單元9++組合變形

1、單元9 組合變形 知 識 點：1.組合變形的概念及工程實例2.斜彎曲變形的應(yīng)力及強度計算3.偏心壓縮(拉伸)桿件的應(yīng)力和強度計算4.截面核心教學(xué)目標：掌握組合變形計算的疊加方法；掌握用強度條件及強度理論對組合變形進行強度計算；理解截面核心的概念。 課題1 組合變形的概念 在前面幾章中，分別研究了桿件在基本變形(拉伸、壓縮、剪切、扭轉(zhuǎn)、彎曲)時的強度和剛度。在實際工程中，有許多構(gòu)件在荷載作用下常常同時發(fā)生兩種或者兩種以上的基本變形，這種情況稱為組合變形。例如，下圖所示屋架上的檁條，可以作為簡支梁來計算，它受到從屋面?zhèn)鱽淼暮奢dq的作用，若q的作用線并不通過工字形截面的任一根形心

2、主慣性軸，所引起的就不是平面彎曲。如果把q沿兩個形心主慣性軸方向分解，則引起沿兩個方向的平面彎曲，這種情況稱為斜彎曲或者雙向彎曲。又如下圖所示，廠房的吊車柱子，承受屋架和吊車梁傳來的荷載、，、的合力一般與柱子的軸線不相重合，而是有偏心。如果將合力簡化到軸線上，則必須附加力偶、和，而附加力偶、和將引起純彎曲，所以這種情況是軸向壓縮和純彎曲的共同作用，稱為偏心壓縮。 其他如卷揚機的機軸，同時承受扭轉(zhuǎn)和彎曲的作用，樓梯的斜梁、煙囪、擋土墻等構(gòu)件都同時承受壓縮和平面彎曲的共同作用。 對發(fā)生組合變形的桿件計算應(yīng)力和變形時，可先將荷載進行簡化或分解，使簡化或分解后的靜力等效荷載，各自只引起一種簡單變形，分

3、別計算，再進行疊加，就得到原來的荷載引起的組合變形時應(yīng)力和變形。當(dāng)然，必須滿足小變形假設(shè)以及力與位移之間成線性關(guān)系這兩個條件才能應(yīng)用疊加原理。 下面討論斜彎曲、拉伸(或壓縮)與彎曲的組合作用、偏心壓縮等情況。其他形式的組合變形，其分析方法與上述幾種情況相同課題2 斜彎曲變形的應(yīng)力和強度計算2.1 斜彎曲變形 橫截面具有對稱軸的梁，當(dāng)外力作用在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)時，梁的軸線在變形后將變成為一條位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的平面曲線。這種變形形式稱為平面彎曲。當(dāng)外力不作用在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)時，如下圖所示。實驗及理論研究表明，此時梁的撓曲線并不在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，即不屬于平面彎曲，這種彎曲稱為斜彎曲。2.2 斜彎曲

4、變形應(yīng)力和變形 現(xiàn)以矩形截面懸臂梁為例來說明斜彎曲的應(yīng)力和變形的計算。 如下圖右所示懸臂梁，在自由端受集中力F作用，F(xiàn)通過截面形心并與y軸成角。 選取坐標系如上圖右所示，梁軸線作為x軸，兩個對稱軸分別作為y軸和z軸1、應(yīng)力將力F沿y軸和z軸分解為兩個分量Fy和Fz，得： 這兩個分量分別引起沿鉛垂面和水平面的平面彎曲。求距自由端為x的截面上任意點K的正應(yīng)力，該點的坐標為z和y。 先求出x截面的彎矩和式中是F對x截面的彎矩。 由上兩式可知，彎矩Mz和My也可以由總彎矩M沿兩坐標軸按矢量分解。 由于已把x截面上的彎矩分解為兩個引起平面彎曲的彎矩，所以，任一點K的正應(yīng)力可以應(yīng)用上一章中計算公式進行計算

5、，設(shè)Mz引起的應(yīng)力為/，My引起的應(yīng)力為/，則有：    應(yīng)力的正負號可以通過觀察梁的變形來確定。拉應(yīng)力取正號，壓應(yīng)力取負號。應(yīng)用疊加法，K點的應(yīng)力為： 在作強度計算時，須先確定危險截面，然后在危險截面上確定危險點。對斜彎曲來說，與平面彎曲一樣，通常也是由最大正應(yīng)力控制。所以對如上圖右所示的懸臂梁來說，危險截面顯然在固定端，因為該處彎矩Mz和My的絕對值達到最大。至于要確定該截面上的危險點的位置，則對于工程中常用的具有凸角而又有兩條對稱軸的截面，如矩形、工字形等，根據(jù)對變形的判斷，可知最大正應(yīng)力max發(fā)生在D1點，最小正應(yīng)力min發(fā)生在D2點，且ymax = |y

6、min|, Zmax=|Zmin|，max=|min| ,因此若材料的抗拉與抗壓強度相同，其強度條件就可以寫為：   對于不易確定危險點的截面，例如邊界沒有棱角而呈弧線的截面，如下圖左所示，則需要研究應(yīng)力的分布規(guī)律，確定中性軸位置。為此，將斜彎曲正應(yīng)力表達式改寫為  上式表明，發(fā)生斜彎曲時，截面上的正應(yīng)力是y和z的線性函數(shù)，所以它的分布規(guī)律是一個平面，如下圖右所示。此應(yīng)力平面與y、z坐標平面(即x截面)相交于一直線，在此直線上應(yīng)力均等于零。所以該直線為中性軸。         

7、; 設(shè)中性軸上點的坐標為y0、Z0,由于中性軸上應(yīng)力等于零，所以把y0、Z0代入上式，并令其等于零，即： 由于不等于0，則由上式可見，中性軸是一條通過橫截面形心的直線。設(shè)它與z軸的夾角為，如下圖所示，則有  上式表明：當(dāng)F力通過第一、三象限時，中性軸通過第二、四象限；中性軸與F力作用線并不垂直，這正是斜彎曲的特點。除非Iz=Iy，即截面的兩個形心主慣性矩相等，例如截面為正多邊形的情形，此時中性軸才與F力作用線垂直，而此時不論F力的角等于多少，梁所發(fā)生的總是平面彎曲。工程上常用的正方形或圓形截面梁就是這種情況。當(dāng)中性軸的位置確定后，就很容易確定應(yīng)力最大的點，這只要在

8、截面的周邊上作兩條與中性軸平行的切線，如上圖右所示，切點E1和E2即為距中性軸最遠的點，其上應(yīng)力的絕對值最大，其中一個是最大拉應(yīng)力max。，另一個是最大壓應(yīng)min(按代數(shù)值)。把這兩點的應(yīng)力與材料的許用正應(yīng)力相比較，即可進行強度計算。2、變形斜彎曲的變形計算也可以采用疊加法，仍以懸臂梁為例，設(shè)欲求自由端的撓度0，方法是先分別求出兩個平面彎曲的撓度，y方向的撓度y為：z方向的撓度y為：總撓度 總撓度的方向， 與y軸的夾角為 上式表明，荷載平面不于撓曲線平面重合。     課題3 偏心拉伸(壓縮)桿件的強度計算及截面核心3.1 偏心拉壓的

9、應(yīng)力計算桿件受到平行軸線但不與軸線重合的力作用時，引起的變形稱為偏心拉伸(壓縮)，如下圖a所示         現(xiàn)以上圖 (a)所示矩形截面桿在A點受拉力F作用的情況來說明應(yīng)力的計算。設(shè)F力作用點的坐標為yF和ZF?，F(xiàn)將F力簡化到截面的形心O，于是得到一個軸向拉力F和兩個力偶mz、my，從而引起軸向拉伸和兩個平面彎曲組合變形，如上圖 (b)所示，由截面法可求得任一橫截面上的內(nèi)力為上圖（c） 由彎矩引起的正應(yīng)力分別為：由軸力N引起的正應(yīng)力分別為 偏心壓縮總應(yīng)力 =   3.2 偏心拉伸(壓縮)的最大應(yīng)力與強度條件從上面推導(dǎo)過程及應(yīng)力分布情況，可知偏心拉伸(壓縮)時的最大應(yīng)力為   強度條件 3.3 截面核心 從前面的分析可知，構(gòu)件受偏心壓縮時，橫截面上的應(yīng)力由軸向壓力引起的應(yīng)力和偏心彎矩引起的應(yīng)力所組成。當(dāng)偏心壓力的偏心距較小時，則相應(yīng)產(chǎn)生的偏心彎矩較小，從而使MN，即橫截面上就只會有壓應(yīng)力而無拉應(yīng)力。 在工程上有不少材料的抗拉性能較差而抗壓性能較好且價格便宜，如磚、