第4章平面問題的等數(shù)參單元√有限元

1、第3章 平面問題的等參單元l坐標變換與等參元概念坐標變換與等參元概念l四邊形（四邊形（4節(jié)點）等參單元節(jié)點）等參單元l八節(jié)點四邊形等參單元八節(jié)點四邊形等參單元l等參元的收斂性等參元的收斂性3.1 坐標變換與等參元概念坐標變換與等參元概念 上一章中， Serendipity矩形單元插值函數(shù)的建立，使插值函數(shù)構(gòu)造規(guī)則化。矩形單元比三角形單元有更高的精度，但它不適應(yīng)不規(guī)則形狀。而任意直線四邊形單元可以適應(yīng)不規(guī)則形狀。但問題是，如果有一邊的邊界方程為 ，代入位移插值函數(shù)cbxy232143214321)()(xxcbxxcbxxxyyxu顯然，在邊界上位移不再是線性分布，因而不能由節(jié)點位移惟一確定，即

2、：即使相鄰兩單元節(jié)點位移相同，也不能保證邊界位移連續(xù)。這就限制了四邊形單元的應(yīng)用范圍。因此，為了實際應(yīng)用，尋找適當方式，將規(guī)則單元轉(zhuǎn)化為曲線單元，是非常必要的。普遍采用的方法是等參變換，即單元幾何形狀和單元內(nèi)的位移函數(shù)采用相同的數(shù)目的結(jié)點參數(shù)和插值函數(shù)進行變換。采用等參變換后，關(guān)鍵問題是將整體坐標系里的單元剛度、荷載等單元特性變換為局部坐標系中計算。3.1 坐標變換與等參元概念坐標變換與等參元概念 如圖所示的兩套坐標系，一套是 Oxy ，用于實際單元，稱為子單元；一套是 ，它是標準后化的正方形單元，稱為母單元。從母單元項子單元變換，實際上就是建立兩個坐標系之間的變換關(guān)系，即O),(),( Af

3、yxAfyx下面介紹如何建立兩種單元之間的一一對應(yīng)關(guān)系。事實上，這是圖形變換的映射方法?；?qū)懗勺罘奖愕姆椒ㄊ菍⒄w坐標用插值形式表示，即(2) ),(, ),(11piiiqiiiNvvNuu其中，Ni稱為插值函數(shù)（形函數(shù))。通過這一變換，對母單元上每一點( )可以在實際單元中找到一對應(yīng)點(x，y)，這樣就在兩個單元間建立了一一對應(yīng)關(guān)系。 (1) ),(,),(11iiiiiiyNyxNx,在實際單元中建立位移函數(shù)的插值形式因為坐標變換和位移變換都用同樣個數(shù)的相應(yīng)的節(jié)點值做參數(shù)，并且具有完全相同的形函數(shù)作為變換系數(shù)，所以稱這種單元為等參數(shù)單元，簡稱等參元。3.2 四邊形（4節(jié)點）等參單元 用上

4、述方法，將（x,y）平面內(nèi)的任意四邊形單元變換為（ ）平面上以原點為形心，邊長為2的正方形單元，圖1(b)所示。,) 1 , 1(),1 , 1 (),1, 1 (),1, 1(,母單元的節(jié)點 ijrs 與實單元的節(jié)點 ijrs 對應(yīng)。在母單元上取局部坐標系 ，四個節(jié)點 ijrs 坐標分別為用兩組曲線等分實單元的四個邊界，在實單元上繪出一個非正交網(wǎng)格，通過坐標變換，將這個非正交網(wǎng)格與母單元上的等距正交網(wǎng)格對應(yīng)，母單元上的A點與實單元上的A點對應(yīng)。1 形函數(shù)與坐標變換 在母單元上，取位移函數(shù)為按照上一章求插值函數(shù)的方法，得 (3) 87654321yvu)(3 ijrsiimmlljjiiijr

5、siimmlljjiivNvNvNvNvNvuNuNuNuNuNu),()1)(1 (41),(mljiNiii其中：將(3)式寫成矩陣形式這里， 是單元的節(jié)點位移向量emljieININININNvudTmmlljjiievuvuvuvu(4) ijrsiiijrsiiyNyxNxyxvu,),(,srjiiyxvuiiiie將坐標也取為(3)的形式在(3,4)式中， ，以及 是實單元中的位移和坐標2 幾何矩陣 幾何方程為(5) 0000exyyxNxyyxfxyyxyuxvyvxuyNxNii/,/yyNxxNNyyNxxNNiiiiii(6) yNxNJNNiiii為了求出上式的 ，根據(jù)

6、復合函數(shù)求導法則得 即：其中(7) ssrrjjiisrjisrjiijrsiiijrsiiijrsiiijrsiiyxyxyxyxNNNNNNNNyNxNyNxNyxyxJ(8) )( )1 ()1 (4111i,j,r,siJNNJyNxNiiiiiiii，從而應(yīng)變可寫為其中應(yīng)變矩陣為)(6 eBxNyNxNyNxNyNxNyNyNyNyNyNxNxNxNxNNxyyxBssrrjjiisrjisrji00000000003 單元剛度矩陣 如前所述，單元剛度矩陣為將x y 坐標系中的微面積dA變換到 上后，映射關(guān)系由微分幾何可知（殷家駒，計算力學教程，西安交通大學出版社；俞銘華等，有限元法

7、與面向?qū)ο缶幊?，科學出版社)(10) d eTeABDBhK),( d dd d ddjyixbcjyixabdd dd d d d ddJjixyyxjyixjyixbcabA其中22 ,yxabyyxxJ)(10 dd1111 JBDBhKTe這個式子中包含雅可比矩陣的逆矩陣，使上式的解析積分相當困難，因此，通常用數(shù)值積分法進行積分。（見沈永歡：實用數(shù)學手冊，科學出版社；王勖成：有限單元法，清華大學出版社）變換到母單元上的單元剛度矩陣為單元的等效荷載單元的等效荷載l體積力的等效荷載 考慮單元內(nèi)任一點的體積力為等效節(jié)點荷載 稱為體積力對應(yīng)的等效節(jié)點力 yxppp 1111ddJpNhPTep

8、l集中力的等效節(jié)點荷載設(shè)單元內(nèi)任一點C(x,y)作用一集中力等效節(jié)點荷載為 yxRRR RNPTCeRl面力的等效荷載考慮邊界單元上任一點的面力為面力分布在與平行的邊上時，等效節(jié)點荷載為面力分布在與平行的邊上時，等效節(jié)點荷載為 yxqqq 11d|abqNhPTeq 11d|bcqNhPTeq3.3 八節(jié)點四邊形等參單元 四結(jié)點實單元的邊界是直線，位移是線性函數(shù)。對于計算曲線邊界問題，這種單元不能很好地擬合；同時，對于位移變化劇烈（應(yīng)變大）的部分，單元要劃分很密。下面介紹的八結(jié)點單元，單元邊界是二次拋物線。因而，可以適應(yīng)具有曲線邊界的區(qū)域，是一種經(jīng)常使用的單元。1 位移模式 按照上一章求插值函

9、數(shù)的方法，得到用節(jié)點位移表示的位移場2162152141321211109282726524321vu(3) ),( ),(8181iiiiiivNvuNu，式中的形函數(shù)為(11) 8 , 7 , 6 , 511214 , 3 , 2 , 1 111412222jNiNiiiijiiiii實際單元中任一點坐標可用下式表示8181),(),(iiiiiiyNyxNx，單元剛度矩陣 幾何方程為eexyyxBNxyyxdxyyxyuxvyvxu00000087654321BBBBBBBBNxyyxB其中其中，)8 , 2 , 1(,00ixNyNyNxNBiiiiiyNxNJNNiiiiiiiiNN

10、JyNxN1 1111ddJBDBhKTe 1111)8 , 2 , 1(,ddiJBDBhKjTieij由于，從而單元剛度矩陣為其中，單元剛度矩陣的子塊為單元性質(zhì) 八節(jié)點正方形母單元對應(yīng)于八節(jié)點曲線四邊形實單元運用兩組坐標，母單元的局部坐標 與實際單元的整體坐標(x,y), 將實際單元映射到母單元上。在母單元上選擇位移插值函數(shù)，通過坐標變換，轉(zhuǎn)化到實際單元上去因此，兩個坐標系中的形函數(shù)具有完全相同的形式和相同的性質(zhì)。位移模式能夠保證相鄰單元彼此相容，即同一邊界兩邊的單元，變形后位移是連續(xù)的。當時，兩套坐標之間建立一一對應(yīng)關(guān)系，即兩種單元 ( 母單元與實單元) 之間存在一一對應(yīng)關(guān)系當實單元的四

11、個頂點的內(nèi)角皆小于180, 且每條邊上的中間節(jié)點與兩個端點節(jié)點的距離大致相同時，能夠保證。),(0J0J4 等參單元的形態(tài)等參單元形態(tài)的好壞，對于計算結(jié)果影響很大。以下四方面影響等參單元形態(tài)的好壞：現(xiàn)在分別敘述：l當單元各邊長度相差較大時，會對計算結(jié)果產(chǎn)生一定的誤差。對于曲面邊界，假如其曲率半徑遠大于單元的邊長，則各向邊長的差別對精度影響不大，但當曲面曲率半徑與單元邊長為同階大小時，邊長相差過大就可能引起很大誤差。l等參單元比之其它單元能更好擬合曲折的棱，但是每一種等參單元所能擬合的曲邊界是有限度的，例如8節(jié)點單元的棱邊是二次曲線，不可能擬合一段具有反向曲率的邊界。圖4中 ABCDE 表示一物

12、體的一部分邊界，如果采用以A，C，E 為節(jié)點的單元，l各邊長度的相對大小；l棱邊的曲折；l棱邊的夾角；l棱邊上節(jié)點的間距。則計算所得的位移和應(yīng)力實際上屬于單元ABCDEFG, 這樣就嚴重歪曲了原物體的邊界，其計算結(jié)果有很大誤差。但假如單元劃分成圖4(b), 以彎點C為單元的頂點，使每個單元的棱邊都是只具有單向曲率的曲線，則計算結(jié)果將大大改善。如果在計算對象上有折線邊界，則應(yīng)盡量使單元邊上沒有折點，如圖 5(a) 。假如邊界不可避免有折點，則應(yīng)使棱邊上只有凸出的折點圖5(b)，而不應(yīng)有凹入的折點，如圖5(c)。4 等參元的收斂性1 等參變換的條件：雅可比行列式不得為零l如何避免雅可比行列式為零？l單元退化處理（退化為三角單元；從積分點的位置考慮。）dd)d,dsin(dddd)d,dsin(dd d ddJJA即分子上的三項都不能為零。2 等參元的收斂性(1)單元的完備性對于C0連續(xù)性單元，要求插值函數(shù)中包含完全的線性項（即完全一次多項式），這樣的單元可以反映函數(shù)及一次導數(shù)為常數(shù)的情況。顯然，等參元在自然坐標中是滿足這一要求的。經(jīng)等參變換后，坐標和位移的插值表達式為(4) ),(,),(11iiiiiiyNyxNx將線性變化的位移函數(shù)(1) cybxau取結(jié)點值(a) iiicybxau將(a)式代入(3)式，并利用(4)式，可得到