信號(hào)與系統(tǒng)第3章-new

1、 第第3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換2主要內(nèi)容:p離散傅里葉級(jí)數(shù)（離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFSDFS）p離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFTDFT）p抽樣抽樣z z變換變換頻域抽樣理論頻域抽樣理論33.2 傅里葉變換的幾種形式傅里葉變換的幾種形式 傅里葉變換是建立以傅里葉變換是建立以時(shí)間時(shí)間t 為自變量的為自變量的“信號(hào)信號(hào)”與以與以頻率頻率f 為自變量的為自變量的“頻率函數(shù)頻率函數(shù)”（頻譜）之間（頻譜）之間 的某種變換關(guān)系的某種變換關(guān)系 。時(shí)間時(shí)間t頻率頻率f連續(xù)連續(xù) 離散離散 連續(xù)連續(xù) 離散離散 四種不同形式四種不同形式 4四種形式的傅里葉變換四種形式的傅里葉變換（一）針對(duì)連續(xù)信號(hào)（一）

2、針對(duì)連續(xù)信號(hào) （1）非周期信號(hào)非周期信號(hào)的傅里葉變換（的傅里葉變換（FT） （2）周期信號(hào)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)（的傅里葉級(jí)數(shù)（FS）（二）針對(duì)離散信號(hào)（二）針對(duì)離散信號(hào) （3）非周期信號(hào)非周期信號(hào)的序列的傅里葉變換（的序列的傅里葉變換（DTFT） （4）周期信號(hào)周期信號(hào)的離散傅里葉級(jí)數(shù)（的離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFSDFT）5一一、非周期信號(hào)的傅里葉變換（、非周期信號(hào)的傅里葉變換（FT） dtetxjXtj)()( dejXtxtj)(21)( )( jX時(shí)域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜，時(shí)域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜，時(shí)域的非周期造成頻域是連續(xù)的譜。時(shí)域的非周期造成頻域是連續(xù)的譜。 6二、周期信

3、號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)（二、周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)（FS）TF 220 k 22001/)()(ppTTtjkpdtetxTjkX ktjkejkXtx00)()(時(shí)域的連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的頻譜函數(shù)，時(shí)域的連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的頻譜函數(shù)，頻域的離散頻譜就與時(shí)域的周期時(shí)間函數(shù)相對(duì)應(yīng)。頻域的離散頻譜就與時(shí)域的周期時(shí)間函數(shù)相對(duì)應(yīng)。 t0k8三、三、非周期信號(hào)的非周期信號(hào)的序列的傅里葉變換序列的傅里葉變換(DTFT) nnjjenxeX )()( deeXnxnjj)(21)(時(shí)域時(shí)域頻域頻域FT連續(xù)連續(xù)，非周期非周期非周期非周期，連續(xù)連續(xù)FS連續(xù)連續(xù)，周期，周期非周期非周期，離散，離散DTFT離散，

4、離散，非周期非周期周期，周期，連續(xù)連續(xù)三種傅里葉變換的比較：三種傅里葉變換的比較：9 上面討論的三種傅里葉變換對(duì)，都不適用在計(jì)上面討論的三種傅里葉變換對(duì)，都不適用在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算。我們算機(jī)上運(yùn)算。我們感興趣的是時(shí)域及頻域都是離散感興趣的是時(shí)域及頻域都是離散的情況的情況，這就是離散傅里葉級(jí)數(shù)（變換）。，這就是離散傅里葉級(jí)數(shù)（變換）。 根據(jù)以上討論：根據(jù)以上討論： 時(shí)域：離散時(shí)域：離散 頻譜：周期頻譜：周期 頻域：離散頻域：離散 時(shí)域：周期時(shí)域：周期 因此，因此，DFS必是一種必是一種時(shí)域、頻譜均為時(shí)域、頻譜均為離散離散和和周周期期的一種傅里葉變換。的一種傅里葉變換。四、離散傅里葉級(jí)數(shù)（四、離散傅里

5、葉級(jí)數(shù)（DFSDFT） 10 四種形式的傅里葉變換對(duì)示意圖四種形式的傅里葉變換對(duì)示意圖 113.3 離散傅里葉級(jí)數(shù)（離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）一、一、 DFS的定義的定義 設(shè)設(shè) 為周期為為周期為N的周期序列，則其離散傅里的周期序列，則其離散傅里葉級(jí)數(shù)（葉級(jí)數(shù)（DFS）變換對(duì)為）變換對(duì)為:)(nx 10102)()()()(NnnkNNnnkNjWnxenxnxDFSkX 10102)(1)(1)()(NknkNNknkNjWkXNekXNkXIDFSnxNjNeW 2 旋轉(zhuǎn)因子旋轉(zhuǎn)因子12一個(gè)周期為一個(gè)周期為N的周期序列的周期序列可表示為：可表示為：離散周期序列也用離散傅里葉級(jí)數(shù)表示離散周期序列

6、也用離散傅里葉級(jí)數(shù)表示，也就是，也就是用周期為用周期為N的復(fù)指數(shù)序列來(lái)表示。的復(fù)指數(shù)序列來(lái)表示。 周期為周期為N的復(fù)指數(shù)序列的的復(fù)指數(shù)序列的基頻序列基頻序列為為 k次諧波次諧波為：為：其其k次諧波也是周期為次諧波也是周期為N的序列：的序列：nNjnjeene)2(10)( knNjkene 2)(knNjnNkNjNkkeenene 2)(2)()()()(kNnxnx k為任意整數(shù)為任意整數(shù))(nxtjnnneAtx0)( tje0 基波基波13 離散傅里葉級(jí)數(shù)，只取下標(biāo)從離散傅里葉級(jí)數(shù)，只取下標(biāo)從0到到N-1的的N個(gè)諧波分量個(gè)諧波分量就足以表示原來(lái)的信號(hào)。就足以表示原來(lái)的信號(hào)。 為為k次諧

7、波的系數(shù)。次諧波的系數(shù)。 將上式兩邊同乘將上式兩邊同乘 ，并從，并從n=0到到N-1求和，得求和，得到：到： 10)2()(1)(NknkNjekXNnx )(kXrnNje 2 1010)(210)2()(1)(NnNkrknNjNnrnNjekXNenx 1010)(21)(NkNnrknNjeNkX ( )( )X rX k為求解這個(gè)系數(shù)要利用以下性質(zhì)，即為求解這個(gè)系數(shù)要利用以下性質(zhì)，即 其其它它為為整整數(shù)數(shù), 0, 1110)2(mmNreNNnrnNj 14 由此得到周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式由此得到周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式 令令 ，則得到周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)，則得到周

8、期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）變換對(duì)）變換對(duì) kenxkXNnnkNj102)()( nekXNnxNknkNj102)(1)( 10)()()(NnnkNWnxnxDFSkX 10)(1)()(NknkNWkXNkXIDFSnxNjNeW/2 正變換正變換反變換反變換152 2、移位特性、移位特性2 ()( )( )jmkmkNNDFS x nmWX keX k10 ()()NnkNnDFS x nmx nm W證：1()( )Nmk i mNimx i W inm令10( )( )NmkkimkNNNiWx i WWX k1 1、線性、線性二、二、DFS的性質(zhì)的性質(zhì)163 3、周期卷積、

9、周期卷積1210( )()Nmx m x nm12( )( )( )Y kX kXk若若1120( ) ( )( )()Nmy nIDFS Y kx m x nm則則討論討論: : 周期卷積與線性卷積周期卷積與線性卷積的區(qū)別在于：周期卷積求和的區(qū)別在于：周期卷積求和只在一周期內(nèi)進(jìn)行。只在一周期內(nèi)進(jìn)行。( (注意周期信號(hào)的線性卷積不存在注意周期信號(hào)的線性卷積不存在) )式中的卷積稱(chēng)為式中的卷積稱(chēng)為周期卷積周期卷積1712( )( )( )y nIDFS X kXk證： 11201( )( )NknNkX k Xk WN1112001( )( )NNmkknNNkmx m WXk WN 11()1

10、2001( )( )NNn m kNmkx mXk WN1120( )()Nmx m x nm18142512( )( ) ( )(1)( )6( )( )x nR nxnnR nx nxn例：已知序列，分別將序列以周期為 周期延拓成周期序列和，求兩個(gè)周期序列的周期卷積和。1120( )( )()Nmy nx m x nm解： 5120( )()mx m x nm1920213.3 離散傅里葉變換離散傅里葉變換DFTp在進(jìn)行在進(jìn)行DFSDFS分析時(shí)，時(shí)域、頻域序列都是無(wú)限分析時(shí)，時(shí)域、頻域序列都是無(wú)限長(zhǎng)的周期序列長(zhǎng)的周期序列p周期序列實(shí)際上只有有限個(gè)序列值有意義周期序列實(shí)際上只有有限個(gè)序列值有

11、意義p長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為N N的有限長(zhǎng)序列可以看成周期為的有限長(zhǎng)序列可以看成周期為N N的周期的周期序列的一個(gè)周期（主值序列）序列的一個(gè)周期（主值序列）p借助借助DFSDFS變換對(duì)，取時(shí)域、頻域的主值序列可變換對(duì)，取時(shí)域、頻域的主值序列可以得到一個(gè)新的變換以得到一個(gè)新的變換DFTDFT，即，即有限長(zhǎng)序列的有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換離散傅里葉變換22 其其它它, 010),()(Nnnxnx)()()(nRnxnxN 或或 rrNnxnx)()(n=0到到N-1的范圍稱(chēng)為的范圍稱(chēng)為主值區(qū)間主值區(qū)間。上述兩式可分別表示為上述兩式可分別表示為 )()()()()(nRnxnxnxnxNN )(nx的第一個(gè)

12、周期，即的第一個(gè)周期，即n=0到到N-1的序列稱(chēng)為的序列稱(chēng)為主值序列主值序列，有限長(zhǎng)序列和周期序列的關(guān)系有限長(zhǎng)序列和周期序列的關(guān)系 符號(hào)符號(hào)(n)N表示表示n對(duì)對(duì)N取余數(shù)取余數(shù)，或，或n對(duì)對(duì)N取模值取模值。23例如例如， 是周期為是周期為N8的序列，求的序列，求n=19和和n=-2兩兩數(shù)對(duì)數(shù)對(duì)N的余數(shù)。的余數(shù)。因?yàn)橐驗(yàn)?(nx82319 n3198 )(8162 )(n6)2(8)3()19()19(8xx)6()2()2(8xx因此因此 m為整數(shù)為整數(shù) mNnn1101Nn24 同理，可以認(rèn)為周期序列同理，可以認(rèn)為周期序列 的的DFS系數(shù)系數(shù) 是有限長(zhǎng)序列是有限長(zhǎng)序列X(k)周期延拓的結(jié)果，

13、而周期延拓的結(jié)果，而 X(k)是是 的主值序列。的主值序列。 即即 )(nx)(kX)(kX)()()()()(kRkXkXkXkXNN 252.有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換 從從DFS和和IDFS的定義可以看出，求和運(yùn)算只限定在的定義可以看出，求和運(yùn)算只限定在0到到N-1的的主值區(qū)間主值區(qū)間內(nèi)進(jìn)行，因而完全適用于主值序列內(nèi)進(jìn)行，因而完全適用于主值序列x(n) 與與X(k) 。因此我們得到一個(gè)新的定義，這就是有限長(zhǎng)序列的離。因此我們得到一個(gè)新的定義，這就是有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換定義：散傅里葉變換定義：注意：注意： 在離散傅里葉變換關(guān)系中，在離散傅里葉變換關(guān)系中，有限

14、長(zhǎng)序列有限長(zhǎng)序列都作為周期序列都作為周期序列的一個(gè)周期來(lái)表示，的一個(gè)周期來(lái)表示，都隱含有都隱含有周期性周期性意義意義。 10102)()()(NnnkNNnnkNjWnxenxkX 10102)(1)(1)(NknkNNknkNjWkXNekXNnx26在一般情況下，在一般情況下，X(k)是一個(gè)復(fù)量，可表示為是一個(gè)復(fù)量，可表示為或或例例3.2 求有限長(zhǎng)序列的求有限長(zhǎng)序列的DFT，其中，其中a=0.8，N=8。 )()()(kjXkXkXIR )()()(kjekXkX 其其它它,010,)(Nnanxn70,11)()()(7048827082708 kaeaaeeaWnxkXnkjnkjnn

15、kjnnnk 解解 X(0)=4.16114 X(1)=0.71063-j0.92558 X(2)=0.50746-j0.40597 X(3)=0.47017-j0.16987X(4)=0.46235 X(5)= 0.47017+j0.16987 X(6)=0.50746+j0.40597 X(7)=0.71063+j0.92558 27二、二、DFT和和Z變換的關(guān)系變換的關(guān)系可見(jiàn)，可見(jiàn)，X(k)是是Z變換在單位圓變換在單位圓上的上的N點(diǎn)等間隔采樣值。點(diǎn)等間隔采樣值。 進(jìn)行進(jìn)行對(duì)比對(duì)比kNWzzXkX )()( 10)()()(NnnznxnxZTzX10)()()(10 NkWnxnxDFT

16、kXNnnkN28DFT與序列傅里葉變換的關(guān)系與序列傅里葉變換的關(guān)系 X(k)是序列傅里葉變換是序列傅里葉變換 在區(qū)間在區(qū)間0,2上的等間隔上的等間隔采樣值。采樣值。 當(dāng)當(dāng)N足夠大時(shí)，足夠大時(shí)， 的包絡(luò)可逼近的包絡(luò)可逼近 曲線。曲線。kNjeXkX 2| )()( )( jeX進(jìn)行進(jìn)行對(duì)比對(duì)比 10)()()(NnnjjenxnxDTFTeX 10)()()(10 NkWnxnxDFTkXNnnkN| )(|kX| )(| jeX29注意：關(guān)于離散傅里葉變換注意：關(guān)于離散傅里葉變換(DFT)(DFT) 1）序列序列x(n)在時(shí)域是有限長(zhǎng)的（長(zhǎng)度為在時(shí)域是有限長(zhǎng)的（長(zhǎng)度為N），它的離散），它的離

17、散傅里葉變換傅里葉變換X(k)也是離散、有限長(zhǎng)的（長(zhǎng)度也為也是離散、有限長(zhǎng)的（長(zhǎng)度也為N）。）。n為時(shí)域變量，為時(shí)域變量，k為頻域變量。為頻域變量。 2）離散傅里葉變換與離散傅里葉級(jí)數(shù)沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別離散傅里葉變換與離散傅里葉級(jí)數(shù)沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別，DFT實(shí)際上是離散傅里葉級(jí)數(shù)的主值，實(shí)際上是離散傅里葉級(jí)數(shù)的主值，DFT隱含有周期性。隱含有周期性。 3）離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）具有唯一性）具有唯一性。 4)4)DFTDFT的物理意義：序列的物理意義：序列x(n)x(n)的的Z Z變換在單位圓上的等角變換在單位圓上的等角距取樣。距取樣。301 1、線性、線性, a b為任意常數(shù)這里，序列長(zhǎng)

18、度及這里，序列長(zhǎng)度及DFT點(diǎn)數(shù)均為點(diǎn)數(shù)均為N若不等，分別為若不等，分別為N1，N2，則需補(bǔ)零使兩序列長(zhǎng)度，則需補(bǔ)零使兩序列長(zhǎng)度相等，均為相等，均為N，且，且12max,NN N11( ) ( )X kDFT x n22( )( )XkDFT x n若若1212( )( )( )( )DFT ax nbx naX kbXk則則三、三、DFTDFT的性質(zhì)的性質(zhì)312圓周移位性質(zhì)圓周移位性質(zhì)（1）序列的圓周移位）序列的圓周移位 一個(gè)長(zhǎng)度為一個(gè)長(zhǎng)度為N的序列的序列x(n)的的圓周圓周(循環(huán)循環(huán))移位移位定義為定義為循環(huán)移位分循環(huán)移位分3步計(jì)算：步計(jì)算：（1）將）將 延拓延拓成周期為成周期為N的周期序列

19、的周期序列 ； （2）將）將 移位移位得得 或或（3）對(duì)）對(duì) 取主值取主值得得)()()(nRmnxnyNN )(nx)(nx)(nx)(mnx Nmnx)( Nmnx)( )()(nRmnxNN q從圖中兩虛線之間的從圖中兩虛線之間的主值序列的移位情況可主值序列的移位情況可以看出：以看出：q當(dāng)主值序列左移當(dāng)主值序列左移m m個(gè)個(gè)樣本時(shí)，從右邊會(huì)同時(shí)樣本時(shí)，從右邊會(huì)同時(shí)移進(jìn)移進(jìn)m m個(gè)樣本個(gè)樣本q好像是剛向左邊移出好像是剛向左邊移出的那些樣本又從右邊循的那些樣本又從右邊循環(huán)移了進(jìn)來(lái)環(huán)移了進(jìn)來(lái)q因此取名因此取名“循環(huán)移循環(huán)移位位”。q顯然，循環(huán)移位不同顯然，循環(huán)移位不同于線性移位于線性移位 33

20、 （2）時(shí)域循環(huán)移位定理）時(shí)域循環(huán)移位定理 （3）頻域循環(huán)移位定理）頻域循環(huán)移位定理 若若則則)()()()(kXWnRmnxDFTkYmkNNN )()()(kRlkXkYNN )()()()(2nxenxWkRlkXIDFTnlNjnlNNN 34 3圓周卷積圓周卷積 設(shè)設(shè) ，則，則 由上式表示的卷積稱(chēng)為由上式表示的卷積稱(chēng)為圓周卷積圓周卷積或或循環(huán)卷積循環(huán)卷積。 計(jì)算過(guò)程分計(jì)算過(guò)程分5步：步： （1）周期延拓周期延拓 （2）折疊）折疊 （3）移位）移位和和取主值取主值 （4）相乘）相乘 （5）相加）相加)()()(21kXkXkY )()()()()()()()(21102121nxnxn

21、RmnxmxkXkXIDFTnyNNmN 圖圖3-7 圓周卷積過(guò)程示意圖（圓周卷積過(guò)程示意圖（N=7）36 線性卷積線性卷積不受主值區(qū)間限制不受主值區(qū)間限制 圓周卷積圓周卷積是是周期卷積周期卷積取主值，在一定條件取主值，在一定條件 下與線性卷積相等。下與線性卷積相等。 圓周卷積長(zhǎng)度：圓周卷積長(zhǎng)度：N（參與圓周卷積序列長(zhǎng)度相同）（參與圓周卷積序列長(zhǎng)度相同） 線性卷積長(zhǎng)度：線性卷積長(zhǎng)度：2N-1。注意：注意：線線性性卷卷積積圓圓周周卷卷積積374共軛對(duì)稱(chēng)性共軛對(duì)稱(chēng)性 對(duì)稱(chēng)性是指關(guān)于對(duì)稱(chēng)性是指關(guān)于N/2點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性。點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性。（1）圓周共軛對(duì)稱(chēng)和圓周共軛反對(duì)稱(chēng)）圓周共軛對(duì)稱(chēng)和圓周共軛反對(duì)稱(chēng)（2）（3

22、）)()(21)(*epnNxnxnx )()(21)(*opnNxnxnx 圓周共軛對(duì)稱(chēng)分量圓周共軛對(duì)稱(chēng)分量 圓周共軛反對(duì)稱(chēng)分量圓周共軛反對(duì)稱(chēng)分量 10, )()()(opep Nnnxnxnx)(Im)(Re)(kXjkXkX 10,)(Im)(Re)( Nnnxjnxnx)()()(opepkXkXkX )(*)(epepnNxnx )(*)(opopnNxnx 38 10*10)()()()(*)(*NnNNnnkNNnkNkRWnxkRWnxnxDFT)()()()(*10)(kRWnxkRkXNNnnkNNNN )(*)()(*kNXkRkNXNN 利用：利用：復(fù)共扼序列的復(fù)共扼序

23、列的DFT推導(dǎo)過(guò)程和思路推導(dǎo)過(guò)程和思路 )()(*kNXnxDFT )0()(XNX 且且 同理可證同理可證)()(*kXnNxDFT 39(1) (1) 和和 的對(duì)稱(chēng)性的對(duì)稱(chēng)性)(kXep)(kXop)()(21)(*nNxnxnxep )()(21)(*nNxnxnxop 定義定義 圓周共軛對(duì)稱(chēng)分量圓周共軛對(duì)稱(chēng)分量 圓周共軛反對(duì)稱(chēng)分量圓周共軛反對(duì)稱(chēng)分量 兩者滿足兩者滿足 )()(*nNxnxepep )()(*nNxnxopop 4010, )()()( Nnnxnxnxopep )()(21)(*nNxnxDFTnxDFTep)(21)(21*nNxDFTnxDFT )(Re)()(21

24、)(*kXkXkXnxDFTep )(Im)()(21)(*kXjkXkXnxDFTop 41 設(shè)復(fù)序列設(shè)復(fù)序列x(n)的實(shí)部的實(shí)部Rex(n)和虛部和虛部jImx(n)的的DFT分別為分別為)()(21)(*nxnxnxr )()(21)(nxnxnjxi )()()(njxnxnxir （2） 序列的實(shí)部和虛部的序列的實(shí)部和虛部的DFT式中：式中： 42)()()(21)(*kXkNXkXnxDFTepr )()()(21)(*kXkNXkXnjxDFTopi X(k)的共軛對(duì)稱(chēng)分量的共軛對(duì)稱(chēng)分量)()()(kXkXkXopep X(k)的共軛反對(duì)稱(chēng)分量的共軛反對(duì)稱(chēng)分量43設(shè)設(shè)x(n)是一

25、個(gè)長(zhǎng)度為是一個(gè)長(zhǎng)度為N的實(shí)序列，即的實(shí)序列，即x(n)= xr(n) ，則則 X(k)只有只有共軛對(duì)稱(chēng)分量共軛對(duì)稱(chēng)分量，即，即 X(k)= Xep(k)(3) 實(shí)序列和純虛序列的實(shí)序列和純虛序列的DFT)(*)(kNXkX 設(shè)設(shè)x(n)是一個(gè)長(zhǎng)度為是一個(gè)長(zhǎng)度為N的純虛序列，即的純虛序列，即 x(n)=jxi(n) ，則則 X(k)只有只有共軛反對(duì)稱(chēng)分量共軛反對(duì)稱(chēng)分量，即，即 X(k)= Xop(k) )(*)(kNXkX 結(jié)論：結(jié)論： 這兩種情況，只要知道一半數(shù)目的這兩種情況，只要知道一半數(shù)目的X(k)就可以了，就可以了，另一半可利用對(duì)稱(chēng)性求得。另一半可利用對(duì)稱(chēng)性求得。4445四、四、MATL

26、AB實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn) 例例3-4 x(n)是一是一4點(diǎn)序列：點(diǎn)序列： （1）計(jì)算離散時(shí)間傅立葉變換（）計(jì)算離散時(shí)間傅立葉變換（DTFT），并且畫(huà)出），并且畫(huà)出它的幅度和相位。它的幅度和相位。 （2）計(jì)算）計(jì)算 x(n) 的的4點(diǎn)點(diǎn)DFT。 其其它它,030,1)(nnx46 例例3-5 在上題的基礎(chǔ)上，如何得到其它的樣本？在上題的基礎(chǔ)上，如何得到其它的樣本？ 解：解：補(bǔ)零運(yùn)算補(bǔ)零運(yùn)算 ，得到較，得到較密的頻譜。密的頻譜。 8點(diǎn)序列的點(diǎn)序列的DFT的的頻率分辨率頻率分辨率為為 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 , 1)( nxnknWnxkX8708)()( 4/8/2/2 N7.,1

27、 , 0 k47結(jié)論：結(jié)論： （1）補(bǔ)零是給原始序列填零的運(yùn)算。這導(dǎo)致較長(zhǎng)的）補(bǔ)零是給原始序列填零的運(yùn)算。這導(dǎo)致較長(zhǎng)的DFT，它使得采樣點(diǎn)更密，但頻譜包絡(luò)不變它使得采樣點(diǎn)更密，但頻譜包絡(luò)不變。在。在MATLAB中，用中，用zeros函數(shù)實(shí)現(xiàn)補(bǔ)零運(yùn)算。函數(shù)實(shí)現(xiàn)補(bǔ)零運(yùn)算。 （2）補(bǔ)零補(bǔ)零運(yùn)算給我們提供了一個(gè)較密的頻譜和較好的運(yùn)算給我們提供了一個(gè)較密的頻譜和較好的圖示形式。但因?yàn)樵谛盘?hào)中只是附加了零，而沒(méi)有增加任何圖示形式。但因?yàn)樵谛盘?hào)中只是附加了零，而沒(méi)有增加任何新的信息，因此它新的信息，因此它不能提供高分辨率的頻譜不能提供高分辨率的頻譜。 （3）為得到高分辨率的頻譜，人們得從實(shí)驗(yàn)或觀察中）為得到

28、高分辨率的頻譜，人們得從實(shí)驗(yàn)或觀察中取得更多的數(shù)據(jù)。取得更多的數(shù)據(jù)。483.5 頻域采樣理論頻域采樣理論抽樣抽樣Z變換變換一、頻域采樣一、頻域采樣（1）問(wèn)題引入）問(wèn)題引入 由由Z變換與變換與DFT的關(guān)系的關(guān)系 表明實(shí)現(xiàn)了頻域的抽樣，便于計(jì)算機(jī)計(jì)算。表明實(shí)現(xiàn)了頻域的抽樣，便于計(jì)算機(jī)計(jì)算。 能否由用頻域抽樣來(lái)恢復(fù)原來(lái)的信號(hào)能否由用頻域抽樣來(lái)恢復(fù)原來(lái)的信號(hào)x（n）或頻或頻 率函數(shù)）？率函數(shù)）？其限制條件是什么其限制條件是什么?內(nèi)插公式又是什么？?jī)?nèi)插公式又是什么？2z( )(z)jkNeX kX49（2）分析）分析 因?yàn)橐驗(yàn)?采樣后所獲得的有限長(zhǎng)序列采樣后所獲得的有限長(zhǎng)序列xN(n)能否代表原序列能否

29、代表原序列x(n)？為了弄清這個(gè)問(wèn)題，我們從周期序列為了弄清這個(gè)問(wèn)題，我們從周期序列 開(kāi)始：開(kāi)始： nnkNWWnxXkXkN)(| )z()(z 1010)(1)(1)()(NknkNNknkNNWkXNWkXNkXIDFSnx1)()(110)(10 NkknmNmNknkNmmkNWNmxWWmxN mrrNnmWNNkknmN其它其它為任意整數(shù)為任意整數(shù), 0, 1110)( rNrNnxnx)()()()(kXIDFTnxN )(nxN50 即即 是原非周期序列是原非周期序列x(n)的的周期延拓周期延拓序列，序列，其其時(shí)域周期為頻域采樣點(diǎn)數(shù)時(shí)域周期為頻域采樣點(diǎn)數(shù)N。 在第一章我們看到

30、，時(shí)域的采樣造成頻域的周在第一章我們看到，時(shí)域的采樣造成頻域的周期延拓，同樣，期延拓，同樣，頻域采樣同樣造成時(shí)域的周期延頻域采樣同樣造成時(shí)域的周期延拓。拓。 )(nxN rNrNnxnx)()(51（3）結(jié)論）結(jié)論 如果如果x(n)是是長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為M的有限長(zhǎng)序列，頻域抽樣的有限長(zhǎng)序列，頻域抽樣不失真的條件不失真的條件： 頻域抽樣點(diǎn)數(shù)頻域抽樣點(diǎn)數(shù)N要大于或等于序列長(zhǎng)度要大于或等于序列長(zhǎng)度M，即，即滿足滿足NM。此時(shí)可得到此時(shí)可得到 表明長(zhǎng)度為表明長(zhǎng)度為N（或小于（或小于N）的有限長(zhǎng)序列可用它）的有限長(zhǎng)序列可用它的的Z變換在單位圓上的變換在單位圓上的N個(gè)均分點(diǎn)上的抽樣值精確個(gè)均分點(diǎn)上的抽樣值精確地

31、表示。地表示。 若不滿足若不滿足NM，則產(chǎn)生時(shí)域混疊現(xiàn)象。，則產(chǎn)生時(shí)域混疊現(xiàn)象。)()()()()()(nxnRrNnxnRnxnxNrNNN 52注意：注意： 如果如果x(n)是是無(wú)限長(zhǎng)序列，則時(shí)域周期延拓后，必然造成無(wú)限長(zhǎng)序列，則時(shí)域周期延拓后，必然造成混疊現(xiàn)象，因而一定會(huì)產(chǎn)生誤差；當(dāng)混疊現(xiàn)象，因而一定會(huì)產(chǎn)生誤差；當(dāng)n增加時(shí)信號(hào)衰減得越增加時(shí)信號(hào)衰減得越快，或頻域采樣越密（即采樣點(diǎn)數(shù)快，或頻域采樣越密（即采樣點(diǎn)數(shù)N越大），則誤差越小。越大），則誤差越小。 53 例例3-8 一個(gè)長(zhǎng)度一個(gè)長(zhǎng)度M=5的矩形序列，若在頻域上進(jìn)行抽樣的矩形序列，若在頻域上進(jìn)行抽樣處理，使其頻域也離散化，試比較抽樣點(diǎn)

32、數(shù)分別取處理，使其頻域也離散化，試比較抽樣點(diǎn)數(shù)分別取5和和4時(shí)的時(shí)的結(jié)果。結(jié)果。54p頻域抽樣，按頻域抽樣，按N=5點(diǎn)，頻域抽樣，時(shí)域延拓相加點(diǎn)，頻域抽樣，時(shí)域延拓相加,時(shí)域時(shí)域延拓的周期個(gè)數(shù)等于頻域的抽樣點(diǎn)數(shù)延拓的周期個(gè)數(shù)等于頻域的抽樣點(diǎn)數(shù)N=5，由于，由于N=M，所以時(shí)域延拓恰好無(wú)混疊現(xiàn)象。所以時(shí)域延拓恰好無(wú)混疊現(xiàn)象。解：解：55p按按N=4時(shí)進(jìn)行抽樣，由于時(shí)進(jìn)行抽樣，由于N=4，而序列長(zhǎng)度為而序列長(zhǎng)度為M=5，NM,時(shí)時(shí)域延拓后產(chǎn)生混疊現(xiàn)象。域延拓后產(chǎn)生混疊現(xiàn)象。（原信號(hào)為紅色原信號(hào)為紅色，延拓取主值區(qū)間延拓取主值區(qū)間后的恢復(fù)信號(hào)為蘭色。后的恢復(fù)信號(hào)為蘭色。）56二、頻域恢復(fù)二、頻域恢復(fù)

33、頻域內(nèi)插公式頻域內(nèi)插公式 從頻域抽樣不失真條件可以知道：從頻域抽樣不失真條件可以知道： N個(gè)頻域抽樣個(gè)頻域抽樣X(jué)(k)能不失真的還原出長(zhǎng)度為能不失真的還原出長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列的有限長(zhǎng)序列x(n)。 那么那么用用N個(gè)個(gè)X(k)也一定能完整地表示出也一定能完整地表示出X(z)以以及頻率響應(yīng)及頻率響應(yīng) 即單位圓上的即單位圓上的X(z)。 過(guò)程很簡(jiǎn)單過(guò)程很簡(jiǎn)單,先把先把N個(gè)個(gè)X(k)作作IDFT得到得到x(n),再再把把x(n)作作Z變換便得到變換便得到X(z)。)( jeX57 10)()(NnnznxzX 10)(1)(NknkNWkXNnx由于由于 代入，得代入，得 )(1)(1)(10101

34、010 NnnnkNNkNnnNknkNzWkXNzWkXNzX 1011011)(111)(1NkkNNNkkNNNkNzWkXNzzWzWkXN這就是用這就是用N個(gè)頻域采樣來(lái)恢復(fù)個(gè)頻域采樣來(lái)恢復(fù)X(z)的內(nèi)插公式的內(nèi)插公式 58（1）X(z)的內(nèi)插公式的內(nèi)插公式稱(chēng)稱(chēng)為為內(nèi)內(nèi)插插函函數(shù)數(shù)其其中中)()()()(10zzkXzXkkNk 1111)( zWzNzkNNk內(nèi)插函數(shù)內(nèi)插函數(shù)內(nèi)插函數(shù)只在本內(nèi)插函數(shù)只在本采樣點(diǎn)處不為零采樣點(diǎn)處不為零kNje)/2( 59（2）頻域響應(yīng)的內(nèi)插公式）頻域響應(yīng)的內(nèi)插公式)2()()10kNkXeXezzNkjj （代替便得到代替便得到用用把把 )21()2s

35、in()2sin(1)(NjkeNN頻域響應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)頻域響應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)其中其中60頻域內(nèi)插函數(shù)的幅度特性和相位特性頻域內(nèi)插函數(shù)的幅度特性和相位特性 可以看出，當(dāng)可以看出，當(dāng)0時(shí)，時(shí)， 當(dāng)當(dāng) =(2/N) i (i=1,2,N-1)時(shí)，時(shí)， 因而有因而有1)( kiiNkNkN,2, 02, 1)2( 0)( 61(3)結(jié)論結(jié)論公式中看出公式中看出: 在每個(gè)抽樣點(diǎn)上在每個(gè)抽樣點(diǎn)上X(ejw)就精確地等于就精確地等于X(k)(因?yàn)橐驗(yàn)槠渌膬?nèi)插函數(shù)在這一點(diǎn)上的值為零其他的內(nèi)插函數(shù)在這一點(diǎn)上的值為零,無(wú)影響無(wú)影響), 即即 各抽樣點(diǎn)之間的各抽樣點(diǎn)之間的X(ejw)值值,則由各抽樣點(diǎn)的加權(quán)則由各抽樣

36、點(diǎn)的加權(quán)內(nèi)插函數(shù)在所求點(diǎn)上的值的疊加而得到內(nèi)插函數(shù)在所求點(diǎn)上的值的疊加而得到。 頻率響應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)頻率響應(yīng)的內(nèi)插函數(shù) 具有線性相位。具有線性相位。 1,.1 ,0),()2 NkkXeXkNj（)( 10)2()()(NkjkNkXeX62圖圖3-15 由內(nèi)插函數(shù)求頻率響應(yīng)的示意圖由內(nèi)插函數(shù)求頻率響應(yīng)的示意圖 63 DFT(FFT)在數(shù)字濾波、功率譜分析、仿真、系統(tǒng)分析、在數(shù)字濾波、功率譜分析、仿真、系統(tǒng)分析、通信理論方面有廣泛的應(yīng)用。通信理論方面有廣泛的應(yīng)用。歸結(jié)起來(lái)歸結(jié)起來(lái),有兩個(gè)大方面有兩個(gè)大方面: 一是計(jì)算線性卷積、線性相關(guān)；一是計(jì)算線性卷積、線性相關(guān)； 二是用二是用DFT(FFT)作

37、為連續(xù)傅里葉變換的近似作為連續(xù)傅里葉變換的近似.3.6 用用DFT計(jì)算線性卷積計(jì)算線性卷積3.7 用用DFT進(jìn)行頻譜分析進(jìn)行頻譜分析 DFT的應(yīng)用的應(yīng)用643.6 用用DFT計(jì)算線性卷積計(jì)算線性卷積 1.引入引入 實(shí)際問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題 即信號(hào)通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)即信號(hào)通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)h(n)后的響應(yīng)后的響應(yīng)y(n)是是線性卷線性卷積積運(yùn)算。運(yùn)算。 若做卷積的兩序列都是有限長(zhǎng)序列，能否用它們的若做卷積的兩序列都是有限長(zhǎng)序列，能否用它們的圓周圓周卷積卷積結(jié)果代替它們的線性卷積結(jié)果呢結(jié)果代替它們的線性卷積結(jié)果呢? 圓周卷積與線性卷積的關(guān)系是什么圓周卷積與線性卷積的關(guān)系是什么?線線 性性時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)不變系

38、統(tǒng)h(n)y(n)=x(n)*h(n)x(n)652.用圓周卷積計(jì)算線性卷積的條件用圓周卷積計(jì)算線性卷積的條件 設(shè)有限長(zhǎng)序列設(shè)有限長(zhǎng)序列x1(n) (0nN1-1)，x2(n) (0nN2-1) 1）線性卷積線性卷積 長(zhǎng)度：長(zhǎng)度： 2）圓周卷積）圓周卷積 把把x1(n)、x2(n)補(bǔ)零點(diǎn)至補(bǔ)零點(diǎn)至L 點(diǎn)點(diǎn), L max(N1, N2)，即，即 1021211)()()()()(Nmmlmnxmxmnxmxny121 NNN 1010),()(1111LnNNnnxnx 1010),()(2222LnNNnnxnx66 L點(diǎn)圓周卷積點(diǎn)圓周卷積yc(n)是線性卷積是線性卷積yl(n)以以L為周期的

39、周期延拓為周期的周期延拓序列的主值序列。序列的主值序列。 )()()()(1021nRmnxmxnyLLmLc rLrLnxnxnx)()()(222)( )()()(1021nRmrLnxmxnyLLmrc )( )()(1021nRmrLnxmxLrLm )( )(nRrLnyLrl 67)()()(nRrLnynyLrlc 結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)當(dāng)L N1+N2-1時(shí)，時(shí)，圓周卷積可以代替線性卷積圓周卷積可以代替線性卷積68圖圖3-16 有限長(zhǎng)序列的線性卷積與圓周卷積有限長(zhǎng)序列的線性卷積與圓周卷積 69)()()(nRrLnynyLrlc L=6N1+N2-1L=8=N1+N2-1703.用圓周

40、卷積計(jì)算線性卷積的方法用圓周卷積計(jì)算線性卷積的方法 取取LN1+N2-1，圓周卷積代替線性卷積的框圖為，圓周卷積代替線性卷積的框圖為 圖中圖中DFT與與IDFT子程序可以共用，而且通常用快速子程序可以共用，而且通常用快速算法（算法（FFT）來(lái)實(shí)現(xiàn)，故圓周卷積也稱(chēng)為）來(lái)實(shí)現(xiàn)，故圓周卷積也稱(chēng)為快速卷積快速卷積。 y(n)L點(diǎn)點(diǎn)DFT補(bǔ)補(bǔ)L-N1個(gè)零個(gè)零L點(diǎn)點(diǎn)DFTL點(diǎn)點(diǎn)IDFTx1(n)補(bǔ)補(bǔ)L-N2個(gè)零個(gè)零x2(n)713.7 用用DFT進(jìn)行頻譜分析進(jìn)行頻譜分析 DFT的最初引入就是為了使數(shù)字計(jì)算機(jī)能夠幫助分析連的最初引入就是為了使數(shù)字計(jì)算機(jī)能夠幫助分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜。續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜。 DF

41、T的快速算法的快速算法快速傅里葉變換（快速傅里葉變換（FFT）的出現(xiàn)使）的出現(xiàn)使得得DFT這這種分析方法具有實(shí)用價(jià)值和重要性。種分析方法具有實(shí)用價(jià)值和重要性。圖圖3-18 時(shí)域連續(xù)信號(hào)時(shí)域連續(xù)信號(hào)DFT分析的基本步驟分析的基本步驟721. 分析分析p 設(shè)設(shè):對(duì)連續(xù)非周期信號(hào)進(jìn)行時(shí)域抽樣，抽樣間隔為對(duì)連續(xù)非周期信號(hào)進(jìn)行時(shí)域抽樣，抽樣間隔為T(mén)(時(shí)時(shí)域域);對(duì)其連續(xù)非周期性的頻譜函數(shù)進(jìn)行頻域抽樣對(duì)其連續(xù)非周期性的頻譜函數(shù)進(jìn)行頻域抽樣, 頻域頻域抽樣間隔為抽樣間隔為 F(頻域頻域)；p時(shí)域抽樣，頻域必然周期延拓時(shí)域抽樣，頻域必然周期延拓；且延拓周期為時(shí)域抽；且延拓周期為時(shí)域抽樣的頻率值樣的頻率值,即即

42、頻域周期頻域周期 fs = 1/ T;p頻域抽樣頻域抽樣，對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)時(shí)域時(shí)域按頻域抽樣間隔的倒數(shù)按頻域抽樣間隔的倒數(shù)周期延拓周期延拓, 即即 Tp = 1/F；p對(duì)無(wú)限長(zhǎng)的信號(hào)，計(jì)算機(jī)是不能處理的對(duì)無(wú)限長(zhǎng)的信號(hào)，計(jì)算機(jī)是不能處理的, 必須對(duì)必須對(duì)時(shí)域與時(shí)域與頻域做截?cái)囝l域做截?cái)?若時(shí)域取若時(shí)域取N點(diǎn)點(diǎn),則頻域至少也要取則頻域至少也要取N點(diǎn)。點(diǎn)。 (參參見(jiàn)頻域抽樣不失真條件見(jiàn)頻域抽樣不失真條件)。 73圖圖3-22 用用DFT方法分析連續(xù)信號(hào)頻譜的原理示意圖方法分析連續(xù)信號(hào)頻譜的原理示意圖74二、用二、用DFT進(jìn)行譜分析的誤差問(wèn)題進(jìn)行譜分析的誤差問(wèn)題 1.混疊效應(yīng)混疊效應(yīng) 利用利用DFT逼近連續(xù)

43、時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換，為避免逼近連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換，為避免混疊混疊失真失真，按照抽樣定理的要求，采樣頻率至少是信號(hào)最高頻率按照抽樣定理的要求，采樣頻率至少是信號(hào)最高頻率的兩倍。的兩倍。 解決混疊問(wèn)題的唯一方法是解決混疊問(wèn)題的唯一方法是保證采樣頻率足夠高保證采樣頻率足夠高。 用用DFT逼近連續(xù)非周期信號(hào)的傅里葉變換過(guò)程中除了逼近連續(xù)非周期信號(hào)的傅里葉變換過(guò)程中除了對(duì)幅度的線性加權(quán)外對(duì)幅度的線性加權(quán)外,由于用到了抽樣與截?cái)嗟姆椒ㄓ捎谟玫搅顺闃优c截?cái)嗟姆椒?因此因此也會(huì)帶來(lái)一些可能產(chǎn)生的問(wèn)題，使譜分析產(chǎn)生誤差。也會(huì)帶來(lái)一些可能產(chǎn)生的問(wèn)題，使譜分析產(chǎn)生誤差。 如如:混疊效應(yīng)混疊效應(yīng),截?cái)嘈?yīng)截?cái)?/p>

44、效應(yīng),柵欄效應(yīng)柵欄效應(yīng)等等. 75頻譜分析寬度頻譜分析寬度與與頻率分辨率頻率分辨率 抽樣間隔抽樣間隔F（頻率分辨力）頻率分辨力）是記錄長(zhǎng)度的倒數(shù)，即是記錄長(zhǎng)度的倒數(shù)，即 若抽樣點(diǎn)數(shù)為若抽樣點(diǎn)數(shù)為N，則頻率分辨率，則頻率分辨率F與與fs的關(guān)系為的關(guān)系為 在在N給定給定時(shí)，為避免混疊失真而一味提高抽樣頻率，必時(shí)，為避免混疊失真而一味提高抽樣頻率，必然導(dǎo)致然導(dǎo)致F增加，即頻率分辨力下降；增加，即頻率分辨力下降； 反之，若要提高頻率分辨力即減小反之，若要提高頻率分辨力即減小F，則導(dǎo)致減小，則導(dǎo)致減小fs，最終必須減小能分析的信號(hào)帶寬。最終必須減小能分析的信號(hào)帶寬。 在在fc 與與F參數(shù)中，保持其中一個(gè)

45、不變而使另一個(gè)性能得參數(shù)中，保持其中一個(gè)不變而使另一個(gè)性能得以提高的以提高的唯一辦法，就是增加記錄長(zhǎng)度內(nèi)的點(diǎn)數(shù)唯一辦法，就是增加記錄長(zhǎng)度內(nèi)的點(diǎn)數(shù)N 。NfNfFcs2 p/1 TF 76 例例3-9對(duì)實(shí)信號(hào)進(jìn)行譜分析，要求譜分辨率對(duì)實(shí)信號(hào)進(jìn)行譜分析，要求譜分辨率F10Hz，信，信號(hào)最高頻率號(hào)最高頻率fc=2.5 kHz， 試確定最小記錄時(shí)間試確定最小記錄時(shí)間Tpmin， 最大的最大的采樣間隔采樣間隔Tmax，最少的采樣點(diǎn)數(shù)，最少的采樣點(diǎn)數(shù)Nmin。 如果如果fc不變，不變， 要求要求譜譜分辨率增加一倍分辨率增加一倍，最少的采樣點(diǎn)數(shù)和記錄時(shí)間是多少，最少的采樣點(diǎn)數(shù)和記錄時(shí)間是多少? 解：解：因此

46、因此Tpmin=0.1 s， 因?yàn)橐笠驗(yàn)橐骹s2fc， 所以所以3maxmin110.2 1022 250022 250050010ccTsffNFs 1 . 01011pFT77minmin 522 250010005110.25cpFHzfNFTsF分辨率提高一倍782.截?cái)嘈?yīng)（截?cái)嘈?yīng)（頻譜泄露頻譜泄露） 在實(shí)際中，要把觀測(cè)的信號(hào)在實(shí)際中，要把觀測(cè)的信號(hào)x(n)限制在一定的時(shí)間間隔限制在一定的時(shí)間間隔之內(nèi)，即采取之內(nèi)，即采取截?cái)鄶?shù)據(jù)截?cái)鄶?shù)據(jù)的過(guò)程；的過(guò)程； 時(shí)域的截?cái)嘣跀?shù)學(xué)上的意義為原連續(xù)時(shí)間信號(hào)時(shí)域的截?cái)嘣跀?shù)學(xué)上的意義為原連續(xù)時(shí)間信號(hào)乘上一個(gè)乘上一個(gè)窗函數(shù)窗函數(shù)（通常，簡(jiǎn)單的截取

47、信號(hào)就相當(dāng)于乘的是矩形窗）（通常，簡(jiǎn)單的截取信號(hào)就相當(dāng)于乘的是矩形窗）； 根據(jù)傅里葉變換的卷積定理，根據(jù)傅里葉變換的卷積定理，信號(hào)加窗后的頻譜相當(dāng)于信號(hào)加窗后的頻譜相當(dāng)于原信號(hào)頻譜與窗函數(shù)的頻譜在頻域作卷積。原信號(hào)頻譜與窗函數(shù)的頻譜在頻域作卷積。顯然，這種卷積顯然，這種卷積過(guò)程將造成信號(hào)頻譜的失真。過(guò)程將造成信號(hào)頻譜的失真。 如果信號(hào)所乘的是矩形窗函數(shù)，失真頻譜將產(chǎn)生如果信號(hào)所乘的是矩形窗函數(shù)，失真頻譜將產(chǎn)生“拖拖尾尾”（頻譜延伸擴(kuò)展）現(xiàn)象（頻譜延伸擴(kuò)展）現(xiàn)象原有受限的頻譜圖形原有受限的頻譜圖形“擴(kuò)擴(kuò)展展”開(kāi)來(lái)，這就稱(chēng)之為頻譜泄漏。開(kāi)來(lái)，這就稱(chēng)之為頻譜泄漏。 79分析分析 設(shè)設(shè)原信號(hào)原信號(hào)為為

48、x(n) 截?cái)嗪蟮男蛄薪財(cái)嗪蟮男蛄衅渲衅渲薪財(cái)嘟財(cái)郣N(n) )( jeX)( jNeR)( jeYy(n)= x(n)RN(n) )()(21)()( jNjjeReXnyFTeY )(21)()2sin()2sin()()( jNNjNjNeRNenRFTeR 80 為方便起見(jiàn)，定義主瓣的寬度為：為方便起見(jiàn)，定義主瓣的寬度為：NBW 4 )2sin()2sin()( NRN 81 例例3-10 x(n)=cos(0n)，比較截?cái)嗲昂蟮念l譜。比較截?cái)嗲昂蟮念l譜。 解：解：截?cái)嗲靶蛄械念l譜截?cái)嗲靶蛄械念l譜為為截?cái)嗪笮蛄械念l譜為截?cái)嗪笮蛄械念l譜為 mjmmeX)24()24()( )()(21)

49、( jNjjeReXeY （1 1）頻譜泄漏頻譜泄漏：截?cái)嗪?，使原?lái)的：截?cái)嗪螅乖瓉?lái)的離散譜線向附近展寬；離散譜線向附近展寬；（2 2）譜間干擾譜間干擾：主譜線兩端形成的：主譜線兩端形成的許多旁瓣，引起不同頻率分量間的許多旁瓣，引起不同頻率分量間的干擾。干擾。4082加窗對(duì)序列頻譜的影響加窗對(duì)序列頻譜的影響 諧波分量在頻率軸上越靠近越不易分辨諧波分量在頻率軸上越靠近越不易分辨 可分辨的相距最近的諧波分量可分辨的相距最近的諧波分量（DTFT的頻率分辨率的頻率分辨率）1 2 1 2 min 83結(jié)論：結(jié)論： 泄露使頻譜變模糊，使譜分辨率降低泄露使頻譜變模糊，使譜分辨率降低； 泄露現(xiàn)象是由截?cái)嘣斐?/p>

50、的，但是靠泄露現(xiàn)象是由截?cái)嘣斐傻?，但是靠增加增加N并并不能減少泄露不能減少泄露。 改善泄露的辦法是采用其他形式改善泄露的辦法是采用其他形式的窗函數(shù)的窗函數(shù)，如漢明窗，漢寧窗等。，如漢明窗，漢寧窗等。843.柵欄效應(yīng)柵欄效應(yīng) 序列序列x(n)的頻譜是連續(xù)的，而的頻譜是連續(xù)的，而DFT是這個(gè)連續(xù)譜的均勻是這個(gè)連續(xù)譜的均勻抽樣。抽樣。 如果用如果用X(k)去近似，就一定意義上來(lái)講，去近似，就一定意義上來(lái)講，好象是在柵欄好象是在柵欄的一邊通過(guò)柵欄的縫隙（對(duì)應(yīng)離散點(diǎn)）去觀看另一邊的景象的一邊通過(guò)柵欄的縫隙（對(duì)應(yīng)離散點(diǎn)）去觀看另一邊的景象（對(duì)應(yīng)連續(xù)頻譜），（對(duì)應(yīng)連續(xù)頻譜），只能在離散點(diǎn)的地方看到真實(shí)的景象

51、只能在離散點(diǎn)的地方看到真實(shí)的景象。 因此，那些被柵欄擋住的（頻譜）部分是看不到的，這因此，那些被柵欄擋住的（頻譜）部分是看不到的，這就有可能就有可能漏掉一些較大頻率分量漏掉一些較大頻率分量。我們稱(chēng)這種現(xiàn)象為。我們稱(chēng)這種現(xiàn)象為“柵欄柵欄效應(yīng)效應(yīng)”。85 減小柵欄效應(yīng)方法：減小柵欄效應(yīng)方法：末尾補(bǔ)零，即改變末尾補(bǔ)零，即改變N的值。的值。 補(bǔ)零的目的：補(bǔ)零的目的： 1）使數(shù)據(jù)）使數(shù)據(jù)N為為2的整數(shù)次冪的整數(shù)次冪，以便于用快速傅里葉變換，以便于用快速傅里葉變換算法（算法（FFT）；）； 2）補(bǔ)零可以補(bǔ)零可以對(duì)補(bǔ)零前的對(duì)補(bǔ)零前的DFT頻譜做插值頻譜做插值，從而克服柵，從而克服柵欄效應(yīng)，使頻譜的外觀更加光

52、滑。欄效應(yīng)，使頻譜的外觀更加光滑。 說(shuō)明：說(shuō)明： 如由如由DTFT所得的連續(xù)譜存在嚴(yán)重混疊所得的連續(xù)譜存在嚴(yán)重混疊，從而造成頻譜模，從而造成頻譜模糊。對(duì)這種模糊不清的連續(xù)譜進(jìn)行抽樣糊。對(duì)這種模糊不清的連續(xù)譜進(jìn)行抽樣計(jì)算序列的計(jì)算序列的DFT，得，得到的結(jié)果是不可能準(zhǔn)確的到的結(jié)果是不可能準(zhǔn)確的，即便增加，即便增加DFT的點(diǎn)數(shù)的點(diǎn)數(shù)N，也只是使抽，也只是使抽樣的頻譜線變密，看到更多模糊值而已，樣的頻譜線變密，看到更多模糊值而已，并不能從根本上提高譜并不能從根本上提高譜值的準(zhǔn)確度！值的準(zhǔn)確度！86三、用三、用DFT進(jìn)行譜分析的參數(shù)考慮進(jìn)行譜分析的參數(shù)考慮pDTFT的頻率分辨率的頻率分辨率物理分辨率物理分辨率n根據(jù)離散序列求其連續(xù)譜時(shí)，兩個(gè)諧波分量之間最小根據(jù)離散序列求其連續(xù)譜時(shí)，兩個(gè)諧波分量之間最小可分辨的頻率間隔可分辨的頻率間隔 pDFT的頻率分辨率的頻率分辨率計(jì)算分辨率計(jì)算分辨率nDFT對(duì)對(duì)DTFT頻譜的抽樣間隔頻譜的抽樣間隔 補(bǔ)零提高了補(bǔ)零提高了計(jì)算分辨率計(jì)算分辨率，得到的是，得到的是高密度頻譜高密度頻譜; ; 增加數(shù)據(jù)的記錄長(zhǎng)度，提高了增加數(shù)據(jù)的記錄長(zhǎng)度，提高了物理分辨率物理分辨率，得到的是，得到的是高高分辨率譜分辨率譜。NfFs pTF1 psTNTNfF11 頻率分辨率：頻率分辨率：87DFT參數(shù)選擇的一般原則參數(shù)選擇的一般原則 確定信號(hào)的最高頻率確定信號(hào)的最高頻