直角坐標(biāo)系求面積

1、求坐標(biāo)系中圖形的面積求坐標(biāo)系中圖形的面積 四平六中四平六中 徐亞恒徐亞恒問題問題1 1：求下列條件下線段：求下列條件下線段ABAB的長度的長度. .1 1）A(A(6 6，0)0)，B(B(2 2，0)0)2 2）A(A(3 3，0)0)，B(2B(2，0)0)3 3）A(1A(1，0)0)，B(5B(5，0).0).4 4）A(xA(x1 1，0)0)，B(xB(x2 2，0).0).5 5）A(0A(0，y y1 1) )，B(0B(0 ，y y2 2 ).).Oxy -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 54321-1-2-3-4如圖（如圖（1 1），）， AOBAOB的面積是多

2、少？的面積是多少？問題問題2yOx圖（圖（1）AB43211 2 3 4(4,0)(0,3)xyABC 練習(xí)練習(xí). .已知已知A(1,4), A(1,4), B(-4,0),C(2,0). B(-4,0),C(2,0). ABCABC的面積是的面積是. .若若BCBC的坐標(biāo)不變的坐標(biāo)不變, , ABCABC的面積為的面積為6,6,點(diǎn)點(diǎn)A A的橫坐標(biāo)為的橫坐標(biāo)為-1,-1,那么那么點(diǎn)點(diǎn)A A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為_ _._.O(1,4)(-4,0)(2,0)CxyAB(-4,0)(2,0)坐標(biāo)坐標(biāo) 距離距離 三角形面積三角形面積線段長度線段長度點(diǎn)點(diǎn)一、有一邊在坐標(biāo)軸上一、有一邊在坐標(biāo)軸上 例例1如圖1

3、，平面直角坐標(biāo)系中，ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3，0），（0，3），（0，1），你能求出三角形ABC的面積嗎？ 分析：根據(jù)三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)特征可以看出，分析：根據(jù)三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)特征可以看出，ABCABC的邊的邊BCBC在在y y軸上，由圖形可得軸上，由圖形可得BCBC4 4，點(diǎn)，點(diǎn)A A到到BCBC邊的距離就是邊的距離就是A A點(diǎn)到點(diǎn)到y(tǒng) y軸的距離，也就是軸的距離，也就是A A點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值3 3，然后根據(jù)三角形的面，然后根據(jù)三角形的面積公式求解積公式求解. .解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)锽(0,3),C(0,-1),B(0,3),C(0,-1),所以所以BC=3-BC=3-（-1-1）=

4、4.=4.因?yàn)橐驗(yàn)锳(-3,0),A(-3,0),所以所以A A點(diǎn)點(diǎn)到到y(tǒng) y軸的距離，即軸的距離，即BCBC邊上的高為邊上的高為3 3，已知已知A(-2,0)A(-2,0)，B B（4 4，0 0），），C C（x,y)x,y)(1)(1)若點(diǎn)若點(diǎn)C C在第二象限，且在第二象限，且|x|=4,|y|=4,|x|=4,|y|=4,求點(diǎn)求點(diǎn)C C的坐標(biāo)，并求三角形的坐標(biāo)，并求三角形ABCABC的面積；的面積；分析分析(1)(1)由點(diǎn)由點(diǎn)C C在第二在第二象限，可知象限，可知x x和和y y的符的符號(hào)，這樣可化簡絕對(duì)號(hào)，這樣可化簡絕對(duì)值，從而求點(diǎn)值，從而求點(diǎn)C C的坐的坐標(biāo)，求三角形的面積，標(biāo)，求

5、三角形的面積，關(guān)鍵求點(diǎn)關(guān)鍵求點(diǎn)C C到到ABAB所在所在的直線即的直線即x x軸的距離軸的距離|y|y|31425-2-4-1-3012345-4 -3 -2 -1ABC 已知已知A(-2,0)A(-2,0)，B B（4 4，0 0），），C C（x,y)x,y) （2 2）若點(diǎn)）若點(diǎn)C C在第四象限上，且三角形在第四象限上，且三角形ABCABC的的面積面積=9=9，|x|=3,|x|=3,求點(diǎn)求點(diǎn)C C的坐標(biāo)的坐標(biāo)31425-2-4-1-301 2 3 4 5-4 -3 -2 -1ABC分析：由三角形的面分析：由三角形的面積可求出積可求出C C到到ABAB所在所在的直線距離為的直線距離為3,

6、3,而點(diǎn)而點(diǎn)C C在第四象限可知它在第四象限可知它的坐標(biāo)符號(hào)，從而可的坐標(biāo)符號(hào)，從而可知知y=-3y=-3（若不限定（若不限定C的象限，求的象限，求C點(diǎn)的坐標(biāo)又如點(diǎn)的坐標(biāo)又如何？）何？） 214211OABS)0 , 4(1BOy43211 2 3 4A(2,1)x圖（圖（3）222212OABSOxy圖（圖（4）A(2,1)43211 2 3 4)2 , 0(2B二、有一邊與坐標(biāo)軸平行二、有一邊與坐標(biāo)軸平行 例例2如圖2，三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角形ABC的面積.分析：由分析：由A A（4 4，1 1），），B B（4 4，5 5）兩點(diǎn)

7、）兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，可知邊的橫坐標(biāo)相同，可知邊ABAB與與y y軸平行，軸平行，因而因而ABAB的長度易求的長度易求. .作作ABAB邊上的高邊上的高CDCD，則則D D點(diǎn)的橫坐標(biāo)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)與A A點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，也點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，也是是4 4，這樣就可求得線段，這樣就可求得線段CDCD的長，進(jìn)而的長，進(jìn)而可求得三角形可求得三角形ABCABC的面積的面積. .解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)锳 A，B B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，所以邊同，所以邊AByABy軸，所以軸，所以AB=5-AB=5-1=4. 1=4. 作作ABAB邊上的高邊上的高CDCD，則，則D D點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為橫坐標(biāo)為4 4，所以，所

8、以CD=4-CD=4-（-1-1）=5=5，所以，所以= =222213OABS)3 , 2(3BOXYA(2,1)43211 2 3 4圖（圖（5）三、三邊均不與坐標(biāo)軸平行三、三邊均不與坐標(biāo)軸平行 例例3如圖如圖2,平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-3，-1），），B（1，3），），C（2，-3），你能求出三角形），你能求出三角形ABC的面積嗎？的面積嗎？解：如圖，過點(diǎn)解：如圖，過點(diǎn)A A、C C分別作平行于分別作平行于y y軸軸的直線，與過點(diǎn)的直線，與過點(diǎn)B B平行于平行于x x軸的直線交于軸的直線交于點(diǎn)點(diǎn)D D、E E，則四邊形，則四邊形ADECADEC為梯形為梯形.

9、 .因?yàn)橐驗(yàn)锳 A（-3-3，-1-1），），B B（1 1，3 3），），C C（2 2，-3-3），），所以所以ADAD4 4，CE=6CE=6，DB=4DB=4，BE=1BE=1，DEDE5.5.所以所以（AD+CE）DE- ADDB- CEBE= （4+6）5 44 6114.分析：由于三邊均不平行于坐標(biāo)軸，所以我們無法直接求邊長，也無法求高，因此得另分析：由于三邊均不平行于坐標(biāo)軸，所以我們無法直接求邊長，也無法求高，因此得另想辦法想辦法.根據(jù)平面直角坐標(biāo)系的特點(diǎn)，可以將三角形圍在一個(gè)梯形或長方形中，這個(gè)梯形根據(jù)平面直角坐標(biāo)系的特點(diǎn)，可以將三角形圍在一個(gè)梯形或長方形中，這個(gè)梯形（長方形

10、）的上下底（長）與其中一坐標(biāo)軸平行，高（寬）與另一坐標(biāo)軸平行（長方形）的上下底（長）與其中一坐標(biāo)軸平行，高（寬）與另一坐標(biāo)軸平行.這樣，梯這樣，梯形（長方形）的面積容易求出，再減去圍在梯形（長方形）內(nèi)邊緣部分的直角三角形的形（長方形）的面積容易求出，再減去圍在梯形（長方形）內(nèi)邊緣部分的直角三角形的面積，即可求得原三角形的面積面積，即可求得原三角形的面積.)4 , 4(4BOy43211 2 3 4A(2,1)x圖（圖（6）)4 , 4(4BOy43211 2 3 4A(2,1)x圖（圖（7）C(2,2)44ACBOACOABSSS221212121MN方方法法1)4 , 4(4BOy43211

11、 2 3 4A(2,1)x圖（圖（8）D(1,1)23121112144ADBOADOABSSSEF方方法法2)4 , 4(4B444AEBAEOFOFBOABSSSS梯形Oy43211 2 3 4A(2,1)xE(4,1)F(4,0)232211)42(214421圖（圖（9）方方法法3)4 , 4(4BAOFBGOBGOFBOABSSS4444S四邊形正方形Oy43211 2 3 4A(2,1)xE(4,1)F(4,0)26442144圖（圖（10）G(0,4)方方法法4)4 , 4(4BOy43211 2 3 4A(2,1)xF(4,0)圖（圖（11）方方法法5在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知A

12、（5，4），B（2，2），C（0，2）求三角形ABC的面積ABCS三角形ABEFS梯形EBCS三角形AFCS三 角 形(25) 6212 42 12 52 1212已知點(diǎn)已知點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)），點(diǎn)B（0，4）,點(diǎn)點(diǎn)C在軸上，如果三角形在軸上，如果三角形ABC的面積為的面積為15（1）求點(diǎn)）求點(diǎn)C的坐標(biāo)的坐標(biāo)（2）若點(diǎn)）若點(diǎn)C不在軸上，那么點(diǎn)不在軸上，那么點(diǎn)C的坐標(biāo)需滿足什么樣的條件的坐標(biāo)需滿足什么樣的條件（畫圖并說明）？（畫圖并說明）？ABCS三角形152Cx CxCx（1 1）如圖，）如圖，ABAB1-1-（-4-4）5 5，設(shè)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)C C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為C C（x，0 0），則），則1

13、515，即，即6 6，6 6所以點(diǎn)所以點(diǎn)C C的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（6 6，0 0）或（）或（6 6，0 0）ABOC21（2）點(diǎn)）點(diǎn)C需滿足的條件需滿足的條件是橫坐標(biāo)恒為是橫坐標(biāo)恒為6或或6，縱坐標(biāo)任意如圖，點(diǎn)縱坐標(biāo)任意如圖，點(diǎn)C位于兩條平行于位于兩條平行于y軸且與軸且與y軸距離為軸距離為6的條直線的條直線上上1.1.已知已知ABCABC中，中，A A(-1,-2),(-1,-2),B B(6,2),(6,2),C C(1,3),(1,3), 求求ABCABC的面積的面積. .y-36x31425-2-1O12 3 45-2 -1678A(-1,-2)B(6,2)C(1,3)-1-2xy1 2

14、 3 4 5 6 7 854321 -2 -1OA(-1,-2)B(6,2)C(1,3)D(6,-2)E(6,3)F(-1,3)方法方法1-1-2xy1 2 3 4 5 6 7 854321 -2 -1OA(-1,-2)B(6,2)C(1,3)D(6,-2)E(6,3)方法方法2-1-2xy1 2 3 4 5 6 7 854321 -2 -1OA(-1,-2)B(6,2)C(1,3)E(6,3)F(-1,3)方法方法3-1-2xy1 2 3 4 5 6 7 854321 -2 -1OB(6,2)C(1,3)方法方法4A(-1,-2)ABC. .三角形三角形ABCABC三個(gè)頂點(diǎn)三個(gè)頂點(diǎn)A A、B

15、 B、C C的坐標(biāo)分別為的坐標(biāo)分別為A A（2 2，-1-1），），B B（1 1，-3-3），），C C（4 4，-3.5-3.5）。）。1 2 3 4 5 6-67654231-1-2-3-4-5-6-7-5-4-3-2-1yx0（1 1）把三角形）把三角形A A1 1B B1 1C C1 1向向右平移右平移4 4個(gè)單位，再向下個(gè)單位，再向下平移平移3 3個(gè)單位，恰好得到個(gè)單位，恰好得到三角形三角形ABCABC，試寫出三角，試寫出三角形形A A1 1B B1 1C C1 1三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo); ;111:( 2,2)( 3,0)(0.0.5)ABC解 點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)ACB1A1B1C1 2 3 4 5 6-67654231-1-2-3-4-5-6-7-5-4-3-2-1yx0（2）求出三角形求出三角形 A1B1C1的面積。的面積。1A1B1CDE分析:可把它補(bǔ)成一個(gè)梯形減去兩個(gè)三角形。1111111111