第二章態(tài)迭加原理與幾率流密度

1、第二節(jié)第二節(jié) 態(tài)疊加原理態(tài)疊加原理 (State Superposition Principle)(State Superposition Principle)一、態(tài)的概念及態(tài)的描述一、態(tài)的概念及態(tài)的描述微觀粒子具有波動性，會產(chǎn)生衍射圖樣。而干涉和衍微觀粒子具有波動性，會產(chǎn)生衍射圖樣。而干涉和衍射的本質(zhì)在于射的本質(zhì)在于波的疊加性波的疊加性，因此，同光學(xué)中波的疊加，因此，同光學(xué)中波的疊加原理一樣，原理一樣，量子力學(xué)中也存在波疊加原理量子力學(xué)中也存在波疊加原理。因為量子。因為量子力學(xué)中的波，即波函數(shù)決定體系的狀態(tài)，稱波函數(shù)為力學(xué)中的波，即波函數(shù)決定體系的狀態(tài)，稱波函數(shù)為狀態(tài)波函數(shù)，所以量子力學(xué)的波

2、疊加原理稱為狀態(tài)波函數(shù)，所以量子力學(xué)的波疊加原理稱為態(tài)疊加態(tài)疊加原理原理。經(jīng)典波的干涉作用經(jīng)典波的干涉作用：機械波（振動位移）機械波（振動位移） 電磁波（電磁場量）電磁波（電磁場量）某物理量的疊加某物理量的疊加疊加性是一切類型的波動的共有特征疊加性是一切類型的波動的共有特征二、態(tài)疊加原理二、態(tài)疊加原理，則其在空，則其在空若空間存在概率波若空間存在概率波tr,1tr,2和和間相遇時產(chǎn)生疊加，疊加態(tài)為間相遇時產(chǎn)生疊加，疊加態(tài)為trctrctr,2211c1、c2可為復(fù)常數(shù)或包含時間的變量可為復(fù)常數(shù)或包含時間的變量tr,也是空間可能存在的概率波也是空間可能存在的概率波描述微觀粒子運動狀態(tài)的概率波也具

3、有疊加性。描述微觀粒子運動狀態(tài)的概率波也具有疊加性。 如有兩相干波如有兩相干波y1和和y2，當其發(fā)生干涉時，當其發(fā)生干涉時，干涉態(tài)干涉態(tài)（疊加態(tài)疊加態(tài)）可表示為可表示為y1和和y2的線性疊加的線性疊加：y=y1+y2數(shù)學(xué)表示：數(shù)學(xué)表示：粒子雙縫衍射實驗粒子雙縫衍射實驗2122212當雙縫同時打開時，當雙縫同時打開時，粒子處于粒子處于 1和和 2的的疊加態(tài)疊加態(tài) c1 1 c2 2通過通過單縫單縫1的粒子處于的粒子處于 1態(tài)態(tài)通過通過單縫單縫2的粒子處于的粒子處于 2態(tài)態(tài)BS D12P2|W雙縫同時打開時，電子出現(xiàn)在雙縫同時打開時，電子出現(xiàn)在P點的幾率密度為：點的幾率密度為：電子通過單縫電子通過

4、單縫1出現(xiàn)在出現(xiàn)在P點的幾率密度為：點的幾率密度為：2111|CW 說明出現(xiàn)干涉現(xiàn)象說明出現(xiàn)干涉現(xiàn)象)()(1*22*1212222111*22*1212*2221*12122112211CCCCCCCCCCCCWtrctrctr,2211相干項相干項2222| CW 電子通過單縫電子通過單縫2出現(xiàn)在出現(xiàn)在P點的幾率密度為：點的幾率密度為：含義：當粒子處于態(tài)含義：當粒子處于態(tài) 1和態(tài)和態(tài) 2的線性疊加態(tài)的線性疊加態(tài) 時，時， 粒子既處在態(tài)粒子既處在態(tài) 1，又處在態(tài)，又處在態(tài) 2一般情況下，當一般情況下，當tr,1tr,2和和是微觀體系可能是微觀體系可能存在的兩個狀態(tài)時，則它們的線性疊加存在的兩

5、個狀態(tài)時，則它們的線性疊加tr,也也概率波的疊加原理（態(tài)疊加原理）概率波的疊加原理（態(tài)疊加原理）也是體系可能存在的狀態(tài)也是體系可能存在的狀態(tài)態(tài)疊加原理的更一般表述：態(tài)疊加原理的更一般表述：當當1,2, 3,n是體系的可能態(tài)時，它們的線性疊是體系的可能態(tài)時，它們的線性疊加加也是體系的一個可能狀態(tài)。也是體系的一個可能狀態(tài)。或者或者當體系處于當體系處于1,2, 3,n的疊加態(tài)的疊加態(tài)時，體系既可時，體系既可能處于能處于1態(tài)，又可能處于態(tài)，又可能處于2, 3n態(tài)中，且處于態(tài)中，且處于各狀態(tài)的概率是確定的。各狀態(tài)的概率是確定的。數(shù)學(xué)形式為：數(shù)學(xué)形式為：nnnnnCCCCC332211量子力學(xué)的重要原理之

6、一量子力學(xué)的重要原理之一是是“波的疊加性波的疊加性”與與“波函數(shù)完波函數(shù)完全描述微觀體系的統(tǒng)計狀態(tài)全描述微觀體系的統(tǒng)計狀態(tài)”兩兩者的高度概括與綜合。者的高度概括與綜合。舉例：電子衍射實驗舉例：電子衍射實驗GU Ni晶體晶體電子槍電子槍9 ()3/21( , )(2)iP rEtPr te d P 電子從晶體表面出射后，既可能處在電子從晶體表面出射后，既可能處在 態(tài)，也態(tài)，也可能處在可能處在 、 等狀態(tài)，按態(tài)迭加原等狀態(tài)，按態(tài)迭加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態(tài)理，在晶體表面反射后，電子的狀態(tài) 可表示成可表示成 取各種可能值的平面波的線性疊加，即取各種可能值的平面波的線性疊加，即 P(r,t)

7、 (, ),Pr t ( , )Pr t P 電子沿垂直方向射到電子沿垂直方向射到單晶表面，出射后將以各單晶表面，出射后將以各種不同的動量運動，出射種不同的動量運動，出射后的電子為自由電子，其后的電子為自由電子，其狀態(tài)波函數(shù)為平面波。狀態(tài)波函數(shù)為平面波。10 PP) t , r()P(C) t , r(PdtrPCtrP3),()(),( ,)33/21( )(2)iP r EtC P ed P33/21( , )(2)iP rC P t ed P考慮到電子的動量可以連續(xù)變化考慮到電子的動量可以連續(xù)變化,33/21( , )( , )(2)iP rC P tr t ed r而而 （2 2）（1

8、 1） 33/21( , )( , )(2)iPrr tC P t ed P即即 衍射圖樣正是這些平衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結(jié)果面波疊加干涉的結(jié)果 顯然顯然, ,二式互為二式互為FourerFourer變換式變換式, ,所以所以 與與 一一一對應(yīng)一對應(yīng), ,是同一量子態(tài)的兩種不同描述方式。是同一量子態(tài)的兩種不同描述方式。),( tr),(tPC11 ( , )( )( , )( )ppr tr drr tr dr dp 若若 歸一化，則歸一化，則 也是歸一化的也是歸一化的 , r t,C r t2| ( , ) |( , )( , )C p tdpCp t C p t dpProve:

9、Prove:( , )( ) ( , )PC p trr t dr ( , ) ( , )( )( )pPr tr trr dp drdr r r ),(tPC),(tr以坐標以坐標 為自變量的波函數(shù)，為自變量的波函數(shù)，坐標空間（坐標表象）波函坐標空間（坐標表象）波函數(shù)數(shù)r以動量以動量 為自變量的波函數(shù)，為自變量的波函數(shù)， 動量空間（動量表象）波函數(shù)動量空間（動量表象）波函數(shù)P二者描寫同一量子狀態(tài)二者描寫同一量子狀態(tài) 給出給出t t 時刻粒子動量時刻粒子動量 為為 的幾率的幾率 P2,C P t 給出給出t t 時刻粒子處在時刻粒子處在 位置位置 處的幾率處的幾率 r 2, r t12 ( ,

10、 ) ( , ) ()r tr trr drdr ( , ) ( , )1r tr t dr此顯示出把平面波歸一化為此顯示出把平面波歸一化為 函數(shù)的目的函數(shù)的目的一維情況下，一維情況下， 與與 的的FourerFourer變換變換關(guān)系：關(guān)系：( , )x t(, )xC P t1/21( , )( , )(2)iPxx tC P t edP1/21( , )( , )(2)iPxC P tx t edx 如果僅考慮某一給定時刻粒子的兩表象波函數(shù)的關(guān)如果僅考慮某一給定時刻粒子的兩表象波函數(shù)的關(guān)系，可取系，可取t t =0=0,33/21( )( )(2)iP rrC Ped P,33/21( )

11、( )(2)iP rC Pr ed r第三節(jié)第三節(jié) 薛定諤方程薛定諤方程(Schrodinger Equation)(Schrodinger Equation)微觀粒子在時刻微觀粒子在時刻t的狀態(tài)由波函數(shù)的狀態(tài)由波函數(shù)(r,t)來描述。來描述。問題？問題？當當t變化時，粒子運動狀態(tài)將怎樣隨之變化，變化時，粒子運動狀態(tài)將怎樣隨之變化，并隨時間變化其遵從怎樣的規(guī)律？并隨時間變化其遵從怎樣的規(guī)律？ 薛定諤方程薛定諤方程 Erwin Schrdinger 該方程必須是波函數(shù)應(yīng)滿足的含有對時間微商的微分方程。該方程必須是波函數(shù)應(yīng)滿足的含有對時間微商的微分方程。滿足一些物理條件：滿足一些物理條件：1）方程

12、應(yīng)是一個線性方程：在方程中只能包含）方程應(yīng)是一個線性方程：在方程中只能包含xtt,22等項，而不能包含等項，而不能包含,22x等項。當?shù)软?。?和和2為為方程的解時，方程的解時，C1 1+C2 2也為方程的解；也為方程的解；一、薛定諤方程的物理條件：一、薛定諤方程的物理條件：2）方程應(yīng)該具有粒子各種狀態(tài)都能得到滿足的普遍性質(zhì)，方）方程應(yīng)該具有粒子各種狀態(tài)都能得到滿足的普遍性質(zhì)，方 程中各系數(shù)只能為程中各系數(shù)只能為普適恒量普適恒量（如（如h等）和表示粒子等）和表示粒子一般屬性一般屬性 的量的量（如質(zhì)量等），不能包含只表征某特殊狀態(tài)的量（如（如質(zhì)量等），不能包含只表征某特殊狀態(tài)的量（如 能量、動量

13、等）；能量、動量等）；3）波函數(shù)）波函數(shù)的變量為的變量為r和和t，方程是關(guān)于，方程是關(guān)于r 和和t的偏微分方程的偏微分方程，規(guī)定此微分方程不高于二階；規(guī)定此微分方程不高于二階；4）對于）對于自由粒子自由粒子，方程的解應(yīng)是，方程的解應(yīng)是平面波平面波；思路：自由粒子得出方程思路：自由粒子得出方程推廣推廣任意波函數(shù)滿足的方程任意波函數(shù)滿足的方程二、自由粒子的薛定諤方程二、自由粒子的薛定諤方程ppk 1),(EtrpiAetr一個能量為一個能量為E、動量為、動量為 ，即波矢為，即波矢為平面波函數(shù)：平面波函數(shù)：的自由粒子，的自由粒子，(1)對對t求求偏微商：偏微商： 2EiEiAetEtrPi不是所求方

14、程！不是所求方程！Eti將將(1)對坐標求二次偏微商：對坐標求二次偏微商：EtzPyPxPizyxAetzyx,(1)式改寫為：式改寫為：將將(3)(4)(5)式相加：式相加：222222222222ppppzyxzyxzkyjxi定義算符定義算符(劈形算符劈形算符)： 6222p則得：則得：ypiyzpiz 42222ypy 52222zpz同理：同理：xpix 32222xpx 722pE 自由粒子的能量：自由粒子的能量：為粒子質(zhì)量為粒子質(zhì)量 2Eit 6222p 722pE 自由粒子的薛定諤方程自由粒子的薛定諤方程222ti 2Eit 8tiE 6222p 9iippzkyjxi劈形算符

15、劈形算符tiE 10 ip設(shè)粒子在力場中的設(shè)粒子在力場中的勢能為勢能為U(r),則粒子能量與動量滿足：則粒子能量與動量滿足： 1122rUpE注意：注意：1 1）此方程不是從理論上推出，它的正確性來自實踐）此方程不是從理論上推出，它的正確性來自實踐。2 2）此方程只對）此方程只對 的粒子成立的粒子成立c將將(11)式兩邊同乘以波函數(shù)式兩邊同乘以波函數(shù)(r,t): rUpE22 rUti222薛定諤波動方程薛定諤波動方程tiE ipEtrpiAetr),(建立建立復(fù)數(shù)表示式復(fù)數(shù)表示式薛定諤方程薛定諤方程實數(shù)表示式實數(shù)表示式trkAcos薛定諤方程薛定諤方程也不是也不是 的解的解222ti結(jié)論結(jié)論

16、自由粒子的波函數(shù)必須用復(fù)數(shù)形式！自由粒子的波函數(shù)必須用復(fù)數(shù)形式！體系包含體系包含N(N1)個粒子個粒子,多粒子體系的薛定諤方程多粒子體系的薛定諤方程r1,r2,rn表示表示N個粒子的坐標，描述體系狀態(tài)的波函數(shù)為個粒子的坐標，描述體系狀態(tài)的波函數(shù)為i第第i個粒子的質(zhì)量個粒子的質(zhì)量pi第第i個粒子的動量個粒子的動量i ir ri ixyz0體系的能量體系的能量12,22112NNiiirrrUpE將將(12)兩邊同乘波函數(shù)兩邊同乘波函數(shù)Nrrr21,并用并用tiEiiip)(iiiizkyjxi代換：代換：UtiiNii2122多粒子體系的薛定諤波動方程多粒子體系的薛定諤波動方程NrrrU,21體

17、系勢能：在外場中的能量和粒子間相互作用能量體系勢能：在外場中的能量和粒子間相互作用能量第四節(jié)第四節(jié) 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律 (Particle Current Density &Conservation of Particle Number) rUti222反映波函數(shù)的時空變化規(guī)律反映波函數(shù)的時空變化規(guī)律tr,描述微觀粒子狀態(tài)的波函數(shù)描述微觀粒子狀態(tài)的波函數(shù) trtrtr,2粒子在粒子在t時刻、空間某點時刻、空間某點r處出現(xiàn)的概率密度：處出現(xiàn)的概率密度：存在一個方程存在一個方程給出概率密度的時空變化規(guī)律給出概率密度的時空變化規(guī)律推斷推斷設(shè)描述粒子狀態(tài)的波函

18、數(shù)為設(shè)描述粒子狀態(tài)的波函數(shù)為tr,在時刻在時刻t在空間在空間r點周圍單位點周圍單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率密度體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率密度 trtrtr,2幾率密度隨時間的變化率幾率密度隨時間的變化率 1ttt由薛定諤方程可得：由薛定諤方程可得： rUiit122 rUiit122將上兩式代入將上兩式代入(1)中：中： rUti222薛定諤方程：薛定諤方程： 22222iit令令 32iJ(2)式寫為：式寫為： 40Jt將將(4)對空間任對空間任一體積一體積V積分：積分： 5VVVdJdtdt將將(5)式右方變?yōu)槊娣e分：式右方變?yōu)槊娣e分： 6dsJSdJdtSSnVSVds單位時間內(nèi)體積單位時間內(nèi)體積

19、V中增加的幾率中增加的幾率 在體積在體積V的邊界面的邊界面S上法向分量的面積分上法向分量的面積分J 6dsJSdJdtSSnVJ幾率流密度矢量幾率流密度矢量單位時間內(nèi)流過單位時間內(nèi)流過S面上單位面積的幾率面上單位面積的幾率nJSVds(6)式含義：單位時間內(nèi)體積式含義：單位時間內(nèi)體積V中增加的幾率，等于從體積中增加的幾率，等于從體積V 的邊界面的邊界面S流進流進V內(nèi)的幾率。內(nèi)的幾率。 40Jt粒子數(shù)守恒的微分形式粒子數(shù)守恒的微分形式 6dsJSdJdtSSnV粒子數(shù)守恒的積分形式粒子數(shù)守恒的積分形式表明：伴隨幾率分布隨時間的變化，有幾率在空間表明：伴隨幾率分布隨時間的變化，有幾率在空間 流動，一處幾率減小時，另一處幾率必然增流動，一處幾率減小時，另一處幾率必然增 加，總的幾率不變。幾率的流動是粒子運動加，總的幾率不變。幾率的流動是粒子運動 所引起的，幾率守恒的物理本質(zhì)是物質(zhì)守恒。所引起的，幾率守恒的物理本質(zhì)是物質(zhì)守恒。以粒子質(zhì)量以粒子質(zhì)量乘乘和和J處的質(zhì)量密度時刻在點是在zyxttzyx,2為質(zhì)量流密度2iJJ 70JtJ滿足的方程為和單位時間內(nèi)體積單位時間內(nèi)體積V內(nèi)質(zhì)量的改變，等于內(nèi)質(zhì)量的改變，等于穿過穿過V的邊界面的邊界面S流進或流出的質(zhì)量。流進或流出的質(zhì)量。量子力學(xué)