大學(xué)物理上陰其俊剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)

1、3.1剛體的運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)3剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)1角速度角速度dtd:大小rv2線速度線速度vrv3加速度加速度 與角加速度與角加速度 avraaandtrddtvdaproof)(:dtrdrdtdvr4純轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)判劇純轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)判劇rarvr均、rarv方向方向?yàn)槎ㄝS轉(zhuǎn)動(dòng)剛體: (任兩點(diǎn)間距保持不變的)質(zhì)點(diǎn)組剛體轉(zhuǎn)動(dòng):質(zhì)點(diǎn)平動(dòng):突出大小、平動(dòng),忽略形狀、其它運(yùn)動(dòng)突出大小形狀、轉(zhuǎn)動(dòng),忽略形變、其它運(yùn)動(dòng)方向: 右手螺旋法則3.2.1轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律（1）表述）表述:剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度與它所受合外力矩成正比， 與它的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。（2）數(shù)學(xué)表達(dá)式：）數(shù)學(xué)表達(dá)式：JM 11110111sin)1

2、80sin(rffrMO2222222sinsinrffrM0sinsin21222111rfrfrfrfM12f1f2or1r212r之夾角與為iiiFr令令Fi、fi均在質(zhì)元的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)均在質(zhì)元的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)iiiiamfFitiititamfFitiiiiiamfFsinsiniiiiiiiiirrmfrFr)(sinsin)()sinsin(2iiiiiiiiiirmfrFrJM外JM zOirifiFi miiProof: 剛體內(nèi)任一對(duì)內(nèi)力矩之和為剛體內(nèi)任一對(duì)內(nèi)力矩之和為03.2剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律3.2.2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（1）轉(zhuǎn)動(dòng)慣性： 物體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)具有保持原運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的特性（3）

3、說明：J的大小與質(zhì)元的方位無關(guān)J的大小與轉(zhuǎn)軸的位置質(zhì)量的分布物體的質(zhì)量有關(guān)（2）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 描述物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的物理量miiidefdmrmrJ質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)量非連續(xù)分布22為質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸距離rJ的單位：J的量綱：Kgm2ML2zOiri mi3.2.3轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算密度均勻密度均勻例題3-1細(xì)棒m,l 繞過中心與棒軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式法取dm，寫dJ，求J= x2 dxdJ= x2dm 2/2/2lldxxJ2/2/331llx3121l2121ml若繞端點(diǎn)ldxxJ02lx0331331l231mloxdm=dxx解:園盤園盤dcRdmRdJ22CmRcRdcRJ0222 例題例

4、題3-23-2均勻園環(huán)均勻園環(huán)(或盤或盤)m,R繞過中心與環(huán)面繞過中心與環(huán)面 軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量rdrrdJ222040321212mRrdrrJRRdm=2rdrrdrRdm=dcdc解解: : 園環(huán)園環(huán)3.2.4平行軸定理Jx= Jc + md2cdm Jc Jx定理反映繞質(zhì)心軸與一平行軸間轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)換對(duì)繞任兩平行軸間J轉(zhuǎn)換必須通過質(zhì)心軸進(jìn)行231mlJ 直桿繞端點(diǎn)22)21(121lmml 2)21( lmJc例題例題3-3 已知已知:m1 = m2 , M1,R1 M2,R2求：、 T1 、T2(課本p127，3-11)2() 1 (22221111amTgmamgmT)3()212

5、1(2222111122RMRMRTRT)5()4(2211RaRa解：列方程受力分析如圖所示T2a1a2T1m1 gT1m2 gT2M1,R1M2,R2m1m2由（1）、（2）、（3）、（4）、（5）解得：22221122221111222121RmRmRMRMgRmgRm222211222211212222222211112121)2121(RmRmRMRMRgRmgRmgRMgRMmT222211222211211211222211222121)2121(RmRmRMRMRgRmgRmgRMgRMmT例題例題3-4M=2Kg,m=5Kg,R=0.1m, 0=10rad/s, 方向垂直紙面

6、向內(nèi)方向垂直紙面向內(nèi)(1)求求 (2) =0時(shí)時(shí),m上升上升h (3)m回到原位置時(shí)回到原位置時(shí),求求 解:(1) M,m受力如圖所示mgTT) 1 (maTmg)2()21(2MRTR)3(Ra2/22MRmRmgR2/7 .81srad(2)00t2021ttRhmh21012. 6(3)從靜止態(tài)回到原位置20222srad/10MmR 03.3剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中的功能關(guān)系1力矩的功（1）外力矩的功0MdA數(shù)學(xué)式proof:在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)令F)90cos(cos0FrdFdsdAMddFr sin0MdA本質(zhì)：是力作功的另一種表達(dá)方式， 是力矩對(duì)空間的累積效應(yīng)。（2）內(nèi)力矩的功結(jié)論：剛體內(nèi)力矩作功為

7、剛體內(nèi)力矩作功為0proof:jiMMdddji0jjiijidMdMdAdAdAAdAA00zOrFdds2定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中動(dòng)能定理（1）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的動(dòng)能表達(dá)式：221JEkproof:222221)(2121iiiiiikirmrmvmE22221)(21 JrmEEiiiikik（2）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理表述：合外力矩合外力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所作的功功 等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量數(shù)學(xué)式：0kkEEAproof:ddJdtdddJdtdJJMdJMd202212100JJdJMd0kkEEA說明：一般質(zhì)點(diǎn)組一般質(zhì)點(diǎn)組A為合力矩功為合力矩功Oiri miiv（3）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械能守恒剛體的重

8、力勢能結(jié)論：剛體的重力勢能數(shù)值上等于 將其質(zhì)量集中在質(zhì)心時(shí)質(zhì)心的重力勢能質(zhì)心的重力勢能數(shù)學(xué)式：Ep=mghc定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械能守恒表述：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)過程中只有保守力作功的剛體 其機(jī)械能（轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能+重力勢能）守恒數(shù)學(xué)式：E=E0說明：實(shí)際應(yīng)用時(shí)，除單個(gè)剛體外，常有剛體、 彈簧、質(zhì)點(diǎn)混合系統(tǒng)，此時(shí)系統(tǒng)機(jī)械能 守恒條件為整個(gè)系統(tǒng)只有保守力作功整個(gè)系統(tǒng)只有保守力作功！例題例題3-5已知均質(zhì)棒已知均質(zhì)棒m,l,半徑忽略的小球半徑忽略的小球m組成圖示系統(tǒng)組成圖示系統(tǒng) 求圖求圖(1) ;圖圖(2)棒中心棒中心at,an, 解(1)mg mgmgllmgM22231mlmlJmgl23234mlJ/Mlg89(2)

9、 I態(tài)II態(tài),E守恒圖(1)圖(2)60II態(tài)I態(tài)0EE 0022602603421sinlmgsinmgl)ml(lg839mgmg0030302sinmglsinlmgMmgl43J/Mlg1692lat329g)(22lan1639g例題例題3-6 已知園盤形滑輪已知園盤形滑輪M、R，彈簧，彈簧k，物塊，物塊m， 先用手托住先用手托住m維持彈簧原長維持彈簧原長,然后由靜止釋放。然后由靜止釋放。 求：求：m下降下降h時(shí)的速度時(shí)的速度v機(jī)械能守恒地球?yàn)橐幌到y(tǒng)彈簧解：,mM0EE) 1 (02121)(21222Jmvmghkh00E2221)(21mvmghkhE221J)(Rv2純轉(zhuǎn)動(dòng)判劇

10、：Mmkhmghv2122) 1 (2）解得：、（RM,mkh3.4剛體的動(dòng)量矩和動(dòng)量矩守恒zOirivi mi對(duì)剛體內(nèi)單個(gè)質(zhì)點(diǎn)mi :dtLdMii)(iiiifiFvmrdtdMMiiiiiifiFvmrdtdMM)()(對(duì)剛體iiiiiiifiFvmrdtdMM)()(2JdtdrmdtdMiii1定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩JLdef即剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)量矩為繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度矢量之積dtLdM動(dòng)量矩定理(微分式)2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理(積分式)（1）表述:作用于剛體上沖量矩等于剛體動(dòng)量矩增量0)2(LLJ沖數(shù)學(xué)式： 例題例題3-73-7已知已知: :園盤園盤m m、R R, ,繞過其中

11、心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)繞過其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng), , , , 求求:(1):(1)M M(2)(2) 0 0為已知為已知, ,求園盤停下的時(shí)間求園盤停下的時(shí)間t trdrdm=2rdr0fzrdrggdmdf2) 1 (解：drrgrdfdM22RmgRdrrgM023220)2(LLJ沖00LMtgRmgRmRMJt43) 3/2() 2/ 1 (0020proof:dtLdMttLLLddtM003動(dòng)量矩守恒(1)表述:剛體(系統(tǒng))所受合外外力矩為0,則其動(dòng)量矩保持不變.(2)數(shù)學(xué)式:0LL(3)條件:0M例題例題3-8 M、L均質(zhì)細(xì)桿可繞水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。開始桿處均質(zhì)細(xì)桿可繞水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。開始桿處

12、于鉛直狀態(tài)于鉛直狀態(tài).現(xiàn)橡皮泥現(xiàn)橡皮泥m、v 與桿發(fā)生與桿發(fā)生完全非彈性完全非彈性碰撞碰撞 試求：試求：(1) 碰撞后系統(tǒng)的角速度；碰撞后系統(tǒng)的角速度； (2)碰撞后桿子能上擺的最大角度。碰撞后桿子能上擺的最大角度。mLv4M3L)43(314322LmMLLmv31169/43MLmLmv)cos1 (2)cos1 (43)43(3121222LMgLmgLmMLgLMmMmvm)31169)(2143(3291cos221max(2)棒棒(泥泥)繞轉(zhuǎn)軸上升過程，棒繞轉(zhuǎn)軸上升過程，棒(泥泥)地球系統(tǒng)地球系統(tǒng)E守恒守恒解解:L(1)棒、泥為系統(tǒng)碰撞過程棒、泥為系統(tǒng)碰撞過程 守恒守恒rmm1J2

13、J動(dòng)量矩守恒演示實(shí)驗(yàn)動(dòng)量矩守恒演示實(shí)驗(yàn)思考題思考題運(yùn)動(dòng)員以運(yùn)動(dòng)員以 的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能在冰面上繞自身軸的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能在冰面上繞自身軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn),突然將突然將J變?yōu)樽優(yōu)?,此時(shí)其旋轉(zhuǎn)角速度此時(shí)其旋轉(zhuǎn)角速度 為多少？為多少？2021JJ94220942121）（解：JJ023 JJ940049 花樣滑冰花樣滑冰 單杠晚旋單杠晚旋下杠下杠圍繞身體橫軸空翻圍繞身體橫軸空翻圍繞身體縱軸轉(zhuǎn)體圍繞身體縱軸轉(zhuǎn)體 在空翻近一周的稍晚在空翻近一周的稍晚時(shí)刻才揮臂出現(xiàn)縱轉(zhuǎn)時(shí)刻才揮臂出現(xiàn)縱轉(zhuǎn) 運(yùn)動(dòng)員通過改運(yùn)動(dòng)員通過改變身體姿態(tài)即改變身體姿態(tài)即改變變J J來改變轉(zhuǎn)速來改變轉(zhuǎn)速3.5轉(zhuǎn)動(dòng)定律與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律在剛體平面運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律

14、與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律在剛體平面運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用1平行平面運(yùn)動(dòng)平行平面運(yùn)動(dòng)（1）概念：剛體上任一點(diǎn)總在 (平行于某固定平面的) 平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（2）特點(diǎn)：存在一個(gè)(某時(shí)刻速度為0的)瞬軸(瞬心)（3）處理問題的方法：繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)心平動(dòng)繞瞬軸的純轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)于純轉(zhuǎn)（滾）動(dòng)，瞬心在接觸點(diǎn)處。cvcvcvcvcvcvcv2P0Pv以質(zhì)心為代表 的整體平動(dòng)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)繞瞬心P純滾動(dòng)ccc2柯尼希定理柯尼希定理剛體總動(dòng)能=質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)能+繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能222121cckJmvEcvPR2222121cJmR22)(21cJmR 221PJ例題例題3-9 試證明：為使彈子球由靜止開始作純滾動(dòng)，試證明：為使彈子球由靜止開始作純滾動(dòng)，

15、 球桿擊球的位置應(yīng)在球心以上球桿擊球的位置應(yīng)在球心以上 處，處，R為球半徑。為球半徑。R52cFRr) 1 (tvmFc質(zhì)心平動(dòng)：)2()52(:2tmRFr繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng))2()52(:22tRmRRrF）（繞瞬心轉(zhuǎn)動(dòng))3(Rvc純滾動(dòng)判?。?3()2()2)(1 (或由Rr52例題例題3-10均質(zhì)棒均質(zhì)棒m,L，兩端用細(xì)繩懸掛，求，兩端用細(xì)繩懸掛，求B端繩斷開端繩斷開 瞬間瞬間A端繩的拉力端繩的拉力ABmgT) 1 (cmaTmg棒(繞A)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng))2()31(22mLLmg)3(2Lac) 1 (cmaTmg棒(繞質(zhì)心)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng))2()121(22mLLT)3(2LacmgT41解：棒受力如圖所示繩