何小亞：高中概率模型學與教中的問題和對策

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高中概率模型學與教中的問題和對策何小亞（華南師范大學 數(shù)學科學學院，廣東 廣州 ）摘要：運用質(zhì)性研究方法揭示高中概率模型學生學習、教師教學和教材編寫中存在的問題，討論存在問題的原因，最后給出解決所存在問題的對策關鍵詞：概率；學習；教學；問題；反思；對策中圖分類號：G 文獻標識碼：A 文章編號：10049894（2017）01000004專心-專注-專業(yè)作者曾經(jīng)應邀到廣州某重點中學主持古典概型的同課異構公開課活動，聽了3個老師上的課，看了教師備課的教案和發(fā)給學生的學案活動結束，思緒萬千，許多問題不吐不快下面結合教學經(jīng)驗，討論高中概率模型學與教中的問題、反思和對策1 學生

2、學習中存在的問題（1）不理解隨機事件，無法區(qū)分隨機事件和隨機現(xiàn)象將數(shù)學定理、生活常識或?qū)W科的結論當成必然事件；將錯誤的數(shù)學命題、違背常理的結論當成不可能事件1；不理解古典概型；因不清楚何為基本事件，忽略等可能性要求，而導致在用古典概型求概率時，出現(xiàn)"要不要考慮順序”的困惑例如，拋擲兩枚完全一樣的硬幣，求花色不同的概率？答案是1/2，還是1/3？（2）難以理解教材中“幾何概型”的定義，更不理解 “貝特朗悖論”以及與之等價的類似問題2（3）對概率模型的不理解導致下述結論的理解困難 概率為0的事件不一定是不可能事件，概率為1的事件不一定是必然事件； 互斥事件不一定是對立事件，對立事件必然是

3、互斥事件2 老師教學中存在的問題（1）學生在概率學習中存在的上述問題，根本原因是教師也存在著這些問題例如，研究報告（張敏、何小亞，2015）已經(jīng)指出，教師中存在著嚴重的等可能性偏見3（2）教師在講教材4中例3（同時擲兩個骰子，計算：向上的點數(shù)之和是5的概率是多少？）和例5（某種飲料每箱裝6聽，如果其中有2聽不合格，問質(zhì)檢人員從中隨機抽出2聽，檢測出不合格產(chǎn)品的概率有多大？）時，沒有向?qū)W生揭示兩者的區(qū)別？失去了強化等可能性理解的機會教師沒有講清楚“隨機抽出2聽”是什么意思？是一次就抓兩個出來，還是不放回地一次抽一個地抽兩次，或者是有放回地一次抽一個地抽兩次？（3）很多教師在講“古典概型”這一節(jié)內(nèi)

4、容時，沒有解決好這些問題：我們?yōu)槭裁匆獊韺W習古典概型？古典概型是什么？古典概型這一理想化的數(shù)學模型與真實世界的區(qū)別是什么？各路學者、雜志編輯以及教師對幾何概型的理解錯誤更是俯拾皆是5（4）學案教學大行其道，三維目標沒有得到落實，教學目標實際上仍然停留在“知識+解題能力”的層面3 教材編寫中存在的問題（1）教材6通過一些實例介紹了確定現(xiàn)象和隨機現(xiàn)象，教材4沒有講何為確定現(xiàn)象，何為隨機現(xiàn)象兩者都沒有明確區(qū)分隨機現(xiàn)象和隨機事件這兩種教材都沒有講隨機試驗的定義，而把隨機事件定義為：“在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做隨機事件（random event）”4“在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事

5、件，叫做相對于條件S的隨機事件（random event），簡稱隨機事件”6定義中的“條件”到底是什么？師生難以理解！（2）對于概率教學中最基本的概念“概率”，教材6都沒有回答清楚什么是概率（3）教材4通過擲硬幣和擲骰子試驗的結果，以揭示外延的方式定義了基本事件教材6定義為：“在一次試驗中可能出現(xiàn)的每一個基本結果稱為基本事件（elementary event）”這一定義沒有講清楚什么是一次試驗不講清楚試驗，如何準確把握隨機事件？（4）教材6對古典概型的定義是，滿足條件所有的基本事件只有有限個；每個基本事件的發(fā)生都是等可能的.的隨機試驗的概率模型稱為古典概型（classical probabil

6、ity model）但沒有說明什么是“隨機試驗”教材4認為基本事件有兩個特點：任何兩個基本事件是互斥的；任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和；具有試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等這兩個特點的概率模型稱為古典概型（classical model of probability）請問什么是“任何事件”，基本事件是不是？什么是“事件”？“青島一只蝦38元”是不是事件？“2015年的中國股市：穿西服進去，穿三點式出來”是不是事件？請問什么是“概率模型”？“概率”都還沒有講清楚，又冒出個“概率模型”，你叫師生們?nèi)绾卫斫猓浚?）抽象的幾何概型教材4定義：“如果

7、每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型（geometric models of probability）簡稱為幾何概型”教材4B版定義：“設D是一個可度量的區(qū)域（例如線段、平面圖形、立體圖形等）每個基本事件可視為從區(qū)域D內(nèi)隨機地取一點，區(qū)域D內(nèi)每一點被取到的機會都一樣，隨機事件A的發(fā)生可以視為恰好取到區(qū)域D內(nèi)的某個指定區(qū)域d中的點，事件A發(fā)生的概率與d的測度（長度、面積、體積等）成正比，我們把滿足這樣條件的概率模型稱為幾何概型”（北師大版教材的定義也類似）這兩種定義中均提到了一個條件 “如果事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的測度成比例”

8、，這句話是什么意思，你叫讀者如何判斷“成比例”？你能判斷它是古典概型嗎？你叫學生求概率，教材、老師都沒有講清楚概率是什么，卻叫學生先判斷概率與長度或角度或面積或體積成正比，這似乎有點勉為其難本該最講道理的數(shù)學學科為什么如此不講道理？（6）教材4第135頁的問題兩人玩如圖中的轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)定指針指向B區(qū)域時，甲獲勝，否則乙獲勝問甲獲勝的概率是多少？對于轉(zhuǎn)盤（2）書上的解答是：甲獲勝的概率是3/5事實上，甲獲勝的概率與字母B所在扇形區(qū)域的圓弧的長度有關，而與字母所在區(qū)域的位置無關這一解答的理由是不正確的轉(zhuǎn)盤游戲中確定能否獲勝的是指針的方向，而不是指針所在的區(qū)域面積或孤長若把轉(zhuǎn)盤割成正方形，則無論用面

9、積還是弧長計算，甲獲勝的概率還是3/5嗎？應該按照指針方向掃過的角度范圍計算教材4B版也犯了同樣的錯誤4 對存在問題的原因分析（1）導致學生和教師錯誤理解概率問題的根本原因是教材存在的問題將隨機現(xiàn)象與隨機事件混為一談，不講隨機試驗就來講隨機事件，用隨機現(xiàn)象來定義隨機事件，完全沒有理解好、處理好真實世界與數(shù)學世界的關系（2）以揭示概念外延的方式來定義基本事件的概念是無法讓學生準確理解基本事件的本質(zhì)，不理解基本事件，怎么可能準確把握住隨機事件這一概念這樣就出現(xiàn)了前面所述的各種師生的困惑：學了概率竟然不知道何為概率；不清楚隨機事件，到底要不要考慮順序；等可能性偏見；幾何概型中的概率之爭，等等也就是說

10、，概率教學僅僅停留在記記公式，算算概率的工具性理解（Instrumental Understanding）水平，完全沒有達到關系性理解（Relational Understanding）水平（3）雖然數(shù)學新課程改革實施了十余年，但“知識+解題能力”的應試教育依然大行其道素質(zhì)教育仍未得到真正落實的原因：一是以筆試成績作為評價學生、老師、校長、教育局長表現(xiàn)的唯一標準；二是兩個課標及其解讀對三維目標的內(nèi)涵、要素和要求都沒有進行操作性的界定；三是數(shù)學教學中三維目標的落實不到位，只重點關注知識與技能目標而忽略了過程與方法和情感態(tài)度價值觀目標5 解決所存在問題的對策5.1 教材編寫及教學思路理論框架根據(jù)組

11、塊化、先行組織者等學習心理學的原理以及國外教材的編寫經(jīng)驗，建議新修訂的數(shù)學教材每一章可以考慮如下結構A. 先給出本章的小節(jié)目錄和本章概覽在本章概覽中，以一些簡單明了，貼近學生實際的生產(chǎn)問題、生活問題的實際問題，來說明本章要解決什么核心問題為了解決核心問題，要引進什么概念？介紹什么模型？掌握什么原理？B. 接著給出引言引言部分則主要回答這一數(shù)學分支是什么性質(zhì)的學科？其理論概貌、主要奠基人是誰？為什么要學習這一章？學完以后你能做什么？C. 然后是各個小節(jié)的內(nèi)容每一小節(jié)的概念、原理的引入，注意聯(lián)系生產(chǎn)生活實際，以學生熟悉的、淺顯的背景問題（也可以是純數(shù)學問題）引入學生習作項目有課堂練習、課后習題和思

12、考題D. 最后一小節(jié)之后給出本章知識結構圖，并總結指出本章重要的數(shù)學思想方法E. 接著是本章習題按照理解性、應用性和拓展性3種水平設置問題的類型盡量包括純數(shù)學問題、應用題（部分理想化的實際問題）和實際問題F. 最后是拓展學生視野，激發(fā)學生興趣的“大開眼界”欄目目的是開拓學生的眼界，使學生真切感受到數(shù)學好玩，以激發(fā)他們的數(shù)學學習興趣例如，在概率一章，可以設置：（1）概率小常識：誰拿走了500萬大獎？（2）概率小幽默：最完美的男人；（3）概率小笑話：坐飛機的安全性；（4）概率奇聞：五胞胎的生日7概率這一章的內(nèi)容及順序建議如下：A. 介紹確定性現(xiàn)象、隨機現(xiàn)象、概率論的發(fā)展簡史（可放入本章概覽）B.

13、引入隨機試驗的概念，由此給出基本事件、樣本空間、隨機事件的概念C. 通過實例介紹隨機事件的包含、相等、并、交、對立、互斥等關系D. 先介紹概率的概念，再介紹通過隨機試驗，用頻率去估計概率E. 先指出用頻率去估計概率的局限性，再介紹特殊的、理想化的古典概型可以克服用頻率去估計概率的局限性F. 討論概率的基本性質(zhì)G. 先指出古典概型的局限性，再講更特殊、更理想化的幾何概型，最后講隨機模擬試驗5.2 需要明確的幾個重要概念（1）概率和頻率概率論是研究隨機現(xiàn)象的科學，隨機現(xiàn)象是通過隨機試驗來研究的概率是反映隨機事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，人們常常用它來研究刻畫隨機現(xiàn)象隨機事件由隨機試驗來確定這一理想化

14、的理論數(shù)值無法通過具體實踐獲得但人們可以通過大量的重復試驗獲得的頻率來估計概率的大小教師應該讓學生明白：A. 頻率是用來估計概率的近似值B. 頻率是一個在試驗前不能確定的隨機數(shù)，做同樣次數(shù)的重復試驗得到的頻率可能相同也可能不同C. 概率是頻率的穩(wěn)定值，它是一個理想化的理論數(shù)值，與每次試驗無關它反映著隨機事件的偶然性中的必然性但某個隨機事件的概率是0.1，不能理解為試驗10次該事件就一定會發(fā)生1次除了以上3點之外，教師最好還應該知道1：D. 用頻率作概率的近似值雖然會有偏差，但這是最簡單，常用的方法，其理論根據(jù)是“數(shù)理統(tǒng)計”中的“最大似然法”E. 如何估計用頻率作概率造成的偏差及可信程度，可參見

15、數(shù)理統(tǒng)計中的區(qū)間估計（2）隨機試驗、基本事件、隨機事件隨機試驗是滿足如下3個條件的一個數(shù)學概念： 試驗的所有可能結果可以預知，且不止有一個結果 每次試驗只出現(xiàn)所有可能結果中的一個，但試驗前無法確定哪一個結果會出現(xiàn) 試驗可以在同一條件下重復進行隨機試驗的每一個結果叫做基本事件，也叫做樣本點，所有樣本點的集合叫做樣本空間樣本空間的子集A（空集和除外）叫做隨機事件（3）古典概型如果隨機試驗只有有限個不同的基本結果，并且每個結果出現(xiàn)的機會是均等的，這一隨機試驗就叫做古典概型在古典概型中，如果樣本空間的基本事件總數(shù)目為n，隨機事件A包含的基本事件數(shù)目為m，用來描述隨機事件A出現(xiàn)的可能性大小，稱它為隨機事

16、件A的概率，記作，即有=（4）幾何概型如果一個隨機試驗有無限個不同的結果，并且每個結果出現(xiàn)的機會均等，而且由所有結果構成的樣本空間具有非零的、有限的幾何度量（或測度，記為m()，如長度、面積、體積等），那么就稱這一隨機試驗是幾何概型當隨機試驗的樣本空間是某個區(qū)域，并且任一點落在度量相同的子區(qū)域內(nèi)是等可能的，設m(A)表示的一個子區(qū)域A的度量，則隨機事件“點落在A內(nèi)”的概率P(A)=m(A)/m()5.3 教學反思及建議5.3.1 教學目標文章開頭所提的前兩節(jié)古典概型同課異構課，均采用了學案教學學案教學對低年級的學生，對自律性較差和順從性占優(yōu)的學生，對低認知水平的認知技能學習，有一定的效果但對高

17、年級學生，對追求數(shù)學思想的滲透、數(shù)學思維品質(zhì)的改善、數(shù)學意識的形成，以及數(shù)學問題解決能力的提高等高認知水平的學習，其效果適得其反！那種“發(fā)發(fā)學案，填填數(shù)學概念、原理空缺詞匯，做做例題、習題，對對答案”的學案教學，對追求數(shù)學素養(yǎng)8的提高更是毫無幫助不揭示數(shù)學概念的形成過程，不揭示數(shù)學原理的來龍去脈，不揭示數(shù)學問題解決的思路探索過程，學生怎么能理解數(shù)學，喜歡數(shù)學，為數(shù)學所折服？應試教育是學案教學大行其道的根本原因當局者迷，許多數(shù)學教師沒有意識到，只要學生真正理解數(shù)學概念的本質(zhì)，抓住數(shù)學原理結構的不變性，從高一開始就受到數(shù)學問題解決的良好教育，學生的考試成績會更好建議嚴格按照三維目標的理論標準來設計

18、教學目標9，不能只停留在應試計算，不求理解的工具性理解水平，而是要達到數(shù)學思想的滲透、數(shù)學思維品質(zhì)的改善、數(shù)學能力的提高、數(shù)學意識的形成和學會問題解決的關系性理解水平，更要追求數(shù)學情感態(tài)度價值觀目標的達成要實現(xiàn)這一追求數(shù)學素養(yǎng)的教學目標，數(shù)學教學要讓學生與數(shù)學“談戀愛”10，即：相識：創(chuàng)設情境，使其一見鐘情；勾魂：問題驅(qū)動，使其欲罷不能；解惑：解決問題，使其豁然開朗；相知：理解數(shù)學，使其情意綿綿；動情：欣賞數(shù)學，使其情不自禁關于古典概型的教學目標、內(nèi)容、過程設計的改進，可以參考林品吟、何小亞、朱源（2016）的設計：“古典概型的教學思考與教學新設計”115.3.2 課程標準和考試要求高中數(shù)學課

19、程標準12要求學生理解古典概型及其概率計算公式，初步體會幾何概型的意義近十年的數(shù)學高考考試大綱都是要求考生理解古典概型及其概率計算公式，了解幾何概型的意義無論是課程標準還是高考大綱均沒有要求幾何概型概率的計算，但遺憾的是2008江蘇卷第6題；2011年湖南卷理科第15題，福建卷理科第4題，江西卷理科第12題；2013年陜西卷理科第5題；2014湖北卷理科第7題，福建卷第14題，遼寧卷第14題；2015年陜西卷第11題等，均是幾何概型概率的計算題這一導向很不好，導致很多一線教師要求學生做老師、復習資料編寫者、命題者自己也不知道答案對錯的幾何概型概率的計算題介紹幾何概型的概念不是為了求一些等可能性

20、不清楚的計算題，而是為隨機模擬方法的引入奠定理論基礎隨機模擬的探究活動是落實數(shù)學新課程要求的數(shù)學探究、數(shù)學建模目標的重要課程內(nèi)容因此，教學必須如此定位，不能南轅北轍地去搞應試訓練5.3.3 幾點建議（1）古典概型題要特別注意等可能性一道好的古典概型題，在條件中應巧妙地暗藏一個合理的（或幾個等價的），大家都會接受的、等可能的有限基本事件組若對等可能性的理解，不像擲骰子，摸球那樣鮮明，最好在題中說明、限定（2）幾何概型題要充分估計對圖形，對分布的不同理解否則也要在題中說明、限定一個好的幾何概型題，條件中應暗藏一個合理的，大家都會接受的“均勻分布”圖形，不然就會產(chǎn)生分歧13（3）作為一項大型的考試，

21、高考題不要去考一些隨機試驗都不清楚的所謂的“必然事件”、“不可能事件”和“隨機事件”，更不能去考一些等可能性不清楚的幾何概型的概率計算（4）請把教材、試卷中“將數(shù)學定理、生活常識或?qū)W科的結論當成必然事件；將錯誤的數(shù)學命題、違背常理的東西當成不可能事件”的習題刪掉，堅決鏟除那些等可能性不清楚的幾何概型的概率計算題最后，需要指出的是，無論是古典概型還是幾何概型，都不是真實世界中存在的內(nèi)容，他們都是理想化的數(shù)學世界的內(nèi)容，是對真實世界模擬的結果，是人類心智的構造！教師要讓學生真正體會到：“數(shù)學源于現(xiàn)實，高于現(xiàn)實，用于現(xiàn)實，統(tǒng)領著現(xiàn)實！”參 考 文 獻1 何小亞概率教學問題探討J中學數(shù)學研究（下），2

22、012，（2）：3-52 李曉峰辨得清方能解得對例析幾何概型的常見錯誤J中學數(shù)學，2015，（9）：80-813 張敏，何小亞高中數(shù)學教師古典概型等可能性偏見的調(diào)查報告J數(shù)學教學，2015，（9）：44-464 人民教育出版社普通高中數(shù)學課程標準實驗教科書 數(shù)學3（必修，A版）M北京：人民教育出版社，20075 張敏，何小亞貝特朗悖論之爭的終結J數(shù)學教育學報，2015，24（3）：54-546 單墫普通高中數(shù)學課程標準實驗教科書 數(shù)學3（必修系列）M南京：江蘇教育出版社，20057 廣東省中等職業(yè)學校教材編寫委員會，何小亞主編 .數(shù)學（選修）M.廣東科技出版社，2008.8 何小亞學生“數(shù)學素養(yǎng)”指標的理論分析J數(shù)學教育學報，2015，24（1）：13-209 何小亞中學數(shù)學教學設計M北京：科學出版社，201210 詹欣豪，何小亞數(shù)學歸納法教學