Part4-截面及構(gòu)件非線性分析

1、M 有了彎矩曲率關(guān)系以后，在進(jìn)行梁受力變形全過(guò)程分析時(shí)，梁視為包含著若干微段的變剛度桿單元，并按照給定在結(jié)點(diǎn)之間的每一小段內(nèi)各截面處的曲率是線性變化的，這樣利用虛功原理或共軛梁法，就可以算出任意截面的轉(zhuǎn)角和位移。 采用分級(jí)加載或分級(jí)加位移的方法，獲得任意一級(jí)荷載下的 位移及相應(yīng)內(nèi)力，從而達(dá)到對(duì)梁或柱的全過(guò)程分析。截面分層：條帶劃分后：cscsc,iihhy00 = 根據(jù)平截面假定可得截面曲率為： 截面上任意一條條帶的應(yīng) 為 變式中:截面受壓區(qū)邊緣混凝土應(yīng)變 受拉鋼筋應(yīng)變 截面有效高度 截面曲率根據(jù)混凝土和鋼筋的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，可得截面上任一條帶的混凝土和鋼筋的應(yīng)力及每條帶的力：iiccsssss

2、sssssssncissssincissssi/20NNNMNhMNbdAyyAAAAAA,i,i,i,i混凝土：鋼筋： 每一條帶混凝土及鋼筋對(duì)截面高度的力矩為若有軸向力作 用在截面中心軸處時(shí)，上為 式應(yīng)根據(jù)力的平衡=A 條件可以得到，：=AN（1）nciissssi22MhhA yAaAa,i =根據(jù)力的平衡條件有：（2）彎矩曲率計(jì)算： 彎矩曲率求解，主要是求得彎矩和曲率的對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此首先從彎矩或曲率兩者之間選定一個(gè)作為已知，來(lái)確定另一個(gè)。由于彎矩曲率存在著下降段，某些區(qū)段的彎矩值對(duì)應(yīng)兩個(gè)曲率，為了方便起見(jiàn)，可先假定曲率為已知，然后求相應(yīng)的內(nèi)力，具體求解步驟如下：cc(1)(2)(3)(4

3、)(5)(6)(7)(8)(1) (7)(3) (5)M 取曲率 ：假定梁截面受壓區(qū)邊緣的混凝土應(yīng)變求個(gè)混凝土條帶和鋼筋的應(yīng)變按混凝土和鋼筋的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系求與應(yīng)變相對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值按式(5.8)求內(nèi)力總和，判斷是否滿足平衡條件若不滿足平衡條件，則需調(diào)整應(yīng)變值滿足平衡條件后，按式(5.9)求內(nèi)力彎矩，從而得出 所對(duì)應(yīng)的 彎矩循環(huán)步驟，直至得出整個(gè)的，重復(fù)步驟-M關(guān)系（1）（2） c111i1i11110NNNNNyN，在上述計(jì)算中會(huì)遇到數(shù)值計(jì)算的逐次逼近問(wèn)題，以矩形截面偏心受壓構(gòu)件為例，在軸向力 作用下第一次假定的 為 ，則通過(guò) 球的各條帶的應(yīng)變值及相應(yīng)的應(yīng)力后，可球的各條帶的內(nèi)力總和 。然而，

4、不可能一次假定就正好 滿足平 衡條件 ，而需要調(diào)整 。 設(shè)函數(shù) (5 .10) 通過(guò)調(diào) 0,=yNN，使即調(diào)整到位。整，則（3）121112121131120yyyyyNNyyyNNNNNNN 21121211112式(5.10)的插值函數(shù)為式中 ( )=0 ( )= (5.11) ( )= ，根據(jù)式(5.11)，有 ，。要使121i30NyNNyNNNN33i按上 (5.12)式在進(jìn)行復(fù)算，看，如果不小于某一規(guī)定值，可重復(fù)上述步驟進(jìn)行運(yùn)算，直至接近于零。（3）（4）（5）（4）圖圖4.10 加載循環(huán)信息編號(hào)加載循環(huán)信息編號(hào) 圖圖4.11 反復(fù)加載時(shí)截面應(yīng)變變化反復(fù)加載時(shí)截面應(yīng)變變化M滯回曲線

5、的彎矩 曲率（- ）關(guān)系03.183.119SxSxSxSxSxSx 加載，則以后每卸載與再加載一次就要加1，即。如上頁(yè)圖所示。如果為奇數(shù)則曲線自第一象限通向第三象限，如為偶數(shù)則曲線由第三象限通向第一象限。 從圖中也可以看到，中和軸每一邊的混凝土和鋼筋都要輪流加、卸載、反復(fù)再加載等等；而且，在每一階段又要使用不同的公式。 因此，在程序中要妥善加以判別。使各種情況都能一一對(duì)號(hào)，求出相應(yīng)的應(yīng)力才行。圖圖4.12S Sx x為奇數(shù)為奇數(shù) ? ?S Sx x為奇數(shù)為奇數(shù) ? ?圖圖4.13srsr ? ?S Sx x=0 ?=0 ?S Sx x為奇數(shù)為奇數(shù) ? ?srsr ? ?按骨架曲線計(jì)算按彈性卸

6、載考慮鮑興格效應(yīng)按彈性卸載是是否否是是1 1 虛功原理虛功原理(a)梁的內(nèi)力和變形(b)虛梁的單位荷載和彎矩圖 圖4-14 虛功原理計(jì)算變形2 2 共軛梁法共軛梁法cp1dMx2222d MqdxdMQdxd yMdxEIdydx 另一方面，梁的變形和內(nèi)力之間的關(guān)系為： （a）（b） 上二式形式相同，用類比法，將微分方程從形式上轉(zhuǎn)化為外載與內(nèi)力的關(guān)系方程。從而把求撓度與轉(zhuǎn)角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求彎矩與剪力的問(wèn)題。MqEI 比較以上二式，純從數(shù)學(xué)的形式上看，兩組微分方程是完全相似的，因而求解的步驟和方法也完全相同。于是可以設(shè)想，如果將原來(lái)實(shí)際梁（簡(jiǎn)稱實(shí)梁）上所產(chǎn)生的當(dāng)作荷載集度，并用表示之，將它作用到某

7、個(gè)虛設(shè)梁（虛梁）上，那么根據(jù)式（a）可以得到下式：22bd MqdxdMQdxMQ 式中的和是虛梁的虛彎矩和虛剪力。比較式（ ）和（c）可以看出虛梁上的虛彎矩和虛剪力，分別就是實(shí)梁上的撓度和轉(zhuǎn)角。通過(guò)這種比擬手法，將計(jì)算梁的撓度和轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)化為計(jì)算虛梁的彎矩和剪力的方法，稱之為共軛梁法。（c）AAAAQEIMEIf ; EIQEIMfxxxx ; 載荷。依此建立虛梁上的分布令：)()( xMxqmAAii2m222Aiii=14.15 b4.15 a22lllQlxlllMQxx圖（ ）為簡(jiǎn)支梁（圖（ ）所對(duì)應(yīng)的虛梁，根據(jù)虛荷載平衡條件 跨中位移為： 圖4.15PMPMMMP在 - 計(jì)算中必然要計(jì)

8、算- 關(guān)系，因?yàn)槭腔ハ嚓P(guān)系的。而且，在第三章所討論的彎矩 曲率計(jì)算只不過(guò)是某一個(gè)截面，而在求撓度時(shí)，構(gòu)件劃分為m段，有m+1個(gè)截面需要確定彎矩和曲率。在過(guò)去的研究工作中，有以下兩種處理辦法（現(xiàn)以分機(jī)加載為例）： （1）事先按照第三章把截面的- 全過(guò)程計(jì)算出來(lái)，儲(chǔ)存在電子計(jì)算機(jī)中，好像一張計(jì)算圖 表一樣彎矩 曲率（- ）與荷載撓度（ - ）的關(guān)系 iii 1iii 1i1,114.5iMMMMMMMMMMMMMmMm，隨時(shí)可以調(diào)用查閱。這樣，知道固然可以求出 ；反之，知道 也可以求出 。例如，已知值求相應(yīng)的 ，從儲(chǔ)存的- 關(guān)系中找到的聞之，則，反之亦然?？驁D如圖4.4所示。 （2）每加一次荷載，

9、要計(jì)算一次- 。因此，每加一次荷載就有個(gè)大小不同的，要求次 值?？驁D如圖+所示。 圖4.16圖4.17輸入原始數(shù)據(jù)計(jì)算并存儲(chǔ) 關(guān)系M-iPPP由P求出各截面的彎矩Mi各截面Miiii停機(jī)條件？停 機(jī)是否“查表”輸入原始數(shù)據(jù)由P求出各截面的彎矩Mi各截面Miii停機(jī)條件？停 機(jī)是否“計(jì)算”iPPPi圖圖4.16 圖圖4.17荷載撓度曲線有兩種方法得到：荷載撓度曲線有兩種方法得到：分級(jí)加變形分級(jí)加變形分級(jí)加荷載分級(jí)加荷載分級(jí)加曲率mmmiimiimi;MMPPMM（1）每一級(jí)：；（2）由確定跨中彎矩（3）由計(jì)算 ；（4）由 計(jì)算各截面；（5）由確定 ；（6）由求得撓度 ，重復(fù)步驟（1）（6），直到

10、跨中位移 達(dá) 到：預(yù)定的值。分級(jí)加撓度2iiiii 122 12 122 222223,lllllllllklPPMMP，（1）以簡(jiǎn)支梁跨中撓度作為控制值， 每一級(jí)：；（2）假定一個(gè) ，由 計(jì)算個(gè)界面；（3）由確定 ；（4）又求撓度，得到跨中；（5）若與存在差值，調(diào)整 ，再由步驟（2）開(kāi)始 求，直至與相差小于一規(guī)定值。分級(jí)加荷載iiiiiPPPPMM（1） 由零開(kāi)始，每一級(jí)增加：；（2）由 計(jì)算各截面；（3）由確定 ；（4）由確定撓度 。PP 表面上看來(lái)，分級(jí)加荷載的計(jì)算比較簡(jiǎn)便，其實(shí)不然。因?yàn)楫?dāng) -運(yùn)算進(jìn)入下降段時(shí)，應(yīng)為負(fù)值，造成計(jì)算上的困難，弄得不好就要溢出。 因此，在上升段使用分級(jí)加載方

11、案，到了下降段也要改用分級(jí)加變形方案。 -PPM 構(gòu)件的全過(guò)程計(jì)算要涉及到下降段，構(gòu)件的局部區(qū)域出現(xiàn)塑性鉸，構(gòu)件承載力 相應(yīng)減小，這時(shí)構(gòu)件塑性鉸區(qū)段以外的區(qū)域同樣出現(xiàn)卸載。對(duì)于塑性鉸區(qū)段按下降段負(fù)剛度方向取值。而對(duì)于塑性鉸區(qū)段外則應(yīng)按正剛度方向取值。一般情況下，卸載剛度同初始剛度比較接近，可按初始剛度卸載，如圖5.7。構(gòu)件的卸載計(jì)算原理圖圖4.18 在彎矩在彎矩-曲率圖上的卸載路徑曲率圖上的卸載路徑 圖圖4.19 彎矩過(guò)彎矩過(guò)Mu后梁的剛度分布后梁的剛度分布圖4.18作業(yè)：2mm120pAMPa1860pufMPa960pef2mm300sAMPa400yfMPa40cuf編程并計(jì)算出該截面的

12、彎矩曲率關(guān)系壓彎構(gòu)件的荷載撓度全過(guò)程分析壓彎構(gòu)件的荷載撓度全過(guò)程分析 壓彎構(gòu)件是具有軸向力作用的受彎構(gòu)件在軸力作用下，由于構(gòu)件撓度的存在，會(huì)產(chǎn)生二次彎矩，而二次矩又將加大撓度。因此，壓彎構(gòu)件的荷載撓度計(jì)算既包括材料非線性又包括幾何非線性。mm4.20 - 4.21 -M圖壓彎構(gòu)件受力 變形示意圖圖關(guān)系曲線m012m0MPlNMMPMNl i 0mi 0immmmmmiiiii1.PMMNPPNMMim，0，1為一由零開(kāi)始，每一級(jí)加：=+得出； 較小值、 、求（按式5.16）；、 、求各截面的，并由查得 ；由求得新的撓曲線，假定撓曲線 （ =0，1， ， ）（每次可取上一次的撓曲線， 取第一次的

13、撓曲線時(shí)，假設(shè)桿的曲率呈三角形分布，由（1）；（2）（3）；（4）由（5）由（6）分級(jí)加曲率求關(guān)系曲線iiii 1i 2iikMM，3，求各截面的，并由查得 ；以新的撓曲線為假定值重復(fù)步驟(4)(6)求得， ，。（7） 見(jiàn) 前 頁(yè)2. 2. 分級(jí)加撓度分級(jí)加撓度i 0i 0i 0i 0iiii 1i 1i 2i 3ikikik-1)PNPMM0，0(00（1） 由零開(kāi)始，每一級(jí)加：；（2）假定和撓曲線 （每次可取上一次的撓曲線乘以一個(gè)比例系數(shù)， 取第一次的撓曲線時(shí)，假定桿的曲率分布為三角形）；（3）由 ，求得各桿段；（4）由查得求；（5）由新求得的撓曲線為假定值，重復(fù)步驟(3)(4)求得、 、 。直至若與：0k00k0(2) (6)P，接近且小于一允許值；（6）將與相比較，若接近且小于一允許值，則可認(rèn)為計(jì)算結(jié)果 有效并加以記錄，然后進(jìn)入下一循環(huán)計(jì)算。否則，調(diào)整 并重復(fù) 步驟，直至與相接近為止。偏壓構(gòu)件的荷載撓度全過(guò)程分析偏壓構(gòu)件的荷載撓度全過(guò)程分析 偏壓構(gòu)件與壓彎構(gòu)件的不同在于，偏壓構(gòu)件的軸力為變量，初始偏心矩為常量；而壓彎構(gòu)件的軸力為不變量，橫向力為變量。兩者的共同之處在于均受二次彎矩作用的影響，截面的破壞均是壓力、彎矩共同作用下的破壞，由于變量的不同，偏壓構(gòu)件的全過(guò)程分析按軸力位移關(guān)系曲線進(jìn)行，壓彎構(gòu)件則按橫向力位移關(guān)系曲線計(jì)算。mmm0m11iiiiimm1m0000m