橢圓的基本概念及性質

1、橢圓的基本概念及性質適用學科高中數學適用年級高中三年級適用區(qū)域蘇教版課時時長（分鐘）120知識點1、橢圓的定義、幾何圖形、標準方程.2、橢圓的基本量.教學目標1、使學生掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程.2、使學生掌握橢圓的一些基本量的求法、特別是離心率的求法教學重點1、橢圓的標準方程的求法；2、橢圓的一些基本量的求法、特別是離心率的求法；教學難點橢圓離心率的求法教學過程課堂導入已知橢圓的中心在原點，焦點在y軸上，若其離心率為，焦距為8，則該橢圓的方程是_橢圓中的基本量a.b.c分別代表什么，離心率、準線方程的公式，標準方程的公式分別應該怎么求？下面進入我們今天的學習！復習預習1、橢圓的定義、

2、幾何圖形、標準方程.2、橢圓的基本量.知識講解考點1橢圓的定義平面內到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(大于F1F2)的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點F1、F2間的距離叫做橢圓的焦距考點2橢圓的標準方程和幾何性質標準方程1(a>b>0)1(a>b>0)圖形性質范圍axabybbxbaya對稱性對稱軸：x軸，y軸對稱中心：(0，0)頂點A1(a，0) A2 (a，0) B1(0，b) B2(0，b)A1(0，a) A2(0，a) B1(b，0) B2(b，0)軸長軸A1A2的長為2a短軸B1B2的長為2b焦距F1F22c離心率e(0，1)a、b、c

3、的關系c2a2b2例題精析例1 設橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標軸，且長軸長是短軸長的2倍又點P(4，1)在橢圓上，求該橢圓的方程【答案】1或1【解析】設該橢圓的方程為1或1(a>b>0)，依題意，2a2(2b)a2b.由于點P(4，1)在橢圓上，所以1或1.解得b25或，這樣a220或65，故該橢圓的方程為1或1.例2 在平面直角坐標系中，有橢圓1(a>b>0)的焦距為2c，以O為圓心，a為半徑的圓過點作圓的兩切線互相垂直，則離心率e_【答案】【解析】如題圖，PA、PB與圓O相切，由于切線PA、PB互相垂直，所以四邊形OAPB為正方形，OPOA，這樣就得到一個關于基本

4、量a、c的齊次方程，從而求解出比值(e)的值由已知條件，四邊形OAPB為正方形，所以OPOA，所以a，解得，即e.例3 橢圓1(a>b>0)的右焦點F，其右準線與x軸的交點為A，在橢圓上存在點P滿足線段AP的垂直平分線過點F，則橢圓離心率的取值范圍是_【答案】【解析】(解法1)由題意，橢圓上存在點P，使得線段AP的垂直平分線過點F，所以|PF|FA|，而|FA|c，|PF|ac，所以cac，即a2ac2c2.又e，所以2e2e1，所以2e2e10，即(2e1)(e1)0.又0<e<1，所以e<1.(解法2)設點P(x，y)由題意，橢圓上存在點P，使得線段AP的垂直

5、平分線過點F，所以|PF|FA|，由橢圓第二定義，e，所以|PF|eexaex，而|FA|c，所以aexc，解得x(ac)由于axa，所以a(ac)a.又e，所以2e2e10，即(2e1)(e1)0.又0<e<1，所以e<1.例4如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：1(ab0)的離心率為，以原點為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線xy20相切(1) 求橢圓C的方程；(2) 已知點P(0，1)，Q(0，2)設M、N是橢圓C上關于y軸對稱的不同兩點，直線PM與QN相交于點T，求證：點T在橢圓C上【答案】(1) 橢圓C的方程為1.(2) 證明：由題意可設M，N的坐標分別為(

6、x0，y0)，(x0，y0)，則直線PM的方程為yx1，直線QN的方程為yx2.(證法1)聯(lián)立解得x，y，即T.由1可得x84y.因為1，所以點T坐標滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上(證法2)設T(x，y)聯(lián)立解得x0，y0.因為1，所以1.整理得(2y3)2，所以12y84y212y9，即1.所以點T坐標滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上【解析】(1) 解：由題意知b.因為離心率e，所以.所以a2.所以橢圓C的方程為1.(2) 證明：由題意可設M，N的坐標分別為(x0，y0)，(x0，y0)，則直線PM的方程為yx1，直線QN的方程為yx2.(證法1)聯(lián)立解得x，y，即T.由1可得x84y.因為1，所以點T坐標滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上(證法2)設T(x，y)聯(lián)立解得x0，y0.因為1，所以1.整理得(2y3)2，所以12y84y212y9，即1.所以點T坐標滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上課程小結1. 橢圓的定義中應注意常數大于F1F2.因為當平面內的動點與定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于F1F2時，其動點軌跡就是線段F1F2；當平面內的動點與定點F1，F(xiàn)2的距離之和小于F1F2時，其軌跡不存在2. 已知橢圓離心率求待定系數時要注意橢圓焦點位置的判斷，當焦點位置不明