第9章電磁場(chǎng)理論

1、第九章 電磁場(chǎng)理論本章前言 本章學(xué)習(xí)目標(biāo)理解感生電場(chǎng)和位移電流的概念，理解麥克斯韋電磁場(chǎng)理論和麥克斯韋方程組的積分形式。 本章教學(xué)內(nèi)容1、位移電流，全電流的安培環(huán)路定理。2、麥克斯韋電磁場(chǎng)理論的基本思想。3、麥克斯韋方程組的積分形式。 本章重點(diǎn)麥克斯韋電磁場(chǎng)理論的基本思想和麥克斯韋方程組的積分形式。 本章難點(diǎn)位移電流與傳導(dǎo)電流的異同及其物理本質(zhì)。9.1 全電流定律9.1.1 位移電流假設(shè)及其本質(zhì)在前面的知識(shí)點(diǎn)中我們知道，穩(wěn)恒電流激發(fā)的穩(wěn)恒磁場(chǎng)滿足安培環(huán)路定律?，F(xiàn)在我們討論安培環(huán)路定律用于非穩(wěn)恒磁場(chǎng)所遇到的問(wèn)題。下圖(a)、(b)分別表示一個(gè)平板電容器充電和放電時(shí)的情況。我們注意到，由于電路中有

2、電容器，所以不論是充電或放電，在同一時(shí)刻通過(guò)電路中導(dǎo)體上任何截面的傳導(dǎo)電流依然相等，但在電容器兩極板之間傳導(dǎo)電流I中斷。也即是說(shuō)，對(duì)于圖(a)中以閉合曲線L為邊界的S1和S2兩個(gè)曲面來(lái)說(shuō)，電流I只穿過(guò)曲面S1而不穿過(guò)曲面S2?，F(xiàn)在在回路L上使用安培環(huán)路定律。(a)充電時(shí)(b)放電時(shí)位移電流對(duì)S1而言，由于穿過(guò)S1的電流為I，我們得到 但對(duì)S2而言，由于穿過(guò)S1的電流為0，我們得到 顯然，在同一個(gè)回路上磁場(chǎng)環(huán)流不同，在理論上是相互矛盾。在穩(wěn)恒情況下正確的安培環(huán)路定理，在非穩(wěn)恒情況下就不正確了。麥克斯韋注意到，在考慮對(duì)安培環(huán)路定律進(jìn)行修正時(shí)，矛盾的原因在于非穩(wěn)恒情況下電流的不連續(xù)性，即穿過(guò)曲面S1

3、的電流為I而穿過(guò)曲面S2的電流為零。設(shè)想一下，如果我們能在電容的兩板之間尋求到一個(gè)物理量，其大小和方向都等于電流I，再假設(shè)這個(gè)物理量能如同電流一樣激發(fā)磁場(chǎng)，那么電流就能借助于這個(gè)物理量而實(shí)現(xiàn)連續(xù)，而上式的右端就應(yīng)該是這個(gè)物理量，因?yàn)樗驳扔贗，于是矛盾將不再出現(xiàn)。至于這個(gè)假設(shè)的真實(shí)性的問(wèn)題，即它是否真正能如同電流一樣激發(fā)磁場(chǎng)，我們可以期待于實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證。下面我們來(lái)尋求這個(gè)等于I的物理量。在上圖中，電容器中雖無(wú)電流通過(guò)，但在充電和放電的過(guò)程中，電容器極板間的電場(chǎng)會(huì)隨著極板上電量的變化而隨時(shí)間變化。從電場(chǎng)變化的方向來(lái)看，在充電時(shí)（見(jiàn)圖(a)），電場(chǎng)加強(qiáng)，電位移矢量隨時(shí)間的變化率的方向向右與場(chǎng)的方向一

4、致，也與導(dǎo)線中電流方向一致；當(dāng)放電時(shí)（見(jiàn)圖(b)），電場(chǎng)減小，的方向向左與場(chǎng)的方向相反，但仍與導(dǎo)線中電流方向一致。這提示我們，中斷的電流是否可以由電場(chǎng)的變化率來(lái)接替？能否借助于變化的電場(chǎng)來(lái)實(shí)現(xiàn)電流的連續(xù)性?？紤]圖(a)所示情況，我們把S1和S2組成一個(gè)閉合曲面S。按電流的連續(xù)性方程(即電荷守恒定律)，通過(guò)S面流出的電流應(yīng)等于單位時(shí)間內(nèi)S面內(nèi)電量q的減少： 指向曲面外法線方向。麥克斯韋假設(shè)，靜電場(chǎng)高斯定理對(duì)于變化電場(chǎng)依然成立 將上式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)： 再將其代入電流的連續(xù)性方程得 由于和j都具有相同的量綱。據(jù)此，麥克斯韋創(chuàng)造性地提出一個(gè)假說(shuō)：變化的電場(chǎng)可以等效成一種電流，稱(chēng)為位移電流。并定義 為位

5、移電流密度，即電場(chǎng)中某點(diǎn)的位移電流密度等于該點(diǎn)電位移矢量隨時(shí)間的變化率，而 為位移電流，即通過(guò)電場(chǎng)中某截面的位移電流等于位移電流密度在該截面上的通量。為便于上述問(wèn)題的分析，把電流連續(xù)性方程改寫(xiě)為 按位移電流的定義，此表明，流入閉合曲面S的電流(即通過(guò)圖(a)中截面S1的電流I)等于流出閉合曲面的位移電流(即通過(guò)截面S2的位移電流)，我們看到，電流通過(guò)位移電流實(shí)現(xiàn)了連續(xù)。麥克斯韋進(jìn)而假設(shè)，在磁效應(yīng)方面位移電流與傳導(dǎo)電流等效，即它們都按同一規(guī)律在周?chē)臻g激發(fā)磁場(chǎng)。其本質(zhì)表明：變化電場(chǎng)也要產(chǎn)生磁場(chǎng)。位移電流與傳導(dǎo)電流還是有區(qū)別的。傳導(dǎo)電流是電荷的定向運(yùn)動(dòng)，位移電流是變化電場(chǎng)的等效；傳導(dǎo)電流要產(chǎn)生焦耳

6、熱，位移電流則沒(méi)有。9.1.2 全電流定律一、全電流由連續(xù)性方程可以看到，在交變電流中傳導(dǎo)電流I和位移電流各自并不連續(xù)，但它們的和是連續(xù)的。我們定義傳導(dǎo)電流I和位移電流相加的和稱(chēng)為全電流。 顯然，全電流總是連續(xù)的。二、全電流定律由于位移電流產(chǎn)生磁場(chǎng)的規(guī)律是被假設(shè)為與傳導(dǎo)電流一樣的，因此麥克斯韋以全電流代替?zhèn)鲗?dǎo)電流，對(duì)安培環(huán)路定律進(jìn)行修正，把它從穩(wěn)恒磁場(chǎng)推廣到非穩(wěn)恒的情況，并得到 上述結(jié)論稱(chēng)為全電流定律。全電流定律完全解釋了前一個(gè)知識(shí)點(diǎn)中碰到的問(wèn)題。三、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證麥克斯韋位移電流假設(shè)提出后，經(jīng)過(guò)大量的理論和實(shí)踐，都證明全電流定律是普遍成立的，它適用于任意的電場(chǎng)和磁場(chǎng)。這意味著，變化的電場(chǎng)也能在周?chē)?/p>

7、空間激發(fā)一個(gè)磁場(chǎng)，其激發(fā)的規(guī)律和電流激發(fā)磁場(chǎng)的規(guī)律完全相同。例如，若空間沒(méi)有傳導(dǎo)電流，只有變化的電場(chǎng)，則全電流定律為 它表示一個(gè)變化電場(chǎng)與它激發(fā)的磁場(chǎng)的關(guān)系。和我們討論過(guò)一個(gè)變化的磁場(chǎng)與它激發(fā)的感生電場(chǎng)的關(guān)系變化的電場(chǎng)和變化的磁場(chǎng)比較，可以發(fā)現(xiàn)電場(chǎng)和磁場(chǎng)的相互激發(fā)遵從相似的規(guī)律。上面兩個(gè)關(guān)系式表明，磁場(chǎng)H的方向與位移電流密度方向之間的關(guān)系(就象磁場(chǎng)與傳導(dǎo)電流密度方向之間的關(guān)系一樣)服從右手螺旋關(guān)系，而感生電場(chǎng)E與磁場(chǎng)變化率的方向服從左手螺旋關(guān)系 (如圖)。如同在電磁感應(yīng)中所指出的那樣，負(fù)號(hào)表示表示電磁場(chǎng)在相互激發(fā)過(guò)程中遵從能量守恒定律。在討論傳導(dǎo)電流和位移電流的分布的時(shí)候，也應(yīng)注意到它們的區(qū)別

8、。根據(jù)位移電流的定義，在電場(chǎng)中每一點(diǎn)只要有電位移的變化，就有相應(yīng)的位移電流密度存在，因此不僅在電介質(zhì)中，就是在導(dǎo)體，甚至真空中也可以產(chǎn)生位移電流。但在通常情況下，電介質(zhì)中的電流主要是位移電流，傳導(dǎo)電流可忽略不計(jì)，而在導(dǎo)體中的電流，主要是傳導(dǎo)電流，位移電流可以忽略不計(jì)。至于在高頻電流的場(chǎng)合，由于電場(chǎng)的變化率很快，導(dǎo)體內(nèi)的位移電流就不可忽略了?！纠?】有一半徑為R=3.0cm的圓形平行平板空氣電容器，現(xiàn)對(duì)該電容器充電，充電電路上的傳導(dǎo)電流，若略去電容器的邊緣效應(yīng)，求(1)兩極板間的位移電流和位移電流密度；(2)兩極板間離開(kāi)軸線的距離r=2.0cm的點(diǎn)P處的磁感強(qiáng)度?！窘狻?1)兩極板間的位移電流就

9、等于電路上的傳導(dǎo)電流。電容器內(nèi)兩極板間的電場(chǎng)可視為均勻電場(chǎng)，位移電流是均勻分布的，位移電流密度為。(2)在圖上以軸上一點(diǎn)為圓心，r為半徑作一平行于兩極板平面的圓形回路。由全電流定律有其中為穿過(guò)圓形回路的全電流。由于電容器內(nèi)兩極板間沒(méi)有傳導(dǎo)電流，所以；穿過(guò)回路的位移電流為考慮到極板間磁場(chǎng)強(qiáng)度H對(duì)軸線的對(duì)稱(chēng)性，故在圓形回路上各點(diǎn)的H的大小均相同，其方向均與回路上各點(diǎn)相切，于是，H沿上述圓形回路的積分為即另外，考慮到電容器兩極板間為空氣，且略去邊緣效應(yīng)，所以有。于是可得兩極板間與軸線相距為r的點(diǎn)P處的磁感強(qiáng)度為 將已知量代入上式，距軸線為r的點(diǎn)P處的磁感強(qiáng)度的值為9.2 麥克斯韋方程組9.2.1 麥

10、克斯韋電磁場(chǎng)理論的基本思想在提出了感生電場(chǎng)假設(shè)和位移電流假設(shè)之后，麥克斯韋對(duì)電磁規(guī)律又進(jìn)行了細(xì)致的分析和高度的概括、總結(jié)。由感生電場(chǎng)假設(shè)和位移電流假設(shè)可以知道，變化的磁場(chǎng)要產(chǎn)生感生電場(chǎng)，變化的電場(chǎng)也要產(chǎn)生磁場(chǎng)。即在一般情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)都是變化的，它們將相互激發(fā)，因而它們是不可分割的、統(tǒng)一的整體稱(chēng)為電磁場(chǎng)。單獨(dú)的靜電場(chǎng)和單獨(dú)的穩(wěn)恒磁場(chǎng)都只是電磁場(chǎng)的特殊情況。在一般情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)只是電磁場(chǎng)的分量。麥克斯韋電磁場(chǎng)統(tǒng)一的思想和理論后來(lái)被赫茲發(fā)現(xiàn)的電磁波完全證實(shí)。在前面的知識(shí)點(diǎn)中學(xué)習(xí)的有關(guān)電場(chǎng)和磁場(chǎng)的理論都可以納入一個(gè)統(tǒng)一的電磁場(chǎng)理論來(lái)處理。下一個(gè)知識(shí)點(diǎn)我們將討論這個(gè)統(tǒng)一的電磁場(chǎng)理論。9.2.2

11、麥克斯韋方程組的積分形式麥克斯韋根據(jù)他自己提出的電磁場(chǎng)統(tǒng)一思想，以及他的兩個(gè)著名假設(shè)最終得到了電磁場(chǎng)理論統(tǒng)一數(shù)學(xué)表達(dá)，這就是麥克斯韋方程組。下面我們來(lái)討論這個(gè)方程組。在電磁場(chǎng)中，電場(chǎng)分量由兩個(gè)部分疊加而成。一是電荷產(chǎn)生的靜電場(chǎng)，二是變化磁場(chǎng)產(chǎn)生的感生電場(chǎng)。磁場(chǎng)分量也是由兩個(gè)部分疊加而成。運(yùn)動(dòng)電荷（電流）產(chǎn)生的穩(wěn)恒磁場(chǎng)和變化電場(chǎng)產(chǎn)生的磁場(chǎng)。對(duì)于靜止電荷激發(fā)的靜電場(chǎng)和穩(wěn)恒電流激發(fā)的穩(wěn)恒磁場(chǎng)，它們滿足如下的一些基本方程：1、靜電場(chǎng)的高斯定理2、靜電場(chǎng)的環(huán)路定理3、磁場(chǎng)的高斯定理4、安培環(huán)路定理如果考慮到感生電場(chǎng)和變化電場(chǎng)產(chǎn)生的磁場(chǎng)，則上面的靜電場(chǎng)的環(huán)路定理應(yīng)修改為顯然，這對(duì)靜電場(chǎng)和有旋電場(chǎng)都能成立。

12、安培環(huán)路定理應(yīng)修改為全電流定律其它方程不需要修改都適用于一般電磁場(chǎng)中的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量。于是電磁場(chǎng)所滿足的四個(gè)基本方程為上述四個(gè)方程稱(chēng)為麥克斯韋方程組（積分形式）。式中的電場(chǎng)量、為電荷激發(fā)的電場(chǎng)和渦旋電場(chǎng)的總電場(chǎng)，磁場(chǎng)量、為傳導(dǎo)電流和位移電流激發(fā)的總磁場(chǎng)。從方程組我們還可以看到，在電磁場(chǎng)中的電場(chǎng)和磁場(chǎng)是相互聯(lián)系的、不可分割的。電磁場(chǎng)的所有特性都可以由上述四個(gè)方程來(lái)確定。在有介質(zhì)存在時(shí)，E、B都和介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)，要完整地說(shuō)明宏觀電磁現(xiàn)象，除了上述四個(gè)方程外，還要加上下面三個(gè)關(guān)系式，對(duì)各向同性均勻電介質(zhì)有其中第一個(gè)和第二個(gè)式子是電位移矢量和磁場(chǎng)強(qiáng)度的定義式，第三個(gè)式子是歐姆定律的微分形式。如果再加上

13、電磁力的基本規(guī)律，則麥克斯韋的電磁場(chǎng)理論就已經(jīng)成就為一個(gè)非常完備的理論體系。從麥克斯韋方程組可以看出，在相對(duì)穩(wěn)定的情況下，即只存在電荷和穩(wěn)恒電流時(shí)，麥克斯韋方程組表現(xiàn)為靜電場(chǎng)和穩(wěn)恒磁場(chǎng)所遵從的規(guī)律。這時(shí)，電場(chǎng)和磁場(chǎng)都是靜態(tài)的，它們之間沒(méi)有聯(lián)系。而在運(yùn)動(dòng)的情況下，即當(dāng)電荷在運(yùn)動(dòng)，電流也在變化時(shí)，麥克斯韋方程組描述了變化著的電場(chǎng)和磁場(chǎng)之間的緊密關(guān)系。變化的電場(chǎng)要激發(fā)一個(gè)有旋磁場(chǎng)，變化的磁場(chǎng)又會(huì)激發(fā)一個(gè)有旋電場(chǎng)，電場(chǎng)和磁場(chǎng)就以這種互激的形式在同一空間相互依存并形成一個(gè)統(tǒng)一的整體，這才是真正意義上的電磁場(chǎng)?？梢宰C明，電磁場(chǎng)一旦產(chǎn)生，即使場(chǎng)源電荷及電流不存在了，這種互激依然可以隨著時(shí)間的流逝而在空間無(wú)限地伸延。在距離電荷和電流很遠(yuǎn)的空間，電磁場(chǎng)最終是以波動(dòng)的形式在傳播著，這就是電磁波。電磁波的波速