橢圓2016新編知識(shí)點(diǎn)完美總結(jié)

1、第5講：橢圓一、橢圓及其方程 1、橢圓的定義：把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。其中：這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)；兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距(記為2c)注意：若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線(xiàn)段；若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡無(wú)圖形.2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（0） （0）注意：(1)只有當(dāng)橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時(shí)，才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有和；(3)已知方程判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看，的分母的大小，哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上(4)當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，3、求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法： (1)待定

2、系數(shù)法：由已知條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定橢圓方程的類(lèi)型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)的值。即：主要步驟是先定位，再定量；注：焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的位置不確定時(shí)設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程要分兩種情形；為了計(jì)算方便，有時(shí)也可設(shè)方程為mx2+ny2=1(m>0，n>0，mn)。 (2)定義法：由已知條件判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。例2 .已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為（0，2）求= 分析：把橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由，根據(jù)關(guān)系可求出的值解：方程變形為因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以，解得又，所以，適合故例3.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析：因橢圓的中心在原點(diǎn)，故其標(biāo)準(zhǔn)方

3、程有兩種情況根據(jù)題設(shè)條件，運(yùn)用待定系數(shù)法，求出參數(shù)和（或和）的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)其方程為由橢圓過(guò)點(diǎn)，知又，代入得，故橢圓的方程為當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)其方程為由橢圓過(guò)點(diǎn)，知又，聯(lián)立解得，故橢圓的方程為例4.求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)的橢圓方程分析：由題設(shè)條件焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上不明確，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情形，為了計(jì)算簡(jiǎn)便起見(jiàn)，可設(shè)其方程為(，)，且不必去考慮焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，直接可求出方程解：設(shè)所求橢圓方程為(，)由和兩點(diǎn)在橢圓上可得即所以，故所求的橢圓方程為例5.已知方程表示橢圓，求的取值范圍解：由得，且滿(mǎn)足條件的的取值范圍是，且說(shuō)明：本題易出現(xiàn)如下錯(cuò)解

4、：由得，故的取值范圍是出錯(cuò)的原因是沒(méi)有注意橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中這個(gè)條件，當(dāng)時(shí)，并不表示橢圓例6.的底邊，和兩邊上中線(xiàn)長(zhǎng)之和為30，求此三角形重心的軌跡和頂點(diǎn)的軌跡分析：（1）由已知可得，再利用橢圓定義求解（2）由的軌跡方程、坐標(biāo)的關(guān)系，利用代入法求的軌跡方程解： （1）以所在的直線(xiàn)為軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由，知點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，且除去軸上兩點(diǎn)因，有，故其方程為（2）設(shè)，則 由題意有代入，得的軌跡方程為，其軌跡是橢圓（除去軸上兩點(diǎn)）例7. 已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程分析：關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出點(diǎn)P滿(mǎn)足的關(guān)系式解：如圖所示，設(shè)動(dòng)圓和定圓內(nèi)切

5、于點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，即定點(diǎn)和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，即點(diǎn)的軌跡是以，為兩焦點(diǎn)，半長(zhǎng)軸為4，半短軸長(zhǎng)為的橢圓的方程：說(shuō)明：本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求軌跡的方程這是求軌跡方程的一種重要思想方法例8.橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，為的中點(diǎn)，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的值為( )A4B2 C8 D解：如圖所示，設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，由橢圓第一定義得，所以，又因?yàn)闉榈闹形痪€(xiàn)，所以，故答案為A4、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系：（1）點(diǎn)在橢圓外；（2）點(diǎn)在橢圓上1；（3）點(diǎn)在橢圓內(nèi)二、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)1、范圍：x2a2，y2b2，|x|a，|y|b橢圓位于直線(xiàn)x±a和y

6、±b圍成的矩形里。2、橢圓的對(duì)稱(chēng)性橢圓是關(guān)于y軸、x軸、原點(diǎn)都是對(duì)稱(chēng)的；坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱(chēng)軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱(chēng)中心；橢圓的對(duì)稱(chēng)中心叫做橢圓的中心。練習(xí)63、頂點(diǎn)橢圓和它的對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)叫橢圓的頂點(diǎn)；橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)：A1(a, 0)、A2(a, 0)、B1(0,b)、B2(0, b)；線(xiàn)段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸；長(zhǎng)軸的長(zhǎng)等于2a，短軸的長(zhǎng)等于2b；a叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，b叫做橢圓的短半軸長(zhǎng)。在RtOBF中： |OF|c, |OB|=b，則|BF|a稱(chēng)OBF為橢圓的特征三角形。4、離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)度的比叫做橢圓的離心率，用表示，即：因?yàn)?，所以的取值范圍是e越接

7、近1，則就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于0，就越接近0，從而越接近于，這時(shí)橢圓就越接近于圓。例 （ B ）三、橢圓第二定義1、定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線(xiàn)的距離之比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。其中：定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)；定直線(xiàn)是橢圓相應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)；常數(shù)是橢圓的離心率e。注意：e的幾何意義：橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的距離的比。2、橢圓的準(zhǔn)線(xiàn)方程：焦點(diǎn)在x軸上：左準(zhǔn)線(xiàn)，上準(zhǔn)線(xiàn)；焦點(diǎn)在y軸上：下準(zhǔn)線(xiàn)，上準(zhǔn)線(xiàn)3、焦半徑（圓錐曲線(xiàn)上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離）：利用圓錐曲線(xiàn)的第二定義，轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的距離，焦半徑，其中：表示P到與F所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離。即： 其中：為左、右焦點(diǎn)

8、，是離心率，x0為P點(diǎn)橫坐標(biāo)，左加右減 焦點(diǎn)在y軸上：其中:分別是橢圓的下、上焦點(diǎn)，y0為P點(diǎn)縱坐標(biāo)，下加上減例（1）已知橢圓上一點(diǎn)P到橢圓左焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)P到右準(zhǔn)線(xiàn)的距離為_(kāi)（答：-35/3）；4、最值問(wèn)題例（2）橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，在橢圓上有一點(diǎn)M，使 之值最小，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)（答：）；四、橢圓 與 的區(qū)別和聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，焦距 范圍，對(duì)稱(chēng)性關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)頂點(diǎn)，軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)=，短軸長(zhǎng)= 離心率準(zhǔn)線(xiàn)方程焦半徑，注意：橢圓，的相同點(diǎn)：形狀、大小都相同；參數(shù)間的關(guān)系都有和，；不同點(diǎn)：兩種橢圓的位置不同；它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不相同。五、直線(xiàn)與橢圓1、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系：

9、（1）直線(xiàn)與橢圓相交；（2）直線(xiàn)與橢圓相切；（3）直線(xiàn)與橢圓相離。 例（3）直線(xiàn)ykx1=0與橢圓恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是_（答：1，5）（5，+）；消元得一元二次方程，利用恒成立解得2、橢圓的切線(xiàn)（1）橢圓上一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為：；（2）直線(xiàn)Ax+By+C=0與橢圓相切的條件為；（3）過(guò)橢圓外一點(diǎn)引橢圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為P1、P2，則直線(xiàn)P1P2（切點(diǎn)弦所在的直線(xiàn)）的方程為3、弦長(zhǎng)公式：若直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交與、兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)例11. 已知橢圓及直線(xiàn)（1）當(dāng)為何值時(shí)，直線(xiàn)與橢圓有公共點(diǎn)？（2）若直線(xiàn)被橢圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線(xiàn)的方程解：（1）把直線(xiàn)方程代入橢圓方程得，即，解得（2）設(shè)直線(xiàn)與橢

10、圓的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由（1）得，根據(jù)弦長(zhǎng)公式得：解得方程為說(shuō)明：處理有關(guān)直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題及有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題，采用的方法與處理直線(xiàn)和圓的有所區(qū)別這里解決直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)問(wèn)題，一般考慮判別式；解決弦長(zhǎng)問(wèn)題，一般應(yīng)用弦長(zhǎng)公式用弦長(zhǎng)公式，若能合理運(yùn)用韋達(dá)定理（即根與系數(shù)的關(guān)系），可大大簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程例12. 已知長(zhǎng)軸為12，短軸長(zhǎng)為6，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，過(guò)它對(duì)的左焦點(diǎn)作傾斜解為的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)分析：可以利用弦長(zhǎng)公式求得，也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點(diǎn)半徑來(lái)求解：(法1)利用直線(xiàn)與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式求解因?yàn)?，所以因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以橢圓方程為，左焦點(diǎn)，從而直線(xiàn)方程為由直

11、線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立得：設(shè)，為方程兩根，所以， 從而(法2)利用橢圓的定義及余弦定理求解由題意可知橢圓方程為，設(shè)，則，在中，即；所以同理在中，用余弦定理得，所以(法3)利用焦半徑求解先根據(jù)直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立的方程求出方程的兩根，它們分別是，的橫坐標(biāo)再根據(jù)焦半徑，從而求出4、點(diǎn)差法求中點(diǎn)弦問(wèn)題已知弦AB的中點(diǎn)M(x0，y0)，研究AB的斜率和方程AB是橢圓1(a>b>0)的一條弦，則AB的斜率為.運(yùn)用點(diǎn)差法求AB的斜率，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)A、B都在橢圓上，兩式相減得0，即.故kAB例10. 已知橢圓（1）求過(guò)點(diǎn)且被平分的弦所在直線(xiàn)的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌

12、跡方程；（3）過(guò)引橢圓的割線(xiàn)，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點(diǎn)、，為原點(diǎn)，且有直線(xiàn)、斜率滿(mǎn)足，求線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡方程 分析：此題中四問(wèn)都跟弦中點(diǎn)有關(guān)，因此可考慮設(shè)弦端坐標(biāo)的方法解：設(shè)弦兩端點(diǎn)分別為，線(xiàn)段的中點(diǎn)，則得由題意知，則上式兩端同除以，有，將代入得（1）將，代入，得，故所求直線(xiàn)方程為： 將代入橢圓方程得，符合題意，為所求（2）將代入得所求軌跡方程為：（橢圓內(nèi)部分）（3）將代入得所求軌跡方程為：（橢圓內(nèi)部分）（4）由得：， ，將平方并整理得， ， 將代入得： ， 再將代入式得： ，即此即為所求軌跡方程當(dāng)然，此題除了設(shè)弦端坐標(biāo)的方法，還可用其它方法解決六、橢圓相關(guān)問(wèn)題1、共焦點(diǎn)的橢圓共焦點(diǎn)：則c相同。與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為，此類(lèi)問(wèn)題常用待定系數(shù)法求解；同離心率：與橢圓離心率相同的橢圓系方程是2、橢圓的參數(shù)方程3、焦點(diǎn)三角形（橢圓的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形）思路分析：與焦點(diǎn)三角形PF1F2有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，?？紤]到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算解題。將有關(guān)線(xiàn)段，有關(guān)角 ()結(jié)合起來(lái)，建立、之間的關(guān)系. 重要結(jié)論