數(shù)學(xué)建模 第四篇 典型案例分析

1、第四篇第四篇 典型案例分析典型案例分析1 投籃的出手角度投籃的出手角度2 水塔流量估計水塔流量估計3 鋼管訂購和運輸鋼管訂購和運輸1.1 1.1 問題的提出問題的提出v1Q2QL L H0Ph從罰球點投籃示意圖從罰球點投籃示意圖1 1 投籃的出手角度投籃的出手角度問題問題 不考慮籃球和籃框大小不考慮籃球和籃框大小,討論球心命中框心的條件討論球心命中框心的條件 考慮籃球和籃框大小考慮籃球和籃框大小,討論球心命中框心且入框條件討論球心命中框心且入框條件 保證球入框保證球入框,出手角度和出手速度允許的最大偏差出手角度和出手速度允許的最大偏差 考慮空氣阻力的影響考慮空氣阻力的影響 d0 xD1.2 1

2、.2 問題的分析問題的分析0dD籃球入籃球入框框球心偏前球心偏前 不考慮籃球和籃框大小不考慮籃球和籃框大小,討論球心命中框心的條件討論球心命中框心的條件 考慮籃球和籃框大小考慮籃球和籃框大小,討論球心命中框心且入框條件討論球心命中框心且入框條件 保證球入框保證球入框,出手角度和出手速度允許的最大偏差出手角度和出手速度允許的最大偏差 考慮空氣阻力的影響考慮空氣阻力的影響 1.3 1.3 基本模型基本模型 不考慮籃球和籃框大小不考慮籃球和籃框大小, ,不考慮空氣阻力的影響不考慮空氣阻力的影響 222cos2tanvgxxy則球心運動軌跡為拋物線則球心運動軌跡為拋物線 球可視為質(zhì)點（球心）的斜拋運動

3、，其運動方程球可視為質(zhì)點（球心）的斜拋運動，其運動方程 以以 代入上式，就得到球心命中代入上式，就得到球心命中框框心的條件心的條件hHyLx,)2(211tan2222vgLhHvggLv且有且有0)2(21222vgLhHvg最小出手速度最小出手速度)(222hHLhHgvtvtxcos)(2sin)(2gttvty 球入籃框時的入射角度球入籃框時的入射角度 計算公式計算公式LhH)(2tantan 考慮籃球和籃框的大小，考慮籃球和籃框的大小，球心命中球心命中框框心且球心且球入入框框的條件為的條件為 Ddsin24.6dcm45.0Dcm代入得代入得 01 .33將將LXdydxtan222

4、cos2tanvgxxy0dD1.4 1.4 出手角度和出手速度最大偏差估計出手角度和出手速度最大偏差估計球入球入框框時球心偏前時球心偏前(偏后偏后)的最大距離的最大距離 sin22dDx0tancos2222hHxvgxhHyxgLvLvgL)tan(cossin22222cos2tanvgxxy因為因為cossin)tan(22vgLgLvLddxLx 出手角度最大偏差估計出手角度最大偏差估計 出手速度最大偏差估計出手速度最大偏差估計xvgLvgLv22cossinv的相對偏差為的相對偏差為 )tan(2gLvvvkevtxkt1cos)(只考慮水平方向的阻力，且阻力與速度成正比只考慮水平

5、方向的阻力，且阻力與速度成正比2coscos)(2tkvtvtx2sin)(2gttvty02coscos2Ltkvtv0)(2sin2hHgttv1.5 1.5 空氣阻力的影響空氣阻力的影響不考慮籃球和籃不考慮籃球和籃框框大小，確定球心命中大小，確定球心命中框框心的條件心的條件水平方向運動水平方向運動解得解得cos)0(,0)0(,0vxxxkx h(m)v(m/s)(度度)1.87.678952.60121.97.598552.01812.07.518651.42902.17.439250.83441.6 1.6 算法實現(xiàn)和計算結(jié)果算法實現(xiàn)和計算結(jié)果 對不同出手高度的最小出手速度和相應(yīng)的出

6、手角度對不同出手高度的最小出手速度和相應(yīng)的出手角度0)(222minhHLhHgv)2(211tan2222vgLhHvggLvgLv20tanv（m/s）h (m) (度度) (度度) (度度) (度度)8.02.162.4099 42.7925 53.8763 20.921363.1147 40.9188 55.8206 20143163.7281 39.1300 57.4941 19.647864.2670 37.4017 5809615 19.3692.02.167.6975 37.5049 62.1726 12.625068.0288 36.00

7、75 63.1884 12.775368.3367 34.5214 64.1179 13.024068.6244 33.0444 64.9279 13.35839.02.171.0697 34.1327 67.1426 7.655071.2749 3207614 67.7974 8.1663 71.4700 31.3881 68.4098 8.732171.6561 30.0127 68.9840 9.34721212對不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度對不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度)2(211tan2222vgLhHvggLvLhH)(2tantanh

8、(m) (度度) v(m/s)1.862.4099 8.067.6975 8.571.0697 9.0-0.7562 0.0528-0.5603 0.0694-0.4570 0.08031.2261 0.65970.8276 0.81670.6431 0.89252.063.7281 8.068.3367 8.571.4700 9.0-0.7100 0.0601-0.5411 0.0734-0.4463 0.08321.1140 0.75110.7918 0.86400.6244 0.9243 出手角度和出手速度最大偏差出手角度和出手速度最大偏差vvvxgLvLvgL)tan(cossin22

9、xvgLvgLv22cossin 空氣阻力的影響空氣阻力的影響1度2度v(m/s）h (m)8.02.160.7869 43.5424 61.6100 41.569362.3017 39.715662.9012 37.943362.4099 42.7925 63.1147 40.9188 63.7281 39.1300 64.2670 37.4017 2.02.166.5719 37.790566.9244 36.287067.2505 34.798267.5541 33.320967.6975 37.5049 68.0288 36.0075 68.3367

10、 34.5214 68.6244 33.0444 9.02.170.1198 34.273670.3328 32.908770.5352 31.542870.7279 30.175671.0697 34.1327 71.2749 3207614 71.4700 31.3881 71.6561 30.0127 1度2度對不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度對不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度1.7 1.7 結(jié)果分析結(jié)果分析1最小出手速度和出手角度（表最小出手速度和出手角度（表4-1-1）2出手速度和出手高度對出手角度的影響（表出手速度和出手高度對出手角度的影響（表

11、4-1-2）3出手角度和出手速度的允許偏差（表出手角度和出手速度的允許偏差（表4-1-3）4空氣阻力的影響空氣阻力的影響思考思考 若出手高度和角度固定，考察阻力對出手速若出手高度和角度固定，考察阻力對出手速度的影響。度的影響。2 2 水塔流量估計水塔流量估計2.1 2.1 問題的提出問題的提出時刻（時刻（h）水位水位(cm) 0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97968 948 931 913 898 881 869 852 839 822時刻（時刻（h）水位水位(cm)9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88

12、14.98 15.90 16.83 / / 1082 1050 1021 994 965 941 918時刻（時刻（h）水位水位(cm)17.93 19.04 19.96 20.84 22.014 22.96 23.88 24.99 25.91 892 866 843 822 / / 1059 1035 1018已知一天水位測量記錄已知一天水位測量記錄.圓柱形水塔圓柱形水塔 :高高12.2、直徑、直徑17.4米米 水位降至約水位降至約8.2米升到約米升到約10.8米時米時, ,水泵工作水泵工作. .水泵每天供水一兩次，每次約兩小時水泵每天供水一兩次，每次約兩小時. . 估計任何時刻流水量、一天

13、總用水量估計任何時刻流水量、一天總用水量. . 2.2 2.2 問題的分析問題的分析流量是單位時間流出的水的體積流量是單位時間流出的水的體積.(2)擬合水位擬合水位時間函數(shù)、求導(dǎo)數(shù)，得連續(xù)時間流量時間函數(shù)、求導(dǎo)數(shù)，得連續(xù)時間流量.水泵不工作時段流量計算：水位對時間的變化率水泵不工作時段流量計算：水位對時間的變化率.水泵供水時段的流量計算水泵供水時段的流量計算：(1) 數(shù)值微分、擬合數(shù)值微分、擬合;模型檢驗：模型檢驗：t=0-8.97,水位下降水位下降968-822=146,這一時段用水量這一時段用水量=146*水塔的截面積水塔的截面積.2.3 2.3 模型假設(shè)模型假設(shè)1流量只取決于水位差，與水

14、位本身無關(guān)流量只取決于水位差，與水位本身無關(guān).2水泵第水泵第1次供水：次供水：t=9-11; 第第2次供水次供水:t=20.8-23.3水泵工作時單位時間的供水量大致為常數(shù)水泵工作時單位時間的供水量大致為常數(shù).4流量是時間的連續(xù)函數(shù)流量是時間的連續(xù)函數(shù).5流量與水泵是否工作無關(guān)流量與水泵是否工作無關(guān).6流量流量:單位時間流出的水的高度單位時間流出的水的高度*水塔截面積水塔截面積.1擬合水位擬合水位時間函數(shù)時間函數(shù).2.4 2.4 流量估計流量估計3一天總用水量的估計一天總用水量的估計.2確定流量確定流量時間函數(shù)時間函數(shù).2.5 2.5 算法設(shè)計與編程算法設(shè)計與編程1擬合第擬合第1、2時段的水位

15、，并導(dǎo)出流量時段的水位，并導(dǎo)出流量.2擬合供水時段的流量擬合供水時段的流量.3一天總用水量的估計一天總用水量的估計.4流量及總用水量的檢驗流量及總用水量的檢驗.Watertower.m051015202514161820222426283032051015202514161820222426283032n=(3,4) 的擬合流量曲線的擬合流量曲線n=(5,6)的擬合流量曲線的擬合流量曲線2.6 2.6 計算結(jié)果計算結(jié)果各時段和一天總用水量各時段和一天總用水量 及兩個供水時段水泵的功率及兩個供水時段水泵的功率(n1,n2) y1 y2 y12 y3 y p1 p2 (3,4)146.18 258

16、.10 48.50 78.501263.4154.25 143.59 (5,6)146.52 257.76 46.13 76.301252.5153.06 142.672.7 2.7 分析及改進(jìn)分析及改進(jìn)數(shù)據(jù)擬合、數(shù)值積分精度足夠數(shù)據(jù)擬合、數(shù)值積分精度足夠.流量曲線與原始記錄基本上相吻合，零點到十點鐘流流量曲線與原始記錄基本上相吻合，零點到十點鐘流量很低，十點到下午三點是用水高峰量很低，十點到下午三點是用水高峰.)(106 .125501. 08 .23724223L供水時段用供水時段用3次曲線擬合次曲線擬合4點不夠好點不夠好.全天平均流量全天平均流量22(cm/h).一天總用水量：一天總用水

17、量：3 3 鋼管訂購和運輸鋼管訂購和運輸要鋪設(shè)一條要鋪設(shè)一條1521AAA721,SSS3.1 3.1 問題的提出問題的提出 經(jīng)篩選后可以生產(chǎn)這種主管道鋼管的鋼廠有經(jīng)篩選后可以生產(chǎn)這種主管道鋼管的鋼廠有的輸送天然氣的主管道的輸送天然氣的主管道, 如如圖一圖一所示。所示。A1325801010312012427010881070627030202030450104301750606194205201680480300220210420500600306195202720690520170690462160320160110290115011001200A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11

18、A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7圖一圖一鐵路鐵路鋼管廠鋼管廠 公路公路鐵路鐵路鋼管廠鋼管廠 公路公路天然氣管道天然氣管道火車站火車站里程（單位里程（單位km）1 12 23 34 45 56 67 780800 080800 010100 00 020200 00 020200 00 020200 00 030300 00 016160 015155 515155 516160 015155 515150 016160 01km主管道鋼管稱為主管道鋼管稱為1單位鋼管單位鋼管.iisip一鋼廠如果承擔(dān)制造這種鋼管一鋼廠如果承擔(dān)制造這種鋼管,至少生產(chǎn)至少生產(chǎn)500個單位個單位.

19、鋼廠鋼廠 在指定期限內(nèi)能生產(chǎn)該鋼管最大數(shù)量為在指定期限內(nèi)能生產(chǎn)該鋼管最大數(shù)量為 個單位個單位.iSis鋼管出廠銷價鋼管出廠銷價1單位鋼管為單位鋼管為 萬元萬元.ip1 1單位鋼管的鐵路運價如表：單位鋼管的鐵路運價如表：里程里程(km)(km)300300301301350350 351351400400 401401450450 451451500500運價運價( (萬元萬元) )20202323262629293232里程里程(km)(km)501501600600 601601700700 701701800800 80180190090090190110001000運價運價( (萬萬元元

20、) )373744445050555560601000km1000km以上每增加以上每增加1 1至至100km100km運價增加運價增加5 5萬元萬元. . 公路運輸費用為公路運輸費用為1 1單位鋼管每公里單位鋼管每公里0.10.1萬元（不足整公萬元（不足整公里部分按整公里計算）里部分按整公里計算）. . 鋼管可由鐵路、公路運往鋪設(shè)地點鋼管可由鐵路、公路運往鋪設(shè)地點 和和管道全線管道全線. .,1521AAA (1)(1)請制定一個主管道鋼管的訂購和運輸計請制定一個主管道鋼管的訂購和運輸計劃，使總費用最?。ńo出總費用劃，使總費用最小（給出總費用).). (2)(2)請就請就(1)(1)的模型分

21、析：哪個鋼廠鋼管的銷的模型分析：哪個鋼廠鋼管的銷價的變化對購運計劃和總費用影響最大，哪個價的變化對購運計劃和總費用影響最大，哪個鋼廠鋼管的產(chǎn)量的上限的變化對購運計劃和總鋼廠鋼管的產(chǎn)量的上限的變化對購運計劃和總費用的影響最大，并給出相應(yīng)的數(shù)字結(jié)果費用的影響最大，并給出相應(yīng)的數(shù)字結(jié)果. . (3)(3)如果要鋪設(shè)的管道不是一條線，而是一如果要鋪設(shè)的管道不是一條線，而是一個樹形圖，鐵路、公路和管道構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)，請就個樹形圖，鐵路、公路和管道構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)，請就這種更一般的情形給出一種解決辦法，并對這種更一般的情形給出一種解決辦法，并對圖圖二二按按(1)(1)的要求給出模型和結(jié)果的要求給出模型和結(jié)果. . 問題

22、問題 A13258010103120124270108810706270302020450104301750606194205201680480300220210420500600306195202720690520170690462160320160110290115011001200A19130190260100A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7A16A17A18A20(A21)圖二圖二303.2.1 3.2.1 模型的假設(shè)模型的假設(shè)3.2 3.2 模型的假設(shè)與符號約定模型的假設(shè)與符號約定鋪設(shè)鋼管各線段運輸費以鋪設(shè)鋼管各線段運輸

23、費以1 1公里為單位公里為單位(1(1公里內(nèi)不計公里內(nèi)不計).). 鋼管的鋪設(shè)情況以從某一頭向另一頭鋪設(shè)為準(zhǔn)鋼管的鋪設(shè)情況以從某一頭向另一頭鋪設(shè)為準(zhǔn). .承擔(dān)生產(chǎn)任務(wù)的鋼管廠，供應(yīng)量至少為承擔(dān)生產(chǎn)任務(wù)的鋼管廠，供應(yīng)量至少為500500個單位個單位. .3.2.2 3.2.2 符號約定符號約定)14, 2 , 1(ili第第i 段長度段長度. .)14,2, 1(idi第第i 段內(nèi)的運費段內(nèi)的運費. . i 段用段用j 廠單位鋼管最小費用廠單位鋼管最小費用. .)7 , 1;14, 1(jiaij)7 , 1;14, 1(jiyiji 段用段用j工廠鋼管的數(shù)量工廠鋼管的數(shù)量. .)7, 2 ,

24、1(jpj)7 , 2 , 1(jsjj工廠單位鋼管生產(chǎn)價格工廠單位鋼管生產(chǎn)價格. .j工廠生產(chǎn)鋼管的上限工廠生產(chǎn)鋼管的上限. . (3)(3)要鋪設(shè)一個樹形管道網(wǎng)絡(luò)圖要鋪設(shè)一個樹形管道網(wǎng)絡(luò)圖, ,解決辦法解決辦法. . (1)(1)制定鋼管的訂購和運輸計劃，使總費用最小制定鋼管的訂購和運輸計劃，使總費用最小. .鋪設(shè)鋼管的總費用包括三部分鋪設(shè)鋼管的總費用包括三部分 3.3 3.3 問題的分析問題的分析 ？ ？ ？ ？ ？鋼管生產(chǎn)成本鋼管生產(chǎn)成本 運到各段的費用運到各段的費用 鋪設(shè)時的運輸費用鋪設(shè)時的運輸費用 問題：求各廠單位鋼管運到各段的最小費用、最優(yōu)運量問題：求各廠單位鋼管運到各段的最小費

25、用、最優(yōu)運量 (2)(2)哪個廠銷價的變化（產(chǎn)量上限的變化）對購運哪個廠銷價的變化（產(chǎn)量上限的變化）對購運計劃和總費用影響最大計劃和總費用影響最大. .處理問題的方法與問題處理問題的方法與問題(1)(1)類似類似. .將各廠的最大生產(chǎn)上限和生產(chǎn)價格逐一進(jìn)行變動，在將各廠的最大生產(chǎn)上限和生產(chǎn)價格逐一進(jìn)行變動，在一廠變動時，其他廠不變一廠變動時，其他廠不變. .1w2w21www111 . 0ilkikd3.4 3.4 模型的建立與處理模型的建立與處理1412iidw目標(biāo)函數(shù)是總費用目標(biāo)函數(shù)是總費用: :從工廠到各段的運費及其材料費之和從工廠到各段的運費及其材料費之和: :鋪設(shè)時的運費鋪設(shè)時的運費

26、0.10.1為單位鋼管的每公里運費為單位鋼管的每公里運費其中其中為一定值為一定值設(shè)單位生產(chǎn)價格與單位運費相加之和為單位運費設(shè)單位生產(chǎn)價格與單位運費相加之和為單位運費ija則則141711ijijijyaw141141711 . 0iiijijijdyaw)14, 1(71ilyijij)7 , 1(500141jsyjiij目標(biāo)函數(shù)的限定條件目標(biāo)函數(shù)的限定條件1)1)各廠運往各段的鋼管量之和為此段鋪設(shè)鋼管的總各廠運往各段的鋼管量之和為此段鋪設(shè)鋼管的總量量. .2)2)各路段所需各廠的鋼管量之和應(yīng)小于此廠的最大各路段所需各廠的鋼管量之和應(yīng)小于此廠的最大生產(chǎn)量，大于其最小生產(chǎn)量生產(chǎn)量，大于其最小生

27、產(chǎn)量. .3.4.1 3.4.1 問題一問題一1412iidw2 .1223872w2w的計算：的計算：1w的計算：的計算：ija的計算方法：觀察法、枚舉法和動態(tài)規(guī)劃法的計算方法：觀察法、枚舉法和動態(tài)規(guī)劃法 采用觀察法和枚舉法采用觀察法和枚舉法, ,比較得出工廠到各路段的單比較得出工廠到各路段的單位產(chǎn)品的最優(yōu)費用位產(chǎn)品的最優(yōu)費用714)(ijaA1621612282432683332881861612 .2262 .2362 .2612 .3262 .2812 .198176206221246311266216195188211236301256226201188211232297252237

28、2122122222 .1982 .2692 .2242 .2592 .2342 .2342 .2242 .1982 .2262 .1812 .2911 .2712 .2662 .2762 .2362 .2261 .1633012812761 .2932462411 .1635 .3105 .2905 .2955 .2905 .2555 .2505 .1803263063013162712661986 .3866 .3666 .3616 .3766 .3316 .3266 .2582 .4052 .3852 .3802 .3952 .3502 .3452 .3003 .4353 .4053 .

29、4003 .4103 .3703 .3603 .320A單位單位供應(yīng)量供應(yīng)量 800 800 1000 500 854 717 500ijy)7 , 2 , 1( , 0isi1 .11755441w1s2s3s4s5s6s7s利用利用MATLABMATLAB解線性規(guī)劃，得解線性規(guī)劃，得考慮各廠均供應(yīng)考慮各廠均供應(yīng)各廠供應(yīng)量各廠供應(yīng)量得得7s由于由于生產(chǎn)量全部供應(yīng)給了生產(chǎn)量全部供應(yīng)給了1514AA為使全局更優(yōu)為使全局更優(yōu)07s計算可得計算可得1 .11750441w各廠供應(yīng)量各廠供應(yīng)量單位單位供應(yīng)量供應(yīng)量 800 800 1000 500 767 1304 01s2s3s4s5s6s7s4s同

30、樣可知同樣可知 供應(yīng)給了供應(yīng)給了10965,AAAA然而然而 的材料價格運輸情況相對的材料價格運輸情況相對 更高更高5s4s即使使用即使使用 代替代替 其供應(yīng)量不會有影響其供應(yīng)量不會有影響5s4s04s為使全局最優(yōu)再次考慮為使全局最優(yōu)再次考慮1 .11706261w計算可得計算可得各廠供應(yīng)量各廠供應(yīng)量單位單位供應(yīng)量供應(yīng)量800 800 1000 0 1201 1370 01s2s3s4s5s6s7s各廠供應(yīng)量（即各廠供應(yīng)量（即 （ ） 代表路段，代表路段， 代表供應(yīng)廠）分配如下：代表供應(yīng)廠）分配如下：ijy7, 2 , 1;14, 2 , 1jiij供應(yīng)廠供應(yīng)廠路段路段A1-A2 0 104

31、0 0 0 0 0A2-A3 0 125.7778 67.4444 0 107.7778 0 0A3-A4 272.5 184.6111 126.2778 0 166.6111 0 0A4-A5 128.5 184.6111 126.2778 0 166.6111 0 0A5-A6 194 0 0 0 0 0 0A6-A7 205 0 0 0 0 0 0A7-A8 0 201 0 0 0 0 0A8-A9 0 0 680 0 0 0 0A9-A10 0 0 0 0 240 240 0A10-A11 0 0 0 0 300 0 0A11-A12 0 0 0 0 220 0 0A12-A13 0

32、0 0 0 0 210 0A13-A14 0 0 0 0 0 420 0A14-A15 0 0 0 0 0 500 01S2S3S4S5S6S7S 分別將各廠的生產(chǎn)價格與生產(chǎn)上分別將各廠的生產(chǎn)價格與生產(chǎn)上限變化一個單位，看他們對總費用的影響。限變化一個單位，看他們對總費用的影響。S變化為變化為1時時10335300000P變化為變化為1時時80080010005008547175001s2s3s4s5s6s7sw1p2p3p4p5p6p7pw廠的銷價變化對總費用的影響大廠的銷價變化對總費用的影響大 3s3.4.2 3.4.2 問題二問題二1s廠的產(chǎn)量上限變化對購運計劃總費用影響最大廠的產(chǎn)量上限變化對購運計劃總費用影響最大評注評注程序計算可得：程序計算可得： 2171141711 . 0minminwwdyaiiijijij=1170626.1+122387.2=1293013.3=1170626.1+122387.2=1293013.3 對于更一般的情況，如樹形圖，考慮情況可對于更一般的情況，如樹形圖，考慮情況可與與（1 1）類似。）類似。 在廠的取舍過程中亦同。具體模型在廠的取舍過程中亦同。具體模型與求解與求解 的最佳方案一致，從而再次重復(fù)的最佳方案一