第2課時(shí)：數(shù)列求和與綜合運(yùn)用

1、第2課時(shí)數(shù)列求和及綜合應(yīng)用1等差、等比數(shù)列的求和公式(1)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Snna1d.(2)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：q1時(shí)，Snna1；q1時(shí)，Sn.2數(shù)列求和的方法技巧(1)轉(zhuǎn)化法有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項(xiàng)拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并(2)錯(cuò)位相減法這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和，其中an，bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列(3)倒序相加法這是在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，也就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列(反序)，當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)若有公式可提，并且剩余項(xiàng)的

2、和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和(4)裂項(xiàng)相消法利用通項(xiàng)變形，將通項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)或n項(xiàng)的差，通過相加過程中的相互抵消，最后只剩下有限項(xiàng)的和3數(shù)列的應(yīng)用題(1)應(yīng)用問題一般文字?jǐn)⑹鲚^長，反映的事物背景陌生，知識(shí)涉及面廣，因此要解好應(yīng)用題，首先應(yīng)當(dāng)提高閱讀理解能力，將普通語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言或數(shù)學(xué)符號(hào)，實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后再用數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)推理予以解決(2)數(shù)列應(yīng)用題一般是等比、等差數(shù)列問題，其中，等比數(shù)列涉及的范圍比較廣，如經(jīng)濟(jì)上涉及利潤、成本、效益的增減，解決該類題的關(guān)鍵是建立一個(gè)數(shù)列模型an，利用該數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推公式或前n項(xiàng)和公式題型一分組轉(zhuǎn)化法求和例1等比數(shù)列an中，a

3、1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足：bnan(1)nln an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.審題破題(1)可以通過逐個(gè)驗(yàn)證來確定數(shù)列的前三項(xiàng)，進(jìn)而求得an；(2)可以分組求和：將bn前n項(xiàng)和轉(zhuǎn)化為數(shù)列an和數(shù)列(1)nln an前n項(xiàng)的和解(1)當(dāng)a13時(shí)，不合題意；當(dāng)a12時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a26，a318時(shí)，符合題意；當(dāng)a110時(shí)，不合題意因此a12，a26，a318.所以公比q3.故an23n1 (nN*)(2)因?yàn)閎na

4、n(1)nln an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 323n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn2ln 33nln 31；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn2(ln 2ln 3)ln 33nln 3ln 21.綜上所述，Sn反思?xì)w納某些數(shù)列的求和是將數(shù)列分解轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，這就要通過對數(shù)列通項(xiàng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行分析研究，將數(shù)列的通項(xiàng)合理分解轉(zhuǎn)化特別注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論變式訓(xùn)練1在等差數(shù)列an中，a3a4a5

5、42，a830.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足bn()an2(R)，則是否存在這樣的實(shí)數(shù)使得bn為等比數(shù)列；(3)數(shù)列cn滿足cn，Tn為數(shù)列cn的前n項(xiàng)和，求T2n.解(1)因?yàn)閍n是一個(gè)等差數(shù)列，所以a3a4a53a442，a414.設(shè)數(shù)列an的公差為d，則4da8a416，故d4.故ana4(n4)d4n2.(2)bn()an29n.假設(shè)存在這樣的使得bn為等比數(shù)列，則bbnbn2，即(9n1)2(9n)(9n2)，整理可得0，即存在0使得bn為等比數(shù)列(3)cn，T2n1(223)22(243)2422n2(22n3)1222422n24(12n)3n43n2n2n.

6、題型二錯(cuò)位相減法求和例2已知公差不為0的等差數(shù)列an的首項(xiàng)a12，且，成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足b12b222b32n1bnan，求數(shù)列nbn的前n項(xiàng)和Tn.審題破題(1)列方程求an的通項(xiàng)公式；(2)先求bn(兩式相減)，再用錯(cuò)位相減法求Tn.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由2，得(a1d)2a1(a13d)因?yàn)閐0，所以da12，所以an2n.(2)b12b24b32n1bnanb12b24b32n1bn2nbn1an1得：2nbn12.bn121n.當(dāng)n1時(shí)，b1a12，bn22n.Tn，Tn，上兩式相減得Tn222，Tn8.反思?xì)w納錯(cuò)位相減法適用于求

7、數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和，其中an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列；所謂“錯(cuò)位”，就是要找“同類項(xiàng)”相減要注意的是相減后得到部分等比數(shù)列的和，此時(shí)一定要查清其項(xiàng)數(shù)變式訓(xùn)練2(2013山東)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S44S2，a2n2an1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，且Tn(為常數(shù))令cnb2n，nN*，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Rn.解(1)設(shè)公差為d，令n1，則a22a11，a1d1，又S44S2，即2a1d，由得：a11，d2，所以an2n1(nN*)(2)由題意知，Tn，當(dāng)n2時(shí)，bnTnTb2n(nN*)Rnc1c2cn1cn0，Rn，得：Rn

8、，Rn.題型三裂項(xiàng)相消法求和例3在公差不為0的等差數(shù)列an中，a1，a4，a8成等比數(shù)列(1)已知數(shù)列an的前10項(xiàng)和為45，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn，且數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，若Tn，求數(shù)列an的公差審題破題(1)列方程組(兩個(gè)條件)確定an；(2)不可以采用裂項(xiàng)相消法求得，應(yīng)該和已知Tn對比求得公差解設(shè)數(shù)列an的公差為d，由a1，a4，a8成等比數(shù)列可得aa1a8，即(a13d)2a1(a17d)，a6a1d9d2a7a1d，而d0，a19d.(1)由數(shù)列an的前10項(xiàng)和為45可得S1010a1d45，即90d45d45，故d，a13，故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3(n1)(n8

9、)(2)bn，則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn.故數(shù)列an的公差d1或1.反思?xì)w納裂項(xiàng)相消法的基本思想就是把通項(xiàng)an分拆成anbnkbn (k1，kN*)的形式，從而達(dá)到在求和時(shí)某些項(xiàng)相消的目的，在解題時(shí)要善于根據(jù)這個(gè)基本思想變換數(shù)列an的通項(xiàng)公式，使之符合裂項(xiàng)相消的條件變式訓(xùn)練3等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a13a21，a9a2a6.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnlog3a1log3a2log3an，求數(shù)列的前n項(xiàng)和解(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q.由a9a2a6，得a9a，所以q2.由條件可知q0，故q.由2a13a21，得2a13a1q1，所以a1.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an.(2)

10、bnlog3a1log3a2log3an(12n).故2，2.所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為.題型四數(shù)列的綜合應(yīng)用例4已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，點(diǎn)(n，Sn)在函數(shù)f(x)x2x的圖象上(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)；(2)若cn，求證：2nc1c2cn2 2，所以c1c2cn2n.又因?yàn)閏n2.故c1c2cn2n()()()2n2n.所以2nc1c2cn2n成立反思?xì)w納數(shù)列與不等式綜合的問題是常見題型，常見的證明不等式的方法有：作差法；作商法；綜合法；分析法；放縮法變式訓(xùn)練4已知各項(xiàng)全不為零的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，Sn，nN*.(1)求證：數(shù)列an為等差數(shù)列；(2)若a23，求證：當(dāng)nN*時(shí)，.證明(

11、1)由S1a1知a11.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，化簡得(n2)an(n1)an110，以n1代替n得(n1)an1nan10.兩式相減得(n1)an12(n1)an(n1)an10.則an12anan10，其中n2.所以，數(shù)列an為等差數(shù)列(2)由a11，a23，結(jié)合(1)的結(jié)論知an2n1(nN*)于是(1)()()(1)0，即a1，a2，a240；當(dāng)n25時(shí)，a250；當(dāng)26n49時(shí)，ansin sin 0，且|an|0，同理可知S51，S52，S53，S1000.在S1，S2，S100中，正數(shù)的個(gè)數(shù)為100.9 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：SnSmSnm，且a11，那么a10等于(

12、)A1 B9 C10 D55答案A解析SnSmSnm，a11，S11.可令m1，得Sn1Sn1，Sn1Sn1.即當(dāng)n1時(shí)，an11，a101.二、填空題10 在數(shù)列an中，Sn是其前n項(xiàng)和，若a11，an1Sn (n1)，則an_.答案解析an1Sn，an2Sn1，an2an1(Sn1Sn)an1，an2an1 (n1)a2S1，an.11在等比數(shù)列an中，a13，a481，若數(shù)列bn滿足bnlog3an，則數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn_.答案解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則q327，解得q3.所以ana1qn133n13n，故bnlog3ann，所以.則數(shù)列的前n項(xiàng)和為11.三、解答題12(2013江

13、西)正項(xiàng)數(shù)列an滿足：a(2n1)an2n0.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；(2)令bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由a(2n1)an2n0，得(an2n)(an1)0.由于an是正項(xiàng)數(shù)列，所以an2n.(2)由an2n，bn，則bn，Tn.13已知：數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn2ann(nN*)(1)求a1，a2的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)若數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，且滿足bnnan(nN*)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)Sn2ann.令n1，解得a11；令n2，解得a23.(2)Sn2ann，所以Sn12an1(n1)(n2，nN*)，兩式相減得an2an11，所以an12(an11)(n2，nN*)，又因?yàn)閍112，所以數(shù)列an1