排列組合與二項式.

1、一、分類計數(shù)原理（加法原理）：一、分類計數(shù)原理（加法原理）：完成完成一件事情，一件事情，有有n n類方式類方式, ,在在第第1 1類方式中有類方式中有m m1 1種不同的方法種不同的方法, ,在在第第2 2類方式中有類方式中有m m2 2種不同的方法，種不同的方法，在在第第n n類方式中有類方式中有m mn n種不同的方法。種不同的方法。那么那么完成這件事共有完成這件事共有N=mN=m1 1+m+m2 2+ +m+mn n種不同的方法種不同的方法. .第十五章第十五章 排列、組合與二項式定理排列、組合與二項式定理要點：要點：（1 1）分類；）分類； （2 2）相互獨立；）相互獨立；（3 3）

2、N=mN=m1 1+m+m2 2+ +m+mn n（各類方法之和）（各類方法之和）分步計數(shù)原理（乘法原理）分步計數(shù)原理（乘法原理）：完成一件事完成一件事，需要分成，需要分成n n個步驟個步驟，做做第第1 1步有步有m m1 1種不同的方法，種不同的方法，做做第第2 2步有步有m m2 2種不同的方法，種不同的方法，做第做第n n步有步有m mn n種不同的方法種不同的方法. .那么完成這件事共有那么完成這件事共有N N = = m m1 1m m2 2m mn n種不同的種不同的方法方法. . 要點：要點：（1 1）分步；）分步；（2 2）每步缺一不可，依次完成；）每步缺一不可，依次完成；（3

3、 3） N = m1m2mn （各步方法之積）（各步方法之積）總結(jié)出兩個原理的聯(lián)系、區(qū)別：總結(jié)出兩個原理的聯(lián)系、區(qū)別：分類計數(shù)原理分類計數(shù)原理分步計數(shù)原理分步計數(shù)原理聯(lián)系聯(lián)系區(qū)別區(qū)別1 1區(qū)別區(qū)別2 2完成一件事，共有完成一件事，共有n n類類辦法，關(guān)鍵詞辦法，關(guān)鍵詞“分類分類”完成一件事，共分完成一件事，共分n n個個步驟，關(guān)鍵詞步驟，關(guān)鍵詞“分步分步”每類辦法相互獨立，每類辦法相互獨立，每類方法都能獨立地每類方法都能獨立地完成這件事情完成這件事情各步驟中的方法相互依各步驟中的方法相互依存，存，只有各個步驟都完只有各個步驟都完成才算完成這件事成才算完成這件事都是研究完成一件事的不同方法的種數(shù)

4、的問題都是研究完成一件事的不同方法的種數(shù)的問題例例1書架的第一層放有書架的第一層放有4本不同的計算機書，第二層本不同的計算機書，第二層放有放有3本不同的文藝書，第本不同的文藝書，第3層放有層放有2本不同的體育本不同的體育書從書架上任取書從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？本書，有多少種不同的取法？解：從書架上任取一本書，有解：從書架上任取一本書，有3類辦法：類辦法： 第第1類辦法是從第類辦法是從第1層取層取1本計算機書，有本計算機書，有4種方法；種方法；第第2類辦法是從第類辦法是從第2層取層取1本文藝書，有本文藝書，有3種方法；種方法；第第3類辦法是從第類辦法是從第3層取一本體育書，有層取

5、一本體育書，有2種方法種方法根據(jù)分類計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是根據(jù)分類計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是N=4+3+2=9答：從書架上任取答：從書架上任取1本書，有本書，有9種不同的取法種不同的取法. 例例2書架的第一層放有書架的第一層放有4本不同的計算機書，第二層放本不同的計算機書，第二層放有有3本不同的文藝書，第本不同的文藝書，第3層放有層放有2本不同的體育書從書本不同的體育書從書架的第架的第1、2、3層各取一本書，有幾種不同的取法？層各取一本書，有幾種不同的取法？解解: 從書架的第從書架的第1，2，3層各取層各取1本書，可以分成本書，可以分成3個步個步驟完成：驟完成： 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同

6、取法的種數(shù)是根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是 N=432=24答：從書架的第答：從書架的第1，2，3層各取層各取1本書，有本書，有24種不同種不同的取法的取法. 第第3個步驟是從第個步驟是從第3層取一本體育書，有層取一本體育書，有2種方法種方法第第2個步驟是從第個步驟是從第2層取層取1本文藝書，有本文藝書，有3種方法；種方法；第第1個步驟是從第個步驟是從第1層取層取1本計算機書，有本計算機書，有4種方法；種方法；課堂練習1 1 書架的上層放有書架的上層放有 5 5 本不同的數(shù)學書，中層放本不同的數(shù)學書，中層放有有6 6本不同的語文書，下層放有本不同的語文書，下層放有4 4本不同的英語本不

7、同的英語書，從中任取書，從中任取1 1 本書的不同取法的種數(shù)是（本書的不同取法的種數(shù)是（ ） A.5+6A.5+64=15 B.1 C.64=15 B.1 C.65 54=120 D. 34=120 D. 3A2 2 在上題中在上題中, ,如果從中任取如果從中任取3 3本本, ,數(shù)學數(shù)學, ,語文語文, ,英語各英語各一本一本, ,則不同取法的種數(shù)是則不同取法的種數(shù)是 ( )( ) A. 1 + 1 + 1 = 3 B.5 + 6 + 4 =15 A. 1 + 1 + 1 = 3 B.5 + 6 + 4 =15 C. 5 C. 56 64 = 120 D. 14 = 120 D. 1C二、排列

8、的概念：二、排列的概念： 從從n個不同元素中，任取個不同元素中，任取m(mn)個元素（這里的個元素（這里的被取元素各不相同）被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列按照一定的順序排成一列，叫做，叫做從從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元素的一個個元素的一個排列排列. 說明：說明： （1）排列的定義包括兩個方面：）排列的定義包括兩個方面： 取出元素，取出元素，按一定的順序排列按一定的順序排列； （2）兩個）兩個排列相同排列相同的條件：的條件： 元素完全相同，元素完全相同，元素的排列順序也相同；元素的排列順序也相同； （3）當）當m=n時，稱為時，稱為n個元素的個元素的全排列全排列.排列數(shù)的

9、定義：排列數(shù)的定義： 從從n n個不同元素中，任取個不同元素中，任取m(mnm(mn) )個元素的個元素的所有排列的個數(shù)叫做從所有排列的個數(shù)叫做從n n個元素中取出個元素中取出m m元素元素的的排列數(shù)排列數(shù). .用符號表示用符號表示:mnA區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：區(qū)別排列和排列數(shù)的不同： “一個排列一個排列”是指：從是指：從n個不同元素中，任取個不同元素中，任取m個元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；個元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)； “排列數(shù)排列數(shù)”是指從是指從n個不同元素中，任取個不同元素中，任取m（mn）個元素的所有排列的個數(shù)，是一個數(shù)，）個元素的所有排列的個數(shù)，是一個數(shù)，所以符號只

10、表示排列數(shù)，而不表示具體的排列所以符號只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列.排列數(shù)公式排列數(shù)公式 從從n個元素個元素a1,a2,a3,an中任取中任取m個元素填空，一個元素填空，一個空位填一個元素，每一種填法就得到一個排列，個空位填一個元素，每一種填法就得到一個排列，反過來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到，反過來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)由分步因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)由分步計數(shù)原理完成上述填空共有計數(shù)原理完成上述填空共有 種填法種填法 .) 1()2)(1(mnnnnAmn說明：說明： （1）公式特征：第一個因數(shù)是）公式特征：第一

11、個因數(shù)是n，后面每，后面每一個因數(shù)比它前面一個少一個因數(shù)比它前面一個少1，最后一個因數(shù)，最后一個因數(shù)是是n-m+1，共有，共有m個因數(shù)；個因數(shù)； （2）全排列：當）全排列：當m=n時時,即即n個不同元素個不同元素全部取出的一個排列全部取出的一個排列.) 1()2)(1(mnnnnAmn全排列數(shù)：全排列數(shù)：)( !123)2)(1(的階乘叫做nnnnnAnn) 1()2)(1(mnnnnAmn123) 1)(123)(1()2)(1(mnmnmnmnnnn排列數(shù)公式階乘表示：排列數(shù)公式階乘表示：)!(!mnn10 ！規(guī)定：1、從、從2，3，5，7，11這五個數(shù)字中，這五個數(shù)字中， 任取任取2個數(shù)

12、字組成分數(shù)，不同值的分數(shù)共有多少個？個數(shù)字組成分數(shù)，不同值的分數(shù)共有多少個？2、5人站成一排照相，共有多少種不同的站法？人站成一排照相，共有多少種不同的站法？3、某年全國足球中超聯(lián)賽共有、某年全國足球中超聯(lián)賽共有16隊參加，隊參加， 每隊都要與其余各隊在主客場分別比賽每隊都要與其余各隊在主客場分別比賽1次，次， 共進行多少場比賽？共進行多少場比賽？204525A120! 555A2401516216A 一般地，從一般地，從n個不同元素中取出個不同元素中取出m（mn)個元素并成一組，叫做從個元素并成一組，叫做從n個不個不同元素中取出同元素中取出m個元素的個元素的一個組合一個組合. 說明：說明：

13、不同元素；不同元素； “只取不排只取不排”無序性；無序性； 相同組合相同組合：元素相同：元素相同 三、組合的概念：三、組合的概念：組合數(shù)的概念：組合數(shù)的概念： 從從n個不同元素中取出個不同元素中取出m(mn)個個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同個不同元素中取出元素中取出m個元素的個元素的組合數(shù)組合數(shù)用符號表示用符號表示:mnC組合數(shù)公式組合數(shù)公式 : 一般地，求從一般地，求從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)個元素的排列數(shù) 可以分如下兩步：可以分如下兩步：mnA12)2)(1() 1()2)(1(AAmmmmnnnnCmmmnmn),()!( !

14、nmNmnmnmnCmnmnC 先求從先求從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元個元素的組合數(shù)素的組合數(shù) ；mmmnmnACA 求每一個組合中求每一個組合中m個元素全排列數(shù)，個元素全排列數(shù)，根據(jù)分步計數(shù)原理得：根據(jù)分步計數(shù)原理得：組合數(shù)性質(zhì)組合數(shù)性質(zhì)1：mnnmnCC用此性質(zhì)可以簡化運算時當邊上標之和等于下標等式兩邊下標相同，兩）規(guī)定：（說明：,2)3()2(1C10nnm 組合數(shù)性質(zhì)組合數(shù)性質(zhì)2：mnmnmnCCC111、利用組合數(shù)性質(zhì)計算：、利用組合數(shù)性質(zhì)計算：31019710098100)(1 (ACC61113331013331013101333101310131013101981

15、01AAAAAAAACAC210242322)2(CCCCmnCAmnmn,10,60)3(求：若210242333CCCC2102434CCC2102535CCC311CmmmnmnAAC!6010m3m5603nAn2、5個男生，個男生，3個女生個女生（1）男女生各選）男女生各選2個參加會議，有多少種個參加會議，有多少種不同的選法？不同的選法？（2）選）選4人參加會議，其中必須有女生，人參加會議，其中必須有女生，有多少種不同的選法？有多少種不同的選法？（3）選）選4人參加會議，女生至多人參加會議，女生至多1人，有人，有多少種不同的選法？多少種不同的選法？分組問題：分組問題：“含含”與與“不

16、含不含” “至多至多”與與“至少至少”特殊元素先排特殊元素先排120! 555A24! 444A48! 42244A7833444455AAAA1、a、b、c、d、e五個人排成一排，五個人排成一排， 依下列條件有多少種不同的排法？依下列條件有多少種不同的排法？（1）共有多少種排法？）共有多少種排法？（2）a必須在中間必須在中間（3）a必須在兩端必須在兩端（4）a不在首，不在首，b不在尾不在尾四、排列、組合的簡單應(yīng)用四、排列、組合的簡單應(yīng)用（1010） a a在在b b的前面的前面集團式集團式排除法排除法插空法插空法按序按序1、a、b、c、d、e五個人排成一排，五個人排成一排， 依下列條件有多少

17、種不同的排法？依下列條件有多少種不同的排法？（5）a、b、c必須相連必須相連（7） a、b、c恰有兩個相連恰有兩個相連（8） a、b、c中至多有兩個相連中至多有兩個相連（9） a、b、c中至少有兩個相連中至少有兩個相連（6） a、b、c不相連不相連363333 AA123322 AA723322333355AAAAA84333355AAA108332255AAA108332255AAA（1010） a a在在b b的前面的前面按序按序1、a、b、c、d、e五個人排成一排，五個人排成一排， 依下列條件有多少種不同的排法？依下列條件有多少種不同的排法？a a在第在第1 1位位a a在第在第2 2位

18、位a a在第在第3 3位位a a在第在第4 4位位2444A18333A122333312AAC633A分類討論分類討論所以共有所以共有24+18+12+6=60種不同的排法種不同的排法2、3名男生和名男生和2名女生站成一排，名女生站成一排， 其中其中2名女生恰好站在兩端的概率是名女生恰好站在兩端的概率是 ( ) 1013、書架上陳列了、書架上陳列了4本科技雜志和本科技雜志和4本文藝雜志。本文藝雜志。 一位學生從中任取一本閱讀，一位學生從中任取一本閱讀， 那么他閱讀文藝雜志的概率等于（那么他閱讀文藝雜志的概率等于（ ） （A）1 （B）0.25 （C）0.5 （D）0.1254、某學生從、某學

19、生從5門課程中任選門課程中任選3門，門， 其中甲、乙兩門課程至少選一門，其中甲、乙兩門課程至少選一門， 則不同的選課方案共有（則不同的選課方案共有（ ）種。）種。 （A）11 （B）10 （C）9 （D）8Cc415、8名選手在名選手在8條跑道的運動場進行百米賽跑，條跑道的運動場進行百米賽跑， 其中有其中有2名中國選手，按隨機抽簽方式?jīng)Q定選手的跑名中國選手，按隨機抽簽方式?jīng)Q定選手的跑 道，道，2名中國選手在相鄰的跑道的概率為（名中國選手在相鄰的跑道的概率為（ ）。）。6、4個人排成一行，其中甲、乙二人總排在一起，個人排成一行，其中甲、乙二人總排在一起， 則不同的排法共有（則不同的排法共有（ ）

20、。）。 (A) 3種種 (B) 6種種 (C) 12種種 (D)24種種927、兩個盒子內(nèi)各有、兩個盒子內(nèi)各有3個同樣的小球，個同樣的小球， 每個盒子中的小球上分別標有每個盒子中的小球上分別標有1，2，3三個數(shù)字，三個數(shù)字， 從兩個盒子中分別任意取出一個球，從兩個盒子中分別任意取出一個球， 則取出的兩個球上所標數(shù)字的和為則取出的兩個球上所標數(shù)字的和為3的概率是（的概率是（ ）。）。C518、某學生從、某學生從6門課程中選修門課程中選修3門，其中甲課程一定要選修，門，其中甲課程一定要選修， 則不同的選課方案共有（則不同的選課方案共有（ ）。）。 (A) 4種種 (B) 8種種 (C) 10種種

21、(D) 20種種9、5個人排成一行，則甲排在正中間的概率是（個人排成一行，則甲排在正中間的概率是（ ）。）。10、某學生從、某學生從6門課程中選修門課程中選修3門，其中甲、乙兩門課程門，其中甲、乙兩門課程 至至 少選一門，則不同的選課方案共有（少選一門，則不同的選課方案共有（ ）。）。 (A) 4種種 (B) 12種種 (C) 16種種 (D) 20種種11、正六邊形中，由任意三個頂點連線構(gòu)成的、正六邊形中，由任意三個頂點連線構(gòu)成的 三角形的個數(shù)為（）。三角形的個數(shù)為（）。（A）6 （B）20（C）120 （D）720C例例3、6本不同的書，按下列要求處理，各有幾種分本不同的書，按下列要求處理

22、，各有幾種分 法？法？（1）一堆）一堆1本，一堆本，一堆2本，一堆本，一堆3本本（2）甲得）甲得1本，乙得本，乙得2本，丙得本，丙得3本本（3）一人得）一人得1本，一人得本，一人得2本，一人得本，一人得3本本（4）平均分給甲、乙、丙三人）平均分給甲、乙、丙三人（5）平均分成三堆）平均分成三堆非均勻不定向分配（有序）非均勻不定向分配（有序）非均勻定向分配（有序）非均勻定向分配（有序）均勻分組問題（無序）均勻分組問題（無序）均勻定向分配（有序）均勻定向分配（有序）非均勻分組（無序）非均勻分組（無序）例例4（1）將）將6個相同的小球放入個相同的小球放入4個抽屜，每個抽個抽屜，每個抽屜至少有屜至少有1

23、個球的方法有多少種？個球的方法有多少種？（2）將）將9本相同的練習本分給本相同的練習本分給5個人，每人至少個人，每人至少1本，有多少種不同的分法？本，有多少種不同的分法？（3）某城市一條道路上有某城市一條道路上有12盞路燈，為了節(jié)約用盞路燈，為了節(jié)約用電又不影響正常照明，可以熄滅其中的電又不影響正常照明，可以熄滅其中的3盞燈，但盞燈，但路的兩端燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，路的兩端燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，共有多少種熄滅的方法？共有多少種熄滅的方法？相同元素分組問題：插空法（隔板法）相同元素分組問題：插空法（隔板法）例例5、從、從5雙不同的鞋子中取出雙不同的鞋子中取出4只，按下

24、列條只，按下列條件有多少種不同的取法？件有多少種不同的取法？（1）取出）取出4只鞋恰好配成只鞋恰好配成2雙雙（2）取出）取出4只鞋至少配成只鞋至少配成1雙雙（3）任何）任何2只都不能配成只都不能配成1雙雙分組問題：配對分組問題：配對五、二項式定理五、二項式定理(a+b)4 C40 a4 C41 a3b C42 a2b2 C43 ab3 C44 b4011222()nnnnnnnrnrrnnnnabC aC abC abC abC b (a+b)2 (a+b) (a+b) 展開后其項的形式為：展開后其項的形式為：a2 ， ab ， b2這三項的系數(shù)為各項在展開式中出現(xiàn)的次數(shù)?？紤]這三項的系數(shù)為各

25、項在展開式中出現(xiàn)的次數(shù)?？紤]b恰有恰有1個取個取b的情況有的情況有C21種，則種，則ab前的系數(shù)為前的系數(shù)為C21恰有恰有2個取個取b的情況有的情況有C22 種，則種，則b2前的系數(shù)為前的系數(shù)為C22每個都不取每個都不取b的情況有的情況有1種，即種，即C20 ,則則a2前的系數(shù)為前的系數(shù)為C20(a+b)2 = a2 +2ab+b2 C20 a2 + C21 ab+ C22 b2= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b32)ba（222baba3)(ba322333aa babb單三步單三步二項展開式定理二項展開式定理:一般地，對于一般地，對于n Nn N* *，有：，有：0

26、11222()nnnnnnnrnrrnnnnabC aC abC abC abC b 這個公式表示的定理叫做二項式定理，公式這個公式表示的定理叫做二項式定理，公式右邊的多項式叫做右邊的多項式叫做 (a+b) n的的 ， 其中其中 （r=0,1,2,n）叫做）叫做 ， 叫做二項展開式的叫做二項展開式的通項通項，用，用 Tr+1 表示，該項是指展開式的第表示，該項是指展開式的第 項，展開式共有項，展開式共有_個項個項.rnC展開式展開式二項式系數(shù)二項式系數(shù)rrnrnbaCr+1n+11(0,1,2,)rnrrrnTCnabr 單三步單三步2.二項式系數(shù)規(guī)律：二項式系數(shù)規(guī)律：nnnnnCCCC、 2

27、103.指數(shù)規(guī)律：指數(shù)規(guī)律：（1）各項的次數(shù)）各項的次數(shù)和均為和均為n；（2）二項和的）二項和的第一項第一項a的次數(shù)的次數(shù)由由n逐次降到逐次降到0， 第二項第二項b的次數(shù)的次數(shù)由由0逐次逐次升到升到n.1.項數(shù)規(guī)律：項數(shù)規(guī)律：展開式共有展開式共有n+1個項個項)(Nn011()nnnrn rrn nnnnna bC aC a bC a bC b二項展開式定理二項展開式定理:單三步單三步特別地特別地: 2、令、令a=1，b=x1、把、把b用用- -b代替代替 (a-b)n= Cnan-Cnan-1b+ +(-1)rCnan-rbr + +(-1)nCnbn01rnn) 11 ( n2nnnrrn

28、nnnxCxCxCxCx 22111）（01CCCnnnn3、)(Nn011()nnnrn rrn nnnnna bC aC a bC a bC b二項展開式定理二項展開式定理:單三步單三步411)1x：展展開開（ 例例注：注：1）注意對二項式定理的靈活應(yīng)用）注意對二項式定理的靈活應(yīng)用2）注意區(qū)別）注意區(qū)別二項式系數(shù)二項式系數(shù)與與項的系數(shù)項的系數(shù)的概念的概念二項式系數(shù)二項式系數(shù)為為 ；項的系數(shù)項的系數(shù)為：為：二項式系數(shù)與數(shù)字系數(shù)的積二項式系數(shù)與數(shù)字系數(shù)的積rnC解解:41223344411111)1()()()CCCxxxx （ 44423414641()1.Cxxxxx 單三步單三步61()

29、6223xx：展開，并求第 項的二項式系數(shù)和第例項的系數(shù).解解:6631(2)1)xxxx1=(261524336663)(2 )(2 )(2 )xCxCxCxx1=(24256666(2 )(2 )CxCxC32236012164192240160 xxxxxx=第三項的二項式系數(shù)為第三項的二項式系數(shù)為 2615C 第六項的系數(shù)為第六項的系數(shù)為 5562( 1)12C 單三步單三步7)3x: :( (1 1) )求求（1 1+ +2 2的的展展開開式式的的第第例例4 4項項的的系系數(shù)數(shù)931)xxx ( (2 2) )求求（的的展展開開式式中中 的的系系數(shù)數(shù)和和中中間間項項解解:37 3333 17(1)1(2 )280TCxx第四項系數(shù)為第四項系數(shù)為28099 21991(2)(