數(shù)學(xué)建模入門

1、示例示例1 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問題分析問題分析模型假設(shè)：模型假設(shè)：通常通常 三只腳著地三只腳著地放穩(wěn)放穩(wěn) 四只腳著地四只腳著地 四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形呈正方形; 地面高度連續(xù)變化，視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面地面高度連續(xù)變化，視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面; 地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三只腳地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。同時(shí)著地。模型構(gòu)成模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái) 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅腳連線椅

2、腳連線)的對(duì)稱性的對(duì)稱性xBADCOD C B A 用用 (對(duì)角線與對(duì)角線與x軸的夾角軸的夾角)表示椅子位置表示椅子位置 四只腳著地四只腳著地 距離是距離是 的函數(shù)的函數(shù)椅腳與地面距離為零椅腳與地面距離為零四個(gè)距離四個(gè)距離(四只腳四只腳)A,C 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 f( )B,D 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 g( )兩個(gè)距離兩個(gè)距離f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)對(duì)任意對(duì)任意 , f( ), g( )至少一個(gè)為至少一個(gè)為0上述實(shí)際問題化為如下的上述實(shí)際問題化為如下的數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)問題已知：已知： f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) ，對(duì)任意，對(duì)任意

3、， f( ) g( )=0 ;且且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在證明：存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0.地面為連續(xù)曲面地面為連續(xù)曲面椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只腳著地至少三只腳著地模型求解模型求解將椅子將椅子旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) /2 ，對(duì)角線，對(duì)角線AC和和BD互換。互換。由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f( /2)=0 , g( /2)0.令令h( )= f( )g( ), 則則h(0)0和和h( /2)0.由由 f, g的連續(xù)性知的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù), 據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì), 必存在必存在 0 , 使使h( 0)=0

4、, 即即f( 0) = g( 0) .因?yàn)橐驗(yàn)閒( ) g( )=0, 所以所以f( 0) = g( 0) = 0.評(píng)注和思考評(píng)注和思考建模的關(guān)鍵建模的關(guān)鍵 假設(shè)條件的本質(zhì)與非本假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì)質(zhì) 考察四腳呈長(zhǎng)方形的椅子考察四腳呈長(zhǎng)方形的椅子 和和 f( ), g( )的引入的引入A C BADCOD B x長(zhǎng)方形椅子穩(wěn)定性問題長(zhǎng)方形椅子穩(wěn)定性問題)(g表示A,B與地面距離之和)(f表示C,D與地面距離之和則由三點(diǎn)著地，有00)()(gfoyABCDACABCD0)(,0)(,fg0)0(,0)0(,0fg ,0)0()0()0( ),()()(gfhgfh則 ,0)()()( gfh而

5、所以所以.雙層玻璃窗的功效雙層玻璃窗的功效2d墻墻室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2dd墻墻l室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2問問題題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失玻璃窗相比，減少多少熱量損失假假設(shè)設(shè)熱量的流失是由傳導(dǎo)引起的，沒有熱量的流失是由傳導(dǎo)引起的，沒有對(duì)流：兩層玻璃之間的空氣不流動(dòng)對(duì)流：兩層玻璃之間的空氣不流動(dòng)T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過程處于穩(wěn)態(tài)不變，熱傳導(dǎo)過程處于穩(wěn)態(tài)材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)建建模模熱傳導(dǎo)定律熱傳導(dǎo)定律dTkQQ1Q2Q 單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量 T溫差溫差, d材料厚度

6、材料厚度, k熱傳導(dǎo)系數(shù)熱傳導(dǎo)系數(shù)dd墻墻l室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1Ta內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度Tb外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度k1玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2空氣空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)的熱傳導(dǎo)系數(shù)dTTklTTkdTTkQbbaa212111dlhkkhssdTTkQ,)2(212111建模建模記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q2dTTkQ221122d墻墻室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2Q2雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比dlhkkhssQQ,22212121QQ k1=4 1

7、0-3 8 10-3, k2=2.5 10-4, k1/k2=16 32對(duì)對(duì)Q1比比Q2的減少量的減少量作最保守的估計(jì)，作最保守的估計(jì)，取取k1/k2 =16dlhhQQ,18121)2(2111sdTTkQ建模建模hQ1/Q24200.060.030.026模型應(yīng)用模型應(yīng)用建筑規(guī)范常取建筑規(guī)范常取 h=4, 則則 Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，材料的單層玻璃窗相比，可減少可減少97%的熱量損失。的熱量損失。結(jié)果分析結(jié)果分析Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導(dǎo)系數(shù)導(dǎo)系數(shù) k2 2, , 而這要求

8、空氣非常干燥、不流通。而這要求空氣非常干燥、不流通。房間通過天花板、墻壁房間通過天花板、墻壁 損失的熱量更多。損失的熱量更多。dlhhQQ,18121雙層窗的實(shí)際功效不會(huì)如此之大雙層窗的實(shí)際功效不會(huì)如此之大實(shí)際問題 一個(gè)城鎮(zhèn)有三個(gè)主要生產(chǎn)企業(yè)：煤礦、電廠和地方鐵路作為它的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng).生產(chǎn)價(jià)值1元的煤，需消耗0.25元的電費(fèi)和0.35元的運(yùn)輸費(fèi)；生產(chǎn)價(jià)值1元的電，需消耗0.40元的煤費(fèi)、0.05元的電費(fèi)和0.10元的運(yùn)輸費(fèi)；而提供價(jià)值1元的鐵路運(yùn)輸服務(wù)，則需消耗0.45元的煤、0.10元的電費(fèi)和0.10元的運(yùn)輸費(fèi). 在某個(gè)星期內(nèi)，除了這三個(gè)企業(yè)間的彼此需求，煤礦得到50000元的訂單，電廠得到25

9、000元的電量供應(yīng)要求，而地方鐵路得到價(jià)值30000元的運(yùn)輸需求. 試問 這三個(gè)企業(yè)在這星期各應(yīng)生產(chǎn)多少產(chǎn)值才能滿足內(nèi)外需求？數(shù)學(xué)模型 設(shè)煤礦、電廠和地方鐵路在這星期生產(chǎn)總產(chǎn)值分別為x1 x2和x3(元)，那么3321232113210003010. 010. 035. 00002510. 005. 025. 00005045. 040. 00 xxxxxxxxxxxx10. 010. 035. 010. 005. 025. 045. 040. 00AxdAx321xxxx000300002500050d 可知在該星期中,煤礦、電廠和地方鐵路的總產(chǎn)值分別為114458元, 65395.4元和8

10、5111元.例例1 加工奶制品的生產(chǎn)計(jì)劃加工奶制品的生產(chǎn)計(jì)劃1桶牛奶 3公斤A1 12小時(shí) 8小時(shí) 4公斤A2 或獲利24元/公斤 獲利16元/公斤 50桶牛奶桶牛奶 時(shí)間時(shí)間480小時(shí)小時(shí) 至多加工至多加工100公斤公斤A1 制訂生產(chǎn)計(jì)劃，使每天獲利最大制訂生產(chǎn)計(jì)劃，使每天獲利最大 35元可買到元可買到1桶牛奶，買嗎？若買，每天最多買多少桶牛奶，買嗎？若買，每天最多買多少? 可聘用臨時(shí)工人，付出的工資最多是每小時(shí)幾元可聘用臨時(shí)工人，付出的工資最多是每小時(shí)幾元? A1的獲利增加到的獲利增加到 30元元/公斤，應(yīng)否改變生產(chǎn)計(jì)劃？公斤，應(yīng)否改變生產(chǎn)計(jì)劃？ 每天：每天：奶制品的生產(chǎn)與銷售奶制品的生產(chǎn)

11、與銷售1桶牛奶 3公斤A1 12小時(shí) 8小時(shí) 4公斤A2 或獲利24元/公斤 獲利16元/公斤 x1桶牛奶生產(chǎn)桶牛奶生產(chǎn)A1 x2桶牛奶生產(chǎn)桶牛奶生產(chǎn)A2 獲利獲利 243x1 獲利獲利 164 x2 原料供應(yīng)原料供應(yīng) 5021 xx勞動(dòng)時(shí)間勞動(dòng)時(shí)間 48081221 xx加工能力加工能力 10031x決策變量決策變量 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) 216472xxzMax每天獲利每天獲利約束條件約束條件非負(fù)約束非負(fù)約束 0,21xx線性線性規(guī)劃規(guī)劃模型模型(LP)時(shí)間時(shí)間480小時(shí)小時(shí) 至多加工至多加工100公斤公斤A1 50桶牛奶桶牛奶 每天每天模型求解模型求解 圖解法圖解法 x1x20ABCDl1l

12、2l3l4l55021 xx48081221 xx10031x0,21xx約約束束條條件件50:211 xxl480812:212 xxl1003:13xl0:, 0:2514xlxl216472xxzMax目標(biāo)目標(biāo)函數(shù)函數(shù) Z=0Z=2400Z=3600z=c (常數(shù)常數(shù)) 等值線等值線c在在B(20,30)點(diǎn)得到最優(yōu)解點(diǎn)得到最優(yōu)解目標(biāo)函數(shù)和約束條件是線性函數(shù)目標(biāo)函數(shù)和約束條件是線性函數(shù) 可行域?yàn)橹本€段圍成的凸多邊形可行域?yàn)橹本€段圍成的凸多邊形 目標(biāo)函數(shù)的等值線為直線目標(biāo)函數(shù)的等值線為直線 最優(yōu)解一定在凸多邊最優(yōu)解一定在凸多邊形的某個(gè)頂點(diǎn)取得。形的某個(gè)頂點(diǎn)取得。 模型求解模型求解 軟件實(shí)現(xiàn)軟

13、件實(shí)現(xiàn) LINGO 9.0程序：程序：max=72*x1+64*x2;x1+x250;12*x1+8*x2480;3*x1100;end OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 220桶牛奶生產(chǎn)

14、桶牛奶生產(chǎn)A1, 30桶生產(chǎn)桶生產(chǎn)A2，利潤(rùn)，利潤(rùn)3360元。元。 結(jié)果解釋結(jié)果解釋 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2原料無(wú)剩余原料無(wú)剩余時(shí)間無(wú)剩余時(shí)間無(wú)剩余A1加工能力剩余加工能力剩

15、余40三三種種資資源源“資源資源” 剩余為零的約束為緊約束（有效約束）剩余為零的約束為緊約束（有效約束） max=72*x1+64*x2;x1+x250;12*x1+8*x2480;3*x1100;end與圖解法結(jié)論一致與圖解法結(jié)論一致 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000

16、000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2目標(biāo)函數(shù)看作效益，成目標(biāo)函數(shù)看作效益，成為為 “緊約束緊約束” 的資源的資源一旦增加，效益必然跟一旦增加，效益必然跟著增長(zhǎng)。著增長(zhǎng)?！癲ual prices”給出最優(yōu)解下給出最優(yōu)解下“資源資源”增加增加1單位時(shí)單位時(shí)“效益效益”的增量的增量 原料增加原料增加1單位單位, 利潤(rùn)增長(zhǎng)利潤(rùn)增長(zhǎng)48 時(shí)間增加時(shí)間增加1單位單位, 利潤(rùn)增長(zhǎng)利潤(rùn)增長(zhǎng)2 加工能力增長(zhǎng)不影響利潤(rùn)加工能力增長(zhǎng)不影響利潤(rùn)影子（對(duì)偶）價(jià)格影子（對(duì)偶）價(jià)格 35元可買到元可買到1桶牛奶，要買嗎？桶牛奶，要買嗎？35 48, 應(yīng)該買！應(yīng)該買！ 聘用臨

17、時(shí)工人付出的工資最多每小時(shí)幾元？聘用臨時(shí)工人付出的工資最多每小時(shí)幾元？ 2元！元！在約束條件不變的情況下，最優(yōu)解不變時(shí)目標(biāo)函數(shù)在約束條件不變的情況下，最優(yōu)解不變時(shí)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)允許變化范圍系數(shù)允許變化范圍 ？DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS? Yes假設(shè)約束條件不變，目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)發(fā)生變化，最假設(shè)約束條件不變，目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)發(fā)生變化，最優(yōu)解和最優(yōu)值會(huì)改變嗎？?jī)?yōu)解和最優(yōu)值會(huì)改變嗎？由圖解法，只要等值線族的斜率介于由圖解法，只要等值線族的斜率介于L1與與L2的斜率的斜率之間，最優(yōu)解不改變。之間，最優(yōu)解不改變。RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNC

18、HANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100

19、.000000 INFINITY 40.000000 x1系數(shù)范圍系數(shù)范圍(48,72) A1獲利增加到獲利增加到 30元元/千克，應(yīng)否改變生產(chǎn)計(jì)劃千克，應(yīng)否改變生產(chǎn)計(jì)劃 ？因?yàn)橐驗(yàn)閤1系數(shù)由系數(shù)由24 3=72增加增加為為30 3=90，在，在允許范圍內(nèi)允許范圍內(nèi) 不變！不變！(64,96)x2系數(shù)范圍系數(shù)范圍結(jié)果解釋結(jié)果解釋 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.00000

20、0 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000影子價(jià)格有意義時(shí)約束右端的允許變化范圍影子價(jià)格有意義時(shí)約束右端的允許變化范圍 原料最多增加原料最多增加10 時(shí)間最多增加時(shí)間最多增加53 35元可買到元

21、可買到1桶牛奶，每天最多買多少？桶牛奶，每天最多買多少？ 最多買最多買10桶桶!(目標(biāo)函數(shù)不變目標(biāo)函數(shù)不變)例例2 奶制品的生產(chǎn)銷售計(jì)劃奶制品的生產(chǎn)銷售計(jì)劃 在例在例1基礎(chǔ)上深加工基礎(chǔ)上深加工1桶桶牛奶牛奶 3千克千克A1 12小時(shí)小時(shí) 8小時(shí)小時(shí) 4公斤公斤A2 或或獲利獲利24元元/公斤公斤 獲利獲利16元元/公斤公斤 0.8千克千克B12小時(shí)小時(shí),3元元1千克千克獲利獲利44元元/千克千克 0.75千克千克B22小時(shí)小時(shí),3元元1千克千克獲利獲利32元元/千克千克 制訂生產(chǎn)計(jì)劃，使每天凈利潤(rùn)最大制訂生產(chǎn)計(jì)劃，使每天凈利潤(rùn)最大 30元可增加元可增加1桶牛奶，桶牛奶，3元可增加元可增加1小時(shí)

22、時(shí)間，應(yīng)否投小時(shí)時(shí)間，應(yīng)否投資？現(xiàn)投資資？現(xiàn)投資150元，可賺回多少？元，可賺回多少？50桶牛奶桶牛奶, 480小時(shí)小時(shí) 至多至多100公斤公斤A1 B1，B2的獲利經(jīng)常有的獲利經(jīng)常有10%的波動(dòng)，對(duì)計(jì)劃有無(wú)影響？的波動(dòng)，對(duì)計(jì)劃有無(wú)影響？1桶桶牛奶牛奶 3千克千克 A1 12小時(shí)小時(shí) 8小時(shí)小時(shí) 4千克千克 A2 或或獲利獲利24元元/千克千克 獲利獲利16元元/kg 0.8千克千克 B12小時(shí)小時(shí),3元元1千克千克獲利獲利44元元/千克千克 0.75千克千克 B22小時(shí)小時(shí),3元元1千克千克獲利獲利32元元/千克千克 出售出售x1 千克千克 A1, x2 千克千克 A2， x3千克千克 B1

23、, x4千克千克 B2原料原料供應(yīng)供應(yīng) 勞動(dòng)勞動(dòng)時(shí)間時(shí)間 加工能力加工能力 決策決策變量變量 目標(biāo)目標(biāo)函數(shù)函數(shù) 利潤(rùn)利潤(rùn)約束約束條件條件非負(fù)約束非負(fù)約束 0,61xx x5千克千克 A1加工加工B1， x6千克千克 A2加工加工B26543213332441624xxxxxxzMax50436251xxxx48022)(2)(4656251xxxxxx10051 xx附加約束附加約束 5380 x.x64750 x.x 模型求解模型求解 軟件實(shí)現(xiàn)軟件實(shí)現(xiàn) LINGO 9.0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED

24、COST X1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32.000000 NO. ITERATIONS= 2 OBJECTI

25、VE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.0

26、00000 6) 0.000000 32.000000 NO. ITERATIONS= 2結(jié)果解釋結(jié)果解釋每天銷售每天銷售168 千克千克A2和和19.2 千克千克B1，不出售，不出售A1和和B2，利潤(rùn)利潤(rùn)3460.8（元）（元）8桶牛奶加工成桶牛奶加工成A1，42桶桶牛奶加工成牛奶加工成A2，將得到的將得到的24千克千克A1全部全部加工成加工成B1 除加工能力外均為緊約束除加工能力外均為緊約束結(jié)果解釋結(jié)果解釋 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 X2 168

27、.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32.000000增加增加1桶牛奶使利潤(rùn)增桶牛奶使利潤(rùn)增長(zhǎng)長(zhǎng)3.1612=37.925043)26251xxxx600334) 265

28、21xxxx4增加增加1小時(shí)時(shí)間使利小時(shí)時(shí)間使利潤(rùn)增長(zhǎng)潤(rùn)增長(zhǎng)3.26 30元可增加元可增加1桶牛奶，桶牛奶，3元可增加元可增加1小時(shí)時(shí)間，小時(shí)時(shí)間，應(yīng)否投資？現(xiàn)投資應(yīng)否投資？現(xiàn)投資150元，可賺回多少？元，可賺回多少？投資投資150元元增加增加5桶牛奶桶牛奶，可賺回可賺回189.6元元。（大于增加。（大于增加時(shí)間的利潤(rùn)增長(zhǎng)）時(shí)間的利潤(rùn)增長(zhǎng)）結(jié)果解釋結(jié)果解釋B1,B2的獲利有的獲利有10%的波動(dòng)，對(duì)計(jì)劃有無(wú)影響的波動(dòng)，對(duì)計(jì)劃有無(wú)影響 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT AL

29、LOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 24.000000 1.680000 INFINITY X2 16.000000 8.150000 2.100000 X3 44.000000 19.750002 3.166667 X4 32.000000 2.026667 INFINITY X5 -3.000000 15.800000 2.533334 X6 -3.000000 1.520000 INFINITY DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? YesB1獲利下降獲利下降10%，超，超出出X3 系數(shù)允許范圍系數(shù)允許范圍B

30、2獲利上升獲利上升10%，超，超出出X4 系數(shù)允許范圍系數(shù)允許范圍波動(dòng)對(duì)計(jì)劃有影響波動(dòng)對(duì)計(jì)劃有影響生產(chǎn)計(jì)劃應(yīng)重新制訂：如將生產(chǎn)計(jì)劃應(yīng)重新制訂：如將x3的系數(shù)改為的系數(shù)改為39.6計(jì)算，會(huì)發(fā)現(xiàn)結(jié)果有很大變化。計(jì)算，會(huì)發(fā)現(xiàn)結(jié)果有很大變化。 自來(lái)水輸送與貨機(jī)裝運(yùn)自來(lái)水輸送與貨機(jī)裝運(yùn)生產(chǎn)、生活物資從若干供應(yīng)點(diǎn)運(yùn)送到一些需求點(diǎn)，生產(chǎn)、生活物資從若干供應(yīng)點(diǎn)運(yùn)送到一些需求點(diǎn)，怎樣安排輸送方案使運(yùn)費(fèi)最小，或利潤(rùn)最大；怎樣安排輸送方案使運(yùn)費(fèi)最小，或利潤(rùn)最大；運(yùn)輸問題運(yùn)輸問題各種類型的貨物裝箱，由于受體積、重量等限制，各種類型的貨物裝箱，由于受體積、重量等限制，如何搭配裝載，使獲利最高，或裝箱數(shù)量最少。如何搭配裝

31、載，使獲利最高，或裝箱數(shù)量最少。其他費(fèi)用其他費(fèi)用: :450元元/千噸千噸 應(yīng)如何分配水庫(kù)供水量，公司才能獲利最多？應(yīng)如何分配水庫(kù)供水量，公司才能獲利最多？ 若水庫(kù)供水量都提高一倍，公司利潤(rùn)可增加到多少？若水庫(kù)供水量都提高一倍，公司利潤(rùn)可增加到多少？ 元元/千噸千噸甲甲乙乙丙丙丁丁A160130220170B140130190150C190200230/引水管理費(fèi)引水管理費(fèi) 自來(lái)水輸送自來(lái)水輸送收入：收入：900元元/千噸千噸 支出支出A：50B：60C：50甲：甲：30；50乙：乙：70；70丙：丙：10；20?。憾。?0；40水庫(kù)供水量水庫(kù)供水量(千噸千噸)小區(qū)基本用水量小區(qū)基本用水量(千

32、噸千噸)小區(qū)額外用水量小區(qū)額外用水量(千噸千噸)（以天計(jì)）（以天計(jì)）總供水量：總供水量：160確定送水方案確定送水方案使利潤(rùn)最大使利潤(rùn)最大問題問題分析分析A：50B：60C：50甲：甲：30；50乙：乙：70；70丙：丙：10；20?。憾。?0；40 總需求量總需求量(300)每個(gè)水庫(kù)最大供水量都提高一倍每個(gè)水庫(kù)最大供水量都提高一倍利潤(rùn)利潤(rùn) = 收入收入(900) 其它費(fèi)用其它費(fèi)用( (450) 引水管理費(fèi)引水管理費(fèi)利潤(rùn)利潤(rùn)(元元/千噸千噸)甲甲乙乙丙丙丁丁A290320230280B310320260300C260250220/33323124232221141312112202502603

33、00260320310280230320290 xxxxxxxxxxxZMax供應(yīng)供應(yīng)限制限制B, C 類似處理類似處理50:A14131211xxxx10014131211xxxx問題討論問題討論 確定送水方案確定送水方案使利潤(rùn)最大使利潤(rùn)最大需求約束可以不變需求約束可以不變求解求解 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 88700.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 20.000000 X12 100.000000 0.000000 X13 0.000000 40.000000 X14 0.000000 20.000000

34、 X21 30.000000 0.000000 X22 40.000000 0.000000 X23 0.000000 10.000000 X24 50.000000 0.000000 X31 50.000000 0.000000 X32 0.000000 20.000000 X33 30.000000 0.000000 這類問題一般稱為這類問題一般稱為“運(yùn)輸問題運(yùn)輸問題”(Transportation Problem)總利潤(rùn)總利潤(rùn) 88700（元）（元） A(100)B(120)C(100)甲甲(30;50)乙乙(70;70)丙丙(10;20)丁丁(10;40)4010050305030如何

35、如何裝運(yùn)，裝運(yùn)，使本次飛行使本次飛行獲利最大？獲利最大？ 三個(gè)貨艙三個(gè)貨艙最大最大載載重重( (噸噸),),最大容積最大容積( (米米3 3) ) 貨機(jī)裝運(yùn)貨機(jī)裝運(yùn) 重量（噸）重量（噸）空間空間( 米米3/噸）噸）利潤(rùn)（元利潤(rùn)（元/噸）噸）貨物貨物1184803100貨物貨物2156503800貨物貨物3235803500貨物貨物4123902850三個(gè)貨艙中實(shí)際載重必須與其最大三個(gè)貨艙中實(shí)際載重必須與其最大載載重成相同比例重成相同比例 前倉(cāng)：前倉(cāng)：10；6800中倉(cāng)：中倉(cāng)：16；8700后倉(cāng)：后倉(cāng)：8；5300飛機(jī)平衡飛機(jī)平衡決策決策變量變量 xij-第第i 種貨物裝入第種貨物裝入第j 個(gè)貨

36、艙的重量個(gè)貨艙的重量( (噸）噸）i=1,2,3,4, j=1,2,3 (分別代表前、中、后倉(cāng)分別代表前、中、后倉(cāng))模型假設(shè)模型假設(shè) 每種貨物可以分割到任意?。幻糠N貨物可以分割到任意?。回洐C(jī)裝運(yùn)貨機(jī)裝運(yùn)每種貨物可以在一個(gè)或多個(gè)貨艙中任意分布；每種貨物可以在一個(gè)或多個(gè)貨艙中任意分布；多種貨物可以混裝，并保證不留空隙；多種貨物可以混裝，并保證不留空隙； 模型建立模型建立 貨艙貨艙容積容積 目標(biāo)目標(biāo)函數(shù)函數(shù)( (利潤(rùn)利潤(rùn))約束約束條件條件 )(2850)(3500)(3800)(3100434241333231232221131211xxxxxxxxxxxxZMax68003905806504804

37、1312111xxxx870039058065048042322212xxxx530039058065048043332313xxxx貨機(jī)裝運(yùn)貨機(jī)裝運(yùn)模型建立模型建立 貨艙貨艙重量重量 1041312111xxxx1642322212xxxx843332313xxxx10；680016；87008；5300 xij-第第i 種貨物裝入第種貨物裝入第j 個(gè)貨艙的重量個(gè)貨艙的重量約束約束條件條件平衡平衡要求要求 81610433323134232221241312111xxxxxxxxxxxx貨物貨物供應(yīng)供應(yīng) 18131211xxx15232221xxx23333231xxx12434241xxx

38、貨機(jī)裝運(yùn)貨機(jī)裝運(yùn)模型建立模型建立 10；680016；87008；5300 xij-第第i 種貨物裝入第種貨物裝入第j 個(gè)貨艙的重量個(gè)貨艙的重量 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 121515.8 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 400.000000 X12 0.000000 57.894737 X13 0.000000 400.000000 X21 10.000000 0.000000 X22 0.000000 239.473679 X23 5.000000 0.000000 X31 0.000000 0.000000

39、X32 12.947369 0.000000 X33 3.000000 0.000000 X41 0.000000 650.000000 X42 3.052632 0.000000 X43 0.000000 650.000000 四舍五入：四舍五入：貨物貨物2：前倉(cāng)：前倉(cāng)10, ,后倉(cāng)后倉(cāng)5； 貨物貨物3: : 中倉(cāng)中倉(cāng)13, 后倉(cāng)后倉(cāng)3；貨物貨物4: : 中倉(cāng)中倉(cāng)3。貨機(jī)裝運(yùn)貨機(jī)裝運(yùn)模型求解模型求解 最大利潤(rùn)約最大利潤(rùn)約121516元元貨物貨物供應(yīng)點(diǎn)供應(yīng)點(diǎn)貨艙貨艙需求點(diǎn)需求點(diǎn)平衡要求平衡要求運(yùn)輸運(yùn)輸問題問題運(yùn)輸問題的擴(kuò)展運(yùn)輸問題的擴(kuò)展第七章第七章 差分方程模型差分方程模型 微分方程是建立連續(xù)

40、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的微分方程是建立連續(xù)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的很好方法但在經(jīng)濟(jì)管理或其它領(lǐng)域?qū)嶋H問題很好方法但在經(jīng)濟(jì)管理或其它領(lǐng)域?qū)嶋H問題中，大多數(shù)變量是以定義在整數(shù)集上的數(shù)列形中，大多數(shù)變量是以定義在整數(shù)集上的數(shù)列形式變化的，通常稱為離散型變量差分方程就式變化的，通常稱為離散型變量差分方程就是建立離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型（描述離散型變是建立離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型（描述離散型變量之間關(guān)系的模型）的有效方法本章介紹幾量之間關(guān)系的模型）的有效方法本章介紹幾個(gè)差分方程方法建模的例子個(gè)差分方程方法建模的例子差分方程簡(jiǎn)介差分方程簡(jiǎn)介 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ，當(dāng)自變量，當(dāng)自變量 t 依次取遍非負(fù)整數(shù)時(shí)，依次取遍非負(fù)整數(shù)時(shí)，相應(yīng)

41、的函數(shù)值可以排成一個(gè)數(shù)列相應(yīng)的函數(shù)值可以排成一個(gè)數(shù)列簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為當(dāng)自變量從當(dāng)自變量從t 變到變到 t+1時(shí)，函數(shù)的改變量時(shí)，函數(shù)的改變量 yt+1-yt 稱稱為函數(shù)為函數(shù) yt在在t點(diǎn)的點(diǎn)的一階差分一階差分，記為，記為一階差分的差分稱為一階差分的差分稱為二階差分二階差分，即，即以此類推。以此類推。( )tyf t(0),(1),( ),(1),fff tf t 011,ttyyy y1(0,1,)tttyyyt2121121()()()2tttttttttttyyyyyyyyyyy 例：求例：求yt=t2的一階、二階、三階差分。的一階、二階、三階差分。例：求例：求yt=3t2-t-2的一階、二

42、階、三階差分。的一階、二階、三階差分。 差分的四則運(yùn)算法則：差分的四則運(yùn)算法則：（1）（2）（3）（4）() ttcyc y() ttttyzyz1()ttttttyzzyyz1()ttttttttyzyyzzzz 含有未知函數(shù)含有未知函數(shù) yt 的差分的方程稱為的差分的方程稱為差分方程差分方程，其，其一般形式為一般形式為或或例如：例如： 或或滿足差分方程的函數(shù)稱為該滿足差分方程的函數(shù)稱為該差分方程的解差分方程的解,如果解如果解中含有相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)恰好等于方程的中含有相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)恰好等于方程的階數(shù)，稱為階數(shù)，稱為差分方程的通解。差分方程的通解。顯然，顯然， 和和 都是上例

43、方程的解。都是上例方程的解。 為方程的通解為方程的通解2( ,)0nttttF t yyyy12( ,)0tttt nG t y yyy12ttyy2ty2tyt2tytC2tytC 如果差分方程中所含未知函數(shù)及未知函數(shù)的各如果差分方程中所含未知函數(shù)及未知函數(shù)的各階差分均為一次的，則稱為階差分均為一次的，則稱為線性差分方程線性差分方程。其一般。其一般形式為形式為其特點(diǎn)是其特點(diǎn)是 都是一次的。都是一次的。1111( )( )( )( )t nt nntntya t yat ya t yf t 1,t nt ntyyy 一階線性常系數(shù)差分方程的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性一階線性常系數(shù)差分方程的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

44、方程方程 的平衡點(diǎn)由的平衡點(diǎn)由 解的解的如果當(dāng)如果當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ，則，則 是穩(wěn)定的，否是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。則是不穩(wěn)定的。 可以用變量代換將上述方程的穩(wěn)定性問題化為可以用變量代換將上述方程的穩(wěn)定性問題化為 的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn) 的穩(wěn)定性問題。顯的穩(wěn)定性問題。顯然，其解為然，其解為 ，當(dāng)而且僅當(dāng)，當(dāng)而且僅當(dāng) 時(shí)時(shí)方程的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。方程的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。 1ttyayb*1byat *tyy*yyayb10ttyay*0y 0()ttya y 1a 二階線性常系數(shù)差分方程的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性二階線性常系數(shù)差分方程的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性 考察齊次方程考察齊次方程 的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn) 的穩(wěn)定性。的穩(wěn)定性。 其

45、特征方程為其特征方程為 ，其根為，其根為易證，上述方程的通解為易證，上述方程的通解為 ，從而當(dāng)，從而當(dāng)且僅當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)方程的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。時(shí)方程的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。 非齊次方程平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和齊次方程平衡點(diǎn)的非齊次方程平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和齊次方程平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性相同。穩(wěn)定性相同。 21120tttya ya y2120aa12, 1122tttycc121,1*0y 一階非線性差分方程的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性一階非線性差分方程的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性 方程方程 的平衡點(diǎn)由的平衡點(diǎn)由 解出。解出。 將方程右端在平衡點(diǎn)將方程右端在平衡點(diǎn) 作作Taylor展開，近似為展開，近似為 其平衡點(diǎn)還是其平衡點(diǎn)還是 。當(dāng)。當(dāng) 時(shí)上

46、述兩個(gè)方程的時(shí)上述兩個(gè)方程的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性相同。所以，當(dāng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性相同。所以，當(dāng) 時(shí)平衡時(shí)平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，當(dāng)點(diǎn)是穩(wěn)定的，當(dāng) 平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。 1()ttyf y*()1fy( )yf y*y*1()()()ttyf yfyyy*y*()1fy*()1fy減肥計(jì)劃減肥計(jì)劃節(jié)食與運(yùn)動(dòng)節(jié)食與運(yùn)動(dòng)背背景景 多數(shù)減肥食品達(dá)不到減肥目標(biāo)，或不能維持多數(shù)減肥食品達(dá)不到減肥目標(biāo)，或不能維持 通過控制飲食和適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)，在不傷害身體通過控制飲食和適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)，在不傷害身體的前提下，達(dá)到減輕體重并維持下去的目標(biāo)的前提下，達(dá)到減輕體重并維持下去的目標(biāo)分分析析 體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起體重變

47、化由體內(nèi)能量守恒破壞引起 飲食（吸收熱量）引起體重增加飲食（吸收熱量）引起體重增加 代謝和運(yùn)動(dòng)（消耗熱量）引起體重減少代謝和運(yùn)動(dòng)（消耗熱量）引起體重減少 體重指數(shù)體重指數(shù)BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 超重超重; BMI30 肥胖肥胖.人體攝入的熱量超過機(jī)體所消耗的熱量，過多的熱量在體內(nèi)轉(zhuǎn)變?yōu)橹静⒋罅啃罘e起來(lái)就會(huì)引起肥胖模型假設(shè)模型假設(shè)1）體重增加正比于吸收的熱量）體重增加正比于吸收的熱量平均每平均每吸收吸收8000千卡熱量增加體重千卡熱量增加體重1千克；千克；2）正常代謝引起的體重減少正比于體重）正常代謝引起的體重減少正比于體重每周每公斤體重消耗每周每公斤體重消耗2

48、00千卡千卡 320千卡千卡(因人而異因人而異),相當(dāng)于相當(dāng)于70千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡 3200千卡；千卡；3）運(yùn)動(dòng)引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動(dòng)形）運(yùn)動(dòng)引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動(dòng)形式有關(guān)；式有關(guān)； 4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5千千克，每周吸收熱量不要小于克，每周吸收熱量不要小于10000千卡。千卡。某甲身高某甲身高1.7m，體重，體重100千克，目前每周吸收千克，目前每周吸收20000千卡熱量，體重維持不變?，F(xiàn)欲減肥至千卡熱量，體重維持不變?，F(xiàn)欲減肥至75千克。千克。第一階段：每周減肥第一階段：每

49、周減肥1千克，每周吸收熱量逐漸減千克，每周吸收熱量逐漸減少，直至達(dá)到下限（少，直至達(dá)到下限（10000千卡）；千卡）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo)第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo) 2）若要加快進(jìn)程，第二階段增加運(yùn)動(dòng)，試安排計(jì)劃。）若要加快進(jìn)程，第二階段增加運(yùn)動(dòng)，試安排計(jì)劃。1）在基本上不運(yùn)動(dòng)的情況下安排一個(gè)兩階段計(jì)劃。）在基本上不運(yùn)動(dòng)的情況下安排一個(gè)兩階段計(jì)劃。減肥計(jì)劃減肥計(jì)劃3）給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案。）給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案。)()1()()1(kwkckwkw千卡）千克 /(80001 確定某甲的代謝消耗系數(shù)確定某甲的代謝消耗系數(shù)即每周每千克體重消

50、耗即每周每千克體重消耗 20000/100=200千卡千卡基本模型基本模型w(k) 第第k周末體重周末體重c(k) 第第k周吸收熱量周吸收熱量 代謝消耗系數(shù)代謝消耗系數(shù)(因人而異因人而異)1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃每周吸收每周吸收20000千卡千卡 w=100千克不變千克不變wcww025. 0100800020000wc 第一階段第一階段: w(k)每周減每周減1千克千克, c(k)減至下限減至下限10000千卡千卡1) 1()(kwkwk20012000 (1)( )(1)( )w kw kc kw k第一階段第一階段10周周, 每周減每周減1千克，第千克，第10周末體重周末體重90千克千克10kkwkw)0()()1(1)0()1(kwkc80001025.09, 1 , 0,20012000) 1(kkkc吸收熱量為吸收熱量為1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃1)(1)1(kwkc10