高數(shù)下試卷一

1、試卷一一、 填空題1、設 則= 。2、球面在點（1，2，3）處的切平面方程為 。法線方程為 。3、若級數(shù)收斂，則 。二、單項選擇1、若級數(shù)在處是收斂的，則此級數(shù)在處（ ） A發(fā)散 B條件收斂 C 絕對收斂 D收斂性不能確定2、微分方程的特解形式是（ ）。A B。 C。 D。 3、設簡單閉曲線L所圍區(qū)域的面積為S，則S=（ ）。A B。 C。 D。4、是二階非齊次線性微分方程的三個線性無關(guān)的特解，為任意常數(shù)，則該方程的通解是（）。5、設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，且，則有（ ）。AB曲面在點的一個法向量為。C曲線在點的一個切向量為。D曲線在點的一個切向量為。三、求解下列各題（每小題8分，共48分）

2、1、設，而，求和 2、計算，其中D是由中心在原點、半徑為的圓周所圍成的閉區(qū)域。 3、計算曲面積分，其中是球面被平面截出的頂部。 4、判斷級數(shù)的收斂性（每小題4分，共8分） （1） （2） 5、求級數(shù) 的收斂域及和函數(shù)。 6、將函數(shù)展開成的冪級數(shù)。五、應用題（10分） 五求函數(shù)在附加條件下的極值。試卷二一、 填空題（每空3分，共15分） 1、設 則= 。2、旋轉(zhuǎn)拋物面在點（2，1，4）處的切平面方程為 。法線方程為 。3、的麥克勞林展開式為 。二 選擇題1、函數(shù)的極值為（ ）。 A4 B。0 C。存在且不為0 D。不存在2、當時，冪級數(shù)在收斂區(qū)間左端點處（ ）3、設，且以4為周期，則的傅立葉級數(shù)

3、處（ ）A發(fā)散 B。條件收斂 C 。絕對收斂 D。不能確定A收斂于3 B。 收斂于2 C。 收斂于1 D。 收斂于0三、求解下列各題（每小題8分，共48分）1、設，而，求和2、計算，其中是平面在第一卦限內(nèi)部分。3、 計算，其中D是由拋物線及直線所圍成的閉區(qū)域（畫出D的圖形）4、判斷級數(shù)的收斂性（每小題4分，共8分）（1） （2） 5、求級數(shù) 的收斂域及和函數(shù)。 6、將函數(shù)展開成的冪級數(shù)。四、應用題（10分）求表面積為而體積為最大的長方體的體積。試卷三一、填空題1、設，則du= 2、函數(shù) 在x = 0處的麥克勞林級數(shù)為 3、設L是由所圍區(qū)域的正向邊界，則 4、冪級數(shù)的收斂半徑為 二、單項選擇1、

4、若二元函數(shù)在點存在一階偏導數(shù)是函數(shù)在點可微的（ ）.（A）充分條件，不是必要條件 （B）必要條件，不是充分條件（C）充分必要條件 （D）不是充分條件，也不是必要條件2、設為可微函數(shù)，則交換積分次序后（ ） （A） （B）（C） （D）3、設簡單閉曲線L所圍區(qū)域的面積為S，則S=（ ）。A B C D 4、 下列級數(shù)中絕對收斂的是（ ）（A） （B） （C） （D）三、求解下列各題、 設，求、 設D是由xy =1，y = x，x = 2所圍成，求 、 判斷級數(shù)的收斂性（1） （2） 、 計算曲面積分其中為柱面及平面所圍成的空間閉區(qū)域的整個邊界曲面的外側(cè),是在點處的法向量的方向余弦5、將函數(shù)展開成

5、的冪級數(shù)。四、計算 ，其中L為一條無重點，分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線，L的方向為順時針方向。五、應用題試在圓錐面 與平面z = 1 所圍的錐體內(nèi)求出底面平行于xOy平面的最大長方體體積。試卷四一、 填空題 1、設 則= 。2、旋轉(zhuǎn)拋物面在點（2，1，5）處的切平面方程為 。法線方程為 。3、的麥克勞林展開式為 。二 選擇題1、冪級數(shù)的收斂半徑為（ ）A、1 B、 C、2 D、42、冪級數(shù)在收斂區(qū)間左端點處（ ）A 發(fā)散 B 條件收斂 C 絕對收斂 D 不能確定3、設，且以4為周期，則的傅立葉級數(shù)處（ ）A收斂于3 B 收斂于2 C 收斂于1 D 收斂于01、設，求 2、計算 (8分)三、

6、求解下列各題（每小題8分，共48分）3 、設D：，求 (8)分4、設是，所圍立體的表面，取外側(cè)，求曲面積分 (8分)5、求級數(shù) 的收斂域及和函數(shù)。 6、將函數(shù)展開成的冪級數(shù)。四、求解下列方程（12分） 確定的值，使存在使得,并求。五、應用題（10分）求與所圍立體的體積。試卷一答案一、 填空題（每空3分，共15分）1、= 2、球面切平面方程為或法線方程為 3、二 選擇題（每題3分，共15分）1、 D 2、 D。 3、D 4、C 5、C三、求解下列各題（每小題8分，共48分）1、 解：=+ =4分= -8分2、 解:在極坐標系下,閉區(qū)域D可表示為 -2分于是= -5分 = -8分3、解:的方程為在

7、面上的投影區(qū)域為圓形閉區(qū)域-2分又 -4分于是= -6分= -8分4、解: (1) ,且級數(shù)收斂 -2分 收斂 -4分(2) , -6分由正項級數(shù)的比值審斂法可知， 收斂 -8分5、解 ，當收斂。而發(fā)散，-2分 收斂區(qū)間為（-1，1）。 -4分 且 -6分 -8分6、將函數(shù)展開成的冪級數(shù)。解： -2分 -4分 -6分于是， -8分 -5分 五、應用題解：作拉格朗日函數(shù) -3分令 （1） （2） （3） -5分將（1）、（2）、（3）式兩端分別乘以后，相加得 -6分將此結(jié)果分別代入（1）、（2）、（3）式，得 -8分由此得到點是函數(shù)在附加條件下唯一可能的極值點。應用二元函數(shù)極值的充分條件判斷，可

8、知點是函數(shù)在附加條件下的極小值點。目標函數(shù)在附加條件下在點處取得極小值。 試卷二答案一、 填空題 1、則=2、切平面方程為或法線方程為3、 或 二 選擇題（每題3分，共15分） 1、 D。 2、C 3、B三、求解下列各題（每小題8分，共48分） 1、解：=+ = 4分= -8分2、解：在面上的投影區(qū)域，是由直線所圍成的閉區(qū)域。 -2分在上，所以 -4分 -6分 -8分3、解：畫出積分區(qū)域D的圖形 -2分 積分區(qū)域D為： -4分 -6分 -8分4、（1） ,而 發(fā)散， -3分故 發(fā)散 -4分 （2） -3分 故 發(fā)散 5、解： ，當收斂。而 ，發(fā)散，-2分 收斂區(qū)間為（-1，1）。 -4分設 ，

9、 -6分 6、將函數(shù)展開成的冪級數(shù)。解： -2分 -4分 -6分于是， 四、解：設長方體的三棱長為，則問題就是在條件下，求函數(shù) 的最大值。作拉格朗日函數(shù) -3分令 （1） （2） （3） -5分因為都不為零，由（1）、（2）、（3）得 -6分由以上兩式，得 -8分由此得到唯一可能的極值點。問題的最大值一定存在，故表面積為的長方體中，以正方體體積最大，最大體積 試卷三答案一、填空題1、. 2、 3、 4、二 選擇題1、 B 2、 D。 3、D 4、C三、求解下列各題1、解：兩邊同時對x求偏導，得 (4分) （3分） 2、原式 = (3分)= (2分)= (2分)3、解: (1) , (3分)由正

10、項級數(shù)的比值審斂法可知， 收斂 (1分)(2) ,且級數(shù)收斂 (2分) 收斂 (1分)4、解：由高斯公式，得 =3 = (3分)5、解： (2分) (2分) (1分)四、解：令，。則當時，有。 (2分)記L所圍成的閉區(qū)域為D 。當時，由格林公式，得。 (3分)當時，選取適當小的，作位于D內(nèi)的圓周：。記L和所圍成的閉區(qū)域為。對復連通區(qū)域應用格林公式，得 (3分) 其中的方向取順時針方向，于是 (3分)五、應用題解：設長方體的邊平行于坐標軸，其頂點在錐面的坐標是（x，y, z）,其體積 V = 4xy( 1 - z) =4 (3分), (4分)由，得唯一駐點：，最大體積。 試卷四答案一、 填空題 1、則=2、切平面方程為或，法線方程為3、 或 二 選擇題1、 B 2、B 3、D三、求解下列各題1、 解： （4分） （4分）2、 解： （4分） （4分）3、 解：原