振動力學(梁的橫向振動)

1、彈性體的振動振動力學振動力學-彈性體的振動彈性體的振動梁的橫向振動梁的橫向振動 僅討論梁在主平面內的平面彎曲振動。這種振僅討論梁在主平面內的平面彎曲振動。這種振動只有當梁存在主平面的情形才能發(fā)生，并符合材動只有當梁存在主平面的情形才能發(fā)生，并符合材料力學中梁彎曲的小變形假設和平面假設。料力學中梁彎曲的小變形假設和平面假設。彈性體的振動1 1、運動微分方程運動微分方程 在梁的主平面上取坐標在梁的主平面上取坐標xoz，原點位于梁的左端截，原點位于梁的左端截面的形心，面的形心，x軸與梁平衡時的軸線重合。假設梁在振軸與梁平衡時的軸線重合。假設梁在振動過程中，軸線上任一點的位移動過程中，軸線上任一點的位

2、移u(x,t)均沿均沿z軸軸方向。方向。彈性體的振動 取微段梁取微段梁dx，截，截面上的彎矩與剪力為面上的彎矩與剪力為M和和Q，其正負號的，其正負號的規(guī)定和材料力學一樣。規(guī)定和材料力學一樣。22QuQQdxfdxAdxxt 則微段梁則微段梁dx沿沿z方向的運動方程為：方向的運動方程為：彈性體的振動即即22QuAfxt 利用材料力學中的關系利用材料力學中的關系MQx22uMEIx222222uuEIAfxxt 得到梁的彎曲振動方程得到梁的彎曲振動方程彈性體的振動邊界條件邊界條件 和一維波動方程一樣，要使彎曲振動微分方程和一維波動方程一樣，要使彎曲振動微分方程成為定解問題，必需給出邊界條件和初始條

3、件。成為定解問題，必需給出邊界條件和初始條件。 梁的每一端必須給出兩個邊界條件梁的每一端必須給出兩個邊界條件(以左端為以左端為例例)。（1）固定端：撓度和轉角為）固定端：撓度和轉角為0，即，即0( , )(0, )0,0 xu x tutx彈性體的振動（2）簡支端：撓度和彎矩為）簡支端：撓度和彎矩為0，即，即220( , )(0, )0,0 xu x tutEIx（3）自由端：彎矩和剪力為）自由端：彎矩和剪力為0，即，即222200( , )( , )0,0 xxu x tu x tEIEIxxx其它邊界條件用類似的方法給出。其它邊界條件用類似的方法給出。彈性體的振動 2 2、梁彎曲自由振動的

4、解梁彎曲自由振動的解令振動方程中的干擾力為令振動方程中的干擾力為0，得到，得到222222uuEIAxxt 對于均勻梁，振動方程為對于均勻梁，振動方程為其中其中422420uuaxtEIaA彈性體的振動假定有分離變量形式的解存在，令假定有分離變量形式的解存在，令( , )( ) ( )u x tx q t代入方程得到代入方程得到2222222( )( )( )( )dxd q taq txxdxdt 寫為寫為22222222( )( )( )( )dxd q txdxdtaxq t彈性體的振動則有則有222( )( )0d q tq tdt444( )( )dxxdx其中其中242a（稱為特征

5、方程）（稱為特征方程）彈性體的振動方程的通解為方程的通解為56( )sincosq tCtCt1234( )sincosshchxCxCxCxCx 由特征方程，利用邊界條件即可求出振型函數(shù)由特征方程，利用邊界條件即可求出振型函數(shù)F(x)和頻率方程，進一步確定系統(tǒng)的固有頻率和頻率方程，進一步確定系統(tǒng)的固有頻率wi。用。用四個邊界條件只能確定四個積分常數(shù)之間的比值。四個邊界條件只能確定四個積分常數(shù)之間的比值。 彈性體的振動【例例1】 求簡支梁彎曲振動的固有頻率與固有振型。求簡支梁彎曲振動的固有頻率與固有振型。220(0)0,0 xddx22( )0,0 x ldldx1234( )sincossh

6、chxCxCxCxCx代入特征方程的解代入特征方程的解22122234( )sincosshchxCxCxCxCx 以及以及解：邊界條件為撓度和彎矩為解：邊界條件為撓度和彎矩為0。彈性體的振動240,CC得到得到2213sinsh0ClCl以及以及224()0CC則則240CC13sinsh0ClCl則則30C 以及頻率方程以及頻率方程sin0l由此解得由此解得,(1,2)iiil彈性體的振動所以固有頻率所以固有頻率振型為振型為( )( )sinsiniiixCxCxl2222,(1,2)iiiEIailA 第第i階振型有階振型有i1個節(jié)點。節(jié)點坐標個節(jié)點。節(jié)點坐標kixkl即即,(1,21)

7、kklxiki212EIlA2224E IlA2329EIlA彈性體的振動【例例2】求兩端固定梁彎曲振動的固有頻率與固有振型。求兩端固定梁彎曲振動的固有頻率與固有振型。(0)0,(0)0( )0,( )0ll代入特征方程的解得到代入特征方程的解得到240,CC以及以及13()0CC1234sincosshch0ClClClCl1243cossinshch0ClClClCl解：邊界條件為撓度和轉角為解：邊界條件為撓度和轉角為0，即，即彈性體的振動化簡后得到頻率方程化簡后得到頻率方程cosch1ll求得求得31CC 241sinshchc sllCCClol 求出求出 后得到固有頻率后得到固有頻率

8、22,(1,2)iiiEIaiA彈性體的振動振型為振型為1234( )sincosshchxCxCxCxCx1111sinshsincoschcossinsinhshchchcosllCxCxllllCxCxllsinshsinsh(cosch)chcosllCxxxxll彈性體的振動【例【例3】求左端固定、右端用剛度為求左端固定、右端用剛度為k的彈簧支承的的彈簧支承的 均勻梁彎曲振動的頻率方程。均勻梁彎曲振動的頻率方程。(0)0,(0)0解：左端的邊界條件為撓度和轉角為解：左端的邊界條件為撓度和轉角為0彈性體的振動(0)0,(0)0解：左端的邊界條件為撓度和轉角為解：左端的邊界條件為撓度和轉

9、角為0彈性體的振動右端的邊界條件：彎矩為右端的邊界條件：彎矩為0，剪力等于彈性力，剪力等于彈性力( )0l33( )x ldMdQEIqqkldxdx彈性體的振動1234( )sincosshchxCxCxCxCx代入特征方程的解代入特征方程的解以及以及22122234( )sincosshchxCxCxCxCx 1243( )cossinshchxCxCxCxCx( )0l33( )x ldMdQEIqqkldxdx彈性體的振動進一步化簡后得到頻率方程進一步化簡后得到頻率方程3chcos1chsincosshkllEIllll 求出求出 后得到固有頻率后得到固有頻率22,(1,2)iiiEI

10、aiA振型為振型為1234( )sincosshchxCxCxCxCxsinshsinsh(cosch)chcosllCxxxxll彈性體的振動33123334( )cossinchshxCxCxCxCx 240,CC將邊界條件代入得到將邊界條件代入得到13()0CC1234sincosshch0ClClClCl33331234(cossinchsh)EIClClClCl1234(sincosshch)k ClClClCl求得求得31CC 241sinshchcosllCCCll 彈性體的振動討論：討論：（1）k0時，頻率方程變?yōu)闀r，頻率方程變?yōu)閏hcos10ll 即為懸臂梁的情況。即為懸臂梁

11、的情況。（2）k趨于無窮大時，頻率方程變?yōu)橼呌跓o窮大時，頻率方程變?yōu)閏hsincossh0llll或或tanthll即為左端固定，右端簡支的情況。即為左端固定，右端簡支的情況。彈性體的振動【思考題】【思考題】 證明圖示懸臂梁在證明圖示懸臂梁在xl處的邊界條件為：處的邊界條件為：202( , )( , )x lx lu x tu x tEIkxx 33( , )( , )x lu x tEIku l tx彈性體的振動關于關于振型函數(shù)的正交性振型函數(shù)的正交性 和一維波動方程振型函數(shù)的正交性類似。第和一維波動方程振型函數(shù)的正交性類似。第i階階特征值滿足特征值滿足22222( )( )( )( )ii

12、idxdEI xA xxdxdx 彈性體的振動 考慮邊界條件為簡支、自由、固定的情考慮邊界條件為簡支、自由、固定的情況，梁端點的位移、彎矩或剪力為況，梁端點的位移、彎矩或剪力為0，則，則對第對第j階振型進行上面類似的運算得：階振型進行上面類似的運算得：22220lijddEIdxdxdx22220ljiddEIdxdxdx20liijAdx 22220ljiddEIdxdxdx22220ljiddEIdxdxdx20ljijAdx 彈性體的振動用用 j左乘上式兩端，并積分左乘上式兩端，并積分22220222200lijlliijjddEIdxdxdxddddEIEIdxdxdxdxdx2222

13、0022220lljiijljiddddEIEIdxdxdxdxddEIdxdxdx彈性體的振動上兩式相減得上兩式相減得則則220()0lijijAdx 00()lijAdxij ij時時0liiiAdxM 2222222200lliiiiidddEIdxEIdxMdxdxdx彈性體的振動梁在激勵力作用下的響應梁在激勵力作用下的響應 和一維波動方程一樣，用振型疊加法求響應和一維波動方程一樣，用振型疊加法求響應( )1( , )( )( )iiiu x tq tx1. 標準坐標（正則坐標）標準坐標（正則坐標） 對振型函數(shù)按下式條件正則化對振型函數(shù)按下式條件正則化01liiiAdxM 彈性體的振動

14、2. 對初始激勵的響應對初始激勵的響應 設初始條件為設初始條件為00( , )( )tu x tu xt0( ,0)( )u xux將其按標準振型展開將其按標準振型展開001( ,0)( )iiiu xu xq001( ,0)( )iiiu xu xq彈性體的振動用用 A j左乘上兩式，并積分得左乘上兩式，并積分得標準坐標下的初始激勵響應標準坐標下的初始激勵響應00001( ,0)llijiiiiqAdxqAu xdx 00001( ,0)llijiiiiqAdxqAu xdx 00( )cossiniiiiiiqq tqtt彈性體的振動物理坐標下的響應物理坐標下的響應001( , )( )c

15、ossiniiiiiiiqu x txqtt彈性體的振動響應求解步驟響應求解步驟：（1）根據(jù)邊界條件求解固有頻率和固有振型）根據(jù)邊界條件求解固有頻率和固有振型;（2）利用標準化條件確定振型中的常數(shù)因子）利用標準化條件確定振型中的常數(shù)因子;（3）將初始條件變換到標準坐標）將初始條件變換到標準坐標;（4）求標準坐標下的響應）求標準坐標下的響應;（5）求物理坐標下的響應。）求物理坐標下的響應。彈性體的振動【例例4】長為長為l的均勻簡支梁初始靜止，設在的均勻簡支梁初始靜止，設在xx1處的處的微段微段d上有初始速度上有初始速度v，求系統(tǒng)對此初始條件的響應。，求系統(tǒng)對此初始條件的響應。 解：解： （1）固

16、有頻率與相應的固有振型為）固有頻率與相應的固有振型為2iiEIlA( )siniii xxCl（2）由正規(guī)化條件）由正規(guī)化條件 確定系數(shù)確定系數(shù)Ci0sinsin1liii xi xCA Cdxll01liiAdx彈性體的振動求得求得2iCAl2( )sinii xxAll所以所以（3）初始條件。按題意）初始條件。按題意110( ,0)0,220tvxxxuu xt彈性體的振動變換到主坐標下變換到主坐標下1100022( )2sinliixxqAux dxi xAvdxAll000( )0liiqAux dx1122sinsin22sini xAlivlilli xAvll00( )cossi

17、niiiiiiqq tqtt彈性體的振動3. 對外激勵的響應對外激勵的響應（1）分布干擾力）分布干擾力 設干擾力密度為設干擾力密度為f(x,t), 和前面桿的外激勵受迫振和前面桿的外激勵受迫振動響應推動方法一樣。利用標準化振型函數(shù)動響應推動方法一樣。利用標準化振型函數(shù)Fi，得到，得到標準坐標下的解耦方程標準坐標下的解耦方程20( , )liiiiqqf x ydx利用杜哈美積分得利用杜哈美積分得001( , )sin()ltiiiiqf xtd dx彈性體的振動（4）響應）響應1( , )( )( )iiiu x tq tx1121sinsinsiniiii xvi xtlll0012coss

18、insiniiiiiiqi xqttAll總響應為總響應為001( , )( , )sin()ltiiiiiu x tf xtd dx彈性體的振動（2）集中力）集中力 設在設在xx1處受集中力處受集中力F(t), 這時可以用這時可以用 函數(shù)表示函數(shù)表示為分布形式：為分布形式：F(x,t)dx (x-x1), 方程變?yōu)榉匠套優(yōu)?110( , ) ()() ( )liiiiiqqF x txxdxx F t總響應為總響應為101( )()( , )( )sin()tiiiiixxu x tFtd彈性體的振動（3）集中力偶（不推導，只給出結果）集中力偶（不推導，只給出結果） 設在設在xx1處受集中力

19、處受集中力M(t), 這時有這時有10()( )sin()tiiiixqMtd總響應為總響應為101( )()( , )( )sin()tiiiiixxu x tMtd彈性體的振動強迫振動的響應求解步驟強迫振動的響應求解步驟：（1）根據(jù)邊界條件求解固有頻率和固有振型）根據(jù)邊界條件求解固有頻率和固有振型;（2）利用正規(guī)化條件確定振型中的常數(shù)因子）利用正規(guī)化條件確定振型中的常數(shù)因子;（3）求主坐標下的響應）求主坐標下的響應;（4）求廣義坐標下的響應。）求廣義坐標下的響應。彈性體的振動 解解：（1）固有頻率與相應的固有振型為）固有頻率與相應的固有振型為2iiEIlA( )siniii xxCl（2）

20、由正規(guī)化條件）由正規(guī)化條件 確定系數(shù)確定系數(shù)Ci0sinsin1liii xi xCA Cdxll01liiAdx【例例5】設長為設長為l的簡支梁在的簡支梁在xa處受集中力處受集中力Fsin t作作用用, 求響應。求響應。求得求得2( )sinii xxAll彈性體的振動（3）響應）響應122121sinsinsinsiniiiii xFi xttAlll110122sinsinsinsinsin()iiitii xi xtAllAllFtd101( )()( , )( )sin()tiiiiixxu x tFtd彈性體的振動【例例6】火車在很長的橋梁上通過，可以簡化為一均火車在很長的橋梁上通過，可以簡化為一均勻筒支梁受到以等速率勻筒支梁受到以等速率v向右運動的荷重向右運動的荷重P的作用。的作用。假設在初始時刻荷重位于梁的左端，試求強迫振動假設在初始時刻荷重位于梁的左端，試求強迫振動的響應。的響應。彈性體的振動 解：（解：（1）均勻簡支梁的固有頻率與相應的固有振