第三節(jié)冪級數(shù)(同濟(jì)少學(xué)時第三版簡約型)

1、 由級數(shù)的一般概念，定義在某區(qū)間上的函數(shù)列可以由級數(shù)的一般概念，定義在某區(qū)間上的函數(shù)列可以定義函數(shù)項級數(shù)，函數(shù)項級數(shù)的收斂點(diǎn)構(gòu)成一個點(diǎn)集，定義函數(shù)項級數(shù)，函數(shù)項級數(shù)的收斂點(diǎn)構(gòu)成一個點(diǎn)集，在函數(shù)項級數(shù)的收斂點(diǎn)集上可以確定相應(yīng)的和函數(shù)，于在函數(shù)項級數(shù)的收斂點(diǎn)集上可以確定相應(yīng)的和函數(shù)，于是和函數(shù)就表示成了一種無窮和的形式。是和函數(shù)就表示成了一種無窮和的形式。 選擇不同類型的函數(shù)構(gòu)成函數(shù)選擇不同類型的函數(shù)構(gòu)成函數(shù)列又可得到不同的函數(shù)表示形式列又可得到不同的函數(shù)表示形式及相應(yīng)的級數(shù)理論，如冪級數(shù)、及相應(yīng)的級數(shù)理論，如冪級數(shù)、三角級數(shù)等。三角級數(shù)等。 設(shè)設(shè) u n( x ) 是定義在區(qū)間是定義在區(qū)間 I

2、上的函數(shù)數(shù)列，即有上的函數(shù)數(shù)列，即有 u1( x )+ u2( x )+ + un( x )+ 則式子稱為定義在區(qū)間則式子稱為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù)項級數(shù)。上的函數(shù)項級數(shù)。 1nnuxIx , , 對于對于 x 0 I ，如果數(shù)項級數(shù)如果數(shù)項級數(shù) 收斂，則稱函收斂，則稱函數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) x 0 處收斂，點(diǎn)處收斂，點(diǎn) x 0 稱為該函數(shù)項稱為該函數(shù)項級數(shù)的收斂點(diǎn)；反之，如果數(shù)項級數(shù)級數(shù)的收斂點(diǎn)；反之，如果數(shù)項級數(shù) 發(fā)散，發(fā)散，則稱函數(shù)項級數(shù)則稱函數(shù)項級數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) x 0 處發(fā)散，點(diǎn)處發(fā)散，點(diǎn) x 0 稱為該函稱為該函數(shù)項級數(shù)的發(fā)散點(diǎn)。數(shù)項級數(shù)的發(fā)散點(diǎn)。 01nnux 1nnux

3、01nnux 1nnux 函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù) 的所有收斂點(diǎn)的全體的所有收斂點(diǎn)的全體 I1 稱為它稱為它的的收斂域，發(fā)散點(diǎn)的全體收斂域，發(fā)散點(diǎn)的全體 I2 稱為其發(fā)散域。稱為其發(fā)散域。 應(yīng)應(yīng)注意的是，函數(shù)列注意的是，函數(shù)列 un( x )的收的收斂域斂域 I1 與函數(shù)列的定義區(qū)間與函數(shù)列的定義區(qū)間 I 通常是通常是不同的，即一般應(yīng)有不同的，即一般應(yīng)有 I1 I . . 1nnux 設(shè)有函數(shù)項級數(shù)設(shè)有函數(shù)項級數(shù) ，記其前，記其前 n 項和為項和為，則在其收斂域，則在其收斂域 I1 上有上有稱稱 S n( x )為函數(shù)項級數(shù)為函數(shù)項級數(shù) 的前的前 n 項部分和函數(shù)項部分和函數(shù)，r n( x )=

4、S( x )- - S n( x )為函數(shù)項級數(shù)的余項函數(shù)。為函數(shù)項級數(shù)的余項函數(shù)。 需注意區(qū)別上述各函數(shù)的定義域：需注意區(qū)別上述各函數(shù)的定義域：S n( x ) 定義在區(qū)間定義在區(qū)間 I 上上， S( x )、r n( x )定義在區(qū)間定義在區(qū)間 I1 上，且有上，且有 1nnuxIx , 1nnkkSuxIxx , 1limnnSSxIxx , . . 1nnux 1limlim0.nnnnrxISSxxx, 例：例：定義在區(qū)間定義在區(qū)間( - - , ,+ )上函數(shù)數(shù)列上函數(shù)數(shù)列 x n - -1 可構(gòu)成可構(gòu)成一一個函數(shù)項級數(shù)個函數(shù)項級數(shù)該函數(shù)項級數(shù)的部分和函數(shù)為該函數(shù)項級數(shù)的部分和函數(shù)

5、為 由幾何級數(shù)的討論知，對于由幾何級數(shù)的討論知，對于| x 0| 1 ，該函數(shù)項級，該函數(shù)項級數(shù)數(shù)收斂，收斂，對于對于| x 0| 1，該函數(shù)項級數(shù)發(fā)散。，該函數(shù)項級數(shù)發(fā)散。 由此求得該函數(shù)項級數(shù)的收斂域?yàn)橛纱饲蟮迷摵瘮?shù)項級數(shù)的收斂域?yàn)?I1 =( - -1 , ,1 )，發(fā)散域?yàn)榘l(fā)散域?yàn)?I 2 = ( - - , ,- -1 )( 1 , ,+ ) 12111nnnxxxxxI LL , . . 1211 11111nnknnkxxSxxxxxxnx L,.在收斂域在收斂域 I1 = ( - -1 , ,1 )內(nèi)，函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)為內(nèi)，函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)為 余項函數(shù)為余項函數(shù)為 11li

6、mlim11nnnnxSSxxxx . . 111111nnnnnnknnkrxSSxxxxx 1111 1111nnxxxIxxx, . . 設(shè)半徑為設(shè)半徑為 r 的圓的內(nèi)接正六邊形面積為的圓的內(nèi)接正六邊形面積為 u1( r )，BOC = 2 1，可求得：可求得： 記：記： ，則有，則有 A u1( r )= a1 r 2. . 逐步用接正多邊形面積逐步用接正多邊形面積逼逼近圓面積，可類似地求得近圓面積，可類似地求得 A u1( r )+ u 2( r )+ + un( r ). .BC 211166sin2BOCuSrr ,1116sin2a 為建立用無窮和形式表達(dá)函數(shù)的方式，應(yīng)選擇怎樣

7、為建立用無窮和形式表達(dá)函數(shù)的方式，應(yīng)選擇怎樣的工具函數(shù)列的工具函數(shù)列 un( x )及相應(yīng)的系數(shù)及相應(yīng)的系數(shù) an ，使得，使得 作為函數(shù)表達(dá)工具的函數(shù)列及系數(shù)須具以下特點(diǎn) 工具函數(shù)列工具函數(shù)列 un( x )自身應(yīng)形式簡單，且自身應(yīng)形式簡單，且 具有良好的分析性質(zhì)。具有良好的分析性質(zhì)。各項系數(shù)各項系數(shù) an 應(yīng)應(yīng)易于計算。易于計算。 由上述條件容易想到，可由上述條件容易想到，可選擇冪函數(shù)列選擇冪函數(shù)列 x n 作為作為表達(dá)工具的基礎(chǔ)函數(shù)列。表達(dá)工具的基礎(chǔ)函數(shù)列。 形如形如的的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù)，其中函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù)，其中 a 0 ，a1 , , , , a n , , 稱為冪級數(shù)的系數(shù)

8、。稱為冪級數(shù)的系數(shù)。 20120 nnnnna xaa xa xa xx LL , 對函數(shù)性質(zhì)的討論通常是逐點(diǎn)進(jìn)行的，相應(yīng)地函數(shù)對函數(shù)性質(zhì)的討論通常是逐點(diǎn)進(jìn)行的，相應(yīng)地函數(shù)也應(yīng)逐點(diǎn)表示為冪級數(shù)。也應(yīng)逐點(diǎn)表示為冪級數(shù)。 因此冪級數(shù)的一般形式應(yīng)表為因此冪級數(shù)的一般形式應(yīng)表為 然而，這一形式作為冪級數(shù)的一般形式討論起來卻然而，這一形式作為冪級數(shù)的一般形式討論起來卻不夠方便，因此通常取不夠方便，因此通常取 x 0 = 0時情形作為研究的一般形時情形作為研究的一般形式，即冪級數(shù)通常寫成式，即冪級數(shù)通常寫成 001000 nnnnnaxxaaxxaxxLL . . 20120 LLnnnnna xaa x

9、a xa x . . 令：令：x - - x 0 = t ，則有，則有 令：令：t = x - - x 0，則有，則有 由于只需通過代換由于只需通過代換 t = x - - x 0就可實(shí)現(xiàn)兩種冪級數(shù)就可實(shí)現(xiàn)兩種冪級數(shù)形式的轉(zhuǎn)化，因而采用特殊冪級數(shù)形式形式的轉(zhuǎn)化，因而采用特殊冪級數(shù)形式 作為研作為研究形式不會喪失討論的一般性。究形式不會喪失討論的一般性。 001000 nnnnnaxxaaxxaxxLL . . 00100 LLnnnnnnnnaxxa taa ta t. . 001000 L Lnnnnnna taxxaaxx. . 0nnna x 010 LLnnnnna taa ta t

10、. .例例：考察如下冪級數(shù)的收斂域考察如下冪級數(shù)的收斂域 由于函數(shù)項級數(shù)的收斂性是由于函數(shù)項級數(shù)的收斂性是“逐點(diǎn)逐點(diǎn)”定義的，故應(yīng)逐點(diǎn)考察冪級定義的，故應(yīng)逐點(diǎn)考察冪級數(shù)的收斂性。數(shù)的收斂性。 另一方面，由于冪級數(shù)是變號級另一方面，由于冪級數(shù)是變號級數(shù)，宜通過討論絕對收斂的方法考察數(shù)，宜通過討論絕對收斂的方法考察其收斂域。其收斂域。 231111 23nnnxxxxxxnn LL , . . 任取任取 x 0 ( - - ,+,+ )，考察對應(yīng)正項級數(shù)，考察對應(yīng)正項級數(shù)的斂散性。由比值判別法有的斂散性。由比值判別法有 當(dāng)當(dāng) x 0 1 時，時， 發(fā)散，原冪級數(shù)發(fā)散；發(fā)散，原冪級數(shù)發(fā)散； 當(dāng)當(dāng) x

11、 0 = 1 時，原冪級數(shù)化為時，原冪級數(shù)化為 ，發(fā)散；，發(fā)散； 當(dāng)當(dāng) x 0 = - -1 時，原冪級數(shù)化為時，原冪級數(shù)化為 ，收斂。，收斂。 101000001limlimlim11nnnnnnnxnxnnxxnnxxn . .00nnxn00nnxn01nn01nnn 00nnxn 綜上討論求得本例冪級數(shù)的綜上討論求得本例冪級數(shù)的 收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)椋篒1 = - -1, ,1 )， 發(fā)散域?yàn)榘l(fā)散域?yàn)椋篒 2 =( - - ,-,-1 )( 1, ,+ ). . 直觀分析本例結(jié)果：直觀分析本例結(jié)果： 由直觀易見，冪級數(shù)收斂點(diǎn)和發(fā)散點(diǎn)的分布具有顯由直觀易見，冪級數(shù)收斂點(diǎn)和發(fā)散點(diǎn)的分布具有顯著

12、的特怔，即收斂點(diǎn)和發(fā)散點(diǎn)都是集中、連續(xù)地分布，著的特怔，即收斂點(diǎn)和發(fā)散點(diǎn)都是集中、連續(xù)地分布，且構(gòu)成對稱的區(qū)間。且構(gòu)成對稱的區(qū)間。 Ox1 1收斂域收斂域 發(fā)散域發(fā)散域 發(fā)散域發(fā)散域 冪級數(shù)冪級數(shù) 的收斂性必為下述三種情形之一：的收斂性必為下述三種情形之一： 僅在點(diǎn)僅在點(diǎn) x = x 0 處收斂；處收斂； 在在( - , ,+ )內(nèi)處處內(nèi)處處 收斂收斂； 存在確定的正數(shù)存在確定的正數(shù) R，使得當(dāng)，使得當(dāng) x R 時發(fā)散。時發(fā)散。 0nnna x 已知已知 收斂，要證對一切收斂，要證對一切 x 0 ，使得對一切，使得對一切 n 有有 由于當(dāng)由于當(dāng) | x | x 0|時，時，| x |/| x

13、0|= r 1，故有，故有00nnna x 0nnna x 0nna x00nnna x 00nnna x 0nnKa x. . 0000nnnnnnnnnnxxKra xa xa xxx , 由于由于 0 r 1，故幾何級數(shù)，故幾何級數(shù) 收斂，由比較判收斂，由比較判判別法知，級數(shù)判別法知，級數(shù) 收斂，即對一切收斂，即對一切 | x | x 0 |，級數(shù)級數(shù) 發(fā)散發(fā)散。 這一命題實(shí)際是第一部分命題的逆否命題，故可由這一命題實(shí)際是第一部分命題的逆否命題，故可由反證法證明。反證法證明。 反設(shè)存在點(diǎn)反設(shè)存在點(diǎn) x = x 1，滿足，滿足 | x 1| x 0|，而冪級數(shù)，而冪級數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) x =

14、x 1 處收斂。處收斂。 由第一部分命題的結(jié)論知，對點(diǎn)由第一部分命題的結(jié)論知，對點(diǎn) | x 0| | x 0| ，冪級數(shù)，冪級數(shù) 發(fā)散。發(fā)散。00nnna x 0nnna x 0nnna x 00nnna x 0nnna x收斂點(diǎn)收斂點(diǎn) 發(fā)散點(diǎn)發(fā)散點(diǎn) 發(fā)散點(diǎn)發(fā)散點(diǎn) 例：例：求下列冪級數(shù)的收斂半徑求下列冪級數(shù)的收斂半徑 求冪級數(shù)的收斂半徑就是要求冪級數(shù)的收斂半徑就是要確定收斂域與發(fā)散域之間的臨界點(diǎn)。確定收斂域與發(fā)散域之間的臨界點(diǎn)。 由于冪級數(shù)總是絕對收斂的，可由于冪級數(shù)總是絕對收斂的，可用正項級數(shù)的判別法討論其收斂點(diǎn)。用正項級數(shù)的判別法討論其收斂點(diǎn)。 111 2 !nnnnxn xn . .,

15、設(shè)該冪級數(shù)收斂設(shè)該冪級數(shù)收斂域與發(fā)散域之間的域與發(fā)散域之間的臨界點(diǎn)為臨界點(diǎn)為 x 0，由比值判別法有由比值判別法有 因此，對一切因此，對一切 x 0 ( - - , ,+ )，冪級數(shù)冪級數(shù) 收斂收斂, ,即該冪級數(shù)的收斂半徑為即該冪級數(shù)的收斂半徑為 R = + 11 !nnxn. . 10 10 0 00 !11limlimlim011!nnnnnnnxuxnxnuxxn,1!nnxn 設(shè)該冪級數(shù)收斂設(shè)該冪級數(shù)收斂域與發(fā)散域之間的域與發(fā)散域之間的臨界點(diǎn)為臨界點(diǎn)為 x 0，由比值判別法有由比值判別法有 由此可知，僅當(dāng)由此可知，僅當(dāng) x 0 = 0 時，該冪級數(shù)收斂，而對于時，該冪級數(shù)收斂，而對于

16、其它的點(diǎn)，冪級數(shù)均發(fā)散，即該冪級數(shù)的收斂半徑為其它的點(diǎn)，冪級數(shù)均發(fā)散，即該冪級數(shù)的收斂半徑為 R = 0 12 !nnn x . . 1 00 0 0000!1limlim1!0nnnnxxnxnn xx,. 確定冪級數(shù)收斂域的關(guān)鍵是確定收斂域與發(fā)散域之確定冪級數(shù)收斂域的關(guān)鍵是確定收斂域與發(fā)散域之間的臨界點(diǎn)，而此臨界點(diǎn)對應(yīng)為收斂區(qū)間的半徑間的臨界點(diǎn)，而此臨界點(diǎn)對應(yīng)為收斂區(qū)間的半徑 R . . 設(shè)有設(shè)有冪級數(shù)冪級數(shù) ，則該冪級數(shù)的收斂半經(jīng)為，則該冪級數(shù)的收斂半經(jīng)為 0 0nnnna xa, 1000R ,. 1limnnnaa 若若 設(shè)該冪級數(shù)收斂域與發(fā)散域之間的臨界點(diǎn)為設(shè)該冪級數(shù)收斂域與發(fā)散域

17、之間的臨界點(diǎn)為 x 0 , ,則在則在 x 點(diǎn)處有點(diǎn)處有 由比值判別法知：由比值判別法知： 當(dāng)當(dāng) l = | x | 1，即，即 | x | 1 ，即，即 | x | 1/ / 時，冪級數(shù)發(fā)散。時，冪級數(shù)發(fā)散。于是求得冪級數(shù)的收斂半徑為于是求得冪級數(shù)的收斂半徑為 R = 1/ / . . 1 111 limlimlimnnnnnnnnnnnuaxaxlxxaua xx . 1lim0nnnaa .若若 1lim0nnnaa . .若若 則則 l =| x | = 0 1，即，即對一切對一切 x ( - - , ,+ )有有冪級數(shù)絕對收斂，此時冪級數(shù)收斂半徑為冪級數(shù)絕對收斂，此時冪級數(shù)收斂半徑為

18、 R = + 則當(dāng)則當(dāng) x 0 時，時， l = | x | = + ，即即對一切對一切 x 0 冪級數(shù)均發(fā)散，此時冪級數(shù)均發(fā)散，此時冪級數(shù)收斂半徑為冪級數(shù)收斂半徑為 R = 0 1limnnnaa .若若定理定理 2 2 僅適合于求形如僅適合于求形如 的不缺項的的不缺項的“標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)形式形式”的冪級數(shù)收斂半徑。的冪級數(shù)收斂半徑。 對缺項的冪級數(shù)，如對缺項的冪級數(shù)，如 等等，還須回到比值還須回到比值判別法計算其收斂半徑判別法計算其收斂半徑 對非標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)，如對非標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)，如等等，一般應(yīng)先通過代換將轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式一般應(yīng)先通過代換將轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式再考慮利用半徑定理求其收斂半徑再考慮利用半徑定理

19、求其收斂半徑 定了定了收斂半徑收斂半徑 R 并不意味著求出了收斂并不意味著求出了收斂域，還需進(jìn)一步考察級數(shù)在域，還需進(jìn)一步考察級數(shù)在 x = R 處的處的收斂性，即收斂性，即考察如下數(shù)項級數(shù)的收斂性：考察如下數(shù)項級數(shù)的收斂性： 對這兩個數(shù)項級數(shù)需應(yīng)用正項級數(shù)和交錯級數(shù)斂對這兩個數(shù)項級數(shù)需應(yīng)用正項級數(shù)和交錯級數(shù)斂散性的各種判別法確定其斂散性。散性的各種判別法確定其斂散性。 斂散斂散性較確定收斂半徑要困難，其計算量也大得多。因此性較確定收斂半徑要困難，其計算量也大得多。因此確定確定收斂域的討論，其主要計算量在于確定收斂域的討論，其主要計算量在于確定斂散性。斂散性。例：例：求下列冪級數(shù)的收斂域求下列

20、冪級數(shù)的收斂域 冪級數(shù)收斂域的理論和方法是冪級數(shù)收斂域的理論和方法是按其標(biāo)準(zhǔn)形式敘述的，為求給定冪級數(shù)按其標(biāo)準(zhǔn)形式敘述的，為求給定冪級數(shù)的收斂域應(yīng)先將其化為標(biāo)準(zhǔn)形式。的收斂域應(yīng)先將其化為標(biāo)準(zhǔn)形式。 對標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù)的討論應(yīng)分兩步對標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù)的討論應(yīng)分兩步求解，即先由半徑定理確定冪級數(shù)收斂求解，即先由半徑定理確定冪級數(shù)收斂半徑，再討論收斂區(qū)間端點(diǎn)的斂散性。半徑，再討論收斂區(qū)間端點(diǎn)的斂散性。 對缺項的冪級數(shù)，通常宜直接按數(shù)項級數(shù)斂散性判對缺項的冪級數(shù)，通常宜直接按數(shù)項級數(shù)斂散性判別法確定其收斂域。別法確定其收斂域。 111321 2 112nnnnnnnnxxnn , 2111011 3421

21、3121nnnnnxxnxn . ., 對此標(biāo)準(zhǔn)形式的不缺項的冪級數(shù)，可直接由半徑公對此標(biāo)準(zhǔn)形式的不缺項的冪級數(shù)，可直接由半徑公式確定其收斂半徑。式確定其收斂半徑。 由半徑定理求得收斂半徑為由半徑定理求得收斂半徑為 R = 1/ / = 2 ，從而給定，從而給定冪級數(shù)至少在區(qū)間冪級數(shù)至少在區(qū)間(- -2,2 )內(nèi)收斂。內(nèi)收斂。 111 12nnnnxn . 11 211limlimlim21221nnnnnnnannann , 在點(diǎn)在點(diǎn) x = - - 2 處，給定冪級數(shù)化為處，給定冪級數(shù)化為 發(fā)散。發(fā)散。 在點(diǎn)在點(diǎn) x = 2 處，給定冪級數(shù)化為處，給定冪級數(shù)化為 收斂。收斂。于是求得給定冪

22、級數(shù)于是求得給定冪級數(shù) 的收斂域?yàn)榈氖諗坑驗(yàn)?I =( - -2, ,2 . 121111112112nnnnnnnnnn, 111121112nnnnnnnn, 1112nnnnxn 對此非標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)，對此非標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)，應(yīng)先將其化為標(biāo)準(zhǔn)形式，應(yīng)先將其化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再再由半徑公式確定其收斂半徑。由半徑公式確定其收斂半徑。 令令 t = x + 1，給定冪級數(shù)化為，給定冪級數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式有標(biāo)準(zhǔn)形式有 對此標(biāo)準(zhǔn)形式的不缺項的對此標(biāo)準(zhǔn)形式的不缺項的冪級數(shù)，方可按冪級數(shù)，方可按半徑公半徑公式確定收斂半徑。式確定收斂半徑。 1322 1nnnnxn. 132.nnnntn 111 32limlim1

23、32nnnnnnnnanan 11232323limlim3.1132213nnnnnnnnnnnn 由半徑定理求得收斂半徑為由半徑定理求得收斂半徑為 R = 1/ / = 1/ /3 ，從而新，從而新冪級數(shù)冪級數(shù) 至少在區(qū)間至少在區(qū)間 內(nèi)收斂。內(nèi)收斂。 1133,132nnnntn 在點(diǎn)在點(diǎn) t = - -1/ /3 處，所論冪級數(shù)化為處，所論冪級數(shù)化為 由于上式兩級數(shù)均收斂，故級數(shù)由于上式兩級數(shù)均收斂，故級數(shù)收斂。收斂。 在點(diǎn)在點(diǎn) t = 1/ /3 處，所論冪級數(shù)化為處，所論冪級數(shù)化為 1113232111333nnnnnnnnnnnnn 111213nnnnnn , 13213nnnn

24、n 1113232111333nnnnnnnnnnnnn 111213nnnnnn. 由于級數(shù)由于級數(shù) 發(fā)散，而級數(shù)發(fā)散，而級數(shù) 收斂，收斂，故級數(shù)故級數(shù) 發(fā)散。發(fā)散。 于是求得冪級數(shù)于是求得冪級數(shù) 的收斂域?yàn)榈氖諗坑驗(yàn)?由于當(dāng)由于當(dāng) 時，時，故求得原冪級數(shù)故求得原冪級數(shù) 的收斂域?yàn)榈氖諗坑驗(yàn)?11nn 1123nnnn 13213nnnnn 132nnnntn 11.33tI , 1133t , 42133xt , 1321nnnnxn 42.33xI , 2111 3321nnnxn . . 該冪級數(shù)缺項，即該冪級數(shù)缺項，即此時此時 無意義，不能直接由半徑公式確定其收無意義，不能直接由半徑

25、公式確定其收斂半徑。對于這種情形斂半徑。對于這種情形應(yīng)考慮回歸冪級數(shù)收斂域的本質(zhì)應(yīng)考慮回歸冪級數(shù)收斂域的本質(zhì)特性，即通過阿貝爾定理特性，即通過阿貝爾定理確定冪級數(shù)的收斂半徑。確定冪級數(shù)的收斂半徑。 21211 0321nnnaan, 1 limnnnaa 211112111 21 3limlim 3211nnnnnnnnuxnxuxxn 2121 2121 3lim321 3nnnnnnxxnx. . 當(dāng)當(dāng) x 2/ /3 1，即，即 x 1，即，即 x 時，時，冪級數(shù)發(fā)散冪級數(shù)發(fā)散。因此因此冪級數(shù)冪級數(shù) 至少在至少在 內(nèi)收斂。內(nèi)收斂。 在點(diǎn)在點(diǎn) 處，冪級數(shù)化為處，冪級數(shù)化為 在點(diǎn)在點(diǎn) 處，冪

26、級數(shù)化為處，冪級數(shù)化為于是求得冪級數(shù)收斂域?yàn)橛谑乔蟮脙缂墧?shù)收斂域?yàn)?3 2111321nnnxn 33,3x 21211111131133213332121nnnnnnnnnnn，發(fā)散。，發(fā)散。 3x 21111113133213332121nnnnnnnnnn，發(fā)散。，發(fā)散。 33 .I, 011 4211nnxnx . . 這是個廣義冪級數(shù)，應(yīng)先將其化為標(biāo)準(zhǔn)形式的冪級這是個廣義冪級數(shù)，應(yīng)先將其化為標(biāo)準(zhǔn)形式的冪級數(shù)再討論其收斂域。數(shù)再討論其收斂域。，給定級數(shù)化為，給定級數(shù)化為此冪級數(shù)不缺項，可直接由半徑公式確定其收斂半徑。此冪級數(shù)不缺項，可直接由半徑公式確定其收斂半徑。 求得其收斂半徑為求得

27、其收斂半徑為 R = 1 / / = 1，因此，因此新新冪級數(shù)至少冪級數(shù)至少在區(qū)間在區(qū)間( - -1, ,1 )內(nèi)收斂。內(nèi)收斂。 1:1xtx 令令 01.21nntn 1 21limlim1 211nnnnanan , 在點(diǎn)在點(diǎn) t = - -1 處，新冪級數(shù)化為處，新冪級數(shù)化為 由交錯級數(shù)的判別法知，該級數(shù)收斂。由交錯級數(shù)的判別法知，該級數(shù)收斂。 在點(diǎn)在點(diǎn) t = 1 處，新冪級數(shù)化為處，新冪級數(shù)化為由調(diào)和級數(shù)的發(fā)散性知，該級數(shù)發(fā)散。由調(diào)和級數(shù)的發(fā)散性知，該級數(shù)發(fā)散。 由上討論求得新冪級數(shù)由上討論求得新冪級數(shù) 的收斂域?yàn)榈氖諗坑驗(yàn)镮t = - -1, ,1 ). 0121nnn , 012

28、1nn, 0121nntn 由代換由代換 t = 1 - - x / /1+ x 及及 t It = - -1, ,1 )確定原冪級數(shù)確定原冪級數(shù)關(guān)于關(guān)于 x 的收斂域。的收斂域。解得解得 x 0 . 求得原冪級數(shù)求得原冪級數(shù) 收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)?I x =( 0 , ,+ )111xtx11xx2211xx221212xxxx 011211nnxnx 由于冪級數(shù)總在某區(qū)間上收斂，其和函數(shù)一定是定由于冪級數(shù)總在某區(qū)間上收斂，其和函數(shù)一定是定義在某區(qū)間上的函數(shù)，即有義在某區(qū)間上的函數(shù)，即有 因此，因此，用冪級數(shù)表示函數(shù)或?qū)⒑瘮?shù)表示為冪級數(shù)用冪級數(shù)表示函數(shù)或?qū)⒑瘮?shù)表示為冪級數(shù)形式就具有實(shí)際意義。形式

29、就具有實(shí)際意義。 由函數(shù)的代數(shù)運(yùn)算和分析運(yùn)算由函數(shù)的代數(shù)運(yùn)算和分析運(yùn)算的需要，自然就要考慮相應(yīng)冪級的需要，自然就要考慮相應(yīng)冪級數(shù)的代數(shù)運(yùn)算和分析運(yùn)算。數(shù)的代數(shù)運(yùn)算和分析運(yùn)算。 10 nnnS xa xxIR R,. . 設(shè)有冪級數(shù)設(shè)有冪級數(shù) 記：記：R = min R 1, ,R 2 ，則在區(qū)間則在區(qū)間 I =( - -R, ,R ) 上上 冪級數(shù)冪級數(shù) 均收斂，且有如下運(yùn)算性質(zhì)：均收斂，且有如下運(yùn)算性質(zhì)： 2 012110 LLnnnnna xaa xa xa xxRR, 2 012220 LLnnnnnb xbb xb xb xxRR,. . 00 nnnnnna xb x, 當(dāng)當(dāng) x I

30、 =( - -R , ,R )時時 ，由級數(shù)定義有，由級數(shù)定義有 于是可定義于是可定義冪級數(shù)的加法冪級數(shù)的加法 0000limlimnnnnkknnkknnnnkka xb xa xb x000limlimnnnkkkkkkknnkkka xb xxab 0nnnnxab. 000 nnnnnnnnnna xb xxIR Rab,. . 當(dāng)當(dāng) x I =( - -R , ,R )時時 ，由級數(shù)定義有，由級數(shù)定義有 于是可定義于是可定義冪級數(shù)的乘法冪級數(shù)的乘法 0000limlimnnnnkknnkknnnnkka xb xa xb x00limnnkkkknkka xb x00011000li

31、mnnnna bxxa ba ba ba bLLL 0000limknnknik ikn knikkna ba bxx . 0000 nnnnkn knnknnna ba xb xxIR R,. . 000000iinninnjnnjnjnnnnna xb xa xb xc xc x即即 , ,設(shè)設(shè) 由冪級數(shù)乘法定義有由冪級數(shù)乘法定義有 逐一解此方程組的方程可求得系數(shù)逐一解此方程組的方程可求得系數(shù) c 0 , ,c 1 , , ,c n ，一般來說，兩級數(shù)的商一般來說，兩級數(shù)的商 的的收斂域可能較收斂域可能較 I1 = ( - -R1 , ,R1 ), , I2 = ( - -R2 , ,R2

32、 )都要都要小得多。小得多。 000101102021120 0110 nnnnab cab cb cab cb cb cab cb cb cL L LLL L L,. 0nnnc x 設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù) 的收斂半徑為的收斂半徑為 R，則其和函數(shù)，則其和函數(shù) S( x )在區(qū)間在區(qū)間( - -R, ,R )內(nèi)連續(xù)。內(nèi)連續(xù)。 若冪級數(shù)在端點(diǎn)若冪級數(shù)在端點(diǎn) x = - - R 或或 x = R 處也處也收斂，則和收斂，則和函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間 - -R, ,R )或或( - -R, ,R 內(nèi)連續(xù)。內(nèi)連續(xù)。 0nnna x 設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù) 的收斂半徑為的收斂半徑為 R，則其和函數(shù)，則其和函數(shù)S( x

33、 )在區(qū)間在區(qū)間( - -R, ,R )內(nèi)是可導(dǎo)的，且有逐項求導(dǎo)公式內(nèi)是可導(dǎo)的，且有逐項求導(dǎo)公式 設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù) 的收斂半徑為的收斂半徑為 R，則其和函數(shù)，則其和函數(shù)S( x )在區(qū)間在區(qū)間( - -R, ,R )內(nèi)是可積的，且有逐項積分公式內(nèi)是可積的，且有逐項積分公式 0nnna x 1 010.nnnnnnnnnSxna xxa xR Ra x , 0nnna x 1 0 0 0000ddd1xxxnnnnnnnnnaS tttattxa tn , .xR R , 這兩個性質(zhì)指出，在冪級數(shù)的收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)這兩個性質(zhì)指出，在冪級數(shù)的收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)不僅可反復(fù)逐項求導(dǎo)和積分，且求導(dǎo)或積分后

34、所得冪不僅可反復(fù)逐項求導(dǎo)和積分，且求導(dǎo)或積分后所得冪級數(shù)的收斂半徑不變，但在區(qū)間端點(diǎn)級數(shù)的收斂半徑不變，但在區(qū)間端點(diǎn) x = - -R, ,x = R 處處的斂散性可能發(fā)生改變。的斂散性可能發(fā)生改變。 這兩個性質(zhì)對計算冪級數(shù)和函數(shù)具有重要意義。這兩個性質(zhì)對計算冪級數(shù)和函數(shù)具有重要意義。例如，設(shè)例如，設(shè)則有則有例：例：求下列冪級數(shù)的和函數(shù)求下列冪級數(shù)的和函數(shù) 冪級數(shù)的和函數(shù)只有在其收斂冪級數(shù)的和函數(shù)只有在其收斂域內(nèi)才有意義。因此，為求和函數(shù)應(yīng)先域內(nèi)才有意義。因此，為求和函數(shù)應(yīng)先確定冪級數(shù)的收斂域。確定冪級數(shù)的收斂域。 冪級數(shù)求和是一種無窮和計算，直冪級數(shù)求和是一種無窮和計算，直接按定義計算通常是

35、很困難的，求和的接按定義計算通常是很困難的，求和的基本途徑是將其化為有限形式求極限?；就緩绞菍⑵浠癁橛邢扌问角髽O限。 能夠直接化為有限形式的冪級數(shù)是幾何級數(shù)，即當(dāng)能夠直接化為有限形式的冪級數(shù)是幾何級數(shù)，即當(dāng)冪級數(shù)各項系數(shù)恰好是冪級數(shù)各項系數(shù)恰好是 1 的情形。因此冪級數(shù)求和的基的情形。因此冪級數(shù)求和的基本途徑就是設(shè)法將其各項系數(shù)化為本途徑就是設(shè)法將其各項系數(shù)化為 1 . . 011 112 1nnnnnnxxn, . . 01 11nnnx. . 易看出該冪級數(shù)的收斂半徑為易看出該冪級數(shù)的收斂半徑為 1，因此給定冪級數(shù)，因此給定冪級數(shù)至少當(dāng)至少當(dāng) - -1 x - - 1 1，即當(dāng)，即當(dāng) x

36、 ( 0 , ,2 )時時收斂。收斂。 在在 x = 0 處，冪級數(shù)化為處，冪級數(shù)化為此時冪級數(shù)發(fā)散；此時冪級數(shù)發(fā)散； 在在 x = 2 處，冪級數(shù)化為處，冪級數(shù)化為此時冪級數(shù)也發(fā)散。此時冪級數(shù)也發(fā)散。 于是求得給定冪級數(shù)的收斂域?yàn)橛谑乔蟮媒o定冪級數(shù)的收斂域?yàn)?Ix =( 0, ,2 ). 011nnn , 01nn , 設(shè)此冪級數(shù)的和函數(shù)為設(shè)此冪級數(shù)的和函數(shù)為 S( x )，即，即 幾何級數(shù)是唯一可直接化為有限形式求和的級數(shù)，幾何級數(shù)是唯一可直接化為有限形式求和的級數(shù)，而一般的冪級數(shù)與幾何級數(shù)的差別僅是其系數(shù)的差別，而一般的冪級數(shù)與幾何級數(shù)的差別僅是其系數(shù)的差別，因此冪級數(shù)求和可考慮將其變形

37、為幾何級數(shù)求和。因此冪級數(shù)求和可考慮將其變形為幾何級數(shù)求和。 將一般冪級數(shù)化為幾何級數(shù)關(guān)鍵是改變其系數(shù)。本將一般冪級數(shù)化為幾何級數(shù)關(guān)鍵是改變其系數(shù)。本例冪級數(shù)的系數(shù)構(gòu)成數(shù)列例冪級數(shù)的系數(shù)構(gòu)成數(shù)列 a n = n + 1，故此冪級數(shù)可看成故此冪級數(shù)可看成是個等差等比級數(shù)，可考慮通過代數(shù)變形將其轉(zhuǎn)化為幾是個等差等比級數(shù)，可考慮通過代數(shù)變形將其轉(zhuǎn)化為幾何級數(shù)求和。何級數(shù)求和。 0110 2nnS xnxI, . . 0111111nnnnS xnxnx 上式兩邊同乘以上式兩邊同乘以 x - - 1 有有 兩式兩式相減得相減得 1011111nnnnxS xnxn x 111111nnnnnxn x1

38、112S xxS xS xxx S x 101111nnnnnnxx. . 由幾何級數(shù)和函數(shù)的計算可知，當(dāng)由幾何級數(shù)和函數(shù)的計算可知，當(dāng) x ( 0, ,2 )，即，即當(dāng)當(dāng) | | x - - 1 | | 1 時有時有 于是求得于是求得 0021lim1nnknnkx S xxx 201110 22nnS xnxxx , . . 0111lim1lim211nnknnkxxxx , 本例本例冪級數(shù)化為幾何級數(shù)求和也可理解為設(shè)法將冪冪級數(shù)化為幾何級數(shù)求和也可理解為設(shè)法將冪級數(shù)的系數(shù)級數(shù)的系數(shù) a n = n + 1 轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為 1 的過程。為此可考慮對冪的過程。為此可考慮對冪級數(shù)逐項積分，以在

39、通項系數(shù)中產(chǎn)生因子級數(shù)逐項積分，以在通項系數(shù)中產(chǎn)生因子 1/ /( n + 1) 由于逐項積分不會改變冪級數(shù)的收斂半徑，故將由于逐項積分不會改變冪級數(shù)的收斂半徑，故將S( t )從從 1 到到 x 積分有積分有 1 10d11dxxnnS ttntt 1 10011d11dxxnnnnnttntt 111001111.121nnxnnxxtxxx 將上式兩邊再對將上式兩邊再對 x 求導(dǎo)有求導(dǎo)有即給定冪級數(shù)在其收斂域即給定冪級數(shù)在其收斂域 I =( 0, ,2 )內(nèi)的和函數(shù)為內(nèi)的和函數(shù)為 1121d22xxxS xS ttxx 211122xx , 1 211112nnS xnxx. . 選擇將選擇將 S( t )從從 1 到到 x 積分目的是使積分計算簡單積分目的是使積分計算簡單, ,事實(shí)上，選擇從事