結(jié)構(gòu)力學(xué)十三講(矩陣位移法)

1、2 一、矩陣位移法的基本思路一、矩陣位移法的基本思路 矩陣位移法的兩個(gè)基本步驟是矩陣位移法的兩個(gè)基本步驟是 （1 1）結(jié)構(gòu)的離散化；（）結(jié)構(gòu)的離散化；（2 2）單元分析；（）單元分析；（3 3）整體分析，）整體分析，任務(wù)任務(wù)意義意義單元單元分析分析建立桿端力與桿端位移建立桿端力與桿端位移間的剛度方程，形成單間的剛度方程，形成單元?jiǎng)偠染仃囋獎(jiǎng)偠染仃囉镁仃囆问奖硎緱U用矩陣形式表示桿件的轉(zhuǎn)角位移方程件的轉(zhuǎn)角位移方程整體整體分析分析由變形條件和平衡條件由變形條件和平衡條件建立結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移建立結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移間的剛度方程，形成整間的剛度方程，形成整體剛度矩陣體剛度矩陣用矩陣形式表示位用矩陣形式表示位

2、移法基本方程移法基本方程3指桿件除有彎曲變形外，還有軸向變形和剪切變形的單元，指桿件除有彎曲變形外，還有軸向變形和剪切變形的單元，桿件兩端各有三個(gè)位移分量，桿件兩端各有三個(gè)位移分量， 符號(hào)規(guī)則：符號(hào)規(guī)則：圖圖(a)(a)表示單元編號(hào)、桿端編號(hào)和局部座標(biāo)，局部座標(biāo)的表示單元編號(hào)、桿端編號(hào)和局部座標(biāo)，局部座標(biāo)的x座標(biāo)與桿軸重合；座標(biāo)與桿軸重合；1 12 2eE A Ilxy(a)(a)圖圖(b)(b)表示的桿端位移均為正方向。表示的桿端位移均為正方向。單元編號(hào)單元編號(hào)桿端編號(hào)桿端編號(hào)局部座標(biāo)局部座標(biāo)1 12 21u1v122u2v(b)(b)桿端位移編號(hào)桿端位移編號(hào)1 12 21X1Y1M2M2X

3、2Y桿端力編號(hào)桿端力編號(hào)(c)(c)二、桿端位移、桿端力的正負(fù)號(hào)規(guī)定二、桿端位移、桿端力的正負(fù)號(hào)規(guī)定一般單元：一般單元：4 kFeee局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠确匠叹植孔鴺?biāo)系中的單元?jiǎng)偠确匠蘀A l6EI l2 6EI l2 EA l12EI l3 12EI l34EI l2EI le ke=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)0000006EI l206EI l20-EA l-6EI l2-6EI l2 EA l-12EI l3 12EI l32EI l4EI l000000-6EI l206EI l2011u11v1112u12v12只與桿件本身性質(zhì)有只與桿

4、件本身性質(zhì)有關(guān)而與外荷載無關(guān)關(guān)而與外荷載無關(guān)局部座標(biāo)系的單元?jiǎng)偠染仃嚲植孔鶚?biāo)系的單元?jiǎng)偠染仃?13-3 13-3 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃? (整體座標(biāo)系整體座標(biāo)系) )xye1X1Y1M2XxyX1Y11MX2Y22M2M2221112221111000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincosMYXMYXMYXMYXeee FTF ee座標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣座標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣一、單元座標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣一、單元座標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣正交矩陣正交矩陣T-1 =TT FTFTee Tee TT6三、單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)三、單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)（1）單元?jiǎng)偠认禂?shù)的意義）單元?jiǎng)偠认?/p>

5、數(shù)的意義ijke代表單元桿端第代表單元桿端第j個(gè)位移分量等于個(gè)位移分量等于1時(shí)所引起的第時(shí)所引起的第i個(gè)桿端力分量。個(gè)桿端力分量。（2）單元?jiǎng)偠染仃嚕﹩卧獎(jiǎng)偠染仃?是對(duì)稱矩陣，是對(duì)稱矩陣， ke即即jiijkk 。（3）一般單元的剛度矩陣）一般單元的剛度矩陣 是奇異矩陣；是奇異矩陣； ke因此它的逆矩陣不存在因此它的逆矩陣不存在從力學(xué)上的理解是，根據(jù)單元?jiǎng)偠确匠虖牧W(xué)上的理解是，根據(jù)單元?jiǎng)偠确匠?kFeee Fee由由有一組力的解答有一組力的解答(唯一的唯一的)，即正問題。，即正問題。 Fee由由如果如果 Fe 不是一組平衡力系則無解；若是一不是一組平衡力系則無解；若是一組平衡力系，則解答不是

6、唯一的，即反問題。組平衡力系，則解答不是唯一的，即反問題。k = TT keTe二、整體座標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚩⒄w座標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?13-4 13-4 連續(xù)梁的連續(xù)梁的整體剛度矩陣整體剛度矩陣按傳統(tǒng)的位移法按傳統(tǒng)的位移法i1i21214i112i110i1i21222i122i22(4i1+4i2)2i1i212302i234i23每個(gè)結(jié)點(diǎn)位每個(gè)結(jié)點(diǎn)位移對(duì)移對(duì)F的單的單獨(dú)貢獻(xiàn)獨(dú)貢獻(xiàn)F1F2F34i12i102i14i1+4i22i202i24i2 123=F=K 根據(jù)每個(gè)結(jié)點(diǎn)位移根據(jù)每個(gè)結(jié)點(diǎn)位移對(duì)附加約束上的約束對(duì)附加約束上的約束力力F的貢獻(xiàn)大小進(jìn)的貢獻(xiàn)大小進(jìn)行疊加而計(jì)算所得。行疊加

7、而計(jì)算所得。傳統(tǒng)位移法傳統(tǒng)位移法8一、一、 單元集成法的力學(xué)模型和基本概念單元集成法的力學(xué)模型和基本概念分別考慮每個(gè)單元對(duì)分別考慮每個(gè)單元對(duì)F的單獨(dú)貢獻(xiàn)，整體剛度矩陣由單元直接集成的單獨(dú)貢獻(xiàn)，整體剛度矩陣由單元直接集成i1i212123F3F1= F11F211TF11F21F31令令 i2 =0，則則F31=0k =4i12i14i12i11F11F21=4i12i14i12i112（a）（b）F11F21F31=4i12i14i12i1000001231K F =1K =14i12i14i12i100000單元單元 1 的貢獻(xiàn)矩陣的貢獻(xiàn)矩陣單元單元 1 對(duì)結(jié)點(diǎn)力對(duì)結(jié)點(diǎn)力F的貢獻(xiàn)的貢獻(xiàn)略去其

8、它單元的貢獻(xiàn)。略去其它單元的貢獻(xiàn)。9i1i212123F12F22F32k =4i22i24i22i22F12F22F32=4i12i14i12i1000001232K F =2設(shè) i1 =0，則F12=0K =24i12i14i12i100000單元單元 的貢獻(xiàn)矩陣的貢獻(xiàn)矩陣F3F2= F12F222T單元單元對(duì)結(jié)點(diǎn)力對(duì)結(jié)點(diǎn)力F的貢獻(xiàn)的貢獻(xiàn)略去單元略去單元的貢獻(xiàn)。的貢獻(xiàn)。101K F =1K =14i12i14i12i1000002K F =2K =24i12i14i12i100000i1i2121212K=（K +K ）=12Keek K K eeF=F +F =（K +K ）12F=K整

9、體剛度矩陣為：整體剛度矩陣為：?jiǎn)卧煞ㄇ笳麊卧煞ㄇ笳w剛度矩陣步驟：體剛度矩陣步驟：根據(jù)單元根據(jù)單元和單元和單元分別對(duì)結(jié)點(diǎn)力分別對(duì)結(jié)點(diǎn)力 F 的貢獻(xiàn)，可得整體剛度方程：的貢獻(xiàn)，可得整體剛度方程：11k K K ee12k =4i12i14i12i11K =14i12i14i12i100000k =4i22i24i22i22K =24i22i24i22i2000001214i12i14i12i1000002i22i24i2K=4i12i14(i1+i2)2i102i202i24i24i1+4i2整體剛度矩陣整體剛度矩陣: :12二、按照單元定位向量由二、按照單元定位向量由k 求求 eKe(

10、1)在整體分析中按結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移統(tǒng)一編碼，稱為總碼。在整體分析中按結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移統(tǒng)一編碼，稱為總碼。(2)在單元分析中按單元兩端結(jié)點(diǎn)位移單獨(dú)編碼，稱為局部碼。在單元分析中按單元兩端結(jié)點(diǎn)位移單獨(dú)編碼，稱為局部碼。以連續(xù)以連續(xù)梁為例梁為例121231(1)(2)2(1)(2)位移統(tǒng)一編碼，位移統(tǒng)一編碼，總碼總碼單元單元12對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)應(yīng)關(guān)系局部碼局部碼總碼總碼單元定位向量單元定位向量 e(1)1(2)2 1=21(1)2(2)3 2=32確定確定中的元素在中的元素在中的位置。為此建立兩種編碼：中的位置。為此建立兩種編碼：k eKe位移單獨(dú)編碼位移單獨(dú)編碼局部碼局部碼由單元的結(jié)點(diǎn)由單元的結(jié)點(diǎn)位移總碼組

11、成位移總碼組成的向量的向量13（3）單剛）單剛k eKe和單元貢獻(xiàn)和單元貢獻(xiàn)中元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系中元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系單元單元單元單元k =4i12i14i12i11(1)(2)(1)(2) 1=21K =11230000000004i12i12i14i1123k =4i22i24i22i22(1)(2)(1)(2) 2=32K =20000000004i22i24i22i2123123單元定位向量單元定位向量描述了單元兩種編碼（總碼、局部碼）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。描述了單元兩種編碼（總碼、局部碼）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。單元定位向量單元定位向量定義了整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃囍械脑卦谡w剛度矩陣中定義了整體坐標(biāo)系

12、下的單元?jiǎng)偠染仃囍械脑卦谡w剛度矩陣中的具體位置，故也稱為的具體位置，故也稱為“單元換碼向量單元換碼向量”。單元貢獻(xiàn)矩陣是單元?jiǎng)偠染仃?，利用單元貢獻(xiàn)矩陣是單元?jiǎng)偠染仃?，利用“單元定位向量單元定位向量”進(jìn)行進(jìn)行“換碼重排位換碼重排位”。14三、三、 單元集成法的實(shí)施單元集成法的實(shí)施（定位（定位 累加）累加）K123123000000000k 1 10000000004i12i12i14i1123123k 2 24i12i14i12i1000002i22i24i24i1+4i2123123（1）將）將K置零，得置零，得K=0；（2）將）將k的元素在的元素在K中按中按 定位并進(jìn)行累加，得定位并進(jìn)行

13、累加，得K=K；（3）將）將k的元素在的元素在K中按中按 定位并進(jìn)行累加，得定位并進(jìn)行累加，得K=K+K；按此作法對(duì)所有單元循環(huán)一遍，最后即得整體剛度矩陣按此作法對(duì)所有單元循環(huán)一遍，最后即得整體剛度矩陣K。1512i1i2i3312301230= 0（1 1）結(jié)點(diǎn)位移）結(jié)點(diǎn)位移分量總碼分量總碼（2 2）單元定位向量）單元定位向量 1=21 2=32 3=03（3 3）單元集成過程）單元集成過程k =4i12i14i12i111221k =4i22i24i22i222332k =4i32i34i32i330330K =1231230000000004i12i12i12i22i24i24i14i2

14、+4i34i1+4i2例例. .求連續(xù)梁的整求連續(xù)梁的整 體剛度矩陣。體剛度矩陣。16四、整體剛度矩陣四、整體剛度矩陣 K 的性質(zhì)的性質(zhì)（1）整體剛度系數(shù)的意義）整體剛度系數(shù)的意義: Kij j=1 (其余其余 =0)時(shí)產(chǎn)生的結(jié)點(diǎn)力時(shí)產(chǎn)生的結(jié)點(diǎn)力Fi（2）K是對(duì)稱矩陣是對(duì)稱矩陣（3）對(duì)幾何不變體系，）對(duì)幾何不變體系，K是可逆矩陣，如連續(xù)梁是可逆矩陣，如連續(xù)梁i1i2123F1F2F3F=K =K-1F（4）K是稀疏矩陣和帶狀矩陣，如連續(xù)梁是稀疏矩陣和帶狀矩陣，如連續(xù)梁123F1F2F3123nnFnn+1Fn+10000000000000000000000000000000000001321n

15、FFFF1321n4i12i12i12i22i24i2+4i34i1+4i24in2i32in1713-5 13-5 剛架的整體剛度矩陣剛架的整體剛度矩陣思路要點(diǎn)思路要點(diǎn)：（：（1）設(shè)各單元已形成了整體座標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚕┰O(shè)各單元已形成了整體座標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚕籩k（2）各）各 經(jīng)由經(jīng)由e 進(jìn)行累加集成進(jìn)行累加集成K。與連續(xù)梁相比：與連續(xù)梁相比： (1)各單元考慮軸向變形各單元考慮軸向變形；(2)每個(gè)剛結(jié)點(diǎn)有三個(gè)位移每個(gè)剛結(jié)點(diǎn)有三個(gè)位移； (3)要采用整體座標(biāo)要采用整體座標(biāo)；(4)要處理非剛結(jié)點(diǎn)的特殊情況要處理非剛結(jié)點(diǎn)的特殊情況。一、結(jié)點(diǎn)位移分量的統(tǒng)一編碼一、結(jié)點(diǎn)位移分量的統(tǒng)一編碼總碼

16、總碼ABCxy123004000結(jié)點(diǎn)位移總碼結(jié)點(diǎn)位移總碼 = 1 2 3 4 T規(guī)定：規(guī)定：對(duì)于已知為零的結(jié)點(diǎn)位移分對(duì)于已知為零的結(jié)點(diǎn)位移分量，其總碼均編為零。量，其總碼均編為零。=uA vA A C T整體結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移向量為：整體結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移向量為：相應(yīng)地結(jié)點(diǎn)力向量為：相應(yīng)地結(jié)點(diǎn)力向量為：= XA YA MA MC TF = F1 F2 F3 F4 T18x(1)(2)(3)(5)(6)x(2)(3)(5)(6) 單元結(jié)點(diǎn)位單元結(jié)點(diǎn)位移分量移分量局部碼局部碼二、單元定位向量二、單元定位向量單元單元單元單元局部碼局部碼總碼總碼局部碼局部碼總碼總碼（1） 1（2） 2（3） 3（4） 0（5

17、） 0（6） 4（1） 1（2） 2（3） 3（4） 0（5） 0（6） 0 000321 400321三、單元集成過程三、單元集成過程ABCxy12300400結(jié)點(diǎn)位移總碼結(jié)點(diǎn)位移總碼0(4)(1)(4)1ABC2xy123004000 4003211 00032121234K=123400000000000000001k=00000000000000000000000000000000000011 12 13 14 15 1621 22 23 24 25 2631 32 33 34 35 3641 42 43 44 45 4651 52 53 54 55 5661 62 63 64 65

18、66123004123004111213212223313233616263661626361112132122233132332k12300012300011 12 13 14 15 1621 22 23 24 25 2631 32 33 34 35 3641 42 43 44 45 4651 52 53 54 55 5661 62 63 64 65 66=20四、鉸結(jié)點(diǎn)的處理四、鉸結(jié)點(diǎn)的處理K 求單元常數(shù)T單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃嚦绦蛟O(shè)計(jì)框圖（局部：集成整體剛度矩陣）程序設(shè)計(jì)框圖（局部：集成整體剛度矩陣） 1122剛結(jié)點(diǎn)剛結(jié)點(diǎn)：變形連續(xù)，：變形連續(xù)，截面截面1 1和截面和截面2 2具有相同具有相同的結(jié)點(diǎn)位移。的結(jié)點(diǎn)位移。鉸結(jié)點(diǎn)鉸結(jié)點(diǎn)：部分變形連續(xù)，：部分變形連續(xù)，截面截面1 1和截面和截面2 2具有相同的結(jié)點(diǎn)具有相同的結(jié)點(diǎn)線位移；而其角位移不相等。線位移；而其角位移不相