狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測(cè)器

1、第第5章章 狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測(cè)器狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測(cè)器5.1 引言引言 5.2 狀態(tài)反饋與輸出反饋狀態(tài)反饋與輸出反饋5.3 反饋控制對(duì)能控性與能觀測(cè)性的影響反饋控制對(duì)能控性與能觀測(cè)性的影響5.4 閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置5.5 狀態(tài)觀測(cè)器狀態(tài)觀測(cè)器5.6 采用狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)采用狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)5.7 解耦控制解耦控制5.8 MATLAB MATLAB在閉環(huán)極點(diǎn)配置及狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)中的應(yīng)用在閉環(huán)極點(diǎn)配置及狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)中的應(yīng)用5.9 線性控制系統(tǒng)理論的工程應(yīng)用舉例線性控制系統(tǒng)理論的工程應(yīng)用舉例 對(duì)一個(gè)性能不好甚至不穩(wěn)定的被控系統(tǒng)，如何設(shè)計(jì)系對(duì)一個(gè)性能不好甚至不穩(wěn)定的被控系

2、統(tǒng)，如何設(shè)計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制律，使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且具有優(yōu)良的統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制律，使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且具有優(yōu)良的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。動(dòng)態(tài)響應(yīng)。 狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)圖5-1 多輸入多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)反饋結(jié)構(gòu) DuCxBuAxxyFxvu（5-3） 將式（5-3）代入式（5-1）,可得采用狀態(tài)反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為 DvxDFCBvxBFAx)()(y（5-4） D=0DuCxBuAxxy5-1CxBvxBFAxy)()(FCB,BF,ACxBvxBFAxy)(（5-5） 式（5-5）可簡(jiǎn)記為 ，其對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)矩陣為 )(FCB,BF,ABBFAICW1)()(ssF（5-6

3、） Hyvu（5-7） 式中，v為為r維參考輸入列向量；y為為m維輸出列向量；H為 維輸出反饋實(shí)數(shù)增益矩陣。 mr 若D=0，CxBvxBHCAxy)(（5-8） 式（5-8）可簡(jiǎn)記為 ，其對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)矩陣為 )(HCB,BHC,A BBHCAICW1)()(ssH（5-9） HyvuDuCxBuAxxy 在被控系統(tǒng)D=0時(shí)，比較兩種基本反饋控制律（只要取 的狀態(tài)反饋即可達(dá)到與線性非動(dòng)態(tài)輸出反饋H相同的控制效果。HCF 定理5-1 狀態(tài)反饋不改變被控系統(tǒng) 的能控性，但不一定能保持系統(tǒng)的能觀性。 )(oCB,A, 定理5-2 輸出反饋不改變被控系統(tǒng) 的能控性與能觀性。 )(oCB,A, 證明

4、5.2節(jié)已說(shuō)明，輸出反饋H可等效為 的狀態(tài)反饋，又由定理5-1知，狀態(tài)反饋不改變被控系統(tǒng)的能控性，故輸出反饋不改變被控系統(tǒng)的能控性。 HCF 可從系統(tǒng)能觀性的PBH秩判據(jù)出發(fā)證明輸出反饋不改變被控系統(tǒng) 的能觀性。顯然，對(duì)復(fù)數(shù)域C上的所有s,下式成立，即 )(oCB,A,CBHCAII0BHICAIn)(ssm（5-14） 證明 先證必要性。由定理5-1知，若 不能控，則其不能控極點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)的不能控模態(tài)不能通過(guò)狀態(tài)反饋改變。證畢。 )(oCB,A, 再證充分性。以下充分性證明過(guò)程實(shí)際上給出了單輸入單輸出系統(tǒng)設(shè)計(jì)反饋增益矩陣的規(guī)范算法。 (1)若被控系統(tǒng) 狀態(tài)完全能控，且設(shè)其特征多項(xiàng)式和傳遞函數(shù)分

5、別為 )(oCB,A,CxBuAxxynnnnasasasssf111odet)(AI（5-16） nnnnnnnnasasasbsbsbsbssG111122111o)()(BAIC（5-17） 可通過(guò)如下變換（設(shè) 為能控標(biāo)準(zhǔn)型變換矩陣） cTxTxc（5-18） 將 化為能控標(biāo)準(zhǔn)型 ，即 )(oCB,A,_o)(C,B,AxCuBxAxy（5-19） 式中， 121c1c121c1c1000,100001000010bbbbaaaannnnnCTCBTBATTA（5-20） (2)針對(duì)能控標(biāo)準(zhǔn)型 引入狀態(tài)反饋 _o)(C,B,AxF vu（5-21） 式中， ，可求得對(duì) 的閉環(huán)系統(tǒng) 的狀態(tài)

6、空間表達(dá)式仍為能控標(biāo)準(zhǔn)型，即 nffff321Fx_F)(C,B,FBAxCBxFBAxyv)(（5-22） 式中， )()()()(100001000010132211nnnnfafafafaFBA（5-23） 則閉環(huán)系統(tǒng) 的特征多項(xiàng)式和傳遞函數(shù)分別為 _F)(C,B,FBA)()()()(det)(12111FfasfasfassspnnnnnFBAI（5-24） )()()()()(12111122111FfasfasfasbsbsbsbssGnnnnnnnnnBFBAIC（5-25） 式（5-24）、（5-25）表明， 的n階特征多項(xiàng)式的n個(gè)系數(shù)可通過(guò) _F)(C,B,FBAnffff

7、,321即 的特征值可任選。)(FBA 獨(dú)立設(shè)置，)(det)(det)(FBFAIFBAIsssf故若被控系統(tǒng) 能控，則其狀態(tài)反饋系統(tǒng)極點(diǎn)可任意配置。 )(oCB,A,又 (3)事實(shí)上，由給定的期望閉環(huán)極點(diǎn)組 ，可寫出期望閉環(huán)特征多項(xiàng)式 ), 2, 1(niinnnnniiasasasssp1111)()(（5-26） 令式（5-24）與式（5-26）相等，可解出能控標(biāo)準(zhǔn)型 使閉環(huán)極點(diǎn)配置到期望極點(diǎn)的狀態(tài)反饋增益矩陣為 _o)(C,B,A111121aaaaaafffnnnnnF（5-27） (4) 將式（5-18）代入式（5-21）得 xFxTFxFvvvu1c（5-28） 則原被控系統(tǒng)

8、即對(duì)應(yīng)于狀態(tài)x引入狀態(tài)反饋使閉環(huán)極點(diǎn)配置到期望極點(diǎn)的狀態(tài)反饋增益矩陣為 )(oCB,A,1cTFF（5-29） 2. 采用狀態(tài)反饋配置閉環(huán)極點(diǎn)的方法采用狀態(tài)反饋配置閉環(huán)極點(diǎn)的方法 方法一 規(guī)范算法規(guī)范算法 對(duì)狀態(tài)完全能控的單輸入單輸出被控系統(tǒng) ,可采用以上狀態(tài)反饋任意配置極點(diǎn)充分條件證明過(guò)程所給出的規(guī)范算法確定實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)配置目標(biāo)的反饋增益矩陣F，即在根據(jù)式（5-16）、（5-26）分別確定開(kāi)環(huán)系統(tǒng) 特征多項(xiàng)式和期望閉環(huán)特征多項(xiàng)式系數(shù)的基礎(chǔ)上，先用式（5-27）求出能控標(biāo)準(zhǔn)型 對(duì)應(yīng)的 下的狀態(tài)反饋增益矩陣 ；然后再根據(jù)式（5-29）將 變換為原狀態(tài)x下的狀態(tài)反饋增益陣F ，即 )(oCB,A,

9、)(oCB,A,_o)(C,B,AxFF11111cnnnnaaaaaaTF(5-30) 式中, 為按式（5-18）將 化為能控標(biāo)準(zhǔn)型 的變換矩陣 的逆矩陣，即 1cT)(oCB,A,_o)(C,B,AcTc1cc1c;CTCBTBATTA111111111aaanncBAABBT（5-31） 方法二 解聯(lián)立方程解聯(lián)立方程 設(shè)狀態(tài)反饋增益陣 ，則閉環(huán)系統(tǒng) 的特征多項(xiàng)式為 nfff21F)(FCB,BF,AnnnnnFsssfffspssp11121F),()(det)(BFAI（5-34） 而由給定的期望閉環(huán)極點(diǎn)組 ，可確定如式（5-26）所示的期望閉環(huán)特征多項(xiàng)式。為將閉環(huán)極點(diǎn)配置在期望位置，

10、應(yīng)令式（5-34）與式（5-26）相等，即令 ，由兩個(gè)n階特征多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，可得n個(gè)關(guān)于 的聯(lián)立代數(shù)方程，若 能控，解聯(lián)立方程可求出唯一解 。 ), 2, 1(nii)()(spspFnfff21)(oCB,A,nfff21 【例5-2】被控系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達(dá)式為 試設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋增益矩陣F，使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置為 和 ，并畫出狀態(tài)變量圖。 )(oCB,A,xxx11101031yuj1j1 解 (1)nQc21130rank)(rankrankABB所以被控系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，可通過(guò)狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)。 (2) 確定閉環(huán)系統(tǒng)期望特征多項(xiàng)式 閉環(huán)系統(tǒng)期望極點(diǎn)為 ，對(duì)應(yīng)的期望閉環(huán)特

11、征多項(xiàng)式為 j 1*2, 122)1)(1()()(221ssjsjssssp則， ， 22a21a (3)求滿足期望極點(diǎn)配置要求的狀態(tài)反饋增益矩陣 21ffF 方法一 規(guī)范算法 被控系統(tǒng) 的特征多項(xiàng)式為 )(oCB,A,11031)det()(2ossssspAI則 ， 12a01a 根據(jù)式（5-27），能控標(biāo)準(zhǔn)型 對(duì)應(yīng)的 下的狀態(tài)反饋增益陣 為 _o)(C,B,AxF 2302) 1(2112221aaaaffF 按式（5-18）將 化為能控標(biāo)準(zhǔn)型 的變換矩陣 為 )(oCB,A,_o)(C,B,AcT1103011011300111acABBT則 131031110311cT根據(jù)式（5-

12、29），原狀態(tài)x下的狀態(tài)反饋增益陣F應(yīng)為 235131031231c21TFFff 方法二 解聯(lián)立方程解聯(lián)立方程 對(duì)被控系統(tǒng) ，引入 狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng) 特征多項(xiàng)式為 )(oCB,A,21ffF)(FCB,BF,A 13131)(det)(212221ffsfsfsfssspFBFAI 令 ，即 ，比較等式兩邊同次冪項(xiàng)系數(shù)得如下聯(lián)立方程 )()(spspF221322122ssffsfs2132212fff解之得 ， 3/51f22f (4) 據(jù)被控系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式和所設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋增益矩陣F，可畫出狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)變量圖如圖5-3所示。 圖5-3 例5-2圖 3. 采用狀態(tài)反饋進(jìn)

13、行部分極點(diǎn)配置采用狀態(tài)反饋進(jìn)行部分極點(diǎn)配置 若被控系統(tǒng) 狀態(tài)不完全能控,采用狀態(tài)反饋只能將其能控子系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到期望位置,而不可能移動(dòng)其不能控子系統(tǒng)的極點(diǎn)。換言之, 對(duì)狀態(tài)不完全能控的n階系統(tǒng) 而言,若期望配置的n個(gè)極點(diǎn)中包含了其全部的不能控極點(diǎn),那么這一組閉環(huán)極點(diǎn)是可以采用狀態(tài)反饋進(jìn)行配置的(這時(shí)實(shí)質(zhì)上只是配置了被控系統(tǒng)的能控極點(diǎn));否則,就不能采用狀態(tài)反饋配置n個(gè)極點(diǎn)。 )(oCB,A,)(oCB,A, 定理5-4 完全能控的系統(tǒng)不能靠引入式（5-7）所示的線性非動(dòng)態(tài)輸出反饋控制來(lái)任意配置閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)。 對(duì)定理5-4以單輸入單輸出系統(tǒng)為例加以說(shuō)明。這時(shí),輸出反饋矩陣為反饋放大系數(shù)(標(biāo)量

14、)H,由經(jīng)典控制理論的根軌跡法,改變反饋放大系數(shù)H時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)變化的軌跡是起于開(kāi)環(huán)極點(diǎn),終于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)或無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)的一組根軌跡,即閉環(huán)極點(diǎn)不能配置在復(fù)平面的任意位置。 定理5-5 對(duì)完全能控的單輸入單輸出系統(tǒng) ,通過(guò)帶動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的輸出反饋實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)任意配置的充要條件為: )(oCB,A, (1) 完全能觀; (2) 動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的階數(shù)為n-1。 )(oCB,A, 若被控系統(tǒng) 通過(guò)狀態(tài)反饋(或輸出反饋)能使其閉環(huán)極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部,即閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,則稱系統(tǒng)是狀態(tài)反饋(或輸出反饋)可鎮(zhèn)定的。 )(oCB,A, 定理5-6 線性定常系統(tǒng) 采用狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定的充要條件是其不能控子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。 )(oCB

15、,A, 定理5-7 線性定常系統(tǒng) 采用輸出反饋可鎮(zhèn)定的充要條件是 結(jié)構(gòu)分解中的能控且能觀子系統(tǒng)是輸出可鎮(zhèn)定的;而能控不能觀、能觀不能控、不能控且不能觀的三個(gè)子系統(tǒng)均為漸近穩(wěn)定。 )(oCB,A,)(oCB,A, 【例5-3】被控系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達(dá)式為 )(oCB,A,xxx01100010yu試設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋增益矩陣F，使閉環(huán)系統(tǒng)得到鎮(zhèn)定。該被控系統(tǒng)采用輸出反饋可否鎮(zhèn)定? 解 為能控標(biāo)準(zhǔn)型,顯然能控,故可采用狀態(tài)反饋使閉環(huán)系統(tǒng)鎮(zhèn)定。若設(shè)期望極點(diǎn)為 )(oCB,A, , ,則對(duì)應(yīng)的期望閉環(huán)特征多項(xiàng)式為 1*12*223)2)(1()()(221sssssssp 由規(guī)范算法可確定滿足期望極點(diǎn)配置要

16、求的狀態(tài)反饋增益矩陣 ,對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)變量圖如圖5-4(a)所示。但若 采用線性非動(dòng)態(tài)輸出反饋, 則閉環(huán)系統(tǒng) 的特征多項(xiàng)式為 3221ffF)(oCB,A,)(HCB,BHC,A hsshshs21)det(CBAI可見(jiàn), 引入反饋放大系數(shù)為h的線性非動(dòng)態(tài)輸出反饋后的閉環(huán)特征多項(xiàng)式仍缺項(xiàng), 不論如何選擇反饋放大系數(shù)h,均不能使閉環(huán)系統(tǒng)鎮(zhèn)定,即該系統(tǒng)采用線性非動(dòng)態(tài)輸出反饋不可鎮(zhèn)定。 由圖5-4(a)可畫出圖5-4(b)所示的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)等效方塊圖,其等效為在輸出反饋控制回路中嵌入反饋動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器H(s) ,即若采用 的輸出動(dòng)態(tài)反饋可達(dá)到與引入線性狀態(tài)反饋 一樣的控制效果(將閉環(huán)極點(diǎn)配置在

17、, ) 。但從H(s)的結(jié)構(gòu)看,其包括比例環(huán)節(jié)和一階微分環(huán)節(jié),在物理上較上述狀態(tài)線性反饋復(fù)雜且難于實(shí)現(xiàn)。 23)( ssH 3221ffF圖5-4 例5-3圖 1*12*2 狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)的前提是獲得系統(tǒng)全部狀態(tài)信息,然而,狀態(tài)變量并不一定是系統(tǒng)的物理量, 選擇狀態(tài)變量的這種自由性本是狀態(tài)空間綜合法的優(yōu)點(diǎn)之一,但這也使得系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量不一定都能直接量測(cè);另一方面,有些狀態(tài)變量即使可測(cè),但所需傳感器的價(jià)格可能會(huì)過(guò)高。狀態(tài)觀測(cè)或狀態(tài)重構(gòu)問(wèn)題正為了克服狀態(tài)反饋物理實(shí)現(xiàn)的這些困難而提出的,其核心是通過(guò)系統(tǒng)可量測(cè)參量(輸出及輸入)重新構(gòu)造在一定指標(biāo)下和系統(tǒng)真實(shí)狀態(tài) 等價(jià)的估計(jì)狀態(tài)或重構(gòu)狀態(tài) ,且常采用

18、式(5-35)所示的漸近等價(jià)指標(biāo),即 )(tx)( tx0 xx)(lim)()( limtttxtt(5-35) 式中, 為觀測(cè)誤差。實(shí)現(xiàn)狀態(tài)重構(gòu)的系統(tǒng)(或計(jì)算機(jī)程序)稱為狀態(tài)觀測(cè)器, 式(5-35)也稱觀測(cè)器存在條件。當(dāng)觀測(cè)器重構(gòu)狀態(tài)向量的維數(shù)等于或小于被控系統(tǒng)狀態(tài)向量維數(shù)時(shí),分別稱為全維狀態(tài)觀測(cè)器或降維狀態(tài)觀測(cè)器。 )(tx 設(shè)式(5-2)所示的被控系統(tǒng) 狀態(tài)完全能觀,一條重構(gòu)狀態(tài)向量的可能途徑是對(duì)輸出y(t)求導(dǎo) n-1次,即 )(oCB,A,)(nnnn2321CBuuBCABuCAxCAyuCBCABuxCAuCBxCAxCyCBuCAxxCyCxy1)(n2 (5-36) 因?yàn)?

19、能觀,則其能觀性判別陣的秩為n,故由式(5-36)一定可選出關(guān)于狀態(tài)變量的n個(gè)獨(dú)立方程,進(jìn)而獲得x(t)的唯一解?？梢?jiàn),只要被控系統(tǒng)能觀,理論上可通過(guò)輸入、輸出及它們的導(dǎo)數(shù)重構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)向量x(t)。但這種方法要對(duì)輸入、輸出進(jìn)行微商運(yùn)算,而純微分器難以構(gòu)造;且微分器不合理地放大輸入、輸出測(cè)量中混有的高頻干擾,以致?tīng)顟B(tài)估計(jì)值產(chǎn)生很大誤差,故從工程實(shí)際出發(fā),該方法不可取。 )(oCB,A, 為避免在狀態(tài)重構(gòu)中采用微分運(yùn)算,一個(gè)直觀的想法是構(gòu)造一個(gè)與 結(jié)構(gòu)和參數(shù)相同的仿真系統(tǒng) 來(lái)觀測(cè)系統(tǒng)實(shí)際狀態(tài)x(t),且讓 與 具有相同的輸入,如圖5-5所示。 )(oCB,A,)(GCB,A,Go圖5-5 開(kāi)環(huán)觀測(cè)

20、器 顯然,在假設(shè)矩陣A, B和C在實(shí)際被控對(duì)象 中及其計(jì)算機(jī)仿真系統(tǒng) 中相同的前提下,只要設(shè)置 的初態(tài)與 的初態(tài)相同,即 ,則可保證重構(gòu)狀態(tài) 與系統(tǒng)的實(shí)際狀態(tài) 始終相同。盡管只要 能觀,根據(jù)輸入和輸出的測(cè)量值總能計(jì)算出系統(tǒng)的初態(tài) ,但每次應(yīng)用圖5-5所示的開(kāi)環(huán)觀測(cè)器均要計(jì)算 并設(shè)置 ,計(jì)算量太大。另一方面,開(kāi)環(huán)觀測(cè)器的觀測(cè)誤差 所滿足的微分方程為 oGGo)()( 00ttxx)( tx)(txo)(0tx)(0tx)( 0tx)(txxAxxAxx)()( )()( )(tttttx(5-37) 而由于存在外界擾動(dòng)和設(shè)置誤差,通常 ,即 ,這時(shí)由式(5-37)可得觀測(cè)誤差 為 )()( 00

21、ttxx0 x)(0t)(tx)()( )()(00)(0)(00ttetetttttxxAxAx(5-38) 式(5-38)表明,只有當(dāng) 的系統(tǒng)矩陣A的特征值均具有負(fù)實(shí)部時(shí), 才滿足觀測(cè)器存在條件,即當(dāng)時(shí)間足夠長(zhǎng)時(shí),觀測(cè)誤差 趨于零,實(shí)現(xiàn)狀態(tài)重構(gòu);若 為不穩(wěn)定系統(tǒng),則 將不能復(fù)現(xiàn) 。一般而言, 開(kāi)環(huán)觀測(cè)器也無(wú)實(shí)用價(jià)值。 o)(txo)( tx)(tx 可應(yīng)用反饋控制原理對(duì)圖5-5所示的開(kāi)環(huán)觀測(cè)器方案進(jìn)行改進(jìn),即引入觀測(cè)誤差 負(fù)反饋,以不斷修正仿真系統(tǒng),加快觀測(cè)誤差趨于零的速度。 但 不可直接量測(cè),而 對(duì)應(yīng) ,且系統(tǒng)輸出估計(jì)值與實(shí)際值的誤差 可量測(cè),故引入輸出偏差 負(fù)反饋至觀測(cè)器的 處,構(gòu)成以

22、u和y為輸入、 為輸出的閉環(huán)漸近狀態(tài)觀測(cè)器,如圖5-6所示,其采用了輸出反饋的另一種結(jié)構(gòu),是一種較實(shí)用的觀測(cè)器結(jié)構(gòu)。 )()( )(tttxxx)(tx0)(tx0CxxCyy)()( )()( tttt)()( ttyy)()( ttyyx)( tx圖5-6 閉環(huán)(漸近)狀態(tài)觀測(cè)器 圖5-6中, G為 輸出偏差反饋增益矩陣(m為系統(tǒng)輸出變量的個(gè)數(shù))，且其為實(shí)數(shù)陣。mn 由圖5-6可得閉環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)方程為 BuGyxGCABuGyxGCxABuyyGxAx)()(5-39) 由式(5-39)及待觀測(cè)系統(tǒng) 的狀態(tài)方程,可得閉環(huán)觀測(cè)器的觀測(cè)誤差 所滿足的微分方程為 o)(txxGCAxxGC

23、Axx)()()( )()()( )(tttttx(5-40) 設(shè)初始時(shí)刻 ,式(5-40)的解為 00t)0()0( )0()()()(xxAxAxtGCtGCeet (5-41) 式(5-40)及式(5-41)表明,若通過(guò)選擇輸出偏差反饋增益矩陣G使A-GC的所有特征值均位于復(fù)平面的左半開(kāi)平面,盡管初始時(shí)刻 時(shí) 與 存在差異,觀測(cè)器的狀態(tài) 仍將以一定精度和速度漸漸逼近系統(tǒng)的實(shí)際狀態(tài) ,即滿足式(5-35)所示的漸近等價(jià)指標(biāo),故閉環(huán)觀測(cè)器也稱為漸近觀測(cè)器。顯然, 觀測(cè)誤差 趨于零的收斂速率由觀測(cè)器系統(tǒng)矩陣A-GC的主特征值決定,可證明若 能觀,則閉環(huán)觀測(cè)器的極點(diǎn)即A-GC的特征值可通過(guò)選擇偏

24、差反饋增益矩陣G而任意配置。 00t)0(x)0( x)( tx)(tx)(tx)(oCB,A,1. 閉環(huán)觀測(cè)器極點(diǎn)任意配置的充分必要條件閉環(huán)觀測(cè)器極點(diǎn)任意配置的充分必要條件 定理5-8 圖5-6中的閉環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器的極點(diǎn)可任意配置的充分必要條件是被控系統(tǒng) 能觀測(cè)。 )(oCB,A, 系統(tǒng)能觀測(cè),只是其觀測(cè)器存在的充分條件,并非必要條件。對(duì)系統(tǒng) ,觀測(cè)器存在的充分必要條件是 的不能觀子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。 )(oCB,A,o2. 輸出偏差反饋增益矩陣輸出偏差反饋增益矩陣G的設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì) 全維閉環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)就是確定合適的輸出偏差反饋增益矩陣G,使A-GC具有期望的特征值,從而使由式(5-40)描述

25、的觀測(cè)誤差動(dòng)態(tài)方程以足夠快的響應(yīng)速度漸近穩(wěn)定。 狀態(tài)完全能觀測(cè)的單輸入單輸出系統(tǒng),閉環(huán)觀測(cè)器的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)可仿照5.4節(jié)介紹的狀態(tài)完全能控的單輸入單輸出系統(tǒng)用狀態(tài)反饋進(jìn)行閉環(huán)極點(diǎn)配置的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行;也可基于對(duì)偶原理采用在對(duì)偶系統(tǒng)中由狀態(tài)反饋配置閉環(huán)極點(diǎn)方法確定狀態(tài)反饋增益陣F,再根據(jù) 確定原系統(tǒng)觀測(cè)器偏差反饋增益矩陣G。 TFG 若單輸入單輸出系統(tǒng) )(oCB,A,CxBuAxxy狀態(tài)完全能觀，其特征多項(xiàng)式為 nnnnasasasssf111odet)(AI（5-42） 設(shè) 為閉環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器系統(tǒng)矩陣期望特征值，對(duì)應(yīng)的期望特征多項(xiàng)式為 ), 2, 1(niinnnnniiasasasssp111

26、1)()(（5-43） 若 為能觀標(biāo)準(zhǔn)型,則所需的觀測(cè)器偏差反饋增益矩陣為 )(oCB,A,1111OaaaaaannnnG(5-44) 若 不為能觀標(biāo)準(zhǔn)型,則可采用如下變換（設(shè) 為能觀標(biāo)準(zhǔn)型變換陣） )(oCB,A,oTxTxo（5-45） 將系統(tǒng))(oCB,A,CxBuAxxy_o)(C,B,AxCuBxAxy化為能觀標(biāo)準(zhǔn)型其中, 1000,100010001000o1o121o1oCTCBTBATTAaaaannn則先用式（5-44）求出能觀標(biāo)準(zhǔn)型 對(duì)應(yīng)的 下的觀測(cè)器增益矩陣 ,然后再將 下求得的 變換到原狀態(tài)x下下,即得重構(gòu)系統(tǒng) 狀態(tài)x所需的觀測(cè)器偏差反饋增益矩陣為 _o)(C,B,A

27、xoGx)(oCB,A,oG1111ooo21aaaaaagggnnnnnTGTG(5-46) 式中, (5-47) 11111o111nnaaaCACACT 【例5-4】被控系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達(dá)式為 )(oCB,A,xxx11101031yu試設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器使其極點(diǎn)為-3，-3。 解 (1)nQo22111rank)(rankrankCAC所以，系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀，可建立狀態(tài)觀測(cè)器, 且觀測(cè)器的極點(diǎn)可任意配置。 (2) 確定閉環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器系統(tǒng)矩陣的期望特征多項(xiàng)式 觀測(cè)器系統(tǒng)矩陣 的期望特征值為 ，對(duì)應(yīng)的期望特征多項(xiàng)式為 GCA 3*2*1 96) 3)(3()()(221sssssssp則

28、 ， ， 92a61a(3) 求所需的觀測(cè)器偏差反饋增益矩陣 Tgg21G方法一 規(guī)范算法規(guī)范算法 在例5-2中已求得系統(tǒng) 的特征多項(xiàng)式為 )(oCB,A,1)(2o ssp,則 ， 12a01a 根據(jù)式（5-44），能觀標(biāo)準(zhǔn)型 對(duì)應(yīng)的 下的狀態(tài)觀測(cè)器增益矩陣為 _o)(C,B,Ax61006) 1(91122oaaaaG按式（5-47）將 化為能觀標(biāo)準(zhǔn)型 的變換矩陣 為 )(oCB,A,_o)(C,B,AoT11211121211101100111111oCACaT 則根據(jù)式（5-46），重構(gòu)系統(tǒng) 狀態(tài)x所需的觀測(cè)器偏差反饋增益矩陣G為 )(oCB,A,4261011211122ooo21a

29、aaaggTGTG方法二 解聯(lián)立方程解聯(lián)立方程 與狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置的情況類似,若系統(tǒng)是低階的,將觀測(cè)器偏差反饋增益矩陣G直接代入所期望的特征多項(xiàng)式往往較為簡(jiǎn)便。觀測(cè)器系統(tǒng)矩陣 的特征多項(xiàng)式為 GCA 12)(131103100det)(det)(1221222112211oggsggsgsgggsggggsssspGCAI 令 ，即 ，比較等式兩邊同次冪項(xiàng)系數(shù),得如下聯(lián)立方程 )()(spspo9612)(212212ssggsggs91262121gggg解之，得 ， 21g42g(4) 由式(5-39),觀測(cè)器的狀態(tài)方程為 )(42101031)(yyuyyuxGBxAx圖5-7

30、例5-4圖 或 uyuy10425411)(xBGxGCAx 被控系統(tǒng)及全維狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)變量圖如圖5-7(a)或圖5-7 (b)所示。 若多變量系統(tǒng)能觀且輸出矩陣C的秩為m,則系統(tǒng)的m個(gè)狀態(tài)變量可用系統(tǒng)的m個(gè)輸出變量直接代替或線性表達(dá)而不必重構(gòu),只需建立(n-m) 維的降維觀測(cè)器(常稱為L(zhǎng)uenberger觀測(cè)器)對(duì)其余的(n-m)個(gè)狀態(tài)變量進(jìn)行重構(gòu)。 設(shè)能觀測(cè)被控系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達(dá)式為 )(oCB,A,CxBuAxxy (5-51) 輸出矩陣C的秩為m, (n-m) 維降維觀測(cè)器的一般設(shè)計(jì)方法如下: 構(gòu)造 非奇異矩陣T為 nnCTTmn (5-52) 式中, 是使矩陣T非奇異而任意選擇

31、的(n-m) 個(gè)行向量組成的 矩陣。 mnTnmn)(CxBuAxxy（1）選）選T使使CT-1=0 ImmnQQT1(5-53) mmnnmmnmmnmnmnmmnmnI00IICQCQQTQTQQCTTT1xTx1CTTmnxI0 xQQCxCxCTyuBxATBuxTATxmmmn11IIIII21III22211211IIIxxxI0yuBBxxAAAAxxm（5-56b） IIxy xI0 xQQCxCxCTyuBxATBuxTATxmmmn11uByAxuByAxAx222I21112I11IAy uByAz222 y I21112I11IxzuByAxAxA(2) 重構(gòu)狀態(tài)的狀態(tài)

32、方程和輸出方程重構(gòu)狀態(tài)的狀態(tài)方程和輸出方程（1）選）選T使使CT-1=0 I 由系統(tǒng) 能觀,易證明子系統(tǒng) 能觀,即 為能觀測(cè)對(duì),故可仿照全維觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法,對(duì)(n-m)維子系統(tǒng) 設(shè)計(jì)(n-m)維觀測(cè)器重構(gòu) 。)(oCB,A,),(2111AAIxIIuByAuByAyGxAGAx1122221I21111I)()(式中, 反饋矩陣 為 矩陣,根據(jù)定理5-8,通過(guò)適當(dāng)選擇 可任意配置系統(tǒng)矩陣 的特征值。但式(5-60)中含有系統(tǒng)輸出的導(dǎo)數(shù) ,這是不希望的。為了消去式(5-60)中的 , 將變換 1Gmmn)(1G)(21111AGAy y yGxw1II21112I11IxzuByAxAxABu

33、GyxGCAx )(uByAz222 y （3）對(duì)）對(duì) 設(shè)計(jì)觀設(shè)計(jì)觀測(cè)器測(cè)器1_xyGxw1I(5-61) 代入式(5-60)并整理,得降維觀測(cè)器方程為 yGwxyAGAGAGAuBGBwAGAuBGByAGAyGwAGAw1I221121211112112111121122112121111)()()()()()(5-62) 結(jié)合 ,整個(gè)狀態(tài)向量 的估值可表示為 yx IIxyyGwxxx1III (5-64) uByAuByAyGxAGAx1122221I21111I)()(（4）換回到原系統(tǒng)）換回到原系統(tǒng)yyGwQQxxQQxTx1III1mmnmmnyyGwxxx1IIIyx IIyG

34、wxyAGAGAGAuBGBwAGAuBGByAGAyGwAGAw1I221121211112112111121122112121111)()()()()()(【例5-5】設(shè)系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達(dá)式為 )(oCB,A,xxx101101111807404yu試設(shè)計(jì)極點(diǎn)為-4,-4的降維狀態(tài)觀測(cè)器。 解 (1)nCACAC317518515101rankrank2故系統(tǒng)能觀。又 ,故可構(gòu)造 維 降維觀測(cè)器。 1rankCm2 mn(2) 根據(jù)式(5-52),構(gòu)造 非奇異矩陣T為nn101010001CTTmn則, 1010100011T作變換 ,則將 變換為 ,即 xTx1)(oCB,A,_o)(

35、C,B,AxxCxCTyuxuBxATBuxTATx10000151080140011由于 ,故只需設(shè)計(jì)二維觀測(cè)器重構(gòu) 。將 分塊,得 yx 3IIx21IxxxB,A0,01,5,10,84,01002122211211BBAAAA(3)求降維觀測(cè)器的 反饋矩陣 mmn)(211ggG 由降維觀測(cè)器特征多項(xiàng)式 12221211111det)(det)(ggggfAGAI及期望特征多項(xiàng)式 168)4)(4()(2f 比較 與 各相應(yīng)項(xiàng)系數(shù),聯(lián)立方程并解之,得 )(f)(f816211ggG(4)在變換后狀態(tài)空間中的降維觀測(cè)器狀態(tài)方程為 ywywywwyxxyuww816816962040181

36、160)()()(2121121I212211212111121121111GwxyAGAGAGAuBGBwAGAw 則 所對(duì)應(yīng)狀態(tài)向量 的估值為 _o)(C,B,Axyywywyx81621I3Ixxx(5)將 變換為原系統(tǒng)狀態(tài)空間,得到原系統(tǒng) 的狀態(tài)重構(gòu)為 x)(oCB,A,ywywywyywyw15816816101010001121211xTx 由降維觀測(cè)器狀態(tài)方程可畫出其結(jié)構(gòu)圖如圖5-9所示。 ywywywyywyw15816816101010001121211xTxyuww96204018116021w 帶有全維狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)如圖5-10所示。 圖5-10 帶有漸近狀態(tài)觀

37、測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng) 設(shè)能控且能觀的被控系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達(dá)式為 )(oCB,A,CxBuAxxy(5-66) 漸近狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)方程為 BuGyxGCAx)(5-67) 利用觀測(cè)器的狀態(tài)估值 所實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)反饋控制律為 x (5-68) xFvu 將式（5-68）代入式（5-66）、式（5-67）得整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 CxBvGCxxBFGCAxBvxBFAxxy)(（5-69） 式（5-69）寫成矩陣形式，即 xx0CyvBBxxBFGCAGCBFAxx(5-70) 這是一個(gè)2n維的復(fù)合系統(tǒng)。為便于研究復(fù)合系統(tǒng)的基本特性，對(duì)式(5-70)進(jìn)行線性非奇異變換 xxxII0Ixxnn

38、n (5-71) 則xxx0Cyv0BxxxGCA0BFBFAxxx（5-72） 根據(jù)式（5-72）可得2n維復(fù)合系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為 )()()()(GCAIBFAIGCAI0BFBFAInnnnssss (5-73) 式（5-73）表明, 由觀測(cè)器構(gòu)成狀態(tài)反饋的2n維復(fù)合系統(tǒng)，其特征多項(xiàng)式等于矩陣A-BF的特征多項(xiàng)式 與矩陣A-GC的特征多項(xiàng)式 的乘積。即2n維復(fù)合系統(tǒng)的2n個(gè)特征值由相互獨(dú)立的兩部分組成：一部分為直接狀態(tài)反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A-BF的n個(gè)特征值；另一部分為狀態(tài)觀測(cè)器的系統(tǒng)矩陣A-GC的n個(gè)特征值。復(fù)合系統(tǒng)特征值的這種性質(zhì)稱為分離特性。 )(BFAIns)(GCAIns 只要被

39、控系統(tǒng) 能控能觀，則用狀態(tài)觀測(cè)器估值形成狀態(tài)反饋時(shí)，可對(duì) 的狀態(tài)反饋控制器及狀態(tài)觀測(cè)器分別按各自的要求進(jìn)行獨(dú)立設(shè)計(jì)，即先按閉環(huán)控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)要求確定A-BF的特征值，從而設(shè)計(jì)出狀態(tài)反饋增益陣F；再按狀態(tài)觀測(cè)誤差趨于零的收斂速率要求確定A-GC的特征值，從而設(shè)計(jì)出輸出偏差反饋增益矩陣G;最后，將兩部分獨(dú)立設(shè)計(jì)的結(jié)果聯(lián)合起來(lái)，合并為帶狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)。)(oCB,A,)(oCB,A,【例5-6】被控系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達(dá)式為 )(oCB,A,xxx11101031yu試設(shè)計(jì)極點(diǎn)為-3,-3的全維狀態(tài)觀測(cè)器，構(gòu)成狀態(tài)反饋系統(tǒng)，使閉環(huán)極點(diǎn)配置為 和 。 j1j1解 由例5-2及例5-4知，此被控

40、系統(tǒng) 能控能觀，可分別獨(dú)立設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋增益陣F和觀測(cè)器偏差反饋增益矩陣G。 )(oCB,A, 例5-2中已求出此被控系統(tǒng)采用直接狀態(tài)反饋使其即為本題所設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋增益陣 23521ffF閉環(huán)極點(diǎn)配置為-1+j和-1-j所需的，。 而在例5-4中已求出此被控系統(tǒng)無(wú)狀態(tài)反饋時(shí)，即為本題所設(shè)計(jì)的觀測(cè)器偏差反饋增益矩陣G。 4221ggG使觀測(cè)器極點(diǎn)配置為-3,-3所需的，其 故設(shè)計(jì)好的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)變量圖如圖5-11所示。 圖5-11 例5-6圖 解 因被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)不存在零極點(diǎn)對(duì)消,且其為單變量系統(tǒng),故其能控能觀。狀態(tài)反饋控制與狀態(tài)觀測(cè)器可分別獨(dú)立設(shè)計(jì)。 【例5-7】設(shè)被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為且假

41、設(shè)系統(tǒng)輸出量是可以準(zhǔn)確測(cè)量, 試設(shè)計(jì)降維觀測(cè)器，構(gòu)成狀態(tài)反饋系統(tǒng)，使閉環(huán)極點(diǎn)配置為 。 )6(1)(osssGj66 , 被控系統(tǒng)按能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn),即有 為 xxx10016100yu)(oCB,A,(1)根據(jù)閉環(huán)極點(diǎn)配置要求設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋增益陣F 令 ,則 特征多項(xiàng)式為 21ffF)(BFA )6()6(61)(det)(211221FffsfssffssspBFAI 與期望特征多項(xiàng)式 7212)66)(66()(2ssjsjsspF比較得 36621ffF(2)設(shè)計(jì)降維觀測(cè)器 為能觀標(biāo)準(zhǔn)型,有 ,又輸出量y可準(zhǔn)確測(cè)量, 故只需設(shè)計(jì)一維觀測(cè)器重構(gòu) ,對(duì)應(yīng)的降維觀測(cè)器狀態(tài)方程為 )(oCB,A,

42、yx 21xy112211212111121121111)()()(GwxyAGAGAGAuBGBwAGAw 式中, , 11gG0, 1,6, 1,0,02122211211BBAAAA 基于通常選擇觀測(cè)器的響應(yīng)速度比所考慮的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)快25倍這一經(jīng)驗(yàn)規(guī)則,本例取觀測(cè)器期望極點(diǎn)為 15)6(5 . 2則降維觀測(cè)器特征多項(xiàng)式 1121111)0()(det)(ggfAGAI與期望特征多項(xiàng)式 15)(f比較得 1511 gG則降維觀測(cè)器狀態(tài)方程為 ywxuywyuww15135156151515(151又 ,則 所對(duì)應(yīng)狀態(tài)向量 的估值為 yx 2)(oCB,A,xyywxx1521x(3)

43、將兩部分獨(dú)立設(shè)計(jì)的結(jié)果聯(lián)合起來(lái)，得帶降維觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu),如圖5-12所示。 圖5-12 例5-7圖 設(shè)多變量線性定常系統(tǒng) 的輸入向量維數(shù)與輸出向量維數(shù)相等,其狀態(tài)空間表達(dá)式為 )(oCB,A, （5-74） CxBuAxxy式中， 均為m維列向量； 為n維列向量;A,B,C分別為 實(shí)數(shù)矩陣,且設(shè) 。與式（5-74）對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)陣為 y,uxnmmnnn,nm)()()()()()()()()()()(2122221112111sGsGsGsGsGsGsGsGsGssmmmmmmBAICG(5-75) 式中, 為m階嚴(yán)格真有理函數(shù)方陣; 為 的第i行第j列元素,表示第i個(gè)輸出量與第j

44、個(gè)輸入量之間的傳遞函數(shù)。若系統(tǒng)初始為零狀態(tài),則其輸入輸出關(guān)系為 )(sG)(sGij)(sG)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(22112222121212121111susGsusGsusGsysusGsusGsusGsysusGsusGsusGsymmmmmmmmmm (5-76) 由式(5-76)可見(jiàn), 一般情況下,多變量系統(tǒng)的每一輸入分量對(duì)多個(gè)(或所有)輸出分量均有控制作用,即每一輸出分量受多個(gè)(或所有)輸入分量的控制。這種第j個(gè)輸入量控制第i個(gè)輸出量( )的關(guān)系稱為輸入輸出間的耦合作用,這種耦合使多變量系統(tǒng)的控制通常十分困難,例如, 就

45、難以找到合適的輸入量,達(dá)到控制某一輸出分量而不影響其它輸出分量的要求。因此,有必要引入合適的控制律,使輸入輸出相互關(guān)聯(lián)的多變量系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)解耦,即實(shí)現(xiàn)每個(gè)輸出分量?jī)H受一個(gè)對(duì)應(yīng)輸入分量控制,每個(gè)輸入分量也僅能控制對(duì)應(yīng)的一個(gè)輸出分量。 ji 顯然, 解耦系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣必為對(duì)角線形的非奇異矩陣,由此解耦系統(tǒng)的定義出發(fā),使多變量系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)解耦的基本思路是通過(guò)引入控制裝置使系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣對(duì)角化,而具體實(shí)現(xiàn)方法主要有前饋補(bǔ)償器解耦、輸入變換與狀態(tài)反饋相結(jié)合解耦等。 采用前饋補(bǔ)償器實(shí)現(xiàn)解耦的方法如圖5-13所示,在待解耦系統(tǒng)前串聯(lián)一個(gè)前饋補(bǔ)償器,使串聯(lián)后總的傳遞函數(shù)陣成為對(duì)角形的有理函數(shù)矩陣。 圖5-13

46、前饋補(bǔ)償器實(shí)現(xiàn)解耦 圖5-13中,待解耦系統(tǒng)和前饋補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)陣分別為 和 ,則串接補(bǔ)償器后整個(gè)系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)陣為 )(osG)(csG (5-77) )()()(cosssGG令 (5-78) )()()()(2211ssssmm 顯然,只要待解耦系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣 滿秩,即 的逆 存在,則可采用如式(5-79)所示的前饋補(bǔ)償器使系統(tǒng)獲得解耦,即 )(osG)(osG)(1osG)()()(1ocsssGG (5-79) 式中, 為串接補(bǔ)償器后解耦系統(tǒng)的對(duì)角形傳遞函數(shù)陣,如式(5-78)所示。 )(s 串接前饋補(bǔ)償器解耦的原理雖然簡(jiǎn)單,但其增加了系統(tǒng)的維數(shù),且其實(shí)現(xiàn)受到 是否存在及 物理上

47、是否可實(shí)現(xiàn)的限制。 )(1osG)(csG 采用輸入變換與狀態(tài)反饋相結(jié)合方式以實(shí)現(xiàn)閉環(huán)輸入輸出間解耦控制的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖5-14所示。 圖5-14 采用輸入變換與狀態(tài)反饋相結(jié)合實(shí)現(xiàn)解耦 圖5-14中, 待解耦系統(tǒng) 狀態(tài)空間表達(dá)式及傳遞函數(shù)陣分別如式(5-74)及式(5-75)所示;狀態(tài)反饋增益陣F為 實(shí)常數(shù)陣;輸入變換陣K為 實(shí)常數(shù)非奇異陣;v為m維參考輸入信號(hào)列向量。 )(oCB,A,nmmm 由圖5-14可見(jiàn),為實(shí)現(xiàn)閉環(huán)解耦控制,對(duì) 采用的控制律為 )(oCB,A, (5-80) FxKvu 將式(5-80)代入式(5-74),得圖5-14所示閉環(huán)系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達(dá)式及傳遞函數(shù)矩陣,即 F

48、KCxyBKvxBFAx)(BKBFAICG1)()(ssFK(5-81)(5-82)因此,待解耦系統(tǒng) 采用式(5-80)所示控制律實(shí)現(xiàn)閉環(huán)解耦問(wèn)題在頻域中可簡(jiǎn)單描述如下:尋找適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)反饋增益矩陣F和輸入變換陣K,使式(5-82)所示的閉環(huán)系統(tǒng) 的傳遞函數(shù)陣為對(duì)角形矩陣。 )(oCB,A,FK 定義 是0(n-1)之間滿足下式 id0BACidi(5-83)的最小整數(shù)。式中, 為 輸出矩陣C的第i行向量, 故相應(yīng)的 的下標(biāo)i表示行數(shù) 。若對(duì) ,均有 ,則令 。 根據(jù) ,定義 維矩陣 iC)(oCB,A,id), 2 , 1(mi1, 1, 0nl0BAliC1 ndiidmmBACBACBA

49、CBmdmdd2121 (5-84) 定理5-9 系統(tǒng)系統(tǒng) 采用式采用式(5-80) 所示所示輸入變換與狀態(tài)反饋相結(jié)合控制律可解耦的充要條輸入變換與狀態(tài)反饋相結(jié)合控制律可解耦的充要條件是式件是式(5-84)所示矩陣所示矩陣 非奇異非奇異。 )(oCB,A,B 定理5-10 當(dāng)系統(tǒng)當(dāng)系統(tǒng) 可以式可以式(5-80) (5-80) 所所示輸入變換與狀態(tài)反饋相結(jié)合控制律解耦時(shí)示輸入變換與狀態(tài)反饋相結(jié)合控制律解耦時(shí), , 若取輸若取輸入變換陣入變換陣K及狀態(tài)反饋增益陣及狀態(tài)反饋增益陣F為為 )(oCB,A,112111211211212121mmmdmdddmdddmddACACACBACBACBACF

50、BACBACBACBK(5-85) 則所得閉環(huán)系統(tǒng)則所得閉環(huán)系統(tǒng) FKCxyBKvxBFAx)( (5-86) 是積分型解耦系統(tǒng)是積分型解耦系統(tǒng),其傳遞函數(shù)陣為其傳遞函數(shù)陣為 )1()1()1(121)()(mdddFKsssssBKBFAICG(5-87) MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中提供了極點(diǎn)配置函控制系統(tǒng)工具箱中提供了極點(diǎn)配置函數(shù)數(shù)place( )和和acker( ),可用于求解狀態(tài)反饋增益矩陣?？捎糜谇蠼鉅顟B(tài)反饋增益矩陣。其中其中, 函數(shù)函數(shù)place( )可求解多變量系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問(wèn)題可求解多變量系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問(wèn)題,但該函數(shù)不適用于含有多重期望極點(diǎn)的問(wèn)題但該函數(shù)不適用于含有多重期望極

51、點(diǎn)的問(wèn)題;函數(shù)函數(shù)acker( )只適用于設(shè)計(jì)狀態(tài)變量數(shù)目不多只適用于設(shè)計(jì)狀態(tài)變量數(shù)目不多( )的單的單輸入單輸出系統(tǒng)輸入單輸出系統(tǒng),可以求解配置多重極點(diǎn)的問(wèn)題可以求解配置多重極點(diǎn)的問(wèn)題,但該但該函數(shù)不能求解多變量系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問(wèn)題。函數(shù)不能求解多變量系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問(wèn)題。10 極點(diǎn)配置函數(shù)的調(diào)用格式為 ),(placePBAF ),(ackerPBAF (5-88)(5-89)式(5-88)和式(5-89)中,A 、B分別為被控系統(tǒng) 的系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣;P P為由n個(gè)期望閉環(huán)極點(diǎn) 構(gòu)成的向量;F為實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)配置所需的狀態(tài)反饋增益矩陣。 )(oCB,A,), 2, 1(nii 單輸入單輸出系

52、統(tǒng)全維觀測(cè)器的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)可基于對(duì)偶原理,應(yīng)用MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中的函數(shù)place( )和acker( )直接求解。 【例5-9】 應(yīng)用MATLAB極點(diǎn)配置函數(shù)求解例5-4的全維觀測(cè)器設(shè)計(jì)問(wèn)題。 解 求解程序如MATLAB Program 5_3 %MATLAB Program 5_3 A=1 3;0 -1; C=1 1; P=-3;-3; %由觀測(cè)器期望極點(diǎn)構(gòu)成向量PGt=acker(A,C,P); %求對(duì)偶系統(tǒng) 的狀態(tài)反饋增益陣Gt %求系統(tǒng) 的觀測(cè)器偏差反饋增益矩陣G ),(oBC,A)(oCB,A,G=Gt 運(yùn)行MATLAB Program 5_3程序后,得 ,若再鍵入如下指令

53、 42Geig(A-G*C) 可驗(yàn)證狀態(tài)觀測(cè)器極點(diǎn)確被配置到期望位置-3 ，-3處。 當(dāng)單輸入單輸出被控系統(tǒng) 僅采用狀態(tài)反饋控制律 時(shí), 閉環(huán)系統(tǒng) 對(duì)單位階躍參考輸入信號(hào)的跟蹤誤差為 )(oCB,A,Fx vu)(FCB,BF,ABBFAC1pF)(1e(5-88) 為了提高系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度, 基于狀態(tài)空間綜合法的一種簡(jiǎn)單實(shí)現(xiàn)方法是除了按極點(diǎn)配置法確定狀態(tài)反饋增益陣F外,還引入輸入變換放大器K,如圖5-15所示。 圖5-15 帶有輸入變換的狀態(tài)反饋系統(tǒng) 由圖5-15可見(jiàn), 單輸入單輸出被控系統(tǒng) 采用輸入變換和狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 )(oCB,A,KssWBBFAIC1FK)()(5-89

54、) 對(duì)單位階躍參考輸入信號(hào)的跟蹤誤差 KeBBFAC1pFK)(1 (5-90) 可通過(guò)設(shè)置輸入變換放大系數(shù)K進(jìn)行調(diào)整。由式(5-90)可推出選擇K使系統(tǒng)對(duì)階躍參考輸入信號(hào)產(chǎn)生零穩(wěn)態(tài)誤差的條件為 1)(1KBBFAC (5-91) 以上討論未考慮系統(tǒng)的外部擾動(dòng)。但實(shí)際系統(tǒng)的外部干擾作用是難免的,致使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)不能理想跟蹤參考輸入而產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差。由經(jīng)典控制理論知, 單輸入單輸出系統(tǒng)可采用在系統(tǒng)偏差后面串入積分器作為控制器的一部分來(lái)抑制與消除穩(wěn)態(tài)誤差,將這一思想應(yīng)用到多輸入多輸出系統(tǒng)中,可讓m維誤差向量e的每一分量后面均串入積分器,構(gòu)造圖5-16所示的狀態(tài)反饋加狀態(tài)反饋加積分器校正的輸出反饋系統(tǒng)積

55、分器校正的輸出反饋系統(tǒng)。 圖5-16狀態(tài)反饋加積分器校正的輸出反饋系統(tǒng) 圖5-16中, n維列向量d為擾動(dòng)輸入; 分別為n維,r維和m維列向量；A,B,C分別為 實(shí)數(shù)矩陣; , 分別為 , 實(shí)數(shù)矩陣。將m個(gè)積分器生成的w作為附加狀態(tài)向量,與原被控系統(tǒng)可構(gòu)成被控系統(tǒng)增廣的動(dòng)態(tài)方程 y,u,xnmrnnn,1K2Knr mr wx0Cyvdu0Bwx0C0Awx(5-92) 增廣系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制律為 wKxKwxKKu2121(5-93) 式(5-93)中的第一項(xiàng) 為被控系統(tǒng)的普通狀態(tài)負(fù)反饋, 第二項(xiàng) 是為改善穩(wěn)態(tài)性能而引入的誤差的積分信號(hào)。只有式(5-92)所描述的n+m維增廣系統(tǒng)狀態(tài)完全能控

56、, 才可采用式(5-93)所示的狀態(tài)反饋改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。 )(1xKwK2 容易證明,增廣系統(tǒng)能控的充要條件為原被控系統(tǒng) 能控,且 )(oCB,A,mn 0CBArank(5-94) 顯然, 式(5-94)成立的必要條件為系統(tǒng)的控制維數(shù)不得少于誤差的維數(shù) ( )且 mr mCrank 將式(5-93)代入式(5-92)可得由式(5-92)和式(5-93)組成的狀態(tài)反饋增廣系統(tǒng)(見(jiàn)圖5-16)的動(dòng)態(tài)方程為 wx0Cyvdwx0CBKBKAwx21(5-95) 式中, 和 由期望的閉環(huán)極點(diǎn)配置決定,而且,只要式(5-92)所示增廣系統(tǒng)能控,則能實(shí)現(xiàn)式(5-95) 所示閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣特

57、征值的任意配置?？梢宰C明,只要 和 選得使式(5-95)的特征值均具有負(fù)實(shí)部,則圖5-16所示閉環(huán)系統(tǒng)可消除階躍擾動(dòng)及階躍參考輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。 1K2K1K2K圖5-17 單倒立擺控制系統(tǒng) 設(shè)有一單倒立擺(擺桿和其上的擺錘)用鉸鏈安裝在由伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)的小車上,如圖5-17所示。這是空間起飛助推器的姿態(tài)控制模型,其控制目標(biāo)是使空間助推器保持在垂直位置。在該例中, 僅考慮倒立擺和小車在圖5-17所示平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的二維問(wèn)題。倒立擺是不穩(wěn)定的,若不給小車在水平方向施加適當(dāng)?shù)目刂屏, 倒立擺就不能保持在垂直位置而會(huì)向左或向右傾倒。 為簡(jiǎn)化問(wèn)題,忽略擺桿質(zhì)量、伺服電機(jī)慣性及擺軸、輪軸、輪與接觸面之間

58、的摩擦力及風(fēng)力,設(shè)小車的質(zhì)量M=2kg, 擺錘的質(zhì)量m=0.1kg, 擺桿的長(zhǎng)度l=0.5m,控制的目的是盡可能地保持倒立擺垂直且使盡可能地保持倒立擺垂直且使小車停留在任意給定但可變更的位置上小車停留在任意給定但可變更的位置上。 1. 建立被控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 圖5-18 受力圖 圖5-17中, 為擺桿偏離垂線的角度(rad), z為小車水平方向的瞬時(shí)位置坐標(biāo), 則擺錘重心的水平、垂直坐標(biāo)分別為 、 。圖5-18所示為擺桿-擺錘聯(lián)合體及小車受力圖(忽略摩擦力),其中 、 分別為小車通過(guò)鉸鏈作用于擺桿的力的水平、垂直分量(見(jiàn)圖5-18(a)sin(lz lcosHfVf及其對(duì)應(yīng)的反作用力(見(jiàn)圖5-

59、18 (b) 。 擺桿-擺錘聯(lián)合體的運(yùn)動(dòng)可分解為重心的水平運(yùn)動(dòng)、重心的垂直運(yùn)動(dòng)及繞重心的轉(zhuǎn)動(dòng)這3個(gè)運(yùn)動(dòng),由牛頓力學(xué)定律,描述這3個(gè)運(yùn)動(dòng)的方程分別為 )sin(dd22lztmfH)cos(dd22ltmmgfV0ddcossin22tJlflfHV(5-96)(5-97)(5-98) 小車的水平運(yùn)動(dòng)方程為 22ddtzMfuH (5-99) 將式(5-96)代入式(5-99)得 (5-100) )sin(dddd2222lztmtzMu 將式(5-96) 、式(5-97)代入式(5-98)得 0cos)sin(ddsin)cos(dd2222llztmlltmmg(5-101) 當(dāng) 很小時(shí),用 可將式(5-100)及式(5-101) 近似為 1cos,sinulmzmM )(mglmlzml 2(5-102) (5-103) 聯(lián)立式(5-102) 及