向量基礎(chǔ)知識(shí)及應(yīng)用

1、向量基礎(chǔ)知識(shí)及應(yīng)用基本知識(shí)：1 .向量加法的定義及向量加法法則(三角形法則、平行四邊形法則)；2 .向量減法的定義及向量減法法則(三角形法則、平行四邊形法則)；3 .實(shí)數(shù)與向量的積入a.向量共線的充要條件：向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)入，使得b=入a。4 .向量a和b的數(shù)量積：a-b=|a|-|b|cos，其中為a和b的夾角。向量b在a上的投影：|b|cos，其中為a和b的夾角aXba-b=05 .向量的坐標(biāo)表示：0Axiyx,y；若向量a,x,y,則|a|、x2y2；右Pl(xi,yi)、P2(x2,y2),則PiP2X2xi,v2yi；|PiP2|=.(x2xi)2(

2、V2yi)26 .向量的坐標(biāo)運(yùn)算及重要結(jié)論：若a=(xi,yi),b=(x2,y2),則 abxix2,yiy2abxix2,yiy2 axnyia?bxix2yiyb-*= a/bxy2x2yi0abxix2+yiV2=0cos=xix2V1V2(為向量的夾角)22.22xiyi,x2y27.點(diǎn)P分有向線段PP2所成的比的：而瓦，或雪PP2內(nèi)分線段PiP2時(shí)，0；P外分線段RP2時(shí),0.X8.定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：yXi1yi1X2y21,中點(diǎn)坐標(biāo)公式：yx1x22yy229.三角形重心公式及推導(dǎo)（見課本例2）:三角形重心公式：（X1X2X3y1y2y3)10.圖形平移：設(shè)F是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)圖

3、形，將F上所有的點(diǎn)按照同一方向移動(dòng)同樣長(zhǎng)度（即按向量a平移），得到圖形F',我們把這一過(guò)程叫做圖形的平移。平移公式:x'hy'k平移向量a=PP=(h,k)應(yīng)用：1.利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算,解決兩直線的夾角,判定兩直線平行、垂直問(wèn)題例1已知向量OP1,oao鳥滿足條件OP1OP2OP30,|OP1|OP2|rp2P3是正三角形|OP3|1,求證:解：令由OPcos1sin1O為坐標(biāo)原點(diǎn)，可設(shè)P1cos1,sin1,P2cos2,sin2,P3cos3,sinOP2cos2sin2OP3,即cos3sin3cos1,sin1cos2,sin2cos3sin3兩式平方和為2co

4、s1211,cos2的最小正角為120°,即OP與O耳的夾角為120°,同理可得OP與OP3的夾120°,OP；與OP3的夾角為1200,這說(shuō)明凡鳥三點(diǎn)均勻在一個(gè)單位圓上，所以P1P2P3為等腰三角形.例2求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的度數(shù)解：如圖，分別以等腰直角三角形的兩直角邊為X軸、軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A2a,0,B0,2a,則Da,0,C0,a角為分部從而可求:AC2a,a,BDa,2a,cosACBDaCbD2a,aa,2a%5a.5a4a25a24arccos一52 .利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，解決有關(guān)線段的長(zhǎng)度問(wèn)題例3已知ABC,AD為中線，

5、求證AD21AB2AC2BC222直角坐標(biāo)系，設(shè)Aa,b,Cc,02AD2ca2.2AB.2AC，D”222C20baca4蚓2.2b2,12.22.2Cabcab24-2從而ADAB2AC2acAD21AB2AC222BC證明：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在的直線為x軸建立如圖3 .利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，用已知向量表示未知向量例4已知點(diǎn)O是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，AOB150°,BOC90°,設(shè)5Aa,oBb,0oc,且口2,bi,c3,試用a,和b表示c.解：以0為原點(diǎn)，OCOB所在的直線為x軸和y軸建立如圖3所示的坐標(biāo)系.由OA=2AOx1200,所以A2cos1200,2sin1

6、200，即A-1,J3,易求B0,-1,C3,0,設(shè)OA3b如圖,1OB用OA,OB表示OC.解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A1,0,由COA300,所以C5cos300,5sin300，即C史3,5,22一10、3cA53ccOCOAOB.334.利用向量的數(shù)量積解決兩直線垂直問(wèn)題例6求證：三角形的三條高交于同一點(diǎn)分析如圖，已知ABC中，由ADBC,BEAC,ADBEH,要證明CHAB,利用向量法證明CHaB,只要證得CHAB0即可;證明中，要充分利用好AhBC0,BHCA0這兩個(gè)條件.證明：ADBC,H在AD上，AHBC0而AHCHCA,(CHCA

7、)BC0,即CHBCCABC0又BHAC,BHCHCB,CHACCBAC0-得：CH.BCCHAC從而CH,bA0,CHaB,BHAc0gp(chcB)ac00,WcHBCAC0CHAB.5.利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)距離的問(wèn)題，距離問(wèn)題包括點(diǎn)到點(diǎn)的距離，點(diǎn)的線的距離，點(diǎn)到面的距離，線到線的距離，線到面的距離，面到面的距離例7求平面內(nèi)兩點(diǎn)A(xhyjB(X2，y2)間的距離公式分析已知點(diǎn)A(x.yjB(x2,y2)求A,B兩點(diǎn)間的距離|AB|,這時(shí)，我們就可以構(gòu)造出向量AB,那么AB(x2x1,y2y1),而|AB|AB|,根據(jù)向量模的公式得|AB|xj22yi)2,從而求得平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公

8、式為|AB|.(x2xi)2(y2yi)2.解：設(shè)點(diǎn)A(x1,yjB(x2,y?),AB(x2x1,y2y1)|AB|v'(x2xi)2(y2yi)2,而|AB|AB|點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離為：|AB|晟xi)2(y2yi)26.利用向量的數(shù)量積解決線與線的夾角及面與面的夾角問(wèn)題例8證明：cos()coscossinsin分析如圖，在單位圓上任取兩點(diǎn)A,B,以O(shè)x為始邊，OA,OB為終邊的角分別為，設(shè)出a,b兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即得到oA,oB的坐標(biāo)，則為向量oA,oB的夾角；利用向量的夾角公式，即可得證.證明：在單位圓O上任取兩點(diǎn)A,B,以O(shè)x為始邊，以O(shè)A,OB為終邊的角分別為則A點(diǎn)坐OA(

9、cos,sin),OB|OA|Ob|i,OAOb,、OAOBcos()|OA|OB|注:標(biāo)為(cos,sin),B點(diǎn)坐標(biāo)為(cos,sin);則向量(cos,sin),它們的夾角為，coscossinsin,由向量夾角公式得：coscossinsin,從而得證.月cos()coscossinsin7.利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)不等式、最值問(wèn)題.例9證明柯西不等式(xi2y，)(x22y22)(xix2yiy2)2證明：令a(xi,yi),b(x2,y2)(i)當(dāng)a0或b0時(shí)，abxix2y1y20,結(jié)論顯然成立；(2)當(dāng)a0且b0時(shí)，令為a,b的夾角，則0,abxx2yy2|a|b|cos.又|cos|i|ab|a|b|(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立)（%2y；）d2y22）（x/2%丫2