第五章 解釋變量包含虛擬變量的回歸模型

1、第五章 解釋變量包含虛擬變量 的回歸模型 一、虛擬變量的基本含義一、虛擬變量的基本含義 二、虛擬變量的引入二、虛擬變量的引入 三、虛擬變量的設(shè)置原則三、虛擬變量的設(shè)置原則一、虛擬變量的基本含義一、虛擬變量的基本含義v許多經(jīng)濟(jì)變量是可以定量度量可以定量度量的，如：如：商品需求量、價格、收入、產(chǎn)量等。v但也有一些影響經(jīng)濟(jì)變量的因素?zé)o法定量度量無法定量度量，如：如：職業(yè)、性別對收入的影響，戰(zhàn)爭、自然災(zāi)害對GDP的影響，季節(jié)對某些產(chǎn)品（如冷飲）銷售的影響等等。v為了在模型中能夠反映這些因素的影響，并提高模型的精度，需要將它們“量化”。 這種“量化”通常是通過引入“虛擬變量”來完成的。根據(jù)這些因素的屬性

2、類型，構(gòu)造只取“0”或“1”的人工變量，通常稱為虛擬變量虛擬變量（dummy variables），記為D。v例如例如，反映文化程度的虛擬變量可取為，反映文化程度的虛擬變量可取為： 1， 本科學(xué)歷 D= 0， 非本科學(xué)歷v 一般地，在虛擬變量的設(shè)置中：v 基礎(chǔ)類型、肯定類型取值為基礎(chǔ)類型、肯定類型取值為1；v 比較類型，否定類型取值為比較類型，否定類型取值為0。概念：概念： 同時含有一般解釋變量與虛擬變量的模同時含有一般解釋變量與虛擬變量的模型 稱 為 虛 擬 變 量 模 型 或 者 方 差 分 析型 稱 為 虛 擬 變 量 模 型 或 者 方 差 分 析（analysis-of varian

3、ce: ANOVA）模型模型。 一個以性別為虛擬變量考察企業(yè)職工薪金的模型：iiiiDXY210其中：Yi為企業(yè)職工的薪金，Xi為工齡， Di=1，若是男性，Di=0，若是女性。二、虛擬變量的引入二、虛擬變量的引入 虛擬變量做為解釋變量引入模型有兩種基本方式：加法方式加法方式和乘法方式乘法方式。 上述企業(yè)職工薪金模型中性別虛擬變量的引入采取了加法方式。 在該模型中，如果仍假定E(i)=0，則 企業(yè)女職工的平均薪金為：企業(yè)女職工的平均薪金為：1. 1. 加法方式加法方式iiiiXDXYE10)0,|( 企業(yè)男職工的平均薪金為：企業(yè)男職工的平均薪金為：iiiiXDXYE120)() 1,|(幾何意

4、義：幾何意義： 假定20，則兩個函數(shù)有相同的斜率，但有不同的截距。意即，男女職工平均薪金對工齡的變化率是一樣的，但兩者的平均薪金水平相差2。v可以通過傳統(tǒng)的回歸檢驗，對2的統(tǒng)計顯著性進(jìn)行檢驗，以判斷企業(yè)男女職工的平均薪金水平是否有顯著差異。 年薪Y(jié) 男職工 女職工 工齡X02 又例又例：在橫截面數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，考慮個人保健支出對個人收入和教育水平的回歸。 教育水平考慮三個層次：高中以下， 高中， 大學(xué)及其以上。 011D 其他高中 012D 其他大學(xué)及其以上 這時需要引入兩個虛擬變量：模型可設(shè)定如下：iiiDDXY231210 在E(i)=0 的初始假定下，高中以下、高中、大學(xué)及其以上教育水平下個

5、人保健支出的函數(shù)：v高中以下：iiiXDDXYE1021)0, 0,|( 高中：iiiXDDXYE12021)()0, 1,|( 大學(xué)及其以上：iiiXDDXYE13021)() 1, 0,|( 假定32，其幾何意義： 大學(xué)教育 保健 高中教育 支出 低于中學(xué)教育 收入 還可將多個虛擬變量引入模型中以考察多種還可將多個虛擬變量引入模型中以考察多種“定定性性”因素的影響。因素的影響。 如如在上述職工薪金的例中，再引入代表學(xué)歷的虛擬變量D2：iiiDDXY231210012D本科及以上學(xué)歷本科以下學(xué)歷職工薪金的回歸模型可設(shè)計為：女職工本科以下學(xué)歷的平均薪金：iiiXDDXYE13021)() 1,

6、 0,|(女職工本科以上學(xué)歷的平均薪金：iiiXDDXYE132021)() 1, 1,|(iiiXDDXYE1021)0, 0,|(iiiXDDXYE12021)()0, 1,|(于是，不同性別、不同學(xué)歷職工的平均薪金分別為：男職工本科以下學(xué)歷的平均薪金：男職工本科以上學(xué)歷的平均薪金：2. 2. 乘法方式乘法方式v加法方式引入虛擬變量，考察：截距的不同。截距的不同。v許多情況下：往往是斜率就有變化，或斜率、截或斜率、截距同時發(fā)生變化距同時發(fā)生變化。v斜率的變化可通過以乘法的方式引入虛擬變量來斜率的變化可通過以乘法的方式引入虛擬變量來測度測度。 例例：根據(jù)消費理論，消費水平C主要取決于收入水平

7、Y，但在一個較長的時期，人們的消費傾向會發(fā)生變化，尤其是在自然災(zāi)害、戰(zhàn)爭等反常年份，消費傾向往往出現(xiàn)變化。這種消費傾向的變化可通過在收入的系數(shù)中引入虛擬變量來考察。tttttXDXC210如，設(shè)01tD反常年份正常年份消費模型可建立如下：v這里，虛擬變量D以與X相乘的方式引入了模型中，從而可用來考察消費傾向的變化。v假定E(i)= 0，上述模型所表示的函數(shù)可化為： 正常年份：ttttXDXCE)() 1,|(210 反常年份：ttttXDXCE10)0,|( 當(dāng)截距與斜率發(fā)生變化時，則需要同時引入當(dāng)截距與斜率發(fā)生變化時，則需要同時引入加法與乘法形式的虛擬變量加法與乘法形式的虛擬變量。v例例，考

8、察1990年前后的中國居民的總儲蓄-收入關(guān)系是否已發(fā)生變化。 表中給出了中國19792001年以城鄉(xiāng)儲蓄存款余額代表的居民儲蓄以及以GNP代表的居民收入的數(shù)據(jù)。表表5.1.1 19792001年年中中國國居居民民儲儲蓄蓄與與收收入入數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)（億億元元）90年前儲蓄GNP90年后儲蓄GNP19792814038.21991910721662.51980399.54517.8199211545.426651.91981523.74860.3199314762.434560.51982675.45301.8199421518.846670.01983892.55957.4199529662.3574

9、94.919841214.77206.7199638520.866850.519851622.68989.1199746279.873142.719862237.610201.4199853407.576967.219873073.311954.5199959621.880579.419883801.514922.3200064332.488228.119895146.916917.8200173762.494346.419907034.218598.4 以Y為儲蓄，X為收入，可令：v1990年前： Yi=1+2Xi+1i i=1,2,n1 v1990年后： Yi=1+2Xi+2i i=1,2

10、,n2 則有可能出現(xiàn)下述四種情況中的一種：(1) 1=1 ，且2=2 ，即兩個回歸相同，稱為重合重合回歸回歸（Coincident Regressions）；(2) 11 ,但2=2 ，即兩個回歸的差異僅在其截距，稱為平行回歸平行回歸（Parallel Regressions）;(3) 1=1 ，但22 ，即兩個回歸的差異僅在其斜率，稱為匯合回歸匯合回歸(Concurrent Regressions)；(4) 11，且22 ，即兩個回歸完全不同，稱為相異回歸相異回歸（Dissimilar Regressions）。平行回歸匯合回歸相異回歸 可以運(yùn)用鄒氏結(jié)構(gòu)變化的檢驗鄒氏結(jié)構(gòu)變化的檢驗。這一問題

11、也可通過引入乘法形式的虛擬變量來解決。 將n1與n2次觀察值合并，并用以估計以下回歸：iiiiiiXDDXY)(4310Di為引入的虛擬變量：01iD年后年前9090 于是有：iiiiXXDYE10), 0|(iiiiXXDYE)()(), 1|(4130可分別表示1990年后期與前期的儲蓄函數(shù)。 在統(tǒng)計檢驗中，如果3=0的假設(shè)被拒絕，則說明兩個時期中儲蓄函數(shù)的截距不同，如果4=0的假設(shè)被拒絕，則說明兩個時期中儲蓄函數(shù)的斜率不同。v具體的回歸結(jié)果為：具體的回歸結(jié)果為： (-6.11) (22.89) (4.33) (-2.55) 由3與4的t檢驗可知：參數(shù)顯著地不等于0，強(qiáng)烈示出兩個時期的回歸

12、是相異的，儲蓄函數(shù)儲蓄函數(shù)分別為：分別為：1990年前：1990年后：iiiiiXDDXY4765. 03 .138028881. 0154522R=0.9836iiXY4116. 07 .1649iiXY8881. 015452鄒氏結(jié)構(gòu)變化的檢驗和虛擬變量法的比較鄒氏結(jié)構(gòu)變化的檢驗和虛擬變量法的比較v鄒檢驗只是告訴我們結(jié)構(gòu)是否已經(jīng)變化，而不能告訴我們當(dāng)有變化時候是因為只是斜率相異或只是截距相異，或兩者均相異。但是虛擬變量法不僅告訴我們兩個回歸是否有差異，而且落實到差異的起因由于截距或由于斜率或由于兩者。v我們只要做一個回歸，因為其他的回歸可以方便地由它導(dǎo)出。v這個單一的回歸可以用來做各種假設(shè)

13、檢驗。v由于合并而增加了自由度，參數(shù)估計的相對精度也有所改進(jìn)。3. 3. 臨界指標(biāo)的虛擬變量的引入（分段回歸）臨界指標(biāo)的虛擬變量的引入（分段回歸） 在經(jīng)濟(jì)發(fā)生轉(zhuǎn)折時期，可通過建立臨界指標(biāo)的虛擬變量模型來反映。 例如，例如，進(jìn)口消費品數(shù)量Y主要取決于國民收入X的多少，中國在改革開放前后，Y對X的回歸關(guān)系明顯不同。 01tD*tttt則進(jìn)口消費品的回歸模型可建立如下：則進(jìn)口消費品的回歸模型可建立如下： ttttttDXXXY)(*210 這時，可以t*=1979年為轉(zhuǎn)折期，以1979年的國民收入Xt*為臨界值，設(shè)如下虛擬變量： OLS法得到該模型的回歸方程為：則兩時期進(jìn)口消費品函數(shù)分別為：tttt

14、tDXXXY)(*210當(dāng)tt*=1979年，ttXY10當(dāng)tt*=1979年，titXXY)()(21*20三、虛擬變量的設(shè)置原則三、虛擬變量的設(shè)置原則 虛擬變量的個數(shù)須按以下原則確定：虛擬變量的個數(shù)須按以下原則確定： 每一定性變量所需的虛擬變量個數(shù)要比該定每一定性變量所需的虛擬變量個數(shù)要比該定性變量的類別數(shù)少性變量的類別數(shù)少1，即如果有，即如果有m個定性變量，只個定性變量，只在模型中引入在模型中引入m-1個虛擬變量。個虛擬變量。 例例 已知冷飲的銷售量Y除受k種定量變量Xk的影響外，還受春、夏、秋、冬四季變化的影響，要考察該四季的影響，只需引入三個虛擬變量即可：011tD其他春季012tD

15、其他夏季013tD其他秋季則冷飲銷售量的模型為：在上述模型中，若再引入第四個虛擬變量：ttttktkttDDDXXY332211110014tD其他冬季則冷飲銷售模型變量為：tttttktkttDDDDXXY44332211110其矩陣形式為：D)(X,Y 如果只取六個觀測值，其中春季與夏季取了兩次，秋、冬各取到一次觀測值，則式中的： 顯然，(X,D)中的第1列可表示成后4列的線性組合，從而(X,D)不滿秩，參數(shù)無法唯一求出。 這就是所謂的這就是所謂的“虛擬變量陷阱虛擬變量陷阱”，應(yīng)避免。000110010110001010010010100011)(616515414313212111kkk

16、kkkXXXXXXXXXXXXDX,k104321復(fù) 習(xí)v本學(xué)期考試范圍是前五章，就是緒論，一元回歸，多元回歸，非線性，虛擬變量。v還要講三章，但是不作考試要求。v還有一次上機(jī)實踐考試重點v1.計量經(jīng)濟(jì)學(xué)由哪三個學(xué)科結(jié)合而成的獨立學(xué)科？v2.為什么要引入隨機(jī)擾動項，隨機(jī)擾動項產(chǎn)生的原因是什么？為什么我們總是假設(shè)隨機(jī)擾動項服從正態(tài)分布？v3.最小二乘法（OLS）的估計一（多）元線性回歸模型的基本假設(shè)有哪些？如果滿足這些經(jīng)典假設(shè)OLS得到的估計量有什么優(yōu)良性質(zhì)？高斯馬爾可夫定理的內(nèi)容是什么？v4.計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的檢驗有哪四種？ v5.一元回歸中F值和t值的關(guān)系Ft2v6.t值和估計值、標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系是什么？v7.多元回歸的偏回歸系數(shù)的解釋v8.雙對數(shù)模型的系數(shù)的解釋，半對數(shù)模型的系數(shù)的解釋。v9.在給出顯著性水平比如為0.05看P值能判斷出t和F檢驗是否能夠通過，以及給出t分布的臨界值的情況下也能判斷t檢驗是否通過。v10.得到回歸的結(jié)果能看出哪個是判定系數(shù)，殘差平方和（RSS）和隨機(jī)干擾項的標(biāo)準(zhǔn)差以及赤池信息準(zhǔn)則（AIC）和施瓦茨準(zhǔn)則（SC） 。以及判定系數(shù)的范圍和趨于哪個值就較好，和AIC、SC是越大越好還是反之。其他的指標(biāo)的意思能了解。v11.在對隨機(jī)誤差項