空間直線及其方程.ppt課件

1、上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology一、空間直線的一般方程二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程三、兩直線的夾角四、直線與平面的夾角五、雜例 7.6 空間直線及其方程上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology分析： 點M在直線L上點M同時在這兩個平面上, 點M的坐標同時滿足這兩個平面的方程. 一、空間直線的一般方程 空間直線可以看作是兩個平面的交線. 設直線L是平面1和2的交線, 平面的方程分別為 A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0, 這就是空間直線

2、的一般方程. 來表示. 那么直線L可以用方程組0022221111DzCyBxADzCyBxA 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程 如果一個非零向量平行于一條已知直線, 這個向量就叫做這條直線的方向向量 v方向向量 直線上任一向量都平行于該直線的方向向量. 當直線L上一點M0(x0, y0, x0)和它的一方向向量s=(m, n, p)為已知時, 直線L的位置就完全確定了. v確定直線的條件 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv直線的

3、對稱式方程 求通過點M0(x0, y0, x0), 方向向量為s=(m, n, p)的直線的方程. (x-x0, y-y0, z-z0)/s , 從而有這就是直線的方程, 叫做直線的對稱式方程 直線的任一方向向量s的坐標m、n、p叫做這直線的一組方向數(shù). 向量s的方向余弦叫做該直線的方向余弦. 則從M0到M的向量平行于方向向量: 設M(x, y, z)為直線上的任一點,pzznyymxx000-注上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology通過點M0(x0, y0, x0), 方向向量為s=(m, n, p)的直線方程:v直線的參數(shù)方程 t

4、方設pzznyymxx000- , 得程組此方程組就是直線的參數(shù)方程. pzznyymxx000-ptzzntyymtxx000 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyn1(1 1 1) n2(2 1 1) 平面xyz1和2xyz4的法線向量為 解解 所求直線的方向向量為 例1用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線 . -421zyxzyxkjikjinns3211211121-在方程組 中 令y0 -421zyxzyx得 421zxzx解得x3 z2 于是點(3 0 2)為所求直線上的點 所求直線的對稱式方程為 32123-zyx上頁 下頁

5、 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyn1(1 1 1) n2(2 1 1) 平面xyz1和2xyz4的法線向量為 解解 所求直線的方向向量為 例1用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線 . -421zyxzyxkjikjinns3211211121-在方程組 中 令y0 -421zyxzyx得 421zxzx解得x3 z2 于是點(3 0 2)為所求直線上的點 所求直線的參數(shù)方程為 x32t yt z23t 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology三、兩直線的夾角 兩直線的方向向量的夾角(通常

6、指銳角)叫做兩直線的夾角. 設直線L1和L2的方向向量分別為 s1=(m1, n1, p1)和s2=(m2, n2, p2), 那么L1和L2的夾角j滿足| ) ,cos(|cos21ss 222222212121212121|pnmpnmppnnmm 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology方向向量分別為(m1, n1, p1)和(m2, n2, p2)的直線的夾角余弦: 解解 222222212121212121|cospnmpnmppnnmm 例例2 求直線求直線 與直線與直線 的夾角的余弦的夾角的余弦 -02309335zyxz

7、yx-0188302322zyxzyx 直線直線 與與-02309335zyxzyx-0188302322zyxzyx的方向向量分別為 kjikjis-431233351kjikjis105101831222-兩直線之間的夾角的余弦為 010) 5(10) 1(4310) 1() 5(4103| |) ,cos(222222212121-ssssss上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv兩直線垂直與平行的條件 設有兩直線 L1 L2m1m2+n1n2+p1p2=0; 那么方向向量分別為(m1, n1, p1)和(m2, n2, p2

8、)的直線的夾角余弦:2,L1111111pzznyymxx-L :222222pzznyymxx-,L1 2L / 踼212121ppnnmm222222212121212121|cospnmpnmppnnmm 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology提示：四、直線與平面的夾角 當直線與平面不垂直時, 直線和它在平面上的投影直線的夾角j稱為直線與平面的夾角, 當直線與平面垂直時, 規(guī)定直線與平面的夾角為90. 設直線的方向向量為s=(m, n, p), 平面的法線向量為n=(A, B, C), 則直線與平面的夾角j 滿足 222222|

9、sinpnmCBACpBnAm | ) , (2|ns-, | ) , cos(|sinns 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 方向向量為(m, n, p)的直線與法線向量為(A, B, C)的平面的夾角j 滿足 v直線與平面垂直和平行的條件 設直線L的方向向量為s=(m, n, p), 平面P 的法線向量為n=(A, B, C), 那么 L/P Am+Bn+Cp=0. 222222|sinpnmCBACpBnAm L pCnBmA 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technolog

10、y 例3 求過點(1, -2, 4)且與平面2x-3y+z-4=0垂直的直線的方程. 平面的法線向量(2, -3, 1)可以作為所求直線的方向向量. 由此可得所求直線的方程為 解解 143221-zyx 設直線L的方向向量為s=(m, n, p), 平面P 的法線向量為n=(A, B, C), 那么 L/P Am+Bn+Cp=0. L pCnBmA 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology五、雜例 解：解： 例4 求過點(1 2 1)而與兩直線 -01012zyxzyx和 -002zyxzyx平行的平面的方程 直線 的方向向量為 -01

11、012zyxzyxkjikjis32111121) 1 , 1 , 1 () 1 , 2 , 1 (1-直線 的方向向量為 -002zyxzyxkjkjis-111112) 1 , 1 , 1 () 1 , 1 , 2(2上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology五、雜例 解：解： 例4 求過點(1 2 1)而與兩直線 -01012zyxzyx和 -002zyxzyx平行的平面的方程 所求平面的法線向量可取為 kjikjissn-11032121所求平面的方程為 (x1)(y2)(z1)0 即xyz0 上頁 下頁 返回 退出 Jlin I

12、nstitute of Chemical Technology x=2+t, y=3+t, z=4+2t, 代入平面方程中, 得 2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0. 解上列方程, 得t=-1. 將t=-1代入直線的參數(shù)方程, 得所求交點的坐標為 x=1, y=2, z=2. 解解 所給直線的參數(shù)方程為 例例5 5 求直線241312-zyx與平面 2xyz-60 的交點 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 解解 例例6 的直線的方程. 求過點(2, 1, 2)且與直線241312-zyx垂直相交 所求直線的方向向量為

13、 s(1 2 2)(2 1 2)(1 1 0) 過已知點且與已知直線相垂直的平面的方程為 (x2)(y1)2(z2)0 即xy2z7 此平面與已知直線的交點為(1 2 2) 提示： 求出兩直線的交點是關鍵 而交點就是過已知點且與已知直線相垂直的平面與已知直線的交點上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 解解 例例6 的直線的方程. 求過點(2, 1, 2)且與直線241312-zyx垂直相交 所求直線的方向向量為 s(1 2 2)(2 1 2)(1 1 0) 過已知點且與已知直線相垂直的平面的方程為 (x2)(y1)2(z2)0 即x

14、y2z7 此平面與已知直線的交點為(1 2 2) 所求直線的方程為021112-zyx, 即021112-zyx 即-021112zyx 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology分析： 因為A1、B1、C1與A2、B2、C2不成比例, 所以對于任何一個l值, 上述方程的系數(shù)不全為零, 從而它表示一個平面. 分析： 對于不同的l值, 所對應的平面也不同, 而且這些平面都通過直線L, 即這個方程表示通過直線L的一族平面. 分析： 另一方面, 任何通過直線L的平面也一定包含在上述通過L的平面族中. v平面束 考慮三元一次方程: A1x+B1y

15、+C1z+D1+l(A2x+B2 y+C2z+D2)=0, 即 (A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0,其中l(wèi)為任意常數(shù).其中系數(shù)A1、B1、C1與A2、B2、C2不成比例. 設直線L的一般方程為0022221111DzCyBxADzCyBxA, 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 上述方程表示通過定直線L的所有平面的全體, 稱為平面束. v平面束 考慮三元一次方程: A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2 y+C2z+D2)=0, 即 (A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+

16、lC1)z+D1+lD2=0,其中l(wèi)為任意常數(shù).其中系數(shù)A1、B1、C1與A2、B2、C2不成比例. 設直線L的一般方程為0022221111DzCyBxADzCyBxA, 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology提示： 我們要在通過已知直線的平面束中找出與已知平面相垂直的平面, 此平面與已知平面的交線就是所求的投影直線.提示： 這是平面束的法線向量(1+l, 1-l, -1+l)與已知平面的法線向量(1, 1, 1)的數(shù)量積. (x+y-z-1)+l(x-y+z+1)=0, 即 (1+l)x+(1-l)y+(-1+l)z+(-1+l)=0. 為了求得與已知平面x+y+z=0垂直的平面, 令 (1+l)1+(1-l)1+(-1+l)1=0, 解解 設通過已知直線的平面束的方程為 的方程. 例例7 7 求直線-0101zyxzyx在平面 xyz0 上的投影直線 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology即 y-z-1=0. 2y-2z-2=0, 于是得到與已知平面垂直的平面的方程為 解得l=-1. 所以投影直線的方程為 (x+y-z-1)+l(x-y+z+1)=0, 即 (1+l)