周衍柏《理論力學(xué)教程(第三版)》電子教案 第三章1-3剛體力學(xué).

1、 第三章第三章剛剛 體體 力力 學(xué)學(xué)剛體學(xué)習(xí)方法剛體學(xué)習(xí)方法類比法類比法LpMFJmav JLvmPMddArdFdAJEmvEJMamFdtLdMdtpdFrkk 21 21 22導(dǎo)讀導(dǎo)讀 剛體運(yùn)動(dòng)分類：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)分類：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng) 角位移、角速度矢量角位移、角速度矢量 歐勒角和歐勒運(yùn)動(dòng)學(xué)方程歐勒角和歐勒運(yùn)動(dòng)學(xué)方程形狀和大小都不變的物體形狀和大小都不變的物體任意兩質(zhì)點(diǎn)之間的距離保持不變的質(zhì)點(diǎn)系任意兩質(zhì)點(diǎn)之間的距離保持不變的質(zhì)點(diǎn)系剛體：剛體：3.1 剛體運(yùn)動(dòng)的分析剛體運(yùn)動(dòng)的分析1 平動(dòng)平動(dòng): 剛體在運(yùn)動(dòng)過程中剛體在運(yùn)動(dòng)過程中, 其上任意兩點(diǎn)的連線始其上任意兩點(diǎn)的連線始終保持平行終保持平行

2、. 可以用可以用一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來描述一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來描述剛體的剛體的平動(dòng)平動(dòng). 剛體平動(dòng)剛體平動(dòng) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)2 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng): 剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng). 這這條直線稱為轉(zhuǎn)軸條直線稱為轉(zhuǎn)軸. 轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng).轉(zhuǎn)軸上的質(zhì)點(diǎn)不動(dòng)轉(zhuǎn)軸上的質(zhì)點(diǎn)不動(dòng). 只需只需一個(gè)量描述一個(gè)量描述剛體繞該剛體繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度, 就確定了剛體的位置就確定了剛體的位置(一個(gè)變量一個(gè)變量).轉(zhuǎn)動(dòng)由轉(zhuǎn)軸位置參量和圓周運(yùn)動(dòng)參數(shù)來描述。轉(zhuǎn)動(dòng)由轉(zhuǎn)軸位置參量和圓周運(yùn)動(dòng)參數(shù)來描述。 一點(diǎn)始終在固定平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)一點(diǎn)始終在固定平面內(nèi)運(yùn)動(dòng). 這時(shí)運(yùn)動(dòng)可分解為一平

3、面內(nèi)一點(diǎn)的這時(shí)運(yùn)動(dòng)可分解為一平面內(nèi)一點(diǎn)的平平動(dòng)及繞通過此動(dòng)及繞通過此點(diǎn)且垂直于固定平面的固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)且垂直于固定平面的固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)(三三個(gè)變量個(gè)變量). 一點(diǎn)一點(diǎn)固固定不定不動(dòng)動(dòng), 剛剛體圍繞過這點(diǎn)的某一體圍繞過這點(diǎn)的某一瞬時(shí)軸轉(zhuǎn)動(dòng)瞬時(shí)軸轉(zhuǎn)動(dòng)(三三個(gè)變量個(gè)變量). 剛體不受任何約束，可以在空間任意運(yùn)剛體不受任何約束，可以在空間任意運(yùn)動(dòng)動(dòng). 質(zhì)心的平動(dòng)質(zhì)心的平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)+xzP3.2 角速度矢量角速度矢量)()(ttt角位移角位移)(t 角坐標(biāo)角坐標(biāo)約定約定沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng) 沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng) 1 1 有限轉(zhuǎn)動(dòng)與無限小轉(zhuǎn)動(dòng)有限轉(zhuǎn)動(dòng)與無限小轉(zhuǎn)動(dòng)當(dāng)剛體

4、圍繞固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)軸方向也是時(shí)間的當(dāng)剛體圍繞固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)軸方向也是時(shí)間的函數(shù)，這時(shí)角位移不是矢量。函數(shù)，這時(shí)角位移不是矢量。xyzxyzxyzxyzxyzxyz（a）原來位形）原來位形（a）原來位形）原來位形（b）繞）繞z軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn) /2（c）繞）繞y軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn) /2（b）繞）繞y軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn) /2（c）繞）繞z軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn) /2 nr+ rrPPMO無限小轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)無限小轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí). 繞定點(diǎn)繞定點(diǎn)O的某的某軸轉(zhuǎn)動(dòng)了軸轉(zhuǎn)動(dòng)了, 其方向和大小用其方向和大小用轉(zhuǎn)軸上的有方向線段轉(zhuǎn)軸上的有方向線段 n來表來表示示, 叫做角位移叫做角位移.P為轉(zhuǎn)動(dòng)前位置為轉(zhuǎn)動(dòng)前位置, P繞定點(diǎn)繞定點(diǎn)O的的某軸轉(zhuǎn)動(dòng)了某軸轉(zhuǎn)動(dòng)了后

5、位置后位置.即即 nr+ rrPPMO如果剛體先后繞過如果剛體先后繞過O點(diǎn)的軸線點(diǎn)的軸線作了兩次微小轉(zhuǎn)動(dòng)作了兩次微小轉(zhuǎn)動(dòng) n和和 n, 則則P點(diǎn)的位矢分別為點(diǎn)的位矢分別為(1)轉(zhuǎn)動(dòng)前轉(zhuǎn)動(dòng)前: r (2)轉(zhuǎn)動(dòng)了轉(zhuǎn)動(dòng)了 n后后: r + nr(3)再轉(zhuǎn)動(dòng)了再轉(zhuǎn)動(dòng)了 n后后: r + nr + n(r + nr)略去二階項(xiàng)略去二階項(xiàng), 則得則得所以微小轉(zhuǎn)動(dòng)的合成可以對(duì)易所以微小轉(zhuǎn)動(dòng)的合成可以對(duì)易. 遵守矢量合成法則遵守矢量合成法則.xzP角坐標(biāo)角坐標(biāo)d角位移角位移角速度大小：角速度大?。河捎沂致菪▌t確定由右手螺旋法則確定. 角速度角速度 的方向：的方向：P點(diǎn)線速度與角速度的關(guān)系：點(diǎn)線速度與角速度的

6、關(guān)系：rvzPzP(定軸定軸)P點(diǎn)線加速度與角量的關(guān)系：點(diǎn)線加速度與角量的關(guān)系：vrrdtddtvda )(ravan對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)2raran剛體各質(zhì)元的角量相同剛體各質(zhì)元的角量相同, 線量一般不同線量一般不同. 剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí), 選定點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)選定點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn), 用三個(gè)獨(dú)用三個(gè)獨(dú)立角度來確定轉(zhuǎn)動(dòng)軸在空間的取向和剛體繞這軸所轉(zhuǎn)立角度來確定轉(zhuǎn)動(dòng)軸在空間的取向和剛體繞這軸所轉(zhuǎn)過的角度過的角度. 這三個(gè)能夠獨(dú)立變化的角度叫做歐勒角這三個(gè)能夠獨(dú)立變化的角度叫做歐勒角.3.3 歐拉角歐拉角xyzNy (1) 取兩組右手正交坐標(biāo)系取兩組右手正交坐標(biāo)系, 它們的原點(diǎn)都在定點(diǎn)它

7、們的原點(diǎn)都在定點(diǎn)O上上. (2) 坐標(biāo)系坐標(biāo)系O- 固定不動(dòng)固定不動(dòng), 坐標(biāo)系坐標(biāo)系 O-xyz 固定在剛體上固定在剛體上隨之一起轉(zhuǎn)動(dòng)隨之一起轉(zhuǎn)動(dòng). 1 1 歐勒角歐勒角zxyO假定假定O- 系系和和 O-xyz系開始重合系開始重合, 令令O-xyz繞繞 軸逆時(shí)軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)針轉(zhuǎn)動(dòng) , 于是于是x軸和軸和 軸分開，軸分開，y 軸和軸和 軸分開軸分開, 而且而且Ox軸轉(zhuǎn)到軸轉(zhuǎn)到Ox(即即ON); 進(jìn)動(dòng) zxyONOzyx然后令活動(dòng)系繞然后令活動(dòng)系繞ON 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) ,于是于是 z 軸和軸和 軸分開軸分開, 活活動(dòng)系三個(gè)軸變到動(dòng)系三個(gè)軸變到x, y和和z, z軸和軸和 軸夾角是軸夾角是 , x Oy平

8、面和平面和 O 平面夾角也是平面夾角也是 . 章動(dòng) NOzyxx y z ON最后，令活動(dòng)系繞最后，令活動(dòng)系繞 z軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng) , 這時(shí)這時(shí)Ox和和Ox夾角是夾角是 , Oy 和和Oy夾角也是夾角也是 , 這時(shí)這時(shí), 活動(dòng)系為活動(dòng)系為Ox y z.自轉(zhuǎn)x y z x y z ONx y z ONzyxzyxzyxxyz 變化范圍： 20 20 0NOzyxx y z ONx y z x y z ON O 平面平面和和xOy 平面的交線平面的交線ON 稱節(jié)線稱節(jié)線. ON和和O 間的夾角間的夾角 是一個(gè)歐勒角是一個(gè)歐勒角(進(jìn)動(dòng)角進(jìn)動(dòng)角). ON和和Ox間的夾角間的夾角 是另一個(gè)歐勒角是另一個(gè)歐勒

9、角(自自轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角). O 和和Oz間的夾角間的夾角 是第三個(gè)歐勒角是第三個(gè)歐勒角(章動(dòng)角章動(dòng)角). 從圖知從圖知: z軸垂直軸垂直O(jiān)N, 故故 z軸位置與軸位置與N有關(guān)有關(guān), 因此因此 z軸位置要用軸位置要用 與與 兩個(gè)角來確定兩個(gè)角來確定. 為系統(tǒng)繞為系統(tǒng)繞 z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角. xyzNy O 剛體繞著通過定點(diǎn)剛體繞著通過定點(diǎn)O某一軸線以角速度某一軸線以角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng), 在在活動(dòng)系活動(dòng)系Oxyz上的投影是上的投影是 x , y和和 z, 則則 kjizyx也可以認(rèn)為也可以認(rèn)為 是繞軸是繞軸O 的角速度的角速度 ,繞繞ON軸的角速度軸的角速度 及繞及繞Oz軸的角速度軸的角速度 三者的矢量和三者的矢量和.歐勒角好處：歐勒角好處： 簡(jiǎn)明、單值地確定剛體地位置簡(jiǎn)明、單值地確定剛體地位置 三個(gè)角度變化相互獨(dú)立三個(gè)角度變化相互獨(dú)立2 歐勒運(yùn)動(dòng)學(xué)方程歐勒運(yùn)動(dòng)學(xué)方程聯(lián)系動(dòng)系和靜系角速度的方程聯(lián)系動(dòng)系和靜系角速度的方程x0y0z0coscossincossinsinsin在動(dòng)系上的分量cossincossincossinsinzyx歐勒運(yùn)動(dòng)學(xué)方程歐勒運(yùn)動(dòng)學(xué)方程小結(jié)小結(jié)剛體各種運(yùn)動(dòng)形式剛體各種運(yùn)動(dòng)形式: 平動(dòng)平動(dòng) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)