第二章推理與證明(2)教師版

1、第二章 推理與證明（2）1由“半徑為R的圓內(nèi)接矩形中，正方形的面積最大”，推理出“半徑為R的球的內(nèi)接長方體中，正方體的體積最大”是（ ） A. 歸納推理 B. 類比推理 C. 演繹推理 D.以上都不是【答案】B 【解析】試題分析：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）所以，由“半徑為R的圓內(nèi)接矩形中，正方形的面積最大”，推理出“半徑為R的球的內(nèi)接長方體中，正方體的體積最大”是類比推理。選B?？键c(diǎn)：本題主要考查類比推理。點(diǎn)評：簡單題，類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）

2、用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）2如圖所示，有三根針和套在一根針上的個金屬片，按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上。213 （1）每次只能移動一個金屬片；（2）在每次移動過程中，每根針上較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面。若將個金屬片從1號針移到3號針最少需要移動的次數(shù)記為，則=（ ）A. 33 B. 31 C.17 D. 15【答案】B【解析】試題分析：根據(jù)移動方法與規(guī)律發(fā)現(xiàn)，隨著盤子數(shù)目的增多，都是分兩個階段移動，用盤子數(shù)目減1的移動次數(shù)都移動到2柱，然后把最大的盤子移動到3柱，再用同樣的次數(shù)從2柱移動到3柱，從而完成，然后根據(jù)移動次數(shù)的數(shù)據(jù)

3、找出總的規(guī)律求解即可解：設(shè)h（n）是把n個盤子從1柱移到3柱過程中移動盤子之最少次數(shù)n=1時，h（1）=1； n=2時，小盤2柱，大盤3柱，小柱從2柱3柱，完成，即h（2）=3=22-1； n=3時，小盤3柱，中盤2柱，小柱從3柱2柱，用h（2）種方法把中、小兩盤移到2柱，大盤3柱；再用h（2）種方法把中、小兩盤從2柱3柱，完成， h（3）=h（2）×h（2）+1=3×2+1=7=23-1， h（4）=h（3）×h（3）+1=7×2+1=15=24-1，以此類推，h（n）=h（n-1）×h（n-1）+1=2n-1，故答案為31,故選B考點(diǎn)：歸納

4、推理點(diǎn)評：本題考查了歸納推理、圖形變化的規(guī)律問題，根據(jù)題目信息，得出移動次數(shù)分成兩段計數(shù)是解題的關(guān)鍵3已知一個命題P(k),k=2n(nN),若n =1,2,1000時,P(k)成立,且當(dāng)時它也成立,下列判斷中,正確的是 ( )A.P(k)對k=2013成立 B.P(k)對每一個自然數(shù)k成立C.P(k)對每一個正偶數(shù)k成立 D.P(k)對某些偶數(shù)可能不成立【答案】D【解析】試題分析：由已知中命題p（k），這里k=2n（nN*），當(dāng)n=1，2，1000時，p（k）成立，并且當(dāng)n=1000+1時它也成立，可得p（k）對于11000內(nèi)的偶數(shù)均成立，而對于其它數(shù)不一定成立，據(jù)此判斷四個答案的真假即可.

5、 解：由于命題p（k），這里k=2n（nN*），當(dāng)n=1，2，1000時，p（k）成立，而當(dāng)n=1000+1時，故p（k）對于11000內(nèi)的偶數(shù)均成立,而對其它數(shù)卻不一定成立,故p（k）對于k=2002不一定成立，,p（k）對于某些偶數(shù)可能成立,p（k）對于每一個偶數(shù)k不一定成立,p（k）對于每一個自然數(shù)k不一定成立,故選D考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題，注意n只能取部分偶數(shù)4把1,3,6,10,15,21，這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)子可以排成一個正三角形，則第七個三角形數(shù)是( )A. 21 B.28 C.32 D.36【答案】B【解析】試題分析

6、：原來三角形數(shù)是從l開始的連續(xù)自然數(shù)的和l是第一個三角形數(shù)，3是第二個三角形數(shù)，6是第三個三角形數(shù)，10是第四個三角形數(shù)，15是第五個三角形數(shù)那么，第七個三角形數(shù)就是：l+2+3+4+5+6+7=28解：原來三角形數(shù)是從l開始的連續(xù)自然數(shù)的和 l是第一個三角形數(shù)， 3是第二個三角形數(shù)， 6是第三個三角形數(shù)， 10是第四個三角形數(shù)， 15是第五個三角形數(shù)，那么，第七個三角形數(shù)就是：l+2+3+4+5+6+7=28故選B考點(diǎn)：合情推理點(diǎn)評：本題考查數(shù)列在生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯，是高考的重點(diǎn)解題時要認(rèn)真審題，注意總結(jié)規(guī)律5用數(shù)學(xué)歸

7、納法證明：，第二步證明“從到”，左端增加的項(xiàng)數(shù)是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】試題分析：n=k時，不等式為，當(dāng)n=k+1時，不等式為，所以左端增加的項(xiàng)數(shù)為2項(xiàng)，故選B。考點(diǎn)：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法。點(diǎn)評：簡單題，數(shù)學(xué)歸納法證明命題，步驟是“兩步一結(jié)”，關(guān)鍵是應(yīng)用歸納假設(shè)，明確從k到k+1的變化。6利用數(shù)學(xué)歸納法證明“ ”時，從“”變到 “”時，左邊應(yīng)增乘的因式是 A B C D 【答案】C【解析】試題分析：解：由題意，n=k 時，左邊為（k+1）（k+2）（k+k）；n=k+1時，左邊為（k+2）（k+3）（k+1+k+1）；從而增加兩項(xiàng)為（2k+1）（2k+2），且減

8、少一項(xiàng)為（k+1），故選C考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法點(diǎn)評：本題以等式為載體，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查從“n=k”變到“n=k+1”時，左邊變化的項(xiàng)，屬于中檔題7在用數(shù)學(xué)歸納法證明時，則當(dāng)時左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上的項(xiàng)是（ ）A BC D【答案】D【解析】試題分析：時左端為，時左端為，觀察式子的變化規(guī)律可知是連續(xù)的正整數(shù)相加，因此需增加的項(xiàng)考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法點(diǎn)評：數(shù)學(xué)歸納法常用來證明與正整數(shù)有關(guān)的題目,大致步驟：1，證明n取最小的正整數(shù)時命題成立，2，假設(shè)時命題成立，借助假設(shè)證明時命題成立，由1,2綜合得證命題成立8下列推理是歸納推理的是()AA，B為定點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足|PA|PB|2a>|AB|，則P點(diǎn)的軌跡

9、為橢圓B由a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式C由圓x2y2r2的面積r2，猜想出橢圓1的面積SabD利用等差數(shù)列的性質(zhì)推理得到等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)【答案】B【解析】試題分析：選項(xiàng)A為演繹推理，選項(xiàng)C、D為類比推理，只有B 為歸納推理，選B考點(diǎn)：本題考查了推理與證明點(diǎn)評：熟練掌握歸納推理、類比推理、演繹推理的定義及特點(diǎn)是解決此類問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題9平面上有個圓,其中每兩個都相交于兩點(diǎn),每三個都無公共點(diǎn),它們將平面分成塊區(qū)域,有,則( )A. B.C. D. 【答案】B【解析】試題分析： f(1) = 2 ；假設(shè)已經(jīng)有k個圓，將平面分成了 f(k) 部分，當(dāng)

10、第 k+1 個圓參與近來時，它與前 k 個圓總共產(chǎn)生 2k 個交點(diǎn) ，這 2k 個交點(diǎn)將此圓分成 2k 段弧，這 2k 段弧中的每一段都將其所在的原來的一片區(qū)域一分為二，故總共增加了 2k 個部分，即 f(k+1) = f(k) + 2k ，即f(k+1) - f(k) = 2k ，由f(1) = 2， f(2) - f(1) = 2，f(3) - f(2) = 4，f(4) - f(3) = 6，.f(n) - f(n-1) = 2(n-1)，以上各式相加，得f(n) =

11、2 + 2 + 4 + 6 + . + 2(n-1) = 。故選B，本題也可用代入檢驗(yàn)法考點(diǎn)：本題考查了歸納推理的運(yùn)用點(diǎn)評：熟練掌握歸納推理的概念是解決此類問題的關(guān)鍵10已知，觀察下列式子：，類比有，則是（ ）ABCD【答案】A【解析】試題分析：根據(jù)題意，對給出的等式變形可得：，x+=類比有a=nn，故選A考點(diǎn)：本題主要考查類比推理的意義，不等式證明。點(diǎn)評：解題的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)左式中的規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題。11已知，且，則（ ）ABCD【答案】A【解析】試題分析：在數(shù)列an中，且，計算可得：a3=a2a1=63=3，a4=a3a2=36=3，a5=a4a3=33=6，a6=a5a4=6（3

12、）=3，a7=a6a5=3（6）=3，a8=a7a6=3（3）=6，由以上知：數(shù)列每六項(xiàng)后會出現(xiàn)相同的循環(huán)，所以 a3=3故選A?？键c(diǎn)：本題主要考查歸納推理的意義，遞推數(shù)列。點(diǎn)評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達(dá)的一般性命題（猜想）12凸n邊形有條對角線，則凸n+1邊形的對角線的條數(shù)等于（ ）A B C D【答案】C【解析】解：因?yàn)橥筺邊形有條對角線，則凸n+1邊形的對角線的條數(shù)等于，因?yàn)榈趎+1條先與前面的n-1條線分別構(gòu)成了對角線，故選C13用數(shù)學(xué)歸納法證明：（）能被整除從假設(shè)成立 到成立時，被整除式應(yīng)為( )A. B.

13、 C. D. 【答案】B【解析】解：因?yàn)橛脭?shù)學(xué)歸納法證明：（）能被整除從假設(shè)成立 到成立時，被整除式應(yīng)為選B14對大于或等于2的自然數(shù) m的n 次方冪有如下分解方式：2213,32135,421357；2335,337911,4313151719.根據(jù)上述分解規(guī)律，若n213519, m3(mN*)的分解中最小的數(shù)是21，則mn的值為_【答案】15【解析】試題分析：由共有10項(xiàng)相加，則可得，由的分解中最小的數(shù)為3，的分解中最小的數(shù)為7，且，同理中最小的數(shù)為，而，所以，因此.考點(diǎn)：推理與證明15，計算，推測當(dāng)時，有_【答案】【解析】試題分析：因?yàn)?，所以?dāng)時，有考點(diǎn)：歸納推理16已知，由不等式，.

14、在條件下，請根據(jù)上述不等式歸納出一個一般性的不等式 .【答案】【解析】試題分析：根據(jù)題意，分析所給等式的變形過程可得，先對左式變形，再利用基本不等式化簡消去根號，得到右式，則.考點(diǎn)：歸納推理.17觀察下列等式：，由以上等式推測到一個一般的結(jié)論：對于n， ；【答案】【解析】試題分析：根據(jù)題意，由于下列等式：，由以上等式推測到一個一般的結(jié)論：左邊為和式，右邊為1減去項(xiàng)數(shù)加1乘以2的項(xiàng)數(shù)次冪的倒數(shù)，故可知對于n，考點(diǎn)：歸納推理點(diǎn)評：主要是考查了歸納推理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。18證明不等式：，其中a0【答案】用分析法證明?！窘馕觥吭囶}分析：要證成立，需證需證>因?yàn)轱@然成立，所以原命題成立。考點(diǎn)：本

15、題主要考查不等式證明，分析法。點(diǎn)評：容易題，利用分析法證明不等式，從格式上來說，表述要規(guī)范。本題也可轉(zhuǎn)化證明<，兩邊平方。19用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：對于一切都成立【答案】利用數(shù)學(xué)歸納法?！窘馕觥吭囶}分析：（1）當(dāng)n=1時，左邊= ，右邊=，等式成立。（2）假設(shè)n=k時，等式成立，即=，那么n=k+1時，=，這就是說，當(dāng)n=k+1時 等式也成了故對一切等式都成立?？键c(diǎn)：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法。點(diǎn)評：容易題，利用數(shù)學(xué)歸納法，可證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，證明過程中，要注意規(guī)范寫出“兩步一結(jié)”。 20已知等式對一切正整數(shù)都成立，那么的值為多少？【答案】【解析】試題分析：由等式對一切正整數(shù)都成立，不

16、妨分別令，得，解得所以所求的的值分別為考點(diǎn)：本題主要考查演繹推理的意義及應(yīng)用。點(diǎn)評：演繹推理是由一般到特殊的推理。本題因?yàn)榈仁綄σ磺姓麛?shù)都成立，所以對成立。21（本小題滿分12分）數(shù)列滿足（1）寫出并猜想的表達(dá)式（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.【答案】(1) ，猜想：；(2)證明：見解析?！窘馕觥勘驹囶}主要是考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式的運(yùn)用，以及歸納猜想思想的運(yùn)用，并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明的綜合運(yùn)用。首先先分析前幾項(xiàng)，然后發(fā)現(xiàn)規(guī)律得到通項(xiàng)公式，分兩步進(jìn)行證明。(1) .（4分）猜想：（6分）(2)證明：i）當(dāng)時，猜想成立.（8分）ii)假設(shè)當(dāng)時，猜想成立，即那么，當(dāng)時，這說明當(dāng)時，猜想也成立.由

17、i），ii)知，對.（12分）22（本小題滿分12分）函數(shù)數(shù)列滿足：， （1）求； （2）猜想的表達(dá)式，并證明你的結(jié)論.【答案】（1） （2）猜想： 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：見解析?！窘馕觥勘驹囶}主要是考查了數(shù)列的歸納猜想的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法來證明與自然數(shù)相關(guān)的命題的運(yùn)用。注意n=k和n=k+1式子的變換，同時要用到假設(shè)，這是證明中最關(guān)鍵的 兩步。解：（1） （2）猜想： 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時，已知，顯然成立假設(shè)當(dāng)時 ，猜想成立，即, 則當(dāng)時，即對時，猜想也成立,由可得成立23 (本小題滿分12分)若數(shù)列的通項(xiàng)公式，記（）計算的值；（）由（）猜想，并證明【答案】解析：

18、（）. （）. .【解析】本試題主要是考查數(shù)列的歸納猜想思想的運(yùn)用，以及運(yùn)用了累積法求解積的綜合運(yùn)用。（1）因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng)公式，記，對n令值得到數(shù)列的前幾項(xiàng)。（2）歸納猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用關(guān)系式，結(jié)合平方差公式展開得到結(jié)論。解：（）.4分（）.8分 .12分24（本小題滿分16分）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，Sn=n2an（nN*）.（1）試求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達(dá)式； （2）用數(shù)學(xué)納法證明你的猜想，并求出an的表達(dá)式. 【答案】（1）S1=a1=1.S2=，S3=，S4=，猜想Sn=（nN*）. （2）見解析【解析】本題主要考查了數(shù)列的遞推式數(shù)列的遞推式是高考中?？嫉念}型，涉及數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和問題，數(shù)列與不等式的綜合等問題（1）先根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)的和求得S1，S2，S3，S4，可知分母和分子分別是等差數(shù)列進(jìn)而可猜想出Sn（2）利用an=Sn-Sn-1，整理出an的遞推式，進(jìn)而用疊乘法求得an（1）解 an=Sn-Sn-1（n2）Sn=n2（Sn-Sn-1），Sn=Sn-1（n2）a