數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)第二講§2

1、2 傳染性的隨機(jī)感染問(wèn)題傳染性的隨機(jī)感染問(wèn)題 這是一個(gè)簡(jiǎn)單的概率模型。這是一個(gè)簡(jiǎn)單的概率模型。 在某種可傳染性疾病的發(fā)生期，人群中有病人(稱(chēng)為帶菌者)和健康人(易感染者)，任何兩人之間的接觸是隨機(jī)的，當(dāng)健康人與病人接觸時(shí)，健康人是否被感染也是隨機(jī)的。如果通過(guò)實(shí)際數(shù)據(jù)或經(jīng)驗(yàn)掌握了這些隨機(jī)規(guī)律，那么，怎樣估計(jì)平均每天有多少健康人被感染？這種估計(jì)的準(zhǔn)確性有多大？ 模型假設(shè)：我們不對(duì)傳染病的感染機(jī)理和人群的接觸狀況作具體分析，僅就一般問(wèn)題作出分析。 1. 人群只分病人和健康人兩類(lèi)，病人數(shù)和健康人數(shù)分別記作 i 和 s，總數(shù) n 不變，即i +s=n 2. 人群中任何兩人的接觸是相互獨(dú)立的，具有相同的概

2、率，每人每天平均與m人接觸。 3. 當(dāng)健康人與一病人接觸時(shí)，健康人被感染的概率為。 這里涉及到四個(gè)獨(dú)立的參數(shù)：n , i , m, ，通常n , i 是已知的，而 m ,可以根據(jù)數(shù)據(jù)或經(jīng)驗(yàn)獲得。 為了解釋和建立這個(gè)模型，我們需要簡(jiǎn)單介紹一些概率的知識(shí)。 在所考慮的一個(gè)隨機(jī)問(wèn)題(稱(chēng)為試驗(yàn))中, 所有可能的結(jié)果(稱(chēng)為基本事件)數(shù)量是有限的, 且它們出現(xiàn)的可能性是相等的且不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)。這種隨機(jī)問(wèn)題稱(chēng)為古典概型。 在古典概型中，一個(gè)隨機(jī)事件A所包含的基本事件的數(shù)量為 r，而試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果的數(shù)量為 n , 事件A發(fā)生的概率記為P(A), 則nrP(A) 例如, 從一批由90件正品3件次品的產(chǎn)品中任

3、意抽取一件，求取得正品的概率。 所有產(chǎn)品的數(shù)量為93件，而取得一件正品這一事件A，只能在90件正品中抽取一件，才能使A發(fā)生，所以，取得正品的概率P(A)為31309390P(A) 若一項(xiàng)試驗(yàn)是完全相同的一個(gè)試驗(yàn)的 n 次重復(fù)，且它們是相互獨(dú)立的，即每一次的結(jié)果都不依賴(lài)與其它各次試驗(yàn)的結(jié)果，稱(chēng)這項(xiàng)試驗(yàn)為重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)。我們來(lái)討論一個(gè)重要問(wèn)題。 在一次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為 p, 我們來(lái)計(jì)算, n 次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件A恰好出現(xiàn)k 次的概率Pn(k)(0kn)。 由于 n 次試驗(yàn)的獨(dú)立性, 則事件A在指定的 k 次中出現(xiàn)而在其余 n-k試驗(yàn)中不出現(xiàn)的概率為pk(1-p)n-k由組合計(jì)算方法知：

4、n 次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件A恰好出現(xiàn) k 次的概率Pn(k)為Pn(k)=Cnkpk(1-p)n -k (k=0,1,2,n)上式右端恰好為(1- p)+ pn按二項(xiàng)式展開(kāi)的項(xiàng)，所以此問(wèn)題被稱(chēng)為服從二項(xiàng)分布。其數(shù)學(xué)期望(即平均值)為： = n p其標(biāo)準(zhǔn)差(即偏差度)為：)1 (pnp 建模的目的是尋找健康人中每天平均被感染的人數(shù)與已知參數(shù) n, i, m,的關(guān)系。為此需要知道一健康人在一天內(nèi)被感染的概率。而健康人只要至少與一名病人接觸并被感染，該健康人即被感染。所以還要求出一健康人與一指定病人接觸并被感染的概率。這個(gè)概率為一健康人與一名指定病人接觸的概率乘以在接觸時(shí)被感染的概率 。模型構(gòu)成： 記

5、任何二人在一天內(nèi)接觸的概率為 p, 這也就是一健康人與一名指定病人接觸的概率。 由于任何二人接觸是相互獨(dú)立的，顯然一健康人每天接觸的人數(shù)服從二項(xiàng)分布。根據(jù)假設(shè)2：每人每天平均與 m人接觸,，由二項(xiàng)分布的平均值公式及人群總數(shù) n，所以，任何二人接觸的概率 p 滿(mǎn)足： m =(n -1) p所以1nmp 再根據(jù)假設(shè)3：當(dāng)健康人與一病人接觸時(shí), 健康人可能被感染的概率為，并記一健康人與一名指定病人接觸并被感染的概率為 p1，則：11nmpp 為求一健康人一天內(nèi)被感染的概率 p2，我們知道其至少接觸了一個(gè)病人，則ikkikkippCp1112)1 (iinmp)11 (1)1 (11將上式展開(kāi)成級(jí)數(shù)，

6、并注意到 nm1，得：nminmiinmip)1(! 2) 1(11 (122 一天中健康人被感染的人數(shù)也服從二項(xiàng)分布，所以每天平均被感染人數(shù)： ninmi)( =sp2=(ni)p2() 此式給出了健康人每天平均被感染人數(shù) 與已知參數(shù) n, i, m,的關(guān)系。由二項(xiàng)分布的標(biāo)準(zhǔn)差(絕對(duì)誤差估計(jì)式)公式可知：)(1 ()1 (2222inpppsp故)()(122inmiminpinp此式就是平均值的相對(duì)誤差。 模型解釋?zhuān)河山】等嗣刻毂桓腥靖怕?p2的近似表達(dá)式nmip2()可知：其與一病人接觸并被感染的概率、人們?cè)谝惶熘衅骄佑|的人數(shù) m以及當(dāng)前病人的人數(shù) i 成正比而與人群總數(shù)量 n 成反比

7、。 同樣由健康人每天被感染的平均人數(shù)的近似表達(dá)式()1 ()(nimininmi可知 : 與一健康人與病人接觸并被感染的概率、人們?cè)谝惶熘衅骄佑|的人數(shù) m成正比,而且隨人群總數(shù)量 n 增加而增加。對(duì)于與當(dāng)前病人的數(shù)量 i 之間的關(guān)系則是先增加而后減少的變化，且當(dāng) i=n/2時(shí)達(dá)到最大。 為了對(duì)這各模型的表達(dá)式 () 和 () 有一 個(gè)直觀的了解, 用一組數(shù)據(jù)進(jìn)行描述。設(shè)m =20、 =0.1，對(duì)不同的 i，計(jì)算和： i0.01n0.05n0.1n0.25n0.5n0.75n0.0198n0.095n0.18n0.375n0.5n0.375nn0 . 7n1 . 3n1 . 2n2 . 10

8、隨著 i 的增加每天的平均感染人數(shù)，先增后減，但 i0.5n 的情況基本不存在。oi/nn/20.51i/no/而對(duì)于誤差估計(jì)式/, 隨的增大而減小, 特別當(dāng) i0.05n 時(shí)n1 . 3 例如當(dāng) i=0.05n, n=10000時(shí)，能以95%的概率保證，每天平均被感染人數(shù)約為950人, 且相對(duì)誤差約為6.156%，即，此時(shí)每天平均被感染人數(shù)的95%估計(jì)區(qū)間為(其中29.24)(950-2,950+2)=(950-58,950+58)=(892,1008).模型評(píng)價(jià)： 該模型建立在對(duì)人群之間的接觸、感染等一些隨機(jī)事件的概率假設(shè)的基礎(chǔ)上。雖然這些假設(shè)與實(shí)際情況有差異，但在對(duì)某種傳染病的傳染情況尚未掌握進(jìn)一步的規(guī)律和數(shù)據(jù)之前，也只