同濟(jì)第3版-高數(shù)-(5.6)第六節(jié) 反常積分

1、 定積分理論建立了一種處理定義在有限區(qū)定積分理論建立了一種處理定義在有限區(qū)間上的連續(xù)分布量間上的連續(xù)分布量 f( x )的相關(guān)量的相關(guān)量U 的一種方法的一種方法, ,即通過局部線性化即通過局部線性化 dU = f( x )d x 來達(dá)到對所求來達(dá)到對所求量量U 的一種無限逼近的一種無限逼近 為能夠構(gòu)造積分和及保證和式極限存在，為能夠構(gòu)造積分和及保證和式極限存在，通?？傄蠓e分區(qū)間為有限區(qū)間，被積函數(shù)為通?？傄蠓e分區(qū)間為有限區(qū)間，被積函數(shù)為有界函數(shù)。但在一些實際問題中卻可能出現(xiàn)積有界函數(shù)。但在一些實際問題中卻可能出現(xiàn)積分區(qū)間為無窮區(qū)間或被積函數(shù)在積分區(qū)間上無分區(qū)間為無窮區(qū)間或被積函數(shù)在積分區(qū)間

2、上無界的情形，于是就有了反常積分的概念。界的情形，于是就有了反常積分的概念。 01ddlim.nbbiiaaiUUfxfxx 考慮點(diǎn)電荷電場的電場強(qiáng)度。由于場的存在，每考慮點(diǎn)電荷電場的電場強(qiáng)度。由于場的存在，每點(diǎn)就具有了能量，電場中各點(diǎn)的能量大小就是電場強(qiáng)度點(diǎn)就具有了能量，電場中各點(diǎn)的能量大小就是電場強(qiáng)度的概念。電場中一點(diǎn)具有的能量大小取決于該點(diǎn)位置及的概念。電場中一點(diǎn)具有的能量大小取決于該點(diǎn)位置及所受電場力的大小。設(shè)點(diǎn)電荷電所受電場力的大小。設(shè)點(diǎn)電荷電場中某點(diǎn)單位電荷所受電場力為場中某點(diǎn)單位電荷所受電場力為 f( r )= k/ /r 2，則該點(diǎn)電場強(qiáng)度定，則該點(diǎn)電場強(qiáng)度定義為將該單位電荷移

3、出電場，即義為將該單位電荷移出電場，即移到無窮遠(yuǎn)處時電場力所作的功。移到無窮遠(yuǎn)處時電場力所作的功。 由定積分物理意義知，單位電荷受電場力作用，從由定積分物理意義知，單位電荷受電場力作用，從點(diǎn)點(diǎn) r 移動移動到到 r + d r 時電場力所作的功為時電場力所作的功為 dW = f( r )d d r . .于是，質(zhì)點(diǎn)從于是，質(zhì)點(diǎn)從 r = a 處沿矢徑移動到點(diǎn)處沿矢徑移動到點(diǎn) r = b 處時，電場處時，電場力所作的功為力所作的功為 將單位電荷從將單位電荷從點(diǎn)點(diǎn) r = a 處沿矢徑移動到無窮遠(yuǎn)處時電場力所作的功即處沿矢徑移動到無窮遠(yuǎn)處時電場力所作的功即該點(diǎn)的電場強(qiáng)度為該點(diǎn)的電場強(qiáng)度為 2 dd

4、bbaakWfrrrr, 2 dd.aakEfrrrraOy 2kfxaxx , , 2 dbakA bxxxab 從幾何上看，這種無窮區(qū)間上的積分對應(yīng)于一個開從幾何上看，這種無窮區(qū)間上的積分對應(yīng)于一個開口的曲邊梯形，即由曲線口的曲邊梯形，即由曲線 f( r )= k / /r 2，x 軸及直線軸及直線 x = a 所圍成的不封閉的曲邊梯形。所圍成的不封閉的曲邊梯形。 按面積一般概念，開口曲邊梯形無法定義其面積，按面積一般概念，開口曲邊梯形無法定義其面積，但由于但由于 x 軸是曲線軸是曲線 f( r )= k / /r 2的一條漸近線，該曲線與的一條漸近線，該曲線與直線直線 x = a 及及

5、x 軸所夾的軸所夾的“區(qū)域區(qū)域”可認(rèn)為有一種廣義的可認(rèn)為有一種廣義的面積。這種廣義面積可通過如下方式進(jìn)行討論面積。這種廣義面積可通過如下方式進(jìn)行討論：作輔助直線作輔助直線 x = b a 0 ，考慮由直線考慮由直線 x = a , ,x = b , ,x 軸及曲線軸及曲線 f( x )= k / /x 2 所圍成的曲邊梯形面積所圍成的曲邊梯形面積 A( b ) 由定積分的幾何意義，曲邊梯形面積由定積分的幾何意義，曲邊梯形面積 A( b)對應(yīng)于對應(yīng)于 函數(shù)函數(shù) f( x )= k / /x 2 在有限閉區(qū)間在有限閉區(qū)間 a , ,b 上的定積分，即上的定積分，即顯然，顯然，b b 越大，越大，A

6、( b )的值越接近于開口曲邊梯形的值越接近于開口曲邊梯形的的“廣義面積廣義面積”，因此有，因此有由此可見由此可見，開口曲邊梯形是可以有，開口曲邊梯形是可以有“廣義面積廣義面積”的，即開口曲邊梯形的廣義面積可以有確定的值的，即開口曲邊梯形的廣義面積可以有確定的值 A . . 2 111d.bbaakA bxkkxxab 2 11limlimdlim.bbbbakkAA bxkaxab 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f( x )在區(qū)間在區(qū)間 a , ,+ )上連續(xù)，取上連續(xù)，取 b a ，如，如果極限果極限 存在，則稱此極限為函數(shù)存在，則稱此極限為函數(shù) f( x ) 在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間 a , ,+ )上的反

7、常積分，記作：上的反常積分，記作： 這時也稱反常積分這時也稱反常積分 收斂，如果此極限不存在，就稱反常積分收斂，如果此極限不存在，就稱反常積分 發(fā)散，此時該記號不具有數(shù)值意義。發(fā)散，此時該記號不具有數(shù)值意義。 limdbabfxx dafxx, dlimd.baabfxfxxx 即即 dafxx dafxx 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f( x )在區(qū)間在區(qū)間( - - , ,b 上連續(xù)，取上連續(xù)，取 a b ，如，如果極限果極限 存在，則稱此極限為函數(shù)存在，則稱此極限為函數(shù) f( x )在在在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間( - - , ,b 上的反常積分，記作：上的反常積分，記作： 這時也稱反常積分這時也稱反常積分

8、 收斂，如果此極限不存在，就稱反常積分收斂，如果此極限不存在，就稱反常積分 發(fā)散。發(fā)散。 limdbaafxx dbfxx, dlimd.bbaafxfxxx 即即 dbfxx dbfxx 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f( x )在區(qū)間在區(qū)間( - - , ,+ )上連續(xù)，如果反常積上連續(xù)，如果反常積分分 都收斂，則稱上述兩反常積都收斂，則稱上述兩反常積分分的和為的和為函數(shù)函數(shù) f( x )在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間( - - , ,+ )上的上的反常積反常積分分, ,記作：記作：這時也稱反常積分這時也稱反常積分 收斂，如果反常積分收斂，如果反常積分 有一個發(fā)散，就稱反常積分有一個發(fā)散，就稱反常積分 發(fā)散。發(fā)散。

9、 ddbafxfxxx, d fxx,即即 dddbafxfxfxxxx limdlimd.bbaaabfxfxxx dfxx ddbafxfxxx , dfxx 無窮區(qū)間上的反常積分計算本質(zhì)上是變上、下限函無窮區(qū)間上的反常積分計算本質(zhì)上是變上、下限函數(shù)的極限計算，即先按定義將無窮區(qū)間上的反常積分寫數(shù)的極限計算，即先按定義將無窮區(qū)間上的反常積分寫成定積分與極限計算的組合形式，再先按定積分計算法成定積分與極限計算的組合形式，再先按定積分計算法及牛頓萊布尼茲公式求出原函數(shù)及其增量，再計算相及牛頓萊布尼茲公式求出原函數(shù)及其增量，再計算相應(yīng)的極限。應(yīng)的極限。 此外，某些無窮區(qū)間上此外，某些無窮區(qū)間上的

10、反常積分也可通過變量的反常積分也可通過變量代換直接轉(zhuǎn)化為定積分代換直接轉(zhuǎn)化為定積分進(jìn)行計算。進(jìn)行計算。例例：計算反常積分計算反常積分 由定義由定義 先考慮定積分的計算：先考慮定積分的計算： +2 0d .1exx + 22 0 0ddlim1e1ebxxbxx . 22 0 0d1eed1e1exxbbxxxx 2 0 01edd1e1exbbxxxx 2 0 0ed 1ede1e1exxbbxxxx 2 0 011d 1edee1e1exbbxxxx001ln 1e1ebbxxx 11ln 1eln221ebbb.于是求得于是求得 + 22 0 0ddlim1e1ebxxbxx e11lim

11、lnln221e1ebbbb 1111lim lnlimln2ln2.1221e1ebbbb例例：計算反常積分計算反常積分 先考慮對應(yīng)的積分計算。先考慮對應(yīng)的積分計算。 由于被積函數(shù)含有反三函數(shù)因子，不便直接積分。由于被積函數(shù)含有反三函數(shù)因子，不便直接積分。為此考慮先通過代換消去反三函數(shù)因子，再進(jìn)行積分。為此考慮先通過代換消去反三函數(shù)因子，再進(jìn)行積分。 令令: :arctan x = t ，即，即 x = tan t ，d x = sec 2t d t，則，則 當(dāng)當(dāng) x : : 0 + 時，時，t : : 0 / / 2 ，于是有，于是有 通過代換原反常積分轉(zhuǎn)化成了常義積分，因此只需通過代換原

12、反常積分轉(zhuǎn)化成了常義積分，因此只需計算定積分即可。計算定積分即可。 +5 022arctand.1xxx + 222355 0 0 022arctansecddcosdsec1xttxttt ttx + 22325 0 0 022arctandcosdcoscos d1xxtt tttt tx 2223 0 011sindsind sinsin3tttttt 2233 0011dsinsinsinsin33tttttt 222 0 011sin dsinsin d1233t ttt t 222 0 01dcoscos1cos33ttt 23 0127111.coscos3339393tt 例例

13、：計算反常積分計算反常積分 按定義，討論此反常積分?jǐn)可⑿詰?yīng)分別考察兩按定義，討論此反常積分?jǐn)可⑿詰?yīng)分別考察兩反常積分反常積分 對于第一個反常積分，因為對于第一個反常積分，因為故反常積分故反常積分 發(fā)散。發(fā)散。 由定義，原反常積分發(fā)散。由定義，原反常積分發(fā)散。 +2 d.1xxx 0 +22 0dd.11xxxxxx , 0 0222 1d 1dlim211aaxxxxx 022 limlim111aaaxa . 02 d1xxx 是是- a , ,a 上的奇函數(shù)，故上的奇函數(shù)，故 +2 d1xxx 0 220limdlimd11babaxxxxxx 0 220limdlimd11aaaaxxx

14、xxx 2limd1aaaxxx.21xfxx 由由于于 2d01aaxxx. . + 22 dlimd0 .11aaaxxxxxx于于是是 上述解法是錯誤的，其原因在于，雖然有上述解法是錯誤的，其原因在于，雖然有： 因為其中兩極限過程因為其中兩極限過程 a + + ，b + + 是相互獨(dú)立的。是相互獨(dú)立的。 22d0 limd0 11aaaaaxxxxxx , +2 d1xxx 但但 0 220limdlimd11babaxxxxxx, 0 220limdlimd11aaaaxxxxxx. . 考慮由曲線考慮由曲線 x 軸、軸、y 軸及直線軸及直線 x = 1所圍成的開口曲邊梯形的面積所圍成

15、的開口曲邊梯形的面積 A . . 從概念上講，曲線從概念上講，曲線 x 軸軸、y 軸及軸及直線直線 x = 1 不構(gòu)成封閉圖形，因而并不能定義所謂的面不構(gòu)成封閉圖形，因而并不能定義所謂的面積，但從幾何上看，由于積，但從幾何上看，由于 y 軸是曲線的一條漸近線，因軸是曲線的一條漸近線，因此此開口曲邊梯形可以具有某種此此開口曲邊梯形可以具有某種“廣義面積廣義面積”。 1fxx , 1fxx, 1fxx 1 1dAxx x1 Oy 這種廣義面積可通過如下方式進(jìn)行討論：作輔助直線作輔助直線 x = , ,( 0 0 越小，此曲邊梯形的面積越小，此曲邊梯形的面積 A( )越接近越接近于開口曲邊梯形的面積

16、于開口曲邊梯形的面積 A . . 于是由極限概念有于是由極限概念有 1fxx 11 1d22 1Axxx . . 1 000 dlimlim2 lim 12xAAx . . 所謂上開口曲邊梯形對應(yīng)于曲邊梯形的曲邊函數(shù)所謂上開口曲邊梯形對應(yīng)于曲邊梯形的曲邊函數(shù)有無窮間斷點(diǎn)的特殊情形。有無窮間斷點(diǎn)的特殊情形。 函數(shù)函數(shù) 雖有無窮間斷點(diǎn)雖有無窮間斷點(diǎn) x = 0 ，但其在，但其在區(qū)間區(qū)間( 0 , ,1 上連續(xù)。通過作輔助線上連續(xù)。通過作輔助線 x = ，上開口的曲上開口的曲邊梯形面積問題可歸結(jié)為定積分計算和相應(yīng)極限計算邊梯形面積問題可歸結(jié)為定積分計算和相應(yīng)極限計算 0 考察。因此上開口曲邊梯形面積

17、可能有意義?？疾?。因此上開口曲邊梯形面積可能有意義。 此具體問題及處理問題的方法具有一般性，當(dāng)被此具體問題及處理問題的方法具有一般性，當(dāng)被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)有無窮間斷點(diǎn)時，相應(yīng)積分和極積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)有無窮間斷點(diǎn)時，相應(yīng)積分和極限可能有意義。由此可建立無界函數(shù)反常積分概念限可能有意義。由此可建立無界函數(shù)反常積分概念。 1fxx 如果函數(shù)如果函數(shù) f( x )在點(diǎn)在點(diǎn) a 的任意鄰域內(nèi)都無界，那么的任意鄰域內(nèi)都無界，那么點(diǎn)點(diǎn) a 稱為稱為 f( x )的瑕點(diǎn)的瑕點(diǎn)( 也稱無界間斷點(diǎn)也稱無界間斷點(diǎn))，無界函數(shù)的，無界函數(shù)的反常積分又稱為瑕積分。反常積分又稱為瑕積分。 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f( x )在

18、區(qū)間在區(qū)間( a , ,b 上連續(xù)，點(diǎn)上連續(xù)，點(diǎn) a 為為 f( x )的的瑕點(diǎn)，取瑕點(diǎn)，取 t 0 ，如果極限，如果極限 存在，則稱此存在，則稱此極限為函數(shù)極限為函數(shù) f( x )在區(qū)間在區(qū)間( a , ,b 上的反常積分，仍記作上的反常積分，仍記作: :這時也稱反常積分這時也稱反常積分 收斂。如果上述極限不存收斂。如果上述極限不存在，就稱此反常積分發(fā)散。在，就稱此反常積分發(fā)散。 limdbttafxx d dlimdbbbaattafxfxfxxxx, 即即 bafxx d 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f( x )在區(qū)間在區(qū)間 a , ,b )上連續(xù)，點(diǎn)上連續(xù)，點(diǎn) b 為為 f( x )的的瑕點(diǎn)，取瑕點(diǎn)

19、，取 t 0 ，如果極限，如果極限 存在，則稱存在，則稱此此極限為函數(shù)極限為函數(shù) f( x )在區(qū)間在區(qū)間 a , ,b )上的反常積分，仍記作上的反常積分，仍記作: :這時也稱反常積分這時也稱反常積分 收斂。如果上述極限不存收斂。如果上述極限不存在，就稱此反常積分發(fā)散。在，就稱此反常積分發(fā)散。 limdtatbfxx d dlimdbbtaaatbfxfxfxxxx, 即即 bafxx d 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f( x )在區(qū)間在區(qū)間 a , ,c )( c , ,b 上連續(xù)，點(diǎn)上連續(xù)，點(diǎn) c 為為 f( x )的瑕點(diǎn)，如果兩反常積分的瑕點(diǎn)，如果兩反常積分都收斂，則定義都收斂，則定義 如果兩個反常

20、積分如果兩個反常積分 有一個發(fā)有一個發(fā)散，就稱反常積分散，就稱反常積分 發(fā)散。發(fā)散。 cbacfxfxxx dd, bcbaacfxfxfxxxx ddd limdlimdtbattctcfxfxxx ddcbacfxfxxx, bafxx dC. P. U. Math. Dept. 楊訪楊訪 無界函數(shù)反常積分與定積分的記號是完全一樣的無界函數(shù)反常積分與定積分的記號是完全一樣的, ,都表示為都表示為 ，二者的區(qū)別僅在于被積函數(shù)的性，二者的區(qū)別僅在于被積函數(shù)的性質(zhì)的差別。質(zhì)的差別。 對定積分而言，要求被積函數(shù)對定積分而言，要求被積函數(shù) f( x )在區(qū)間在區(qū)間 a , ,b 上有界，即上有界，即

21、 f( x )在區(qū)間在區(qū)間 a , ,b 上可以有間斷點(diǎn)，但不上可以有間斷點(diǎn)，但不能有無窮間斷點(diǎn)。能有無窮間斷點(diǎn)。 對無界函數(shù)的反常積分而言，其特點(diǎn)是被積函數(shù)對無界函數(shù)的反常積分而言，其特點(diǎn)是被積函數(shù)f( x )在區(qū)間在區(qū)間 a , ,b 上有無窮間斷點(diǎn)。若上有無窮間斷點(diǎn)。若 f( x )是初等函是初等函數(shù)，則無窮間斷點(diǎn)通常是分母零點(diǎn)。數(shù)，則無窮間斷點(diǎn)通常是分母零點(diǎn)。 bafxx d 按無界函數(shù)反常積分被積函數(shù)按無界函數(shù)反常積分被積函數(shù) f ( x )在積分區(qū)間在積分區(qū)間 a , ,b 上瑕點(diǎn)位置的不同，相應(yīng)反常積分有不同的定上瑕點(diǎn)位置的不同，相應(yīng)反常積分有不同的定義，其幾何意義也有區(qū)別。義，

22、其幾何意義也有區(qū)別。xyOa dlimlimdbbattatafxAfxxtx limxayfxa bfxx, , tb dbtAfxtxxyOb dlimlimdbtaatbtbfxA tfxxx yfxa bx, ,. dtaA tfxxat limxbfxxyOc yfx,xcfx lim.bcbaacfxfxfxxxx ddd limdlimdtbattctcfxfxxx.xa cc b , A t A tat tb 若瑕點(diǎn)若瑕點(diǎn) x = c 位于積分區(qū)間位于積分區(qū)間 a , ,b 內(nèi)部，即當(dāng)內(nèi)部，即當(dāng)a c b 時，相應(yīng)反常積分時，相應(yīng)反常積分 有三點(diǎn)需注意：有三點(diǎn)需注意： 第一，當(dāng)

23、且僅當(dāng)兩反常積分第一，當(dāng)且僅當(dāng)兩反常積分都收斂時，才能稱反常積分都收斂時，才能稱反常積分 收斂，此時積收斂，此時積分記號才具有數(shù)值的意義。分記號才具有數(shù)值的意義。 第二第二，式子式子定義式，不能混淆為定積分關(guān)于積分區(qū)間的可加性定義式，不能混淆為定積分關(guān)于積分區(qū)間的可加性。 第三第三，式子式子 中的中的兩極限過程是獨(dú)立的兩極限過程是獨(dú)立的，不可混淆為一個極限過程。不可混淆為一個極限過程。 bafxx d cbacfxfxxx dd , bafxx d dddbcbaacfxfxfxxxx是是 limdlimdtbattctcfxfxxx 無界函數(shù)的反常積分與定積分形式完全一樣，因此無界函數(shù)的反常積分與定積分形式完全一樣，因此考慮其計算時應(yīng)先確定被積函數(shù)的瑕點(diǎn)。對含多個瑕點(diǎn)考慮其計算時應(yīng)先確定被積函數(shù)的瑕點(diǎn)。對含多個瑕點(diǎn)的反常積分，應(yīng)先將其分解為若干個只含一個瑕點(diǎn)的反的反常積分，應(yīng)先將其分解為若干個只含一個瑕點(diǎn)的反常積分，再考慮按定義計算。常積分，再考慮按定義計算。 無窮區(qū)間上無窮區(qū)間上反常反常積分的計算一積分的計算一般也是變上、下限函函數(shù)的極限計般也是變上、下限函函數(shù)的極限計算，即先按定積分計算法求出原函數(shù)算，即先按定積分計算法求出原函數(shù)增量，再計算相應(yīng)的極限。增量，再計算相應(yīng)的極限。 在某些情形下，無窮區(qū)間上的