實數(shù)與向量的積

1、實數(shù)與向量的積實數(shù)與向量的積教材分析教材分析教法與學法教法與學法教學過程教學過程單元課結評價單元課結評價教學構思教學構思1、教學內容教學內容： “實數(shù)與向量的積實數(shù)與向量的積”共分兩課時完成，本節(jié)是第共分兩課時完成，本節(jié)是第一課時，主要學習：一課時，主要學習：（1）實數(shù)與向量的積的定義：）實數(shù)與向量的積的定義：（2）實數(shù)與向量的積的運算律：）實數(shù)與向量的積的運算律：（3）兩向量共線定理）兩向量共線定理一、一、教材分析：教材分析：2、 教材的地位及前后聯(lián)系教材的地位及前后聯(lián)系 “實數(shù)與向量的積實數(shù)與向量的積”是是“向量向量”一章的一章的重要內容之一，是在學習了向量的加法、減重要內容之一，是在學習

2、了向量的加法、減法之后，通過向量的加法引入的，而向量的法之后，通過向量的加法引入的，而向量的加法、減法、實數(shù)與向量的積以及它們的混加法、減法、實數(shù)與向量的積以及它們的混合運算為向量的線性運算，也叫做向量的初合運算為向量的線性運算，也叫做向量的初等運算，是進一步學習向量知識以及用向量等運算，是進一步學習向量知識以及用向量解決問題的基礎。此外，利用兩向量共線的解決問題的基礎。此外，利用兩向量共線的定理可判定兩向量是否平行進而證明定理可判定兩向量是否平行進而證明“三點三點共線共線”或或“兩直線平行兩直線平行”等問題。等問題。3、 教學目標：教學目標：（1） 使學生掌握實數(shù)與向量積的定義，理解實數(shù)與使

3、學生掌握實數(shù)與向量積的定義，理解實數(shù)與向量積的幾何意義，并明白實數(shù)與向量的積還是向量積的幾何意義，并明白實數(shù)與向量的積還是一個向量，它的長度和方向的變化由實數(shù)決定，一個向量，它的長度和方向的變化由實數(shù)決定，給學生揭示事物是在不斷運動變化著。給學生揭示事物是在不斷運動變化著。（2）使學生掌握實數(shù)與向量的積的運算律。）使學生掌握實數(shù)與向量的積的運算律。（3）使學生理解向量共線定理，能夠運用定理判定）使學生理解向量共線定理，能夠運用定理判定兩向量是否平行，進而解決兩向量是否平行，進而解決“點共線點共線”“”“線平行線平行”問題。問題。（4）通過本節(jié)的學習培養(yǎng)學生的觀察、分析、歸納、）通過本節(jié)的學習培

4、養(yǎng)學生的觀察、分析、歸納、抽象的思維能力。抽象的思維能力。4、教學的重點、難點教學的重點、難點教學重點教學重點：實數(shù)與向量的積的定義；實數(shù)與向量實數(shù)與向量的積的定義；實數(shù)與向量積的運算律；向量共線定理。積的運算律；向量共線定理。教學難點和疑點教學難點和疑點 ：向量共線定理及其應用是本節(jié)向量共線定理及其應用是本節(jié)的難點。其中在利用定理判斷兩個向量是否共的難點。其中在利用定理判斷兩個向量是否共線的問題中對于已知向量是否線的問題中對于已知向量是否 的討論是本節(jié)的討論是本節(jié)的教學疑點的教學疑點 。0二、說教法1、由數(shù)與數(shù)的積的概念的推廣引入課題，并啟發(fā)學、由數(shù)與數(shù)的積的概念的推廣引入課題，并啟發(fā)學生在

5、掌握向量加法的基礎上，學習實數(shù)與向量的生在掌握向量加法的基礎上，學習實數(shù)與向量的積的概念及運算律，引導學生從特殊歸納到一般。積的概念及運算律，引導學生從特殊歸納到一般。并啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)向量的線性運算與代數(shù)運算中實并啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)向量的線性運算與代數(shù)運算中實數(shù)乘法的運算律的相似，這樣做可以降低學生的數(shù)乘法的運算律的相似，這樣做可以降低學生的學習難度，進而提高學習積極性，也可培養(yǎng)學生學習難度，進而提高學習積極性，也可培養(yǎng)學生學習數(shù)學的類比能力。學習數(shù)學的類比能力。 2、向量共線定理的推證引導學生自學，最后教師作、向量共線定理的推證引導學生自學，最后教師作適當?shù)狞c撥、歸納、小結。這種啟發(fā)式教學，充適當?shù)?/p>

6、點撥、歸納、小結。這種啟發(fā)式教學，充分體現(xiàn)了教師為主導，學生為主體的教學原則。分體現(xiàn)了教師為主導，學生為主體的教學原則。3、在利用定理解決問題的教學過程中，教師主要任務、在利用定理解決問題的教學過程中，教師主要任務是揭示是揭示“解法解法”，“證法證法”是如何想到的，再針對學生是如何想到的，再針對學生的解答作適當?shù)狞c評。對教材中的例題則有所增加，處的解答作適當?shù)狞c評。對教材中的例題則有所增加，處理方式也有適當?shù)母淖?。這樣更能使學生理解所學知識，理方式也有適當?shù)母淖?。這樣更能使學生理解所學知識，培養(yǎng)他們應用知識于實際問題的能力，這是符合數(shù)學知培養(yǎng)他們應用知識于實際問題的能力，這是符合數(shù)學知識的抽象

7、性與應用的廣泛性的特點的，這樣也更能提高識的抽象性與應用的廣泛性的特點的，這樣也更能提高學生的應用數(shù)學的解題能力。學生的應用數(shù)學的解題能力。4 4、教具：教具：PowerpointPowerpoint幻燈片幻燈片三、說學法： 教學方面主要矛盾是學生的學。學是中心，會教學方面主要矛盾是學生的學。學是中心，會學是目的，因此在教學中不斷指導學生學會學習。學是目的，因此在教學中不斷指導學生學會學習。本節(jié)課從引入課題開始，盡可能讓學生參與知識的本節(jié)課從引入課題開始，盡可能讓學生參與知識的產生及形成過程，充分發(fā)揮學生的主體作用，使學產生及形成過程，充分發(fā)揮學生的主體作用，使學生全方位地參與問題結論的得出，

8、教師只起到點撥生全方位地參與問題結論的得出，教師只起到點撥作用。這樣做增加了學生的參與機會，增加了參與作用。這樣做增加了學生的參與機會，增加了參與意識，教給了學生獲取知識的途徑，思考問題的方意識，教給了學生獲取知識的途徑，思考問題的方法，使學生真正成了教學的主體。而在教與學的最法，使學生真正成了教學的主體。而在教與學的最后一個環(huán)節(jié)中，教師引導學生進行課堂小結，加深后一個環(huán)節(jié)中，教師引導學生進行課堂小結，加深學生對本節(jié)知識的理解和記憶。從而順利完成學習學生對本節(jié)知識的理解和記憶。從而順利完成學習任務。任務。四、說程序教學環(huán)節(jié)教學環(huán)節(jié) 教學程序教學程序 設計意圖設計意圖 復習提問 1、向量加法的三

9、角形法則及平行四邊形法則；2、共線向量的定義；3、 與任一向量平行。 向量加法是歸納實數(shù) 與向量的積的定義及運算律的依據(jù)，共線向量的定義及 的特殊性是得出向量共線的充要條件的關鍵，也是應用定理證明點共線或直線平行問題的依據(jù)，因此引導學生溫故而知新是十分必要的。 00教學環(huán)節(jié)教學環(huán)節(jié)教學程序教學程序設計意圖設計意圖 引入課題 在代數(shù)運算中，a+a+a=3a，故實數(shù)乘法可以看成是相同實數(shù)加法的簡便計算方法，所以相同向量的求和運算也有類似的簡便計算，由此引入本節(jié)的課題“實數(shù)與向量的積” 由數(shù)與數(shù)的積的概念推廣到實數(shù)與向量的積，這不僅符合從已知到未知的探索規(guī)律，也對后面啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)向量的線性運算與代數(shù)

10、運算中實數(shù)乘法的運算律的相似性作了一個鋪墊。 教學環(huán)節(jié)教學環(huán)節(jié)教學程序教學程序設計意圖設計意圖 歸納定義、已知非零向量 ，請作出 和問題2、由問題1請同學們觀察并回答：相同向量相加后，和的長度與方向有什么變化？引導學生從特殊歸納到一般，而得出實數(shù)與向量的積的定義。 aaaa)()()(aaa實數(shù)與向量積的定義 一般地，實數(shù) 與向量 的積是一個向量，記作 它的長度與方向規(guī)定如下： 1、| |=| | | 2、當 0時， 方向與 的方向相同， 當 0時， 方向與 的方向相反， 當 =0時 ， =aaaaaaaaa0教學環(huán)節(jié)教學環(huán)節(jié)教學程序教學程序設計意圖設計意圖 運算律 實數(shù)與向量的積也可稱為數(shù)乘

11、向量，它與向量的加法、減法以及它們的混合運算稱為向量的線性運算。根據(jù)實數(shù)與向量的定義，可以得出下面的運算律：1、2、3、運算律的給出采用開門見山的方式，但可說明證明這些運算律成立的關鍵，是證明等式兩邊的向量的模相等，且方向相同。 aa)()(aaa)(baba )(教學環(huán)節(jié)教學環(huán)節(jié)教學程序教學程序設計意圖設計意圖 講解例題并解答練習例1、計算 （1）（2）練習1、計算2、若 ，其中 是已知向量，求本環(huán)節(jié)運用類比的方法，啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)向量的線性運算與代數(shù)運算中實數(shù)乘法的運算律相似，但應注意它們之間的區(qū)別，從而掌握運算方法。練習中的第2小題還體現(xiàn)了數(shù)學中的方程思想。 a4)3()23()32(cba

12、cbabbaba)(3)(4anm23bnm3ba,nm,教學環(huán)節(jié)教學環(huán)節(jié)教學程序教學程序設計意圖設計意圖 探索向量共線定理 定理：向量 與非零向量 共線的充要條件是有且只有一個實數(shù) ，使 = ，這個環(huán)節(jié)的教學采取 1、推證過程引導學生看書，自學。2、讓學生思考把“非零向量”的“非零”去掉后，原充要條件是否正確。3、教師歸納小結： 定理證明引導學生自學，最后教師作適當?shù)狞c撥、歸納、小結，目的是加強學生對充要條件的認識，并明確定理的作用及如何用。這種啟發(fā)式教學，充分體現(xiàn)了教師為主導，學生為主體的教學原則。baba教師小結1、若 ， ，此時 與 共線，且數(shù) 存在但不唯一。2、若 ， ，此時 與 共

13、線，但數(shù) 不存在。3、若 ， ，此時 與 共線，且數(shù) 存在， 。4、要證明向量 、 是否共線。若其中有一個為 ，則可直接說明它們共線；若 ， ，則只須證明存在實數(shù) ，使 即可。0a0b0a0b0a0bbabbaa0ab00a0bab教學環(huán)節(jié)教學環(huán)節(jié)教學程序教學程序設計意圖設計意圖 定理的應用 例2、已知 ， ，試判斷 與 是否共線。 例3.已知兩非零向量 和 不共線，如果 , , 。求證：A、B、D三點共線。例4、證明：連接三角形兩邊中點的線段平行于第三邊且等于第三邊的一半。 對于例3和例4應強調向量平行與直線平行是有區(qū)別的，這兩道題不僅體現(xiàn)了用向量的方法來解決幾何問題的便捷性，也充分體現(xiàn)了新

14、教材引入向量知識的必要性ABAD3BCDE3ACAE1e2e2132eeAB21236eeBC2184eeCD教學環(huán)節(jié)教學環(huán)節(jié)教學程序教學程序設計意圖設計意圖 定理的應用 練習2、判斷下列各小題中的向量 與 是否共線：(1)(2)練習3、已知非零向量 與 不共線，如果 ; 求證：A、B、D三點共線。 本環(huán)節(jié)中教師的主要任務是揭示“解法”，“證法”是如何想到的，再針對學生的解答作適當?shù)狞c評，這樣更能使學生理解所學知識，培養(yǎng)他們應用數(shù)學知識解決問題的能力。abebea2 ； 2212122b ； eeeea1e2e21eeAB2186eeBC2184eeCD教學環(huán)節(jié)教學環(huán)節(jié)教學程序教學程序設計意圖

15、設計意圖 小結 1、實數(shù)與向量的積的定義及運算律，在進行向量的線性運算時可利用與代數(shù)運算中實數(shù)乘法的相似性。2、向量 與非零向量 共線的充要條件是有且只有一個實數(shù) ，使 = ；3、利用向量共線定理可證明幾何中的三點共線和兩直線平行的問題，但應注意向量平行與直線平行是有區(qū)別，直線平行是不包括重合的。 引導學生進行課堂小結，并對學法給予指導 baba教學環(huán)節(jié)教學環(huán)節(jié)教學程序教學程序設計意圖設計意圖 布置作業(yè) 課本P110 2、3、4、5鞏固所學知識，強化基本技能的培訓，培養(yǎng)學生良好的學習品質。 五單元課結評價： 本節(jié)課的設計最大的特色在于向量共線定理的應用過程中例題的安排，按照一定的梯度，從直接應用到間接應用，符合學生的認知規(guī)律，特