集成電子技術(shù)基礎(chǔ)教程：第3篇 第三章 邏輯代數(shù)與基本邏輯電路1

1、第三章第三章 邏輯代數(shù)與基本邏輯電路邏輯代數(shù)與基本邏輯電路3.3.1 邏輯代數(shù)一、邏輯運算定律，常用公式及運算規(guī)則 邏輯運算中，只有邏輯“加”、邏輯“乘”和求“反”運算，沒有減法和除法運算序號序號 “或或”組組“與與”組組定律定律1A+0=AA1=A0-1律2A+1=1A0=03A+A=AAA=A重疊律4A+A=1AA=0互補律5A=A 否定之否定律6A+B=B+AAB=BA交換律7A+(B+C)=(A+B)+CA(BC)=(AB)C 結(jié)合律8A+BC=(A+B)(A+C)A(B+C)=AB+AC分配律9A+B+C=ABCABC=A+B+C 摩根定律1邏輯代數(shù)中的基本運算定律邏輯代數(shù)中的基本運

2、算定律對分配律分配律A+BC=(A+B)(A+C)的證明A+BC=A(1+B+C)+BC=A+AB+AC+BC=AA+AB+AC+BC=A(A+B)+C(A+B)=(A+B)(A+C)對AB=A+B、A+B=AB摩根定律的真值表證明（窮舉所有可能）（窮舉所有可能）ABABABABA+B A+B A+B AB00110110110110011100100101110011001001002 .運算規(guī)則運算規(guī)則代入規(guī)則：在任何一個邏輯等式中，如果將等式兩邊所有變量A代換成一個邏輯函數(shù)Z，則代換后的等式仍然成立。可用代入規(guī)則證明恒等式和擴展公式。例：已知等式 中的A代以DE，試證明等式仍然成立。AC

3、BCABC)(ECDCBCEDBC)(原式左邊ECDCBCEDCBC)(原式右邊可見原命題成立對偶規(guī)則：把一個邏輯函數(shù)表達式Z中“0” “1”、“1” “0”、“” “+”、“+” “” 變換后得到新的表達式Z 稱為Z的對偶(Duality)式。對偶規(guī)則的用處：對偶規(guī)則的用處：當證明了某邏輯函數(shù)等號兩邊的表達式相等后，根據(jù)對偶規(guī)則，它們各自的對偶式也必然相等。)0(CABAZ)1()(CABAZ反演規(guī)則：由原函數(shù)求反函數(shù)的過程叫反演（Reversal Development) 。把已知邏輯函數(shù)Z中 “0” “1”、“1” “0”、“” “+”、“+” “”、原變量換反變量、反變量換原變量，并且

4、保持原表達式的運算順序 。則變換后的式子是原函數(shù)的反函數(shù)。利用反演規(guī)則可以方便地求出反函數(shù)。（也可以利用狄摩根定律求出）)()(DCBALCDBAL例：例：)(EDCBALEDCBAL由此可見：一個邏輯變量或邏輯表達式中有不止一由此可見：一個邏輯變量或邏輯表達式中有不止一個反號時，反演時只能去掉最外層的一個非號，而個反號時，反演時只能去掉最外層的一個非號，而在該非號下面的變量不必求反、在該非號下面的變量不必求反、“與與”“”“或或”“”“0”“1”也不互換了。也不互換了。 MALEDCBM例：例：3.常用公式ABABA（1）AABBABABA1)(根據(jù)對偶規(guī)則有：ABABA)()(（2）吸收律

5、： AABAAABAABA1)1 (BABAA)()(1)()(BABABAAABAA分配率（合并項）（消去法）1+B指的是指的是1或或BCABACBCABACABAFEDCBCABA.CABABCACBACBACBACABACBAACABACBCABA)1 ()1 ()(證明：（3）冗余律推論：推論：CABACBCABAFEDCBCABAFEDCBCBCABAFEDCBCABA)1 (.也說明不能同時也說明不能同時“減減”無此邏輯運算！無此邏輯運算！BABABABA（4）最后必須再強調(diào)，在邏輯代數(shù)中不存在減法和在邏輯代數(shù)中不存在減法和除法除法。故，等式兩邊相同的“項”不能隨意消去。例如：BA

6、BABABABA在等式兩邊不能消去 ABBABABA二、邏輯函數(shù)的表示方法及標準表達式1表示方法（5種）ABLCVABCL00000010010001111000101111001111 令開關(guān)合上為“1”，斷開為“0”；燈亮?xí)r為“1”，暗為“0”。(1)真值表表示開關(guān)A和C合上,或B和C合上,或A、B、C都合上時燈亮，所以有函數(shù)式L=f(A,B,C)=AC+BC+ABC=(A+B)C式子從真值表得出時L=f(A,B,C)=ABC+ABC+ABC本質(zhì)上兩式相等(2)函數(shù)式表示CBACABACABBABAABCCBABCA)()()(3)邏輯圖表示(4)波形圖表示&1BACL(5)卡諾圖

7、表示BACLABCL000111100100100110ABLCV一、邏輯函數(shù)的標準“與或”表達式L=f(A,B,C)=ABC+ABC+ABC最小項之和表達式標準“與-或”表達式三個“與”項具有如下的特征：(1)每個“與”項都包含了函數(shù)的三個變量A、B、C。(2)A、B、C三個變量或者以原變量或者以反變量的形式在“與”項中出現(xiàn)一次。凡符合上述特征的“與”項都是最小項最小項?？梢?，當一個函數(shù)具有n個變量時，其最小項也必定是n個變量的一 個“與”項，而這個函數(shù)應(yīng)有2n個最小項。3.3.2 邏輯函數(shù)的代數(shù)法化簡 先先“與與”再再“或或”變量取值和最小項間關(guān)系最小項使最小項為1的變量取值A(chǔ) B C最小

8、項編號miABC0 0 0m0ABC0 0 1m1ABC0 1 0m2ABC0 1 1m3ABC1 0 0m4ABC1 0 1m5ABC1 1 0m6ABC1 1 1m7最小項有如下性質(zhì)(1)輸入變量的任何一組取值，僅對應(yīng)于一個最小項的值為1。（eg:輸入011，只有一項為1）(2)任何二個最小項相與，結(jié)果一定為0。（7個0，1個1）(3)全部最小項的和，結(jié)果為1。(4)只差一個變量不同的二個最小項，邏輯上稱相鄰，合并成為一項后，可消去不同的變量 。例子中標準的“與或”表達式可簡化成：357(,)(3,5,7)LfA B CABCABCABCmmmm 1120niim0jimm二、邏輯函數(shù)的標

9、準二、邏輯函數(shù)的標準“或或與與”表達式表達式 邏輯函數(shù)的標準“或與”表達式又稱最大項之積（先或后與） 三只開關(guān)控制一只燈的邏 輯問題為例。寫出以燈不亮為結(jié)果時，則有 L=f(A,B,C)=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC 兩邊同時求反，并用摩根定律后 L=f(A,B,C)= (A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)上式中：每一個每一個“或或”項都包含了函數(shù)的三個變量。項都包含了函數(shù)的三個變量。函數(shù)的三個變量或以原變量，或者以反變量函數(shù)的三個變量或以原變量，或者以反變量的形式在的形式在“或或”項中出現(xiàn)。項中出現(xiàn)。這樣一個這樣一個“或或”項又稱為項又稱為最大項最

10、大項，上式就是，上式就是標準的標準的“或或與與”表表 達式，或稱最大項之積達式，或稱最大項之積式。式。)6 , 4 , 2 , 1 , 0()()()()(),(64210MMMMMMCBACBACBACBACBAABCCBABCACBAfL變量取值和最大項間關(guān)系最大項使最大項為0的變量取值A(chǔ) B C最大項編號MiABC0 0 0M0ABC0 0 1M1ABC0 1 0M2ABC0 1 1M3ABC1 0 0M4ABC1 0 1M5ABC1 1 0M6ABC1 1 1M7最大項的性質(zhì)：(1)任何一組變量取值，僅僅對應(yīng)一個最大項的值為0。(2)任何二個最大項之和，其值為1。(3)全部最大項之積，

11、其值恒為0。(4)只差一個變量不同的二個最大項，邏輯上同樣稱為相鄰，能合并成一項，消去不同的變 量。1jiMM0120niiM最大項之積式寫成如下形式：)6 , 4 , 2 , 1 , 0()()()()(),(64210MMMMMMCBACBACBACBACBAABCCBABCACBAfLMi中的下標i取值 規(guī)則是用0代替最大項中原變量，用1代替最大項中的反變量。 最大項和最小項是同一邏輯問題的二種不同描述形式。實際上是一種互補的表示方法。因為 iimM )6 , 4 , 2 , 1 , 0()()()()(),(64210MMMMMMCBACBACBACBACBAABCCBABCACBAf

12、L357(,)(3,5,7)LfA B CABCABCABCmmmm 同一個邏輯函數(shù)有多種形式的表示:L=AB+AC用“與或”門實現(xiàn)的“與或”表達式 =(A+C)(A+B)用“或與”門實現(xiàn)的“或與”表達式 =ABAC用“與非”門實 現(xiàn)的“與非與非”表達式 =A+C+A+B用“或非”門實現(xiàn)的“或非或非 ”表達式 =AC+AB用“與或非”門實現(xiàn)的“與或非”表達 式其中第一種表達式是基本形式，其它式子都可由它變換而來。三、邏輯函數(shù)的代數(shù)法化簡 一個邏輯函數(shù)的化簡就是指對“與或”表達式的化簡，并要求把它化成最簡的“與或” 表達式。 最簡的“與或”表達式，是指表達式中的“與”項項數(shù)最少，而每一個“與”項

13、中所含的 變量數(shù)也應(yīng)最少。 代數(shù)法化簡依據(jù)邏輯代數(shù)的定律，常用公式和運算規(guī)則進行。 采用的 方法有：吸收法、配項法、合并法、消去法、冗余法。例1化簡下列函數(shù)為最簡的“與或”表達式。 Z1(A，B，C，D)=ABCD+ABD+BCD+ABC+BD+BC=B(ACD+AD+CD+AC+D+C)=B該式子在提出公共變量B之后，應(yīng)用了吸收法和消去法使式子達到最簡。例2 Z(A，B，C，D)=AB+AB+AC+BD+ACEF+BEF+DEFG=A(B+B+CEF)+AC+BD+BEF+DEFG=A+AC+BD+BEF=A+C+BD+BEF 該例應(yīng)用了合并法和冗余項法使式子化成最簡。例3Z3(A，B，C，

14、D，E)=ACE+ABE+BCD+BEC+DEC+AE=E(AC+AB+BC+DC+A)+BCD=E(A+C+B+D)+BCD=E(A+BCD)+BCD=EA+EBCD+BCD=EA+E+BCD=E+BCD代數(shù)法化簡無固定步驟可遵循，具有一 定的試探性。對最后的化簡結(jié)果，有時難以肯定是合理的，它在很大程度上取決于設(shè)計者 對邏輯代數(shù)的熟悉程度。3.3.3 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡卡諾圖 它由2n個小方塊組成的方塊圖 (n是函數(shù)所含的變量數(shù) )組成。 每個小方塊代表一個最小項。 而且相鄰二個小方塊所代表的二個最小項僅差一個變 量不同，其它相同 (這在邏輯上稱相鄰性邏輯上稱相鄰性)。二變量卡諾圖ABBA

15、BABA,3210,11,10,01,00mmmm四個最小項:000 001 011 010 ！110 111 101 100三變量卡諾圖:(八個最小項最小項)8個最小項在卡諾圖小方格上的位置必須以相鄰放置相鄰方格中的最小項只差一個變量不同,其他相同.ABCCABCBACBABCACBACBACBA,四變量卡諾圖五變量卡諾圖CD000111100001m0m1m3m2m4m5m7m6AB1110m13m15m14m9m11m10m12m8CDE000001011010m0m1m3m2110111101100m6m7m5m4AB00011110m8m9m11m10m14m15m13m12m24m

16、25m27m26m30m31m29m28m16m17m19m18m22m23m21m20卡諾圖表示邏輯函數(shù) 將一個表達式用標準的“與或”表達式(最小項之和式)表示后，根據(jù)式中的最小項，在卡 諾圖的對應(yīng)小方塊中填上該最小項的值“1”后，便成了該函數(shù)的卡諾圖了。ABCL000111100100100110L=f(A,B,C) =AC+BC+ABC =ABC+ABC+ABC 卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的依據(jù)是利用卡諾圖中相鄰方塊所代表的最小項相鄰性，用畫包圍圈的 方法把2n個相鄰小方塊合并成一個大方塊進行。包圍了2n個小方塊后得到的“與”項將 消去n個變量(n為正整數(shù))m0+m2=ABCD+ABCD=ABD

17、；m0+m4=ACD；m0+m8= BCD； m0m1ABC；m1m3m9m11BD；m0m2m8m10BD。四變量全部十六個最小項包圍在一起，結(jié)合成一項，其函數(shù)值為1?？ㄖZ圖化簡時的一般原則和規(guī)律卡諾圖化簡時的一般原則和規(guī)律包圍圈越大，消去變量越多，但只能對2n個相鄰小方塊實施包圍。小方塊可以被重復(fù)包圍(利用的是重疊律)，但每一個包圍圈至少應(yīng)有一個小方塊未曾被包 圍過。包圍卡諾圖中“1”的小方塊，得到原函數(shù)的最簡“與或”表達式，進而可得 到最簡的“與非與非”表達式，可全部用“與非”門實現(xiàn)。包圍卡諾圖中“0”的相鄰小方塊，得到最簡的“或與”表達式，進而可得到 “或非或非”最簡式，可全部用“或非

18、”門組建電路。 例1用卡諾圖化簡函數(shù)Z1(A,B,C,D)=m(1,3,4,5,6,7,9,12,14,15)解：畫出四變量卡諾圖， 畫包圍圈后得到四 項化簡后的“與”項CD00011110000101101111AB111001110010消去包圍圈中不同的變量，保留相同的變量。BDBCADBCD淺紅色相鄰部分全部被瓜分，故淺紅色相鄰部分全部被瓜分，故無效，允許部分重合，但是要求無效，允許部分重合，但是要求有獨立項有獨立項例2用卡諾圖化簡函數(shù)解：畫出四變量卡諾圖， 結(jié)合最小項畫包圍 圈，化簡結(jié)果為 CD00011110000110111110AB111001101101CBADBCDACDC

19、BAZ),(2DBACBADCBDACBCDCBDCBAZ),(2例3化簡邏輯函數(shù)Z(A，B，C，D)=m(3，4，6，7，10，13，14，15)解：畫出四變量卡諾圖 ，畫包圍圈后有 Z3(A，B，C，D) =ACD+ABD +ABD+ACDCD00011110000100101011AB111011100100例4化簡函數(shù)Z(A，B，C)=AB+BC+AC解：畫出三變量卡諾圖，包圍“1”得原函數(shù)：Z4(A，B，C)=AB+BC =ABBC包圍“0”得反函數(shù)為：BC000111100100101110ACBBAZ4CBBAZ4所以（與或非門）CAABBCCAAB（吸收法）)(CBBACBBA

20、“或與或與”“與或”（與非門）CBBA（或非門）1、圈、圈1-與或門與或門加非加非摩根定律摩根定律卡諾圖化簡時的一般原則和規(guī)律卡諾圖化簡時的一般原則和規(guī)律包圍圈越大，消去變量越多，但只能對2n個相鄰小方塊實施包圍。小方塊可以被重復(fù)包圍(利用的是重疊律)，但每一個包圍圈至少應(yīng)有一個小方塊未曾被包 圍過。包圍卡諾圖中“1”的小方塊，得到原函數(shù)的最簡“與或”表達式，進而可得 到最簡的“與非與非”表達式，可全部用“與非”門實現(xiàn)。包圍卡諾圖中“0”的相鄰小方塊，得到最簡的“或與”表達式，進而可得到 “或非或非”最簡式，可全部用“或非”門組建電路。 對應(yīng)的典型習(xí)題可練習(xí) 題題3.3.12題題3.3.12 簡化并畫出實現(xiàn)下列邏輯函數(shù)的邏輯電路。(1) 用最少量的“與非與非”門門實現(xiàn) (2) 用最少量的“或非或非”門門實現(xiàn)函數(shù)(3) 用最少量的“與與-或或-非非”門門實現(xiàn)函數(shù))(CBACBAZCBCBAZDADCCBBAZ (1)將式子化簡后可得，也可以是另一種答案。(2) 用卡諾圖化簡，