)在平衡態(tài)下，當氣體分子間

4、的相互作用可以忽略時，分布在任一速率區(qū)間 vv+dv 的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為f(v)vvPf(vP)最概然速率vP與 f ( v ) 極大值對應的速率。麥克斯韋速率分布函數(shù)曲線 具有vP的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例最高具有vP的分子數(shù)最多v2V分子具有vP的概率最大最概然速率（most probable speed）：kT41. 1kT2vp平均速率（mean speed）： 0dvvvv f方均根速率（root-mean-square-speed）： 022dv vfvv 2pVVVkT73.1kT3V2為何提出這三種速度？為何提出這三種速度？0dvdfkT60. 1kT8v)v21(2k

5、2322242vkTfvevkTpvxv若令pdvdxv 224xfv dvex dx2pk Tv同種氣體pTv 1ppfvv()pTf v同種氣體在不同溫度下的速率分布同一溫度下不同氣體的速率分布123mmm2pkTv0( )1fv dv【例1】如圖示兩條 f(v)v曲線分別表示氫氣和氧氣在同一溫度下的麥克斯韋速率分布曲線， 從圖上數(shù)據(jù)求出氫氣和氧氣的最概然速率 .MRT2pv)O()H(22MM)O()H(2p2pvvm/s2000)H(2pv4232)H()O()O()H(222p2pMMvvm/s500)O(2pv)(vf1sm/v2000oH2O26.6 玻爾茲曼分布率第六章 氣體動

6、理論(非均勻的穩(wěn)定分布非均勻的穩(wěn)定分布) 平衡態(tài)下氣體的溫度處處相同，氣體的壓強為 pnkTdpppdhddpg h ddpkT nddpn g h hh+dh(d )d0pp SgS hpSddkT nng h 一、重力場中粒子按高度的分布ddnghnkT 00ddnhnnghnkT0ghkTnn epnkT0ghkTp ehOn2T1T21TT0ghkTn kTe在重力場中，粒子數(shù)密度隨高度增大而減小， 越大，n 減小越迅速；T 越高，n 減小越緩慢。(等溫氣壓公式)式中 p0 是高度為零處的壓強。0epkTnn/0dded d dpkTNn Vnx y zpgh平衡態(tài)下溫度為T 的氣體中

7、，位于空間某一小區(qū)間 xx+dx ，yy+dy ， zz+dz 中的分子數(shù)為 這是粒子關于位置的分布的規(guī)律， 常稱為玻耳茲曼分布律。它表明，在勢場中的分子總是優(yōu)先占據(jù)勢能較低的狀態(tài)。 0eghkTnn它適用于任何形式的保守力場式中p 是位于（x、y、z）處分子 的勢能。二、玻耳茲曼分布律平衡態(tài)下溫度為 T 的氣體中，位置在 xx+dx， yy+dy， zz+dz 中, 且速度在 vx vx+dvx , vy vy+dvy ,vz vz+dvz 區(qū)間的分子數(shù)為/d ( , )edddd d dkTN rCx y zxyzvvvv式中 =k+p 是分子的總能量， C 是與位置坐標和速度無關的比例因

8、子。這一結(jié)論，稱為麥克斯韋玻耳茲曼分布定律。它給出了分子數(shù)按能量的分布規(guī)律。 能量的量子化分布 12,i /e, 1,2,3,ikTiNCi玻耳茲曼分布定律【例3】拉薩海拔約為3600m ，氣溫為273K，忽略氣溫隨高度的變化。當海平面上的氣壓1.013105 Pa 時，求(1) 拉薩的大氣壓強；(2) 若某人在海平面上每分鐘呼吸17 次，他在拉薩呼吸多少次才能吸入同樣的質(zhì)量的空氣。M=2910-3 kg/mol解：由等溫氣壓公式得329 109.8 36005(8.31 273)0e1.013 10 eMghRTpp設人每次吸入空氣的容積為V0 ，在拉薩應呼吸x 次 000()(17)p x

9、VpV26.7x 次50.645 10 pa則有6.7 分子的平均碰撞頻率和平均自由程 第六章 氣體動理論一個分子單位時間內(nèi)和其它分子碰撞的平均次數(shù)，稱為分子的平均碰撞頻率。 一、分子的平均碰撞頻率u 假設(模型)(個別分子的碰撞性質(zhì)是不可預測的，對于大量分子構成的整體來說，分子間的碰撞卻遵從著確定的統(tǒng)計規(guī)律。)平均碰撞頻率: （1）分子的運動是布朗式 （2）分子形狀為球體（3）其他分子不動2Zn d uut內(nèi)分子與圓柱體內(nèi)其他分子的碰撞次數(shù)2n d u tu考慮到所有分子實際上都在運動，則有u平均碰撞頻率為2u v22 Zn dv282 RTn dM分子在連續(xù)兩次碰撞之間自由運動的平均路程，

10、稱為分子的平均自由程 。212Zd nv二、分子的平均自由程 22kTd ppnkT781010 m在標準狀態(tài)下的平均自由程約為討論：在恒壓下，加熱理想氣體，則氣體分子的平均自由程和平均碰撞次數(shù)如何隨溫度變化？TpZMRTKTpnndZ60. 122pdKT22討論：如果保持體積不變，加熱理想氣體，則氣體分子的平均自由程和平均碰撞次數(shù)將如何變化？TZMRTndZ60. 122nd2213388 8.31 273/1.70 10/3.142 10RTvm sm sM解:按氣體分子算術平均速率公式 算得8RTvM按公式 p=nkT 可知單位體積中分子數(shù)為53253231.013 102.69101

11、.38 10273pnmmkT【例3】求氫在標準狀態(tài)下，在1s 內(nèi)分子的平均碰撞次數(shù)。已知氫分子的有效直徑為210-10m。319171.70108.10102.1010vZss即在標準狀態(tài)下，在 1 s 內(nèi)分子的平均碰撞次數(shù)約有 80 億次。212d n因此21025711.414 3.142 102.69 102.10 10mm【例4】在質(zhì)子回旋加速器中要使質(zhì)子在105km的路徑上不和空氣分子相碰撞，真空室內(nèi)的壓強多大？（T=300K，質(zhì)子的直徑可以不計，且空氣分子可以認為靜止不動，空氣分子的有效直徑 ）103 10dm 解：設質(zhì)子每秒的運動距離為v圓柱內(nèi)的空氣分子數(shù)為nvd412 21 4zd v n2244vkTzd nd P2322105344 1.38 103003.143 101010kTPd105.85 10()Pa氣體分子熱運動圖景的量級概念帕帕升升500010