向量的極化恒等式與等和線的應(yīng)用 學(xué)生版

1、極化恒等式 （1） （2）（1）（2）兩式相加得：結(jié)論：平行四邊形對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍.思考1：如果將上面（1）（2）兩式相減，能得到什么結(jié)論呢？ 極化恒等式對(duì)于上述恒等式，用向量運(yùn)算顯然容易證明。那么基于上面的引例，你覺(jué)得極化恒等式的幾何意義是什么？幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的.即：（平行四邊形模式）思考：在圖1的三角形ABD中（M為BD的中點(diǎn)），此恒等式如何表示呢？因?yàn)?，所以（三角形模式）ABCM例1.(2012年浙江文15)在中，是的中點(diǎn)，則_ .目標(biāo)檢測(cè)目標(biāo)檢測(cè)例3.（2013浙江理7）在中,是邊上一

2、定點(diǎn)，滿足，且對(duì)于邊上任一點(diǎn)，恒有。則( )A. B. C. D. 例4. (2017全國(guó)2理科12)已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則的最小是（ ）A. B. C. D.課后檢測(cè)1.在中，若，在線段上運(yùn)動(dòng)，的最小值為 2.已知是圓的直徑,長(zhǎng)為2,是圓上異于的一點(diǎn),是圓所在平面上任意一點(diǎn),則的最小值為_3在中，若是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值為 4 若點(diǎn)和點(diǎn)分別是雙曲線的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線右支上任意一點(diǎn)則的取值范圍是 .5在，已知點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是 .6.已知是單位圓上的兩點(diǎn)，為圓心，且是圓的一條直徑，點(diǎn)在圓內(nèi)，且滿足，則的取值范圍是（ ）A B C D7. 正

3、邊長(zhǎng)等于，點(diǎn)在其外接圓上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 8在銳角中，已知，則的取值范圍是 9. 平面向量基本定理系數(shù)的等和線【適用題型】平面向量基本定理的表達(dá)式中，研究?jī)上禂?shù)的和差及線性表達(dá)式的范圍與最值?！净径ɡ怼浚ㄒ唬?平面向量共線定理 已知，若，則三點(diǎn)共線；反之亦然（二） 等和線 平面內(nèi)一組基底及任一向量，若點(diǎn)在直線上或者在平行于的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和線。（1） 當(dāng)?shù)群途€恰為直線時(shí)，；（2） 當(dāng)?shù)群途€在點(diǎn)和直線之間時(shí)，；（3） 當(dāng)直線在點(diǎn)和等和線之間時(shí)，；（4） 當(dāng)?shù)群途€過(guò)點(diǎn)時(shí)，；（5） 若兩等和線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則定值

4、互為相反數(shù)；【解題步驟及說(shuō)明】1、 確定等值線為1的線；2、 平移（旋轉(zhuǎn)或伸縮）該線，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)的可行域，分析何處取得最大值和最小值；3、 從長(zhǎng)度比或者點(diǎn)的位置兩個(gè)角度，計(jì)算最大值和最小值；說(shuō)明：平面向量共線定理的表達(dá)式中的三個(gè)向量的起點(diǎn)務(wù)必一致，若不一致，本著少數(shù)服從多數(shù)的原則，優(yōu)先平移固定的向量；若需要研究的兩系數(shù)的線性關(guān)系，則需要通過(guò)變換基底向量，使得需要研究的代數(shù)式為基底的系數(shù)和?！镜湫屠}】例1、給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為，如圖所示，點(diǎn)在以為圓心的圓弧上變動(dòng)。若，其中，則的最大值是_。跟蹤練習(xí)：已知為的外心，若，則的最大值為_例2、在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)

5、滿足，則點(diǎn)集所表示的區(qū)域面積為_.例3、如圖，在扇形中，為弧上不與重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若 存在最大值，則的取值范圍為_. 跟蹤練習(xí)：在正方形中，為中點(diǎn)，為以為直徑的半圓弧上任意一點(diǎn)，設(shè)，則的最小值為_.【強(qiáng)化訓(xùn)練】1、在正六邊形中，是三角形內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則 的取值范圍_.2、如圖，在平行四邊形中，為邊的三等份點(diǎn)，為的交點(diǎn)，為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，為內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若，則的取值范圍_.3、設(shè)分別是的邊，上的點(diǎn)，若 （為實(shí)數(shù)），則的值為_.4、梯形中，為三角形內(nèi)一點(diǎn)（包括邊界），則的取值范圍_.5、已知，點(diǎn)在內(nèi)，且，設(shè)，則的值為_.6、在正方形中，為中點(diǎn)，為以為圓心，為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn)，設(shè)，則的最小值為_.7、已知，為實(shí)數(shù)）。若為以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則 取值的集合為_8、平面內(nèi)有三個(gè)向量，其中夾角為，的夾角為，且，若，則的值為_。9、如圖，是圓上的三點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與線