陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明 反證法典例導(dǎo)航課件 北師大版選修1-2

1、已知：一點(diǎn)已知：一點(diǎn)A和平面和平面. 求證：經(jīng)過點(diǎn)求證：經(jīng)過點(diǎn)A只能有一條直線和只能有一條直線和平面平面垂直垂直證明過程證明過程根據(jù)點(diǎn)根據(jù)點(diǎn)A和平面和平面的位置關(guān)的位置關(guān)系，分兩種情況證明系，分兩種情況證明(1)如圖如圖，點(diǎn)，點(diǎn)A在平面在平面內(nèi)，假設(shè)經(jīng)過內(nèi)，假設(shè)經(jīng)過點(diǎn)點(diǎn)A至少有平面至少有平面的兩條垂線的兩條垂線AB、AC，那，那么么AB、AC是兩條相交直線，它們確定一是兩條相交直線，它們確定一個(gè)平面?zhèn)€平面，平面，平面和平面和平面相交于經(jīng)過點(diǎn)相交于經(jīng)過點(diǎn)A的的一條直線一條直線a. 圖圖因?yàn)橐驗(yàn)锳B平面平面，AC平面平面，a，所以所以ABa，ACa，在平面，在平面內(nèi)經(jīng)過點(diǎn)內(nèi)經(jīng)過點(diǎn)A有兩條直線都和直

2、線有兩條直線都和直線a垂直，這與平面垂直，這與平面幾何中經(jīng)過直線上一點(diǎn)只能有已知直線幾何中經(jīng)過直線上一點(diǎn)只能有已知直線的一條垂線相矛盾的一條垂線相矛盾(2)如圖如圖，點(diǎn)，點(diǎn)A在平面在平面外，假設(shè)經(jīng)外，假設(shè)經(jīng)過點(diǎn)過點(diǎn)A至少有平面至少有平面的兩條垂線的兩條垂線AB和和AC(B、C為垂足為垂足)，那么，那么AB、AC是兩條是兩條相交直線，它們確定一個(gè)平面相交直線，它們確定一個(gè)平面，平面，平面和平面和平面相交于直線相交于直線BC，因?yàn)橐驗(yàn)锳B平面平面，AC平面平面，BC，所以所以ABBC，ACBC. 圖圖在平面在平面內(nèi)經(jīng)過點(diǎn)內(nèi)經(jīng)過點(diǎn)A A有兩條直線都和有兩條直線都和BCBC垂直，這與平面幾何中經(jīng)過直線

3、外一點(diǎn)只垂直，這與平面幾何中經(jīng)過直線外一點(diǎn)只能有已知直線的一條垂線相矛盾能有已知直線的一條垂線相矛盾綜上，經(jīng)過一點(diǎn)綜上，經(jīng)過一點(diǎn)A A只能有平面只能有平面的一條的一條垂線垂線2.2.求證：過直線外一點(diǎn)有且只有一條求證：過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和這條直線平行直線和這條直線平行證明：證明：點(diǎn)點(diǎn)P P在直線外，在直線外，點(diǎn)點(diǎn)P P和直線和直線a a確定一個(gè)平面，設(shè)該平確定一個(gè)平面，設(shè)該平面為面為. .在平面在平面內(nèi)，過點(diǎn)內(nèi)，過點(diǎn)P P作直線作直線b b，使得，使得b ba a，則過點(diǎn)，則過點(diǎn)P P有一條直線與有一條直線與a a平行平行假設(shè)過點(diǎn)假設(shè)過點(diǎn)P P還有一條直線還有一條直線c c與與a a

4、平行平行a ab b，a ac c，b bc c. .這與這與b b、c c相交于一點(diǎn)相交于一點(diǎn)P P矛盾，矛盾，故假設(shè)不成立，原命題正故假設(shè)不成立，原命題正確確設(shè)設(shè)a，b，c，dR，且，且adbc1，求證：求證：a2b2c2d2abcd1.由條件不能正面證明結(jié)論，采用反證法由條件不能正面證明結(jié)論，采用反證法假設(shè)結(jié)論不成立，將已知條件代入整理可假設(shè)結(jié)論不成立，將已知條件代入整理可得出與已知條件矛盾得出與已知條件矛盾證明過程證明過程假設(shè)假設(shè)a2b2c2d2abcd1，因?yàn)橐驗(yàn)閍dbc1，所以，所以a2b2c2d2abcdbcad0，即即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20，所以所以ab0，cd0，ad0，bc0，所