信號的頻域分析ok

1、4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 1 n連續(xù)周期信號的頻域分析：連續(xù)周期信號的頻域分析：一一、周期信號的傅里葉級數(shù)展開、周期信號的傅里葉級數(shù)展開二二、傅里葉級數(shù)的基本性質(zhì)、傅里葉級數(shù)的基本性質(zhì)三、周期信號的頻譜及其特點三、周期信號的頻譜及其特點四、周期信號的功率譜四、周期信號的功率譜第四章第四章 信號的頻域分析信號的頻域分析4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 2 由時域到頻域：由時域到頻域：從前三章學(xué)習(xí)中得到一個啟迪：可以用一組基本的信從前三章學(xué)習(xí)中得到一個啟迪：可以用一組基本的信號來表示任意的信號，在時域分析中基本信號為單位沖激號來表示任意的信號，在時域分析中基本信號為

2、單位沖激（脈沖）信號。（脈沖）信號。這樣的基本信號并不是唯一的這樣的基本信號并不是唯一的，由此將引出信號與系，由此將引出信號與系統(tǒng)理論中極為重要幾組基本信號，信號與系統(tǒng)的分析也將統(tǒng)理論中極為重要幾組基本信號，信號與系統(tǒng)的分析也將從時域轉(zhuǎn)向頻域。也將學(xué)習(xí)到信號與系統(tǒng)四大變換的基石：從時域轉(zhuǎn)向頻域。也將學(xué)習(xí)到信號與系統(tǒng)四大變換的基石：傅里葉變換。在學(xué)傅里葉變換之前，先學(xué)習(xí)周期信號傅里傅里葉變換。在學(xué)傅里葉變換之前，先學(xué)習(xí)周期信號傅里葉級數(shù)分析方法。葉級數(shù)分析方法。信號的頻域分析，實際上就是從頻域的角度對信號進(jìn)信號的頻域分析，實際上就是從頻域的角度對信號進(jìn)行描述或分解。行描述或分解。4 周期信號的頻

3、域分析周期信號的頻域分析 p 3 由時域到頻域：由時域到頻域：級數(shù)展開的思想源于信號的分解。級數(shù)展開的思想源于信號的分解。如圖：一個矢量可以用一維平面的兩個正交矢量表示，也可以用n維空間的n個正交矢量來表示，稱為矢量的正交分解。類似于此，在滿足一定條件下，一般的信號也可以用一個正交函數(shù)集中的函數(shù)來表示。傅里葉級數(shù)展開的思想類似于此。oVc2V2c1V1V1V221oVc3V3c1V1V1V3V2c2V24 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 4 用這個三角函數(shù)集表示一般信號即是用這個三角函數(shù)集表示一般信號即是傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)的三角函的三角函數(shù)形式。用復(fù)指數(shù)函數(shù)集表示的一般信號即是數(shù)形

4、式。用復(fù)指數(shù)函數(shù)集表示的一般信號即是傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)的的指數(shù)形式。指數(shù)形式。理論已證明：理論已證明：三角函數(shù)集，三角函數(shù)集， n=0,1,2,是一個完備是一個完備正交函數(shù)集，正交區(qū)間為正交函數(shù)集，正交區(qū)間為(t0, t0+T) 。復(fù)函數(shù)集復(fù)函數(shù)集 是一個完備正交函數(shù)集，是一個完備正交函數(shù)集，不是所有的函數(shù)都可以展開為傅里葉級數(shù)，函數(shù)必須滿足不是所有的函數(shù)都可以展開為傅里葉級數(shù)，函數(shù)必須滿足的條件稱為的條件稱為Dirichlet（狄里赫勒（狄里赫勒 / 狄利克雷）條件。狄利克雷）條件。t)sin(nt),cos(n1,002, 1, 0ne0jtn4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p

5、 5 Fourier， 法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。1768年3月21日生于歐塞爾， 1830年5月16日卒于巴黎。9歲父母雙亡，被當(dāng)?shù)亟烫檬震B(yǎng) 。1798年隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及時任軍中文書和埃及研究院秘書，1801年回國后任伊澤爾 省地方長官。1817年當(dāng)選為科學(xué)院院士，1822年任該院終身秘書，后又任法蘭西學(xué)院終身秘書和理工科大學(xué)校務(wù)委 員會主席。 主要貢獻(xiàn)是在研究熱的傳播時創(chuàng)立了一套數(shù)學(xué)理論。提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。傅里葉級數(shù)（即三角級數(shù)）、傅里葉分析等理論均由此創(chuàng)始。4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 6 周期信號都可表示為成諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和。周期信號都可表

6、示為成諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和。（即傅里葉級數(shù)）（即傅里葉級數(shù)）非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表示。非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表示。（即傅里葉變換）（即傅里葉變換）傅里葉的兩個極重要的貢獻(xiàn)：傅里葉的兩個極重要的貢獻(xiàn)： 從信號分析的角度：從信號分析的角度：將信號表示為不同頻率將信號表示為不同頻率正弦分量正弦分量的的線性組合，為不同信號之間進(jìn)行比較提供了途徑。線性組合，為不同信號之間進(jìn)行比較提供了途徑。 從系統(tǒng)分析角度從系統(tǒng)分析角度：已知單頻正弦信號激勵下的響應(yīng)，利：已知單頻正弦信號激勵下的響應(yīng)，利用用迭加特性迭加特性可求得多個不同頻率可求得多個不同頻率正弦信號正弦信號同時激勵下的同

7、時激勵下的總響應(yīng)，以及每個正弦分量通過系統(tǒng)后的變化情況。總響應(yīng)，以及每個正弦分量通過系統(tǒng)后的變化情況。將信號表示為將信號表示為不同頻率正弦分量不同頻率正弦分量的的線性組合線性組合的意義的意義：（20年后，狄利克雷給出了它們成立的年后，狄利克雷給出了它們成立的充分條件充分條件）4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 7 周期信號能展開為傅里葉級數(shù)的周期信號能展開為傅里葉級數(shù)的充分充分條件條件：周期信號f (t)應(yīng)滿足Dirichlet條件(P134)，即：(1) 在一個周期內(nèi)絕對可積，即滿足 (2) 在一個周期內(nèi)只有有限個不連續(xù)點；(3) 在一個周期內(nèi)只有有限個極大值和極小值。注意： 條件

8、（1） 為充分條件但不是必要條件； 條件（2）（3）是必要條件但不是充分條件。ttftTtd )( 0004 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 8 tnnnCtf0j=e )(dtf(t)eT CtTttjn n000001連續(xù)時間周期信號可以用指數(shù)形式傅里葉級數(shù)表示：其中傅里葉系數(shù)Cn（很多資料寫為Fn）計算式(T0為周期)：物理含義：物理含義：周期信號周期信號f (t)可以分解為不同頻率虛指數(shù)信號之可以分解為不同頻率虛指數(shù)信號之和，信號不同則和，信號不同則Cn不同，為一一對應(yīng)關(guān)系。不同，為一一對應(yīng)關(guān)系。周期信號在一個周期內(nèi)的積分與信號起點周期信號在一個周期內(nèi)的積分與信號起點t0選取

9、無關(guān)，故計選取無關(guān)，故計算時可以根據(jù)需要選擇不同的算時可以根據(jù)需要選擇不同的t0值，常選：值，常選：t0=0或或t0=T0/24 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 9 tnnnCtf0j=e )(dtf(t)eT CtTttjn n000001連續(xù)時間周期信號可以用指數(shù)形式傅里葉級數(shù)表示：1n兩項的基波頻率為f0，兩項合起來稱為信號的基波分量2n的頻率為2f0，兩項合起來稱為信號的2次諧波分量Nn的頻率為Nf0，兩項合起來稱為信號的N次諧波分量物理含義：周期信號f (t)可以分解為不同頻率虛指數(shù)信號之和4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 10 0002 , , TTtf基波角

10、頻率為周期為周期信號在滿足在滿足狄氏條件狄氏條件時，可展成時，可展成直流分量直流分量000d)(1200TttttfTa余弦分量的幅度余弦分量的幅度000dcos)(200TttnttntfTa正弦分量的幅度正弦分量的幅度000dsin)(200TttnttntfTb稱為稱為三角形式的傅里葉級數(shù)三角形式的傅里葉級數(shù)，其系數(shù)，其系數(shù))sincos(2)(1000nnntnbtnaatf)1,2=n( 4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 11 100cos2)(nnntnAatf）（22nnnbaA nnnabarctg其中a0 0/2/2稱為信號的稱為信號的直流分量直流分量， An c

11、os(n 0 t + n) 稱為信號稱為信號的的n次諧波分量。次諧波分量。幅度譜幅度譜相位譜相位譜4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 12 nnCC利用這個性質(zhì)可以將指數(shù)Fourier級數(shù)表示為：tnnntnnnCCCtf00j1j10ee)(tnntnnnCCC00jj10ee) e Re(20j10tnnnCC2j:nnnbaC記由于C0是實的，所以 b0= 0，即得三角形式的系數(shù)200aC 若 f (t)為實函數(shù)，則指數(shù)形式的系數(shù)必為(課本中已證明)：tnnnCtf0j=e )(4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 13 2jnnnbaC2:00aC 直流分量tnnnC

12、tf0j=e )()sincos(2)(1000nnntnbtnaatfnnCC000dcos)(200TttnttntfTa000dsin)(200TttnttntfTb) e Re(2)(0j10tnnnCCtfdtf(t)eT CtTttjn n000001100cos2)(nnntnAatf）（22nnnbaA nnnabarctg4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 14 幾條常用幾條常用的式子：的式子：)(1)(12tatatatataeeatadteteadte)ee(21)cos(jjttt)ee(j21)sin(jjttttjtetjsincos4 周期信號的頻域分析

13、周期信號的頻域分析 p 15 用有限次諧波分量來近似原信號，用有限次諧波分量來近似原信號，在不連續(xù)點在不連續(xù)點出現(xiàn)過沖出現(xiàn)過沖，過沖峰值不隨諧波分量增加而減少，過沖峰值不隨諧波分量增加而減少，且且 為跳變值的為跳變值的9% 。吉伯斯現(xiàn)象產(chǎn)生原因吉伯斯現(xiàn)象產(chǎn)生原因: 時間信號存在跳變破壞了信號的收斂性，使得時間信號存在跳變破壞了信號的收斂性，使得在在間斷點間斷點傅里葉級數(shù)出現(xiàn)傅里葉級數(shù)出現(xiàn)非一致收斂非一致收斂。4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 16 -2-1.5-1-0.500.511.52-0.60.811.2-2-1.5-1-0.500.511.52-0.20

14、0.811.2-2-1.5-1-0.500.511.52-0.60.811.2-2-1.5-1-0.500.511.52-0.60.811.2N=5N=15N=50N=5004 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 17 例1 試計算圖示周期矩形脈沖信號f(t)的指數(shù)形式傅里葉級數(shù)展開式。解解: 信號信號f (t) 滿足滿足狄里赫勒狄里赫勒的三個條件，必然存在的三個條件，必然存在傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)展開式。展開式。At)(tfT-T0)2()2sin(2)2sin(21)ee(1e1de1de)(1000002j2j022j022j

15、j000000000nSaTAnnTAnjjnTAjnTAjnTAtATttfTCnntntnTtttnn)ee(j21)sin(jjttt4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 18 例1 試計算圖示周期矩形脈沖信號f(t)的指數(shù)形式傅里葉級數(shù)展開式。At)(tfT-T0因此，因此， f (t)的的指數(shù)形式傅里葉級數(shù)指數(shù)形式傅里葉級數(shù)展開式為展開式為tj=00e )2(Sa nnnTAtnnnCtf0j=e )(T20)2(0nSaTACn解解: 信號信號f (t) 滿足滿足狄里赫勒狄里赫勒的三個條件，必然存在的三個條件，必然存在傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)展開式。展開式。不防記住這個結(jié)論，其

16、中是脈寬，T是周期，A是幅度。4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 19 解解:例1 試計算圖示周期矩形脈沖信號f(t)的三角形式三角形式傅里葉級數(shù)展開式。At)(tfT-T0)sincos(2)(1000nnntnbtnaatf000dcos)(200TttnttntfTa000dsin)(200TttnttntfTb可以按原始的表示式來求三角形式的傅氏級數(shù)：可以按原始的表示式來求三角形式的傅氏級數(shù)：4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 20 解解:tnnTATAtfn001cos)2/(Sa)/2()/()(可得，可得， f(t)的的三角形式傅里葉級數(shù)三角形式傅里葉級數(shù)展開

17、式為展開式為) e Re(2)(0j10tnnnCCtfT20例1 試計算圖示周期矩形脈沖信號f(t)的三角形式傅里葉級數(shù)展開式。At)(tfT-T0已知已知Cn，也可以利用下式來求：，也可以利用下式來求：tjtetjsincos4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 21 例例2 2 試計算圖示周期三角脈沖信號的傅里葉級數(shù)展開式。t)(tf2-201解解: 該周期信號該周期信號f (t)顯然滿足顯然滿足狄里赫勒狄里赫勒的三個條件，的三個條件，Cn存在存在:)dede(21de )(110j01j2/2/j000ttttttfTCtntnTTtnn)deedee(j2110j10j01j

18、01j00000ttttntntntntn) 1(cos)(12nn20T4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 22 例例2 2 試計算圖示周期三角脈沖信號的傅里葉級數(shù)展開式。t)(tf2-201解解:tmmm0) 12( j=2e) 1(22 21tnnnCtf0j=e )(0, 2/1,)/(2) 1(cos)(122nnnnnCn為奇數(shù)周期三角脈沖信號的周期三角脈沖信號的指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)為：為：20T4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 23 例例2 2 試計算圖示周期三角脈沖信號的傅里葉級數(shù)展開式。t)(tf2-201解解:周期三角脈沖信號的周期

19、三角脈沖信號的三角形式傅里葉級數(shù)三角形式傅里葉級數(shù)展開式為展開式為) e Re(2)(0j10tnnnCCtf由tnmtfm01=2cos) 1(24 21)(ttt0202025cos2543cos94cos42120T4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 24 求傅氏級數(shù)的系數(shù)Cn 。)4cos(3)(0ttf)4( j)4( j00ee213tttt00j4 jj4 jee23ee234 j14 j1e23,e23CC1, 0nCn)4cos(3)(0ttf根據(jù)指數(shù)形式傅里葉級數(shù)的定義式，得：根據(jù)指數(shù)形式傅里葉級數(shù)的定義式，得：tnnnCtf0j=e )()ee(21)cos(j

20、jttt4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 25 nnCtfCtf2211)( , )( 若nnCaCatfatfa22112211)()( 則有 )( nCtf若ntnCtt f00j0e)( 則有時移時移 相移相移4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 26 若 f1(t) 和 f2(t) 均是周期為T0的周期信號，且nnCtfCtf2211)( , )(nnTCCTdtfftftf210021210)()()(*)( )( nCtf若nCnt f0j)( 則有周期卷積為：4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 27 | nnCC則nn若 f(t) 為實信號4 周期信

21、號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 28 縱軸對稱信號縱軸對稱信號 f (t) = f (t)2/002/2/0d)cos()( 4d)cos()(2TTTnttntfTttntfTa0d)sin()(22/2/0TTnttntfTb 縱軸對稱周期信號其傅里葉級數(shù)展開式中只含縱軸對稱周期信號其傅里葉級數(shù)展開式中只含有直流項與余弦項。有直流項與余弦項。4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 29 原點對稱周期信號原點對稱周期信號其其傅氏展開式傅氏展開式中只含中只含正弦項正弦項，無其他項。，無其他項。0d)cos()(22/2/0TTnttntfTa2/002/2/0d)sin()( 4d)

22、sin()(2TTTnttntfTttntfTb原點原點對稱信號對稱信號 f (t) = f (t)4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 30 半波重疊信號半波重疊信號: : f (t) = f (tT/2) 半波重疊周期信號半波重疊周期信號只含有只含有正弦正弦與與余弦余弦的的偶次諧波分偶次諧波分量量，而無奇次諧波分量（注意周期，而無奇次諧波分量（注意周期T的位置）。的位置）。T/2T/2f(t)tdtf(t)eT CTttn jn2/2000024 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 31 半波鏡像信號半波鏡像信號: : 半波鏡像周期信號半波鏡像周期信號只含有只含有奇次諧波分量

23、奇次諧波分量（包括（包括正弦正弦與與余余弦弦），而無直流分量與偶次諧波分量。），而無直流分量與偶次諧波分量。t)(tfT/2T0dtf(t)eT CTttjn n2/000014 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 32 ：某些信號某些信號波形經(jīng)上下或左右平移后，波形經(jīng)上下或左右平移后，才呈現(xiàn)出某種才呈現(xiàn)出某種)(tf0TT2T3TT2T3A)(tf0TT2T3TT2T32/A去掉去掉直流分量直流分量后，后，信號信號呈呈奇對稱：奇對稱：只含有只含有正弦正弦各次諧波分量各次諧波分量。(注意周注意周期為期為T，所以半波不重疊，所以半波不重疊)因此該信號含有因此該信號含有正弦分正弦分量量，直流

24、分量。直流分量。4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 33 求圖示周期信號f(t)的傅里葉級數(shù)（另法）t)(tf-1-21234-321-4t)(1tf-1-21234-32-4t)(2tf-1-21234-31-4)2cos()2(Sa5 . 1)(1tnntfnf (t) = f1(t) f2(t)2cos()2(Sa5 . 0)(12tnntfn)2(0nSaTACn4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 34 n周期信號的頻域分析：周期信號的頻域分析：一、周期信號的傅里葉級數(shù)展開一、周期信號的傅里葉級數(shù)展開二、傅里葉級數(shù)的基本性質(zhì)二、傅里葉級數(shù)的基本性質(zhì)三三、周期信號的頻

25、譜及其特點、周期信號的頻譜及其特點四四、周期信號的功率譜、周期信號的功率譜 *離散離散Fourier級數(shù)（級數(shù)（DFS）信號的頻域分析信號的頻域分析（重點：連續(xù)時間信號）（重點：連續(xù)時間信號）4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 35 周期信號f(t)可以分解為不同頻率虛指數(shù)信號不同頻率虛指數(shù)信號之和Cn是頻率的函數(shù)，它反映了組成信號各次諧波的幅度和相位隨頻率變化的規(guī)律，簡稱Cn為頻譜函數(shù)頻譜函數(shù)。tnnnCtf0j=e )( 不同的時域信號，只是傅里葉級數(shù)的系數(shù)Cn不同，因此通過研究傅里葉級數(shù)的系數(shù)來研究信號的特性。4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 36 直接畫出信號各次

26、諧波對應(yīng)的Cn線狀分布圖形，這種圖形稱為信號的頻譜圖。nnnCCje|Cn|隨角頻率變化的特性，稱為幅度頻譜n 隨角頻率變化的特性，稱為相位頻譜4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 37 At)(tfT-T0例例1 周期矩形脈沖信號的周期矩形脈沖信號的頻譜圖頻譜圖)2(Sa0nTACn以以 0=2/ T0為間隔進(jìn)行抽樣為間隔進(jìn)行抽樣若若T0，則變?yōu)檫B續(xù)的譜，則變?yōu)檫B續(xù)的譜Cn為實數(shù)時，可將幅度為實數(shù)時，可將幅度譜和相位譜畫于同一圖中譜和相位譜畫于同一圖中nC0nTA /T/202200,00,0, 0nCnCCnnnn且且4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 38 例例2 2

27、已知連續(xù)周期信號的頻譜如圖，試寫出信號已知連續(xù)周期信號的頻譜如圖，試寫出信號的的Fourier級數(shù)表示式。級數(shù)表示式。40C31C12C23C由圖可知tnnnCtf0je)()ee (2)ee ()ee ( 34000000j3j3j2j2jjtttttt)3cos(4)2cos(2)cos(64000ttt2nCn01123343311224 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 39 信號周期T 越大，0（間隔）就越小，則譜線越密。反之，T 越小，0越大，譜線則越疏。周期信號的頻譜是以0=2/ T0為間隔進(jìn)行抽樣所得，為離散的譜線。（若T0，則變?yōu)榉侵芷谛盘柕倪B續(xù)譜線）。nC0nTA

28、/T/20224 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 40 當(dāng)周期信號的幅度頻譜當(dāng)周期信號的幅度頻譜隨著諧波隨著諧波n 0增大增大時，幅度頻譜時，幅度頻譜|Cn|不斷衰減不斷衰減，并最終趨于零。，并最終趨于零。 若信號若信號時域波形變化越平緩時域波形變化越平緩，高次諧波成分就越少，高次諧波成分就越少，幅度幅度頻譜衰減越快頻譜衰減越快；若信號；若信號時域波形變化跳變越多時域波形變化跳變越多，高次諧波，高次諧波成分就越多，成分就越多，幅度頻譜衰減越慢幅度頻譜衰減越慢。f(t)不連續(xù)時，不連續(xù)時，Cn按按1/n的速度衰減的速度衰減f(t)連續(xù)，連續(xù)， f (t)不連續(xù)時，不連續(xù)時，Cn按按1/

29、n2的速度衰減的速度衰減如果如果f(t)前前k-1階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，k階不連續(xù)時，則階不連續(xù)時，則Cn按按1/nk+1的速度衰減。的速度衰減。4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 41 （有多種定義方法）（有多種定義方法） 02 / 這段頻率范圍頻率范圍稱為周期矩形脈沖信號的有效頻帶寬度,即（這里定義在第一個過零點處，帶寬的單位:） 2B信號的有效帶寬信號的有效帶寬與與信號時域的信號時域的脈沖寬度脈沖寬度 成反比。成反比。即 越大，其B 越小；反之， 越小，其B 越大。4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 42 物理意義：在信號的有效帶寬內(nèi)，集中了信號絕大部分諧波分量。若

30、信號丟失有效帶寬以外的諧波成分，不會對信號產(chǎn)生明顯影響。當(dāng)信號通過系統(tǒng)時，信號當(dāng)信號通過系統(tǒng)時，信號與與系統(tǒng)的有效帶寬必須系統(tǒng)的有效帶寬必須“匹配匹配”。信號的有效帶寬有多種定義方式，一般從功率譜的角度來定義。4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 43 -2-1.5-1-0.500.511.52-0.60.811.2-2-1.5-1-0.500.511.52-0.60.811.2-2-1.5-1-0.500.511.52-0.60.811.2-2-1.5-1-0.500.511.52-0.60.811.2N

31、=5N=15N=50N=5004 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 44 nnTTCttfTP2222d)(1 物理意義：物理意義：任意周期信號的任意周期信號的平均功率平均功率可以用頻域的傅氏可以用頻域的傅氏系數(shù)來確定。系數(shù)來確定。1式時域；式時域；2、3式頻域，信號是實信號時可簡式頻域，信號是實信號時可簡化為第化為第3式計算。（往往是哪種方法簡單就采用那種方法）式計算。（往往是哪種方法簡單就采用那種方法）信號的平均功率等于其所包含的直流、基波以及各次諧信號的平均功率等于其所包含的直流、基波以及各次諧波的平均功率之和。波的平均功率之和。 周期信號的功率頻譜：周期信號的功率頻譜： |Cn

32、|2 （頻譜的模的平方頻譜的模的平方）隨）隨 n 0 的分布情況稱為周期信號的功率頻譜，簡稱的分布情況稱為周期信號的功率頻譜，簡稱|Cn|2為為功率譜功率譜。平均功率平均功率P：（：（帕什瓦爾帕什瓦爾( (Parseval) )功率守恒定理）功率守恒定理）12202nnCC4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 45 求包含在有效帶寬有效帶寬(0 2 / )內(nèi)的各諧波平均功率，此時若采用時域的計算方法較麻煩。由于周期矩形脈沖的傅里葉系數(shù)為：信號的平均功率平均功率為：2 . 0d14d)(1401401222tttfTPTT例例3 3 試求周期矩形脈沖信號在其有效帶寬(02 /)內(nèi)諧波分量

33、所具有的平均功率占整個信號平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4， =1/20。 22TAtT)(tfnC0nTA /T/2022頻譜圖頻譜圖)2(Sa0nTACn4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 46 信號的平均功率平均功率為：2 . 0d14d)(1401401222tttfTPTT例例3 3 試求周期矩形脈沖信號在其有效帶寬(02 /)內(nèi)諧波分量所具有的平均功率占整個信號平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4， =1/20。 22TAtT)(tfnC0nTA /T/2022頻譜圖頻譜圖)2(Sa0nTACn將A=1，T=1/4， = 1/20，0= 2/T = 8 代入上

34、式)5/(Sa2 . 0)40/(Sa2 . 00nnCn4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 47 信號的平均功率為：2 . 0d14d)(1401401222tttfTPTT例例3 3 試求周期矩形脈沖信號在其有效帶寬(02 /)內(nèi)諧波分量所具有的平均功率占整個信號平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4， =1/20。 22TAtT)(tfnC0nTA /T/2022頻譜圖頻譜圖)5/(Sa2 . 0)40/(Sa2 . 00nnCn41=22044=21 |2 |nnnnCCCP1806. 0%90200. 01806. 01PP4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 4

35、8 2nC0n84040251周期信號的功率譜：功率譜：(區(qū)別于頻譜圖區(qū)別于頻譜圖)5(Sa25122nCn22TAtT)(tf)5/(Sa2 . 0nCn例例3 3 試求周期矩形脈沖信號在其有效帶寬(02 /)內(nèi)諧波分量所具有的平均功率占整個信號平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4， =1/20。 %90200. 01806. 01PP4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 49 tttttf0000j2jjj2e2e34e3e2)(求f (t)的功率。2nnCP40C31C22C422343222222P4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 50 tttttf0000j2

36、jjj2e2e34e3e2)(求f (t)的功率。tttf002cos4cos64)(424216214)(12222dttfTPT22)2cos1 (21cos1220220ATTAdttnTAdttnATPTT2)cos(1220AdttnATT信號的平均功率等于其所包含的直流、基波以及各次信號的平均功率等于其所包含的直流、基波以及各次 諧波的平均功率之和。諧波的平均功率之和。4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 51 分析問題使用的數(shù)學(xué)工具為傅里葉級數(shù)最重要概念：頻譜函數(shù) Cn要點1. 頻譜的定義、物理意義2. 頻譜的特點3. 頻譜的性質(zhì)，應(yīng)用性質(zhì)分析復(fù)雜信號的頻譜4. 功率譜的

37、概念及在工程中的應(yīng)用周期信號的頻譜分析小結(jié)周期信號的頻譜分析小結(jié)4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 52 10t)(tf10141、如圖示周期、如圖示周期信號，其傅里信號，其傅里葉系數(shù)葉系數(shù):C0410,2cos4cos64)(2000tttf、則此信號的平均功率則此信號的平均功率42T / 2 T / 23、如圖示周期為、如圖示周期為 T 的信號，定性判斷其頻譜成份：的信號，定性判斷其頻譜成份： .T / 2 T / 2t0f(t)A偶：余弦分量偶：余弦分量奇：正弦分量奇：正弦分量半波重疊：偶次諧波半波重疊：偶次諧波半波鏡像：奇次諧波半波鏡像：奇次諧波2)cos(1220Adttn

38、ATPT4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 53 *4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 54 kmNNmWmFNmFkf1)(IDFS10kmNNkWkfkfmF)(DFS10 IDFS:表示離散傅里葉級數(shù)反變換表示離散傅里葉級數(shù)反變換 DFS:表示離散傅里葉級數(shù)正變換表示離散傅里葉級數(shù)正變換NNW2j -etnnnCtf0j=e )(kmNmFNkfj10=e m1N2式中002T式中4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 55 周期為周期為N 的任意序列可分解為基本序列的任意序列可分解為基本序列kNm2je的和的和.kNmNmemFNmFkf2j101)(IDFS

39、mFkf一一對應(yīng)4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 56 mkNNNkNWkkmFDFS104 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 57 周期序列 fk = cos(k/6) 的頻譜122j122je21e21kkkfkkWW1212661211, 65016mmmmF0,102011, 16mmmmF11m6023Fm1111N=12NNW2j -ekmNNmWmFNmFkf1)(IDFS104 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 58 當(dāng)m=0, N, 2N, 時有Mk10fkMNNMNMN+MkmNMMkmF2jemNMmNmMN2j) 1(2j2je1eeNmMN

40、msin12sin12 MmF4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 59 - 3 0- 2 0- 1 001 02 03 0- 1012345mF m - 3 0- 2 0- 1 001 02 03 0- 5051 01 52 02 5mF m N=30M=2N=30M=124 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 60 DFSDFSDFS2121kfbkfakbfkaf4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 61 14kfk0123DFSmFWnkfmnNDFSlmFkfWlkNk-4 -3 -2 -1012345674kf4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 62

41、 DFSmFkfDFSmFkf fk為實序列mFmF fk為偶對稱實序列 fk為奇對稱實序列Fm為奇對稱虛序列 (實部為零) Fm為偶對稱實序列4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 63 0 1 2 3kN=40 1 2 3kN=54偶對稱kNfkfkf奇對稱kNfkfkf0 1 23kN=40 1 24 kN=534 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 64 DFSDFSDFS2121kfkfkfkfDFSDFS1DFS2121kfkfNkfkf4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 65 211021nkfnfkfkfNnkfkfkf0123k4110 1 2 3k41

42、210 1 2 3k42 2, 2nfN0 1 2 3n41 1kfkf4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 66 kf0 1 2k1 1-1-21, 3nfN0 1 2 3n11-1-21 nf0 1 2 3n41 12nf0 1 2 3n4110 1 2 3k4121kRkfkfN4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 67 (1) 周期卷積的結(jié)果一般和線性卷積不一樣。(2) 通過對序列補零可使周期卷積的結(jié)果和線性 卷積的結(jié)果一樣。4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 68 n非周期信號的頻域分析：非周期信號的頻域分析：一一、連線非周期信號的頻譜、連線非周期信號的頻譜

43、二二、常見連續(xù)信號的頻域分析、常見連續(xù)信號的頻域分析三、連續(xù)時間傅里葉變換的性質(zhì)三、連續(xù)時間傅里葉變換的性質(zhì) *四、離散時間傅里葉變換及其主要性質(zhì)四、離散時間傅里葉變換及其主要性質(zhì)4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 69 一、連線非周期信號的頻譜一、連線非周期信號的頻譜4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 70 ttfTCTTnTnde )(122tj0ttfttftTTtnTTde)(de)(limj22j0可見其物理意義可見其物理意義: F(j )是單位頻率所具有的信號頻譜。是單位頻率所具有的信號頻譜。是一種密度譜、連續(xù)譜的概念，表達(dá)信號頻譜密度的分布情況。常稱稱F(j

44、)為非周期信號的為非周期信號的頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)，即傅里葉正變換。，即傅里葉正變換。fCTCjFnfnT0limlim)(由周期信號的傅氏系數(shù)，討論由周期信號的傅氏系數(shù)，討論T（即周期信號變?yōu)榉侵埽粗芷谛盘栕優(yōu)榉侵芷谛盘枙r）：期信號時）：nTTClim)(jF4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 71 ( (課本用花體字，這里用課本用花體字，這里用FTFT表示運算符）表示運算符）)j ()()()j (1FFTtftfFTF)j ()(:FtfFT或tnnnCtf0j=e )(展開式形式相似：與周期信號的傅氏級數(shù)dtf(t)eTC tTttjn n000001式相似：與周期信號

45、傅氏系數(shù)形de)j (21)(jtFtfttfFde)()j (tj從時域到頻域從時域到頻域 從頻域到時域從頻域到時域注意變量符號的任意性！下式成立：ttfaFade)()j(t )j(4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 72 tnnnCtf0j=e )(展開式形式相似：與周期信號的傅氏級數(shù)dtf(t)eTC tTttjn n000001式相似：與周期信號傅氏系數(shù)形傅里葉反變換的傅里葉反變換的物理意義：物理意義：非周期信號可分解為無數(shù)個頻率為，復(fù)振幅為F(j)/2d 的虛指數(shù)信號虛指數(shù)信號ej t的線性組合。de)j (21)(jtFtfttfFde)()j (tj 從信號分解的角度

46、看，F(xiàn)(j )與Cn的物理意義是可以統(tǒng)一的！所以，二者都常統(tǒng)稱為 頻譜函數(shù)頻譜函數(shù)。從時域到頻域從時域到頻域 從頻域到時域從頻域到時域4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 73 （1）周期信號的頻譜）周期信號的頻譜Cn為離散頻譜，為離散頻譜， 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜F(j )為連續(xù)頻譜。為連續(xù)頻譜。非周期信號頻譜非周期信號頻譜T TCn的分布，表示每單位帶寬內(nèi)所有的分布，表示每單位帶寬內(nèi)所有諧波分量合成的復(fù)振幅，即頻譜的密度。諧波分量合成的復(fù)振幅，即頻譜的密度。（可以理解為單位頻率寬度內(nèi)的值） 兩者關(guān)系：兩者關(guān)系：00)j (nnTFCCnF(j )（2）周期信號頻譜）周期信

47、號頻譜Cn的分布，表示每一個諧波分量的復(fù)的分布，表示每一個諧波分量的復(fù) 振幅。振幅。（可以理解為頻率點的值）fCTCjFnfnT0limlim)(4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 74 tj=0e lim)(nnnTCtftj0=0e2)j (limnnTFd)j (21jteFT時：n0成為連續(xù)變量，用表示。0成為無限小量，用d表示。即記為： n0 = 0 = d而無限小量的求和，可用積分表示。由周期信號的傅氏級數(shù)展開式，以及由周期信號的傅氏級數(shù)展開式，以及Cn與與F(j ) 的關(guān)系，的關(guān)系，討論討論T時情況：時情況：tnnnCtf0j=e )(0 = 2/T000)j (nnT

48、FC4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 75 Dirichlet條件是充分條件，不是必要條件。條件是充分條件，不是必要條件。后續(xù)內(nèi)容將會后續(xù)內(nèi)容將會看到，有些信號不滿足其充分條件，也存在傅里葉變換?？吹?，有些信號不滿足其充分條件，也存在傅里葉變換。（1）非周期信號在無限區(qū)間上絕對可積（2）在任意有限區(qū)間內(nèi)，信號只有有限個最大值 和最小值。（3）在任意有限區(qū)間內(nèi)，信號僅有有限個不連續(xù)點， 且這些點必須是有限值。ttfd)(傅氏變換的條件：狄利克雷傅氏變換的條件：狄利克雷(Dirichlet)條件條件4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 76 一般地，能量信號都能滿足一般地，能量

49、信號都能滿足Dirichlet的充分條件，故都存在傅的充分條件，故都存在傅氏變換，而很多氏變換，而很多功率信號功率信號（比如（比如周期信號周期信號）雖然不滿足絕對可積條）雖然不滿足絕對可積條件，但在引入廣義沖激函數(shù)件，但在引入廣義沖激函數(shù)(t)后，也存在傅氏變換，因此對信號的后，也存在傅氏變換，因此對信號的分析方法就可以統(tǒng)一起來。對常見周期信號，既可展開為傅氏級數(shù)分析方法就可以統(tǒng)一起來。對常見周期信號，既可展開為傅氏級數(shù)，也可用虛指數(shù)信號，也可用虛指數(shù)信號ej t的線性組合來表示，即既可求頻譜的線性組合來表示，即既可求頻譜Cn ，也可，也可以求頻譜密度函數(shù)以求頻譜密度函數(shù) F(j ) 。周期信

50、號頻譜周期信號頻譜Cn ，表示每一個諧波分量的復(fù)振幅分布情況，是，表示每一個諧波分量的復(fù)振幅分布情況，是離散的譜線；而離散的譜線；而非周期信號頻譜非周期信號頻譜 F(j ) ，表示每單位帶寬內(nèi)所有諧表示每單位帶寬內(nèi)所有諧波分量合成波分量合成后的復(fù)振幅分布情況，是連續(xù)的譜線。一定條件下，后的復(fù)振幅分布情況，是連續(xù)的譜線。一定條件下， Cn 可以從可以從F(j )中取樣得到，從信號的分解的角度看，二者完全一致！中取樣得到，從信號的分解的角度看，二者完全一致！可以說傅氏變換是本課程涉及的幾大變換的基石。對信號進(jìn)行可以說傅氏變換是本課程涉及的幾大變換的基石。對信號進(jìn)行頻譜分析頻譜分析和對信號進(jìn)行和對信

51、號進(jìn)行傅里葉變換、求頻譜函數(shù)傅里葉變換、求頻譜函數(shù)具有同樣的含義。具有同樣的含義。4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 77 例例 求圖示非周期矩形脈沖信號的頻譜密度函數(shù)。22tA)(tf解：解： 非周期矩形脈沖信號f(t)的時域表示式為2/| 02/| )(ttAtf，由定義式，可得tAttfFttdede )()j (22jj)2(Sa A22A)j (F44 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 78 2. 周期信號的離散頻譜可以通過對非周期信號的 連續(xù)頻譜等間隔取樣求得。3. 信號在時域有限，則在頻域?qū)o限延續(xù)。4. 信號的頻譜分量主要集中在零頻到第一個過零點 之間，工程中

52、往往將此寬度作為有效帶寬。5. 脈沖寬度 越窄，高頻分量越多，有效帶寬越寬。 即信號信息量大、傳送信號所占用的頻帶越寬。（因為B=2）1. 周期信號當(dāng)周期趨于無限大時，成為非周期信號，離散頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜，二者的包絡(luò)線相似。4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 79 單邊指數(shù)信號 雙邊指數(shù)信號 e a |t| 單位沖激信號 (t) 直流信號 符號函數(shù)信號 單位階躍信號 u(t)二、常見連續(xù)時間信號的頻譜二、常見連續(xù)時間信號的頻譜 虛指數(shù)信號 正弦型信號 單位沖激串4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 80 )(e)(tutftattfFtde )()j (j221)j (aF)

53、arctan()(atttdeej0aaaaj10)j(e)j(t求信號的頻譜函數(shù)或頻譜分析，實際上就是作傅里葉變換， 實數(shù)a a 0 0，信號滿足狄氏條件，則傅里葉變換為：a a為為0的實數(shù)的實數(shù)4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 81 221)j (aF)arctan()(a單邊指數(shù)信號及其單邊指數(shù)信號及其幅度頻譜幅度頻譜與與相位頻譜相位頻譜t01)(tf0a/1)j (F0)(2/2/0)(e)(aa，tutft4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 82 ea|t|，a為0的實數(shù)2200| |211ddd)j (aaaaaaajjteeteeteeFtjttjttjt2

54、22)j (aaF0)(關(guān)于關(guān)于t為實偶函數(shù)的信號，其頻譜是關(guān)于為實偶函數(shù)的信號，其頻譜是關(guān)于 的實偶函數(shù)。的實偶函數(shù)。4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 83 (t)?de)()(jtttFTt單位沖激信號單位沖激信號( (時域里變化最劇烈的理想信號時域里變化最劇烈的理想信號) )的頻譜是一種的頻譜是一種均勻譜均勻譜，其頻譜包括所有的頻率分量，為一個常數(shù)，又稱白色譜。其頻譜包括所有的頻率分量，為一個常數(shù)，又稱白色譜。0t)(t) 1 (01)j (F14 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 84 4. 單位直流信號單位直流信號 f(t)=1， t 不滿足不滿足絕對可積條件，絕

55、對可積條件，不好按定義求。不好按定義求。將其與將其與雙邊指數(shù)函數(shù)雙邊指數(shù)函數(shù)相乘，相乘，再取極限的方法求出。再取極限的方法求出。e1 lim1 |0tFTFTaa2lim220aaa)(20,20,02lim220aaaa2)arctan(2limd2lim0220aaaaa結(jié)果很像結(jié)果很像 函數(shù)的定義，若對其積分能得到一個常數(shù)，即能確定下來：函數(shù)的定義，若對其積分能得到一個常數(shù)，即能確定下來：4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 85 利用利用 (t) 的傅氏變換形式求之。已知的傅氏變換形式求之。已知 (t)的正變換：的正變換：de121de121de)j (21)j ()()(jj

56、j1tttFFFTt1de)()()(jtttFTjFt對對F(j )作傅氏反變換：作傅氏反變換：因為因為: (t)= (-t)(2de1 1 tFTtj一般直流信號一般直流信號A：)(2deAtAAFTtj也可將矩形脈沖的脈寬趨于也可將矩形脈沖的脈寬趨于 時求得時求得4. 單位直流信號單位直流信號 f(t)=1， t 還有什么方法求之？還有什么方法求之？4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 86 對照對照沖激、直流沖激、直流時頻曲線可看出一般規(guī)律時頻曲線可看出一般規(guī)律: 0t10)2()j (F時域持續(xù)越寬的信號，其頻域的頻譜越窄；時域持續(xù)越寬的信號，其頻域的頻譜越窄；時域持續(xù)越窄的

57、信號，其頻域的頻譜越寬。時域持續(xù)越窄的信號，其頻域的頻譜越寬。直流信號直流信號及其及其頻譜頻譜4. 單位直流信號單位直流信號 f(t)=1， t0）4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 97 三、連續(xù)時間傅里葉變換的性質(zhì)三、連續(xù)時間傅里葉變換的性質(zhì)4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 98 ，；若)j ()( )j ()(2211FtfFtfFTFT)j ()j ()()(2121bFaFtbftafFT則其中a和b均為常數(shù)。4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 99 當(dāng)f(t)為實函數(shù)時，有|F(j)| = |F(j)| ， )(je)j ()j (FF)j (j)j

58、 (IRFF)j()j(),j()j (IIRRFFFFF(j為復(fù)數(shù)，可以表示為)j ()(FtfFT若)j(*)(*FtfFT則)j (*)(*FtfFT4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 100 當(dāng)f(t)為實偶函數(shù)時，有F(j) = F*(j) ， F(j)是的實偶函數(shù) 當(dāng)f(t)為實奇函數(shù)時，有F(j) = F*(j) ， F(j)是的虛奇函數(shù) )j ()(FtfFT若)j(*)(*FtfFT則)j (*)(*FtfFT4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 101 )j ()(FtfFT若0j0e)j ()(tFTFttf則式中t0為任意實數(shù)tttfttfFTtde

59、)()(j00令 x = t t0，則dx = dt，代入上式可得xxfxxfttfFTxtxtde )(ede )()(j j)(j000)j (e)(j0Ft 信號在時域中的時移，對應(yīng)頻譜函數(shù)在頻域中產(chǎn)生的信號在時域中的時移，對應(yīng)頻譜函數(shù)在頻域中產(chǎn)生的附加相移，而幅度頻譜保持不變。附加相移，而幅度頻譜保持不變。4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 102 試求圖示延時矩形脈沖信號f1(t)的頻譜函數(shù)F1(j)0A2t2)(tf0At)(1tfT解：解： 無延時且寬度為 的矩形脈沖信號f(t) 如圖，)2(Sa)j ( AFTFFj1e )j ()j ()()(1TtftfTAje

60、)2(Sa因為故，由延時特性可得其對應(yīng)的頻譜函數(shù)為4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 103 )j ()(FtfFT若)j (1)(aFaatfFT則tatfatfFTtde)()( j)j (10,de )(10,de )(1)(jjaFaaxxfaaxxfaatfFTxaxa令 x = at，則 dx = adt ，代入上式可得時域壓縮時域壓縮(|a|a|1)，則頻域展寬；時域展寬，則頻域壓縮。，則頻域展寬；時域展寬，則頻域壓縮。4 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 p 104 0A2)2(2F0A)(F22)2( tftA44)(21tft0)(tft220A21)21(2